2025届山东省淄博市第七中学数学高一下期末联考试题含解析.doc

2025届山东省淄博市第七中学数学高一下期末联考试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知函数在上是x的减函数，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．函数在上的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
3．已知函数()的最小正周期为，则该函数的图象( )
A．关于直线对称 B．关于直线对称
C．关于点对称 D．关于点对称
4．如果a＜b＜0，则下列不等式成立的是（）
A． B．a2＜b2 C．a3＜b3 D．ac2＜bc2
5．为比较甲、乙两名篮球运动员的近期竞技状态，选取这两名球员最近五场比赛的得分制成如图所示的茎叶图，有以下结论：

①甲最近五场比赛得分的中位数高于乙最近五场比赛得分的中位数；②甲最近五场比赛得分平均数低于乙最近五场比赛得分的平均数；③从最近五场比赛的得分看，乙比甲更稳定；④从最近五场比赛的得分看，甲比乙更稳定．其中所有正确结论的编号为：（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
6．已知中，，，，则B等于（　　）
A． B．或 C． D．或
7．在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积为，则BC的长为( )．
A． B．2 C． D．
8．已知直三棱柱的所有顶点都在球0的表面上,,,则=( )
A．1 B．2 C． D．4
9．已知变量，满足约束条件则取最大值为（ ）
A． B． C．1 D．2
10．已知，，，则 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知数列是等差数列，若，，则________．
12．已知角的终边经过点，则的值为__________．
13．若、为单位向量，且，则向量、的夹角为_______.（用反三角函数值表示）
14．把“五进制”数转化为“十进制”数是_____________
15．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则________.
16．若，则= .
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．据说伟大的阿基米德逝世后，敌军将领马塞拉斯给他建了一块墓碑，在墓碑上刻了一个如图所示的图案，图案中球的直径、圆柱底面的直径和圆柱的高相等，圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的下底面．

（1）试计算出图案中球与圆柱的体积比；
（2）假设球半径．试计算出图案中圆锥的体积和表面积.
18．已知数列的递推公式为．
（1）求证：数列为等比数列；
（2）求数列的通项公式．
19．交通指数是指交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念性指数值，记交通指数为，其范围为，分别有五个级别：，畅通；，基本畅通；，轻度拥堵；，中度拥堵；，严重拥堵.在晚高峰时段（），从某市交通指挥中心选取了市区20个交通路段，依据其交通指数数据绘制的频率分布直方图如图所示.

(1)求出轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段的个数；
(2)用分层抽样的方法从轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段中共抽取6个路段，求依次抽取的三个级别路段的个数；
(3)从(2)中抽取的6个路段中任取2个，求至少有1个路段为轻度拥堵的概率.
20．若是的一个内角，且，求的值.
21．已知公差大于零的等差数列满足：．
（1）求数列通项公式；
（2）记，求数列的前项和．
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】
由复合函数单调性及函数的定义域得不等关系．
【详解】
由题意，解得．
故选：C．
本题考查对数型复合函数的单调性，解题时要注意对数函数的定义域．
2、A
【解析】
利用函数的奇偶性和函数图像上的特殊点，对选项进行排除，由此得出正确选项.
【详解】
由于，所以函数为奇函数，图像关于原点对称，排除C选项.由于，所以排除D选项.由于，所以排除B选项.
故选：A.
本小题主要考查函数图像的识别，考查函数的奇偶性、特殊点，属于基础题.
3、D
【解析】
∵函数()的最小正周期为，∴，，
令，，，，显然A，B错误；
令，可得：，，显然时，D正确
故选D
4、C
【解析】
根据a、b的范围，取特殊值带入判断即可．
【详解】
∵a＜b＜0，
不妨令a＝﹣2，b＝﹣1，则，a2>b2
所以A、B不成立，当c=0时，ac2=bc2所以D不成立，
故选：C．
本题考查了不等式的性质，考查特殊值法进行排除的应用，属于基础题．
5、C
【解析】
根据中位数，平均数，方差的概念计算比较可得．
【详解】
甲的中位数为29，乙的中位数为30，故①不正确；
甲的平均数为29，乙的平均数为30，故②正确；
从比分来看，乙的高分集中度比甲的高分集中度高，故③正确，④不正确．
故选C．
本题考查了茎叶图，属基础题．平均数即为几个数加到一起除以数据的个数得到的结果.
6、D
【解析】
根据题意和正弦定理求出sinB的值，由边角关系、内角的范围、特殊角的三角函数值求出B．
【详解】
由题意得，△ABC中，a＝1，，A＝30°，
由得，sinB，
又b＞a，0°＜B＜180°，
则B＝60°或B＝120°，
故选：D．
本题考查正弦定理，以及边角关系的应用，注意内角的范围，属于基础题．
7、D
【解析】
利用三角形面积公式列出关系式，把，已知面积代入求出的长，再利用余弦定理即可求出的长．
【详解】
∵在中，，且的面积为，
∴，
解得： ，
由余弦定理得： ，
则．
故选D．
此题考查了余弦定理，三角形面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．
8、B
【解析】
由题得在底面的投影为的外心，故为的中点，再利用数量积计算得解.
【详解】
依题意，在底面的投影为的外心，
因为，故为的中点，
，

故选B．
本题主要考查平面向量的运算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.
9、C
【解析】
由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
【详解】
由约束条件作出可行域如图，当，即点，
化目标函数为，由图可知，当直线过时，
直线在轴上的截距最小，有最大值为．
故选：C．

本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，属于中档题．
10、B
【解析】
根据对数函数的单调性可知都大于1，把化成后可得的大小，从而可得的大小关系.
【详解】
因为及都是上的增函数，故
，，
又，故，选B
对数的大小比较，可通过寻找合适的单调函数来构建大小关系，如果底数不统一，可以利用对数的运算性质统一底数.不同类型的数比较大小，应找一个中间数，通过它实现大小关系的传递.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
求出公差，利用通项公式即可求解.
【详解】
设公差为，则
所以
故答案为：
本题主要考查了等差数列基本量的计算，属于基础题.
12、
【解析】
按三角函数的定义，有.
13、.
【解析】
设向量、的夹角为，利用平面向量数量积的运算律与定义计算出的值，利用反三角函数可求出的值.
【详解】
设向量、的夹角为，
由平面向量数量积的运算律与定义得，，，因此，向量、的夹角为，故答案为.
本题考查利用平面向量的数量积计算平面向量所成的夹角，解题的关键就是利用平面向量数量积的定义和运算律，考查运算求解能力，属于中等题.
14、194
【解析】
由.
故答案为：194.
15、
【解析】
根据奇偶性，先计算，再计算
【详解】
因为是定义在上的奇函数，所以.
因为当时，
所以.
故答案为
本题考查了奇函数的性质，属于常考题型.
16、
【解析】
.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）圆锥体积，表面积
【解析】
1）由球的半径可知圆柱底面半径和高，代入球和圆柱的体积公式求得体积，作比得到结果；（2）由球的半径可得圆锥底面半径和高，从而可求解出圆锥母线长，代入圆锥体积和表面积公式可求得结果.
【详解】
（1）设球的半径为，则圆柱底面半径为，高为
球的体积；圆柱的体积
球与圆柱的体积比为：
（2）由题意可知：圆锥底面半径为，高为
圆锥的母线长：
圆锥体积：
圆锥表面积：
本题考查空间几何体的表面积和体积求解问题，考查学生对于体积和表面积公式的掌握，属于基础题.
18、（1）证明见解析；（2）.
【解析】
（1）直接利用数列的递推关系式证明结论；
（2）由（1）可求出数列的通项公式，进而得到的通项公式．
【详解】
（1）∵数列{an}的首项a1＝2，且，
∴an+1+＝3（an+）， 即
∴是首项为，公比为3的等比数列；
（2）由（1）可得a1+＝，∴，
∴数列的通项公式.
本题考查等比数列的证明考查了等比数列的通项公式，属于中档题.
19、（1）轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段的个数分别为6，9，3；（2）从交通指数在[4,6)，[6,8)，[8,10]的路段中分别抽取的个数为2,3,1；（3）
【解析】
（1）根据在频率分布直方图中，小长方形的面积表示各组的频率，可以求出频率，再根据频数等于频率乘以样本容量，求出频数；
（2）根据（1）求出拥堵路段的个数，求出每层之间的占有比例，然后求出每层的个数；
（3）先求出从(2)中抽取的6个路段中任取2个，有多少种可能情况，然后求出至少有1个路段为轻度拥堵有多少种可能情况，根据古典概型概率公式求出.
【详解】
(1)由频率分布直方图得，这20个交通路段中，
轻度拥堵的路段有(0.1＋0.2)×1×20＝6(个)，
中度拥堵的路段有(0.25＋0.2)×1×20＝9(个)，
严重拥堵的路段有(0.1＋0.05)×1×20＝3(个).
(2)由(1)知，拥堵路段共有6＋9＋3＝18(个)，按分层抽样，从18个路段抽取6个，则抽取的三个级别路段的个数分别为，，，即从交通指数在[4,6)，[6,8)，[8,10]的路段中分别抽取的个数为2,3,1.
(3)记抽取的2个轻度拥堵路段为，，抽取的3个中度拥堵路段为，，，抽取的1个严重拥堵路段为，则从这6个路段中抽取2个路段的所有可能情况为：
，共15种，其中至少有1个路段为轻度拥堵的情况为：
，共9种.
所以所抽取的2个路段中至少有1个路段为轻度拥堵的概率为.
本题考查了频率直方图的应用、分层抽样、古典概型概率的求法.解决本题的关键是对频率直方图所表示的意义要了解，分层抽样的原则要知道，要能识别古典概型.
20、
【解析】
本题首先可根据是的一个内角以及得出和，然后对进行平方并化简可得，最后结合即可得出结果．
【详解】
因为是的一个内角，所以，，
因为，所以，，
所以，
所以．
本题考查同角三角函数关系的应用，考查的公式为，在运算的过程中一定要注意角的取值范围，考查推理能力，是简单题．
21、 (1) (2)
【解析】
（1）由题可计算得，求出公差，进而求出通项公式
（2）利用等差数列和等比数列的求和公式计算即可。
【详解】
解：（1）由公差及，解得，
所以，所以通项
（2）由（1）有，
所以数列的前项和．
本题考查等差数列的通项公式以及等差数列和等比数列的求和公式，属于简单题。