2025届四川省双流县棠湖中学高一数学第二学期期末质量跟踪监视试题含解析.doc

2025届四川省双流县棠湖中学高一数学第二学期期末质量跟踪监视试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．如图所示，在中，点D是边的中点，则向量（ ）

A． B．
C． D．
2．若不等式的解集是，则的值为（　　）
A．12 B． C． D．10
3．已知向量， ，若，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
4．在中，角所对的边分边为，已知，则此三角形的解的情况是（ ）
A．有一解 B．有两解 C．无解 D．有解但解的个数不确定
5．在明朝程大位《算法统宗》中，有这样一首歌谣，叫浮屠增级歌：远看巍巍塔七层，红光点点倍加增；共灯三百八十一，请问层三几盏灯．这首古诗描述的浮屠，现称宝塔．本浮屠增级歌意思是：有一座7层宝塔，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，宝塔中共有灯381盏，问这个宝塔第3层灯的盏数有( 　)
A． B． C． D．
6．数列中，，且，则数列前2019项和为（ ）
A． B． C． D．
7．在中，角对应的边分别是，已知，的面积为，则外接圆的直径为（ ）
A． B． C． D．
8．连续两次抛掷一枚质地均匀的硬币，出现正面向上与反面向上各一次的概率是（  ）
A． B． C． D．
9．如图所示的阴影部分是由轴及曲线 围成，在矩形区域 内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率是（ ）

A． B． C． D．
10．过点P（﹣2，m）和Q（m，4）的直线斜率等于1，那么m的值等于（ ）
A．1或3 B．4 C．1 D．1或4
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．若正四棱锥的底面边长为，侧棱长为，则该正四棱锥的体积为______.
12．正三棱锥的底面边长为2，侧面均为直角三角形，则此三棱锥的体积为 ．
13．已知向量、满足：，，，则_________.
14．已知函数，则函数的最小值是___．
15．四名学生按任意次序站成一排，则和都在边上的概率是___________.
16．中，若，，则角C的取值范围是________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知3(b2＋c2)＝3a2＋2bc.
(1)若sinB＝cosC，求tanC的大小；
(2)若a＝2，△ABC的面积S＝，且b>c，求b，c.
18．已知函数．
（1）求的单调递增区间；
（2）求在区间上的值域．
19．某大桥是交通要塞，每天担负着巨大的车流量.已知其车流量（单位：千辆）是时间（，单位：）的函数，记为，下表是某日桥上的车流量的数据：

0
3
6
9
12
15
18
21
24
（千辆）
3.0
1.0
2.9
5.0
3.1
1.0
3.1
5.0
3.1
经长期观察，函数的图象可以近似地看做函数（其中，，，）的图象.
(1)根据以上数据，求函数的近似解析式；
(2)为了缓解交通压力，有关交通部门规定：若车流量超过4千辆时，核定载质量10吨及以上的大货车将禁止通行，试估计一天内将有多少小时不允许这种货车通行？
20．已知数列的前项和为，.
（1）求数列的通项公式;
（2）设，求数列的前项和.
21．已知分别是锐角三个内角的对边，且，且.
(Ⅰ) 求的值；
(Ⅱ)求面积的最大值；
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】
根据向量线性运算法则可求得结果.
【详解】
为中点

本题正确选项：
本题考查根据向量线性运算，用基底表示向量的问题，属于常考题型.
2、B
【解析】
将不等式解集转化为对应方程的根，然后根据韦达定理求出方程中的参数，从而求出所求．
【详解】
解：不等式的解集为，
为方程的两个根，根据韦达定理：

解得，故选：B。
本题主要考查了一元二次不等式的应用，以及韦达定理的运用和一元二次不等式解集与所对应一元二次方程根的关系，属于中档题．
3、D
【解析】
∵，，⊥，
∴，解得．
∴．
∴，
又．
设向量与的夹角为，
则．
又，
∴．选D．
4、C
【解析】
由三角形正弦定理可知无解，所以三角形无解，选C.
5、C
【解析】
先根据等比数列的求和公式求出首项，再根据通项公式求解.
【详解】
从第1层到塔顶第7层，每层的灯数构成一个等比数列，公比为，前7项的和为381，
则，得第一层，
则第三层，故选
本题考查等比数列的应用，关键在于理解题意.
6、B
【解析】
由，可得，化为：，利用“累加求和”方法可得，再利用裂项求和法即可得解．
【详解】
解：∵，
∴，
整理得：，
∴，又
∴，
可得：．
则数列前2019项和为：．
故选B．
本题主要考查了数列递推关系、“累加求和”方法、裂项求和，考查了推理能力、转化能力与计算能力，属于中档题．
7、D
【解析】
根据三角形面积公式求得；利用余弦定理求得；根据正弦定理求得结果.
【详解】
由题意得解得：
由余弦定理得：
由正弦定理得外接圆的直径为：
本题正确选项：
本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式的综合应用问题，考查学生对于基础公式和定理的掌握情况.
8、C
【解析】
利用列举法求得基本事件的总数，利用古典概型的概率计算公式，即可求解．
【详解】
由题意，连续两次抛掷一枚质地均匀的硬币，基本事件包含：（正面，正面），（正面，反面），（反面，正面），（反面，反面），共有4中情况，
出现正面向上与反面向上各一次，包含基本事件：（正面，反面），（反面，正面），共2种，
所以的概率为，故选C．
本题主要考查了古典概型及其概率的计算问题，其中解答中熟练利用列举法求得基本事件的总数是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．
9、A
【解析】
，所以，故选A。
10、C
【解析】
试题分析：利用直线的斜率公式求解．
解：∵过点P（﹣2，m）和Q（m，4）的直线斜率等于1，
∴k==1，
解得m=1．
故选C．
考点：直线的斜率．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、4.
【解析】
设正四棱锥的高为PO，连结AO，在直角三角形POA中，求得高,利用体积公式，即可求解．
【详解】
由题意，如图所示，正四棱锥P-ABCD中，AB=，PA=
设正四棱锥的高为PO，连结AO，则AO=，
在直角三角形POA中，，
∴.

本题主要考查了正棱锥体积的计算，其中解答中熟记正棱锥的性质，以及棱锥的体积公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．
12、
【解析】
由题意可得：该三棱锥的三条侧棱两两垂直，长都为，所以三棱锥的体积.
考点：三棱锥的体积公式.
13、.
【解析】
将等式两边平方得出的值，再利用结合平面向量的数量积运算律可得出结果.
【详解】
，
，
，
因此，，故答案为.
本题考查利用平面向量数量积来计算平面向量的模，在计算时，一般将平面向量的模平方，利用平面向量数量积的运算律来进行计算，考查运算求解能力，属于中等题.

14、5
【解析】
因为 ，所以 ，函数 ，当且仅当 ，即 时等号成立．
点睛：本题考查了基本不等式的应用，属于基础题．在用基本不等式时，注意＂一正二定三相等＂这三个条件，关键是找定值，在本题中，将 拆成 ，凑成定值，再用基本不等式求出最小值．
15、
【解析】
写出四名学生站成一排的所有可能情况，得出和都在边上的情况即可求得概率.
【详解】
四名学生按任意次序站成一排，所有可能的情况为：
，
，
，
，共24种情况，
其中和都在边上共有，4种情况，
所以和都在边上的概率是.
故答案为：
此题考查古典概型，根据古典概型求概率，关键在于准确求出基本事件总数和某一事件包含的基本事件个数.
16、；
【解析】
由，利用正弦定理边角互化以及两角和的正弦公式可得，进而可得结果.
【详解】
由正弦定理可得，
又，则
,
即，则，C是三角形的内角，
则，
故答案为：.
本题注意考查正弦定理以及两角和的正弦公式的应用，属于中档题.正弦定理主要有三种应用：求边和角、边角互化、外接圆半径.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、 (1);(2).
【解析】
试题分析：(1)根据已知条件及余弦定理可求得的值,再由同角三角函数基本关系式可求得的值. 因为,所以,由两角和的正弦公式可将其化简变形可求得与的关系式,从而可得.(2)根据余弦定理和三角形面积均可得的关系式.从而可解得的值.
试题解析：，
，
，.
(1)，，
，
，.
(2)，，， ①
，∴由余弦定理可得，
, ②
，∴联立①②可得.
考点：1正弦定理;2余弦定理;3两角和差公式.
18、 (1) ；(2)
【解析】
（1）利用两角差的余弦和诱导公式化简f(x),再求单调区间即可；（2）由结合三角函数性质求值域即可
【详解】
（1）

令，得，
的单调递增区间为；
（2）由得，
故而．
本题考查三角恒等变换，三角函数单调性及值域问题，熟记公式准确计算是关键，是基础题
19、（1） （2） 8个小时
【解析】
（1）根据函数的最大最小值可求出和，根据周期求出，根据一个最高点的横坐标可求得；
（2）解不等式可得．
【详解】
(1)根据表格中的数据可得:
由，
,解得：
由当时，有最大值，则
即，得.
所以函数的近似解析式
（2）若车流量超过4千辆时，即
所以，则
所以，且.
所以和满足条件.
所以估计一天内将有8小时不允许这种货车通行．
本题考查了根据一些特殊的函数值观察周期特点，求解三角函数解析式以及简单应用，属中档题．
20、（1）；（2）.
【解析】
（1）由递推公式，再递推一步，得，两式相减化简得
可以判断数列是等差数列，进而可以求出等差数列的通项公式;
（2）根据（1）和对数的运算性质，用裂项相消法可以求出数列的前项和.
【详解】
解：（1）由知
所以，即，从而
所以，数列是以2为公比的等比数列
又可得，
综上所述，故.
（2）由（1）可知，故，
综上所述，所以，故而
所以.
本题考查了已知递推公式求数列通项公式问题，考查了等差数列的判断以及等差数列的通项公式，考查了用裂项相消法求数列前项和问题，考查了数学运算能力.
21、（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）利用正弦定理将角化为边得，利用余弦定理可得；（Ⅱ）由及基本不等式可得，故而可得面积的最大值.
试题解析：（Ⅰ）因为，由正弦定理有，既有，由余弦定理得，.
（Ⅱ），即，当且仅当时等号成立，
当时，,
所以的最大值为.