四川省宜宾市第三中学2025届高一下数学期末考试模拟试题含解析.doc

四川省宜宾市第三中学2025届高一下数学期末考试模拟试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9＝S4，则S13＝（）
A．13 B．7 C．0 D．1
3．已知函数在区间（1，2）上是增函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．（0，+∞） B．（0，1） C．（0，1] D．（﹣1，0）
4．角的终边经过点且，则的值为()
A．-3 B．3 C．±3 D．5
5．设为直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是( )
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
6．在中，，，，则=（ ）
A． B．
C． D．
7．已知，则向量在方向上的投影为（ ）
A． B． C． D．
8．为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有点的（ ）
A．横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，再将所得的图像向左平移.
B．横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，再将所得的图像向左平移.
C．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得的图像向左平移.
D．横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，再将所得的图像向右平移.
9．已知,是两个不同的平面,是两条不同的直线,下列命题中错误的是（ ）
A．若∥，， ，则
B．若∥ ， ， ，则
C．若，，,则⊥
D．若⊥，， ,,则
10．要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝6，AB＝8，点M为△ABC内切圆的圆心，过点M作动直线l与线段AB，AC都相交，将△ABC沿动直线l翻折，使翻折后的点A在平面BCM上的射影P落在直线BC上，点A在直线l上的射影为Q，则的最小值为_____．
12．已知数列满足：，，则数列的前项的和_______.
13．实数2和8的等比中项是__________．
14．已知向量（1，x2），（﹣2，y2﹣2），若向量，共线，则xy的最大值为．
15．不共线的三个平面向量，，两两所成的角相等，且，，则__________．
16．若 ，则的取值范围是________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知点，，动点满足，记M的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）过坐标原点O的直线l交C于P、Q两点，点P在第一象限，轴，垂足为H．连结QH并延长交C于点R．
（i）设O到直线QH的距离为d．求d的取值范围;
（ii）求面积的最大值及此时直线l的方程．
18．已知△ABC内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且.
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）若，求△ABC面积的最大值.
19．正项数列的前项和满足.
（I）求的值；
（II）证明：当，且时，；
（III）若对于任意的正整数，都有成立，求实数的最大值.
20．已知向量且，
（1）求向量与的夹角；
（2）求的值.
21．已知向量，满足，，且.
（1）求;
（2）在中，若，，求.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】
对于选项A,因为，所以，所以 即，所以选项A错误；对于选项B，，所以，选项B错误；对于选项C，，当 时，，当，，故选项C错误；对于选项D，，所以，又，所以，所以，选D.
2、C
【解析】
由题意，利用等差数列前n项和公式求出a1＝﹣6d，由此能求出S13的值．
【详解】
∵等差数列{an}的前n项和为Sn，S9＝S4，
∴4a1，
解得a1＝﹣6d，
∴S1378d﹣78d＝1．
故选：C．
本题考查等差数列的前n项和公式的应用，考查运算求解能力，是基础题．
3、C
【解析】
由题意可得在上为减函数，列出不等式组，由此解得的范围.
【详解】
∵函数在区间上是增函数，
∴函数在上为减函数，其对称轴为，
∴可得，解得.
故选：C.
本题主要考查复合函数的单调性，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于基础题.
4、B
【解析】
根据三角函数的定义建立方程关系即可．
【详解】
因为角的终边经过点且，
所以 则
解得
本题主要考查三角函数的定义的应用，应注意求出的b为正值．
5、B
【解析】
A中，也可能相交；B中，垂直与同一条直线的两个平面平行，故正确；C中，也可能相交；D中，也可能在平面内.
【考点定位】点线面的位置关系
6、C
【解析】
根据正弦定理,代入即可求解.
【详解】
因为中,,,
由正弦定理可知
代入可得
故选:C
本题考查了正弦定理在解三角形中的应用,属于基础题.
7、B
【解析】
根据向量夹角公式求得夹角的余弦值；根据所求投影为求得结果
【详解】
由题意得：
向量在方向上的投影为：
本题正确选项：
本题考查向量在方向上的投影的求解问题，关键是能够利用向量数量积求得向量夹角的余弦值.
8、B
【解析】
利用三角函数的平移和伸缩变换的规律求出即可.
【详解】
为了得到函数的图象，先把函数图像的纵坐标不变，
横坐标缩短到原来的倍到函数y＝3sin2x的图象，
再把所得图象所有的点向左平移个单位长度得到y＝3sin（2x+）的图象.
故选：B．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦型函数性质的应用，三角函数图象的平移变换和伸缩变换的应用，属于基础题．
9、A
【解析】
根据平面和直线关系，依次判断每个选项得到答案.
【详解】
A. 若，， ，则

如图所示情况，两直线为异面直线，错误
其它选项正确.
故答案选A
本题考查了直线平面的关系，找出反例是解题的关键.
10、D
【解析】
根据三角函数图象的平移变换可直接得到图象变换的过程.
【详解】
因为，
所以向右平移个单位即可得到的图象.
故选：D.
本题考查三角函数图象的平移变换，难度较易.注意左右平移时对应的规律：左加右减.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、825
【解析】
以AB，BC所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，设直线l的斜率为k，用k表示出|PQ|AQ|，利用基本不等式得出答案．
【详解】
过点M作△ABC的三边的垂线，设⊙M的半径为r，则r2，
以AB，BC所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，
如图所示，则M（2，2），A（0，8），
因为A在平面BCM的射影在直线BC上，所以直线l必存在斜率，
过A作AQ⊥l，垂足为Q，交直线BC于P，
设直线l的方程为：y＝k（x﹣2）+2，则|AQ|，
又直线AQ的方程为：yx+8，则P（8k，0），所以|AP|8，
所以|PQ|＝|AP|﹣|AQ|＝8，
所以，
①当k＞﹣3时，4（k+3）25≥825，
当且仅当4（k+3），即k3时取等号；
②当k＜﹣3时，则4（k+3）23≥823，
当且仅当﹣4（k+3），即k3时取等号.
故答案为：825

本题考查了考查空间距离的计算，考查基本不等式的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
12、
【解析】
通过令求出数列的前几项，猜测是以为周期的周期数列，且每个周期内都是以为首项，2为公比的等比数列．然后根据递推式给予证明，最后由等比数列的前项和公式计算．
【详解】
当时，，，，，，，
当时，，，，，，，
当时，，，，，，，
猜测，是以为周期的周期数列，且每个周期内都是以为首项，2为公比的等比数列．
设 中，即，∴，由于都是正整数，所以，
所以数列中第项开始大于3，前项是以为首项，2为公比的等比数列．
，
所以是以为周期的周期数列，
所以．
故答案为：．
本题考查等比数列的前项和，考查数列的周期性．解题关键是确定数列的周期性．方法采取的是从特殊到一般，猜想与证明．
13、
【解析】
所求的等比中项为： .
14、
【解析】
由题意利用两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，可得，再利用基本不等式，求得的最大值．
【详解】
向量，，若向量，共线，
则，，即，
当且仅当，时，取等号．
故的最大值为，
故答案为：．
本题主要考查两个向量共线的性质，考查两个向量坐标形式的运算和基本不等式，属于基础题．
15、4
【解析】

故答案为：4
本题主要考查向量的位置关系，考查向量模的运算的处理方法.由于三个向量两两所成的角相等，故它们两两的夹角为，由于它们的模都是已知的，故它们两两的数量积也可以求出来，对后平方再开方，就可以计算出最后结果.
16、
【解析】
利用反函数的运算法则，定义及其性质，求解即可．
【详解】
由，得
所以，又因为，所以.
故答案为：
本题考查反余弦函数的运算法则，反函数的定义域，考查学生计算能力，属于基础题．

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、 (1) ；(2) （i） （ii）面积最大值为，直线的方程为.
【解析】
（1）根据题意列出方程求解即可
（2）联立直线与圆的方程，得出P、Q、H三点坐标，表示出QH直线方程，采用点到直线距离公式求解；利用圆的几何关系，表示出三角形的底和高，再结合函数最值问题进行求解
【详解】
（1）由及两点距离公式，
有，
化简整理得，．
所以曲线C的方程为；
（2）（i）设直线l的方程为；
将直线l的方程与圆C的方程联立，消去y，
得（，解得
因此，，，
所以直线QH的方程为．
到直线QH的距离，
当时．，所以，
（ii）过O作于D，则D为QR中点，且由（i）知，
，，
又由，故的面积，
由，有，所以，
当且仅当时，等号成立，且此时由i）有，即.
综上，的面积最大值为的面积最大值为，且当面积最大时直线的方程为.
直线与圆的综合类题型常采用点到直线距离公式、圆内构造的直角三角形，将代数问题与几何问题进行有效结合，可大大降低解题难度.
18、（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）利用正弦定理，三角函数恒等变换，可得 ，结合范围，可求的值．
（Ⅱ）方法1：由余弦定理，基本不等式可得，利用三角形的面积公式即可求解；方法2：由正弦定理可得，，并将其代入可得，然后再化简，根据正弦函数的图象和性质即可求得面积的最大值．
【详解】
解：（I）因为，
由正弦定理可得：，
所以
所以，
即 ，
，所以，
可得：
，所以，
所以，可得：
（II）方法1：由余弦定理得：，
得， 所以
当且仅当时取等号，

所以△ABC面积的最大值为
方法2：因为，
所以，，
所以，
所以，
当且仅当，即，当时取等号.
所以△ABC面积的最大值为.
本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，余弦定理，基本不等式，三角形的面积公式，正弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
19、（I）；（II）见解析；（III）的最大值为1
【解析】
（I）直接令中的n=1即得的值；（II）由题得时，，化简即得证；（III）用累加法可得：，再利用项和公式求得再求的范围得解.
【详解】
（I）
（II）因为，
所以时，，
化简得：；
（III）因为，
用累加法可得：，
由，得，
当时，上式也成立,因为，
则，所以是单调递减数列，
所以，又因为，所以，即，的最大值为1.
本题主要考查项和公式求数列的通项，考查数列的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
20、（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）利用平面向量的数量积的运算法则化简，进而求出向量与的夹角；
（Ⅱ）利用，对其化简，代入数值，即可求出结果．
【详解】
解：（Ⅰ）由得
因

向量与的夹角为
（Ⅱ）
本题考查平面向量的数量积的应用，以及平面向量的夹角以及平面向量的模的求法，考查计算能力．
21、 (1) (2)
【解析】
（1）将展开得到答案.
（2），平方计算得到答案.
【详解】
解：（1）因为
所以，，
所以，，
又夹角在上，∴；
（2）因为，
所以，，
所以，边的长度为.
本题考查了向量的夹角，向量的加减计算，意在考查学生的计算能力.