广西2025届高一下数学期末学业质量监测试题含解析.doc

广西2025届高一下数学期末学业质量监测试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
2．如图，网格纸的小正方形的边长是，在其上用粗实线和粗虚线画出了某几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ）

A． B． C． D．
3．若直线与直线平行，则的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．0
4．已知200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，时速在的汽车辆数为()

A．8 B．80 C．65 D．70
5．要得到函数的图像，只需将函数的图像（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
6．中，已知，则角（ ）
A．90° B．105° C．120° D．135°
7．如图是某体育比赛现场上评委为某位选手打出的分数的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分，所剩数据的平均数和方差分别是( )

A．5和1.6 B．85和1.6 C．85和0.4 D．5和0.4
8．已知，则满足的关系式是
A．，且 B．，且
C．，且 D．，且
9．已知函数向左平移个单位长度后，其图象关于轴对称，则的最小值为( )
A． B． C． D．
10．在公比为2的等比数列中，，则等于（ ）
A．4 B．8 C．12 D．24
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知一个铁球的体积为，则该铁球的表面积为________.
12．函数，的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是_____.
13．在等腰中，为底边的中点，为的中点，直线与边交于点，若，则___________．
14．已知数列{an}的前n项和为Sn，满足：a2＝2a1，且Sn＝+1（n≥2），则数列{an}的通项公式为_______．
15．________.
16．=__________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知的外接圆的半径为，内角，，的对边分别为，，，又向量，，且.
（1）求角；
（2）求三角形的面积的最大值并求此时的周长.
18．已知正方形的中心为,一条边所在直线的方程是.
(1)求该正方形中与直线平行的另一边所在直线的方程;
(2)求该正方形中与直线垂直的一边所在直线的方程.
19．化简：
（1）；
（2）.
20．在“新零售”模式的背景下，某大型零售公司推广线下分店，计划在S市的A区开设分店，为了确定在该区开设分店的个数，该公司对该市已开设分店的其他区的数据作了初步处理后得到下列表格.记x表示在各区开设分店的个数，y表示这个x个分店的年收入之和.

(1)该公司已经过初步判断，可用线性回归模型拟合y与x的关系，求y关于x的线性回归方程
(2)假设该公司在A区获得的总年利润z(单位:百万元)与x，y之间的关系为，请结合(1)中的线性回归方程，估算该公司应在A区开设多少个分店时，才能使A区平均每个分店的年利润最大?
(参考公式:，其中，)
21．（1）己知直线，求与直线l平行且到直线l距离为2的直线方程；
（2）若关于x的不等式的解集是的子集，求实数a的取值范围.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】

．
2、A
【解析】
根据三视图，还原空间结构体，根据空间结构体的特征及球、棱锥的体积公式求得总体积．
【详解】
根据空间结构体的三视图，得原空间结构体如下图所示：

该几何体是由下面半球的和上面四棱锥的组成
由三视图的棱长及半径关系，可得几何体的体积为

所以选A
本题考查了三视图的简单应用，空间结构体的体积求法，属于中档题．
3、B
【解析】
两直线平行表示斜率相同或者都垂直x轴，即。
【详解】
当时，两直线分别为：与直线，不平行，
当时，
直线化为：
直线化为：,
两直线平行，所以，，
解得：，
当时，两直线重合，不符，
所以，
直线平行即表示斜率相同，且截距不同，如果截距相同则表示同一条直线。
4、B
【解析】
先计算时速在的汽车频率，再乘200,。
【详解】
由图知：时速在的汽车频率为
所以时速在的汽车辆数为，选B.
本题考查频率分布直方图，属于基础题。
5、C
解析】
先化简得，再利用三角函数图像变换的知识得解.
【详解】
因为，
所以要得到函数的图像，只需将函数的图像向左平移个单位长度．
故选：C
本题主要考查三角函数的图像的变换，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.
6、C
【解析】
由诱导公式和两角差的正弦公式化简已知不等式可求得关系，求出后即可求得．
【详解】
，
∴，是三角形内角，，，则
由得，∴，从而．
故选：C.
本题考查两角差的正弦公式和诱导公式，考查正弦函数性质．已知三角函数值只要确定了角的范围就可求角．
7、B
【解析】
去掉最低分分，最高分分，利用平均数的计算公式求得，利用方差公式求得
【详解】
去掉最低分分，最高分分，得到数据，
该组数据的平均数，
.
本题考查从茎叶图中提取信息，并对数据进行加工和处理，考查基本的运算求解和读图的能力.
8、B
【解析】
根据对数函数的性质判断．
【详解】
∵，∴，
∵，∴，又，∴，
故选B．
本题考查对数函数的性质，掌握对数函数的单调性是解题关键．
9、A
【解析】
根据函数的图象变换规律，三角函数的图象关于轴对称,即为偶函数.，求得的最小值．
【详解】
把函数向左平移个单位长度后.
可得的图象.
再根据所得图象关于轴对称,即为偶函数.
所以
即，
当时，的值最小.
所以的最小值为：
故选A
本题主要考查函数的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，属于基础题．
10、D
【解析】
由等比数列的性质可得，可求出，则答案可求解.
【详解】
等比数列的公比为2，
由，即，所以舍
所以
故选：D
本题考查等比数列的性质和通项公式的应用，属于基础题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、.
【解析】
通过球的体积求出球的半径，然后求出球的表面积.
【详解】
球的体积为 球的半径
球的表面积为：
故答案为：
本题考查球的表面积与体积的求法，考查计算能力，属于基础题.
12、
【解析】
作出其图像，可只有两个交点时k的范围为.
故答案为
13、；
【解析】
题中已知等腰中，为底边的中点，不妨于为轴，垂直平分线为轴建立直角坐标系，这样，我们能求出点坐标，根据直线与求出交点，求向量的数量积即可.
【详解】

如上图，建立直角坐标系，我们可以得出
直线，联立方程求出,
,即
填写
本题中因为已知底边及高的长度，所有我们建立直角坐标系，求出相应点坐标，而作为F点的坐标我们可以通过直线交点求出，把向量数量积通过向量坐标运算来的更加直观.
14、
【解析】
推导出a1＝1，a2＝2×1＝2，当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1，即，由此利用累乘法能求出数列{an}的通项公式．
【详解】
∵数列{an}的前n项和为Sn，满足：a2＝2a1，且Sn1（n≥2），
∴a2＝S2﹣S1＝a2+1﹣a1，
解得a1＝1，a2＝2×1＝2，
∴，解得a3＝4，
，解得a4＝6，
当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1，即，
∴n≥2时，22n﹣2，
∴数列{an}的通项公式为．
故答案为：．
本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的通项公式与前n项和公式的关系，考查运算求解能力，分类讨论是本题的易错点，是基础题．
15、
【解析】
直接利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，即可得到结果．
【详解】
．
故答案为：.
本题考查两角和与差的余弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力．
16、2
【解析】
由对数的运算性质可得到，故答案为2.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、 (1) . (2) ，周长为.
【解析】
（1）由，利用坐标表示化简，结合余弦定理求角C（2）利用（1）中，应用正弦定理和基本不等式，即可求出面积的最大值，此时三角形为正三角即可求周长.
【详解】
（1）∵，
∴，
且，由正弦定理得：，
化简得：.
由余弦定理：，∴，
∵，∴.
（2）∵，
∴（当且仅当时取“”）
，
所以，，此时，为正三角形，此时三角形的周长为.
本题主要考查了利用数量积判断两个平面向量的垂直关系，正弦定理，余弦定理，基本不等式，属于中档题.
18、 (1);(2)或.
【解析】
（1）由直线平行则斜率相等，设出所求直线方程，利用M点到两直线距离相等求解；
（2）由直线垂直则斜率乘积为-1，设出所求直线，利用M点到两直线距离相等求解.
【详解】
（1）设与直线平行的另一边所在直线方程为
，
则，
解得，或(舍).
所以与直线平行的正方形的另一边所在直线的方程为.
（2）设与直线垂直的正方形的边所在直线方程为
，
则，
解得，或.
所以与直线垂直的正方形的边所在的直线方程为或.
本题考查直线平行或垂直与斜率的关系，以及点到直线的距离公式，属直线方程求解基础题.
19、（1）（2）
【解析】
（1）中可将“1”转化成，即可求解；
（2）结合诱导公式化简，再结合和角公式化简
【详解】
（1）
（2）

本题考查三角函数的化简求值，合理运用公式化简，熟悉基本的和差角公式和诱导公式是解题关键，属于中档题
20、 (1);(2)该公司应开设4个分店时，在该区的每个分店的平均利润最大
【解析】
（1）由表中数据先求得.再结合公式分别求得,即可得y关于x的线性回归方程.
（2）将（1）中所得结果代入中,进而表示出每个分店的平均利润,结合基本不等式即可求得最值及取最值时自变量的值.
【详解】
（1）由表中数据和参考数据得:
,,
因而可得,,
再代入公式计算可知,
∴,
∴.
（2）由题意,可知总收入的预报值与x之间的关系为:,
设该区每个分店的平均利润为t,则,
故t的预报值与x之间的关系为,
当且仅当时取等号,即或（舍）
则当时,取到最大值,
故该公司应开设4个分店时,在该区的每个分店的平均利润最大.
本题考查了线性回归方程的求法,基本不等式求函数的最值及等号成立的条件,属于基础题.
21、（1）或；（2）
【解析】
（1）根据两直线平行，设所求直线为，利用两平行线间的距离公式，求出的值，从而得到答案；
（2）解一元二次不等式，然后按，，进行分类讨论，得到答案.
【详解】
（1）设与直线平行的直线方程为，
所以两平行线间的距离为，
解得或，
所以所求直线方程为或.
（2）解关于x的不等式，
可化为，
①当时候，解集为，
要使是的子集，所以，
所以得到，
②当时，解集为，
满足解集是的子集，符合题意，
③当时，解集为，
此时解集不是的子集，不符合题意.
综上所述，的取值范围为.
本题考查根据平行求直线方程，根据平行线间的距离求参数，根据集合的包含关系求参数的范围，属于中档题.