2025届南京师范大学附属中学数学高一第二学期期末综合测试试题含解析.doc

2025届南京师范大学附属中学数学高一第二学期期末综合测试试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知函数，若方程在上有且只有三个实数根，则实数的取值范围为( )
A． B． C． D．
2．如图是一三棱锥的三视图，则此三棱锥内切球的体积为（ ）

A． B． C． D．
3．如图，两个正方形和所在平面互相垂直，设、分别是和的中点，那么：①；②平面；③；④、异面.其中不正确的序号是（ ）

A．① B．② C．③ D．④
4．已知，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．
5．已知直线和，若，则实数的值为
A．1或 B．或 C．2或 D．或
6．已知的三个内角所对的边分别为.若，则该三角形的形状是（ ）
A．等边三角形 B．等腰三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．直角三角形
7．在直角坐标平面上，点的坐标满足方程，点的坐标满足方程则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．已知，则
A． B． C． D．
10．若是的重心，，，分别是角的对边，若，则角（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分共30分。
11．一组数据2，4，5，，7，9的众数是2，则这组数据的中位数是_________.
12．已知数列满足，，则_______；_______.
13．过点，且与直线垂直的直线方程为 ．
14．在中，，，面积为，则________．
15．某校女子篮球队7名运动员身高(单位：cm)分布的茎叶图如图，已知记录的平均身高为175 cm，但记录中有一名运动员身高的末位数字不清晰，如果把其末位数字记为x，那么x的值为________.

16．若圆与圆的公共弦长为，则________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．己知数列是等比数列，且公比为，记是数列的前项和.
（1）若＝1，＞1，求的值；
（2）若首项，，是正整数，满足不等式|﹣63|＜62，且对于任意正整数都成立，问：这样的数列有几个？
18．如图，在正方体，中，，，，，分别是棱，，，，的中点.

（1）求证：平面平面；
（2）求平面将正方体分成的两部分体积之比.
19．已知向量，，且函数.若函数的图象上两个相邻的对称轴距离为.
（Ⅰ)求函数的解析式；
（Ⅱ)若方程在时，有两个不同实数根，，求实数的取值范围，并求出的值；
（Ⅲ)若函数在的最大值为2，求实数的值.
20．已知向量，向量为单位向量，向量与的夹角为.
（1）若向量与向量共线，求；
（2）若与垂直，求.
21．已知数列中，.
(1)求证：是等比数列，求数列的通项公式；
(2)已知：数列，满足
①求数列的前项和；
②记集合若集合中含有个元素，求实数的取值范围.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】
先辅助角公式化简,先求解方程的根的表达式,再根据在上有且只有三个实数根列出对应的不等式求解即可.
【详解】
.又在上有且只有三个实数根,
故,解得或,
即或,.
设直线与在上从做到右的第三个交点为,第四个交点为.
则,.故
故实数的取值范围为.
故选：A
本题主要考查了根据三角函数的根求解参数范围的问题,需要根据题意先求解根的解析式,进而根据区间中的零点个数列出区间端点满足的关系式求解即可.属于中档题.
2、D
【解析】

把此三棱锥嵌入长宽高分别为：的长方体中
三棱锥即为所求的三棱锥
其中，，
，则，
故可求得三棱锥各面面积分别为：
，，，
故表面积为
三棱锥体积
设内切球半径为，则
故三棱锥内切球体积
故选
3、D
【解析】
取的中点，连接，，连接，，由线面垂直的判定和性质可判断①；由三角形的中位线定理，以及线面平行的判定定理可判断②③④．
【详解】
解：取的中点连接，，连接，，

正方形和所在平面互相垂直，
、分别是和的中点，可得，，
平面，可得，故①正确；
由为的中位线，可得，
且平面，可得平面，故②③正确，④错误．
故选：D．
本题主要考查空间线线和线面的位置关系，考查转化思想和数形结合思想，属于基础题．
4、B
【解析】
化为齐次分式，分子分母同除以，化弦为切，即可求解.
【详解】

.
故选:B.
本题考查已知三角函数值求值，通过齐次分式化弦为切，属于基础题.
5、C
【解析】
利用直线与直线垂直的性质直接求解．
【详解】
∵直线和，若，
∴，得 ，解得或，
∴实数的值为或．
故选：C．
本题考查直线与直线垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
6、B
【解析】
利用三角形的内角关系及三角变换公式得到，从而得到，此三角形的形状可判断.
【详解】
因为，
故，整理得到，
所以，因，所以即，
故为等腰三角形，故选B.
本题考查两角和、差的正弦，属于基础题，注意角的范围的讨论.
7、B
【解析】
由点的坐标满足方程，可得在圆上，由坐标满足方程，可得在圆上，则求出两圆内公切线的斜率，利用数形结合可得结果.
【详解】

点的坐标满足方程，
在圆上，
在坐标满足方程，
在圆上，
则作出两圆的图象如图，
设两圆内公切线为与，
由图可知，
设两圆内公切线方程为，
则，
圆心在内公切线两侧，，
可得，，
化为，，
即，
，
的取值范围，故选B.
本题主要考查直线的斜率、直线与圆的位置关系以及数形结合思想的应用，属于综合题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，尤其在解决选择题、填空题时发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是运用这种方法的关键是正确作出曲线图象，充分利用数形结合的思想方法能够使问题化难为简，并迎刃而解.
8、A
【解析】
，向左平移个单位得到函数=，故
9、B
【解析】
运用中间量比较，运用中间量比较
【详解】
则．故选B．
本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题．
10、D
【解析】
试题分析：由于是的重心，，，代入得
，整理得，
，因此，故答案为D.
考点：1、平面向量基本定理；2、余弦定理的应用.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
根据众数的定义求出的值，再根据中位数的定义进行求解即可.
【详解】
因为一组数据2，4，5，，7，9的众数是2，所以，这一组数据从小到大排列为：
2，2，4，5， 7，9，因此这一组数据的中位数为：.
故答案为：
本题考查了众数和中位数的定义，属于基础题.
12、
【解析】
令代入可求得；方程两边取倒数，构造出等差数列，即可得答案.
【详解】
令，则；
∵，
∴数列为等差数列，∴，
∴.
故答案为：；.
本题考查数列的递推关系求通项，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意两边取倒数，构造新等差数列的方法.
13、
【解析】
直线垂直表示斜率乘积为-1，所以可得新直线斜率，代入点即可．
【详解】
直线的斜率等于-1，所以与之垂直直线斜率，再通过点斜式直线方程：，即．
此题考查直线垂直，直线垂直表示两直线斜率之积为-1，属于简单题目．
14、

【解析】
由已知利用三角形面积公式可求c，进而利用余弦定理可求a的值，根据正弦定理即可计算求解.
【详解】
，，面积为
,
解得，
由余弦定理可得：
，
所以,
故答案为：
本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理，正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题.
15、2
【解析】
根据茎叶图的数据和平均数的计算公式，列出方程，即可求解，得到答案.
【详解】
由题意，可得，即，解得.
本题主要考查了茎叶图的认识和平均数的公式的应用，其中解答中根据茎叶图，准确的读取数据，再根据数据的平均数的计算公式，列出方程求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
16、
【解析】
将两个方程两边相减可得，即代入可得，则公共弦长为，所以，解之得，应填．

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）114
【解析】
（1）利用等比数列的求和公式，进而可求的值；
（2）根据满足不等式|﹣63|＜62，可确定的范围，进而可得随着的增大而增大，利用，可求解．
【详解】
（1）已知数列是等比数列，且公比为，记是数列的前项和，＝1，
， ，
则；
（2） 满足不等式|﹣63|＜62，．
， ，且，
，得随着的增大而增大，得 ，
又且对于任意正整数都成立，得，，且是正整数，
满足的个数为：124﹣11+1＝114个，即有114个，所以有114个数列．
本题以等比数列为载体，考查数列的极限，考查等比数列的求和，考查数列的单调性，属于中档题．
18、（1）见解析（2）
【解析】
（1）先证明平面，再证明平面平面；（2）连接，，则截面右侧的几何体为四棱锥和三棱锥，再求出每一部分的体积得解.
【详解】
（1）证明：在正方体中，连接.
因为，分别是，的中点，所以.
因为平面，平面，所以.
因为，所以平面，平面，
所以，同理，
因为，所以平面，
因为平面，所以平面平面；

（2）连接，，则截面右侧的几何体为四棱锥和三棱锥，
设正方体棱长为1，
所以
，
所以平面将正方体分成的两部分体积之比为.
本题主要考查面面垂直关系的证明和几何体体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题.
19、（Ⅰ)；（Ⅱ)，；（Ⅲ）或
【解析】
（Ⅰ)根据三角恒等变换公式化简，根据周期计算，从而得出的解析式；（Ⅱ)求出在，上的单调性，计算最值和区间端点函数值，从而得出的范围，根据对称性得出的值；（Ⅲ）令，求出的范围和关于的二次函数，讨论二次函数单调性，根据最大值列方程求出的值．
【详解】
（Ⅰ）∵，，
∴

若函数的图象上两个相邻的对称轴距离为，
则函数的周期，
∴，即，
∴
（Ⅱ)由（Ⅰ)知
当时，
∴若方程在有两个不同实数根，则.
∴令，，则，，
∴函数在内的对称轴为，
∵，是方程，的两个不同根，
∴
（Ⅲ）因为，所以，
令，则.∴
又∵，由得，
∴.
（1）当，即时，可知在上为减函数，
则当时，
由，解得：，不合题意，舍去.
（2）当，即时，结合图象可知，当时，，
由，解得，满足题意.
（3）当，即时，知在上为增函数，
则时，，由得，舍去
综上，或为所求.
本题考查了平面向量的数量积的运算，三角函数的恒等变换，三角函数最值的计算，考查换元法解题思想，属于中档题．
20、（1）（2）
【解析】
（1）共线向量夹角为0°或180°，由此根据定义可求得两向量数量积．
（2）由向量垂直转化为向量的当量积为0，从而求得，也就求得，再由余弦的二倍角公式可得．
【详解】
法一（1），故或

向量，向量

法二（1），设
即或
或

（2）法一：依题意，
，故

法二：设

即，又
或

本题考查向量共线，向量垂直与数量积的关系，考查平面向量的数量积运算．解题时按向量数量积的定义计算即可．
21、 (1) 证明见解析， (2)①②
【解析】
(1)计算得到： 得证.
(2) ①计算的通项公式为，利用错位相减法得到.
②将代入集合M，化简并分离参数得，确定数列的单调性，根据集合中含有个元素得到答案.
【详解】
(1) ，
为等比数列，其中首项，公比为.
所以，.
(2)①数列的通项公式为
①
②
①-②
化简后得.
②将代入得
化简并分离参数得，
设，则

易知
由于中含有个元素，所以实数要小于等于第5大的数，且比第6大的数大.
，，
综上所述.
本题考查了数列的证明，数列的通项公式，错位相减法，数列的单调性，综合性强计算量大，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.