2024-2025学年安徽省滨湖寿春中学数学高一第二学期期末质量检测试题含解析.doc

2024-2025学年安徽省滨湖寿春中学数学高一第二学期期末质量检测试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）

A． B． C． D．
2．在正方体中，分别是线段的中点，则下列判断错误的是（ ）
A．与垂直 B．与垂直
C．与平行 D．与平行
3．定义运算:.若不等式的解集是空集，则实数的取值范围是( )
A． B．
C． D．
4．下图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则和的值分别为

A．5，5 B．3，5 C．3，7 D．5，7
5．已知甲，乙，丙三人去参加某公司面试，他们被该公司录取的概率分别是，，，且三人录取结果相互之间没有影响，则他们三人中至少有一人被录取的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．已知等比数列的前项和为，，，则（ ）
A．31 B．15 C．8 D．7
7．在中，是的中点，，，相交于点，若，，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．下列函数，是偶函数的为（ ）
A． B． C． D．
9．在中，若，则的面积为( ).
A．8 B．2 C． D．4
10．已知函数，其图像相邻的两个对称中心之间的距离为，且有一条对称轴为直线，则下列判断正确的是 （ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数的图象关于直线对称
C．函数在区间上单调递增
D．函数的图像关于点对称
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知三点A(1,0)，B(0，)，C(2，)，则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为________．
12．若数列的前项和为，则该数列的通项公式为______.
13．由于坚持经济改革，我国国民经济继续保持了较稳定的增长.某厂2019年的产值是100万元，计划每年产值都比上一年增加，从2019年到2022年的总产值为______万元（精确到万元）.
14．记，则函数的最小值为__________．
15．如图，已知扇形和，为的中点.若扇形的面积为1，则扇形的面积为______.

16．设a＞1,b＞1． 若关于x,y的方程组无解，则的取值范围是 ．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．一只红铃虫的产卵数和温度有关，现收集了4组观测数据列于下表中，根据数据作出散点图如下：
温度
20
25
30
35
产卵数/个
5
20
100
325

（1）根据散点图判断与哪一个更适宜作为产卵数关于温度的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程（数字保留2位小数）；
（3）要使得产卵数不超过50，则温度控制在多少以下？（最后结果保留到整数）
参考数据：，，，，，，，，，，

5
20
100
325

1.61
3
4.61
5.78

18．设等差数列中，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若等比数列满足，求数列的前项和.
19．已知向量.
(1)当时，求的值；
(2)设函数，当时，求的值域.
20．已知正项数列，满足：对任意正整数，都有，，成等差数列，，，成等比数列，且，．
（Ⅰ）求证：数列是等差数列；
（Ⅱ）求数列，的通项公式；
（Ⅲ）设=++…+，如果对任意的正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围．
21．已知函数为奇函数，且．
（1）求实数a与b的值；
（2）若函数，数列为正项数列，，且当，时，，设（），记数列和的前项和分别为，且对有恒成立，求实数的取值范围.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】

根据三视图可知几何体是组合体：上面是半个圆锥（高为圆柱的一半），下面是半个圆柱，其中圆锥底面半径是，高是，圆柱的底面半径是，母线长是，所以该几何体的体积，故选B.
【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.
2、D
【解析】
利用数形结合，逐一判断，可得结果.
【详解】
如图

由分别是线段的中点
所以//
A选项正确，
因为，所以
B选项正确，
由，所以
C选项正确
D选项错误，
由//，而与相交，
所以可知，异面
故选：D
本题主要考查空间中直线与直线的位置关系，属基础题.
3、B
【解析】
根据定义可得的解集是空集，即恒成立，再对分类讨论可得结果.
【详解】
由题意得的解集是空集，
即恒成立.
当时，不等式即为，不等式恒成立；
当时，若不等式恒成立，则即解得.
综上可知:.
故选：B

本题考查了二次不等式的恒成立问题，考查了分类讨论思想，属于基础题.
4、B
【解析】
利用茎叶图、中位数、平均数的性质直接求解．
【详解】
由茎叶图得：
∵甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）若这两组数据的中位数相等，
∴65＝60+y，解得y＝5，
∵平均值也相等，
∴，
解得x＝1．
故选B．
本题考查实数值的求法，考查茎叶图、中位数、平均数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5、B
【解析】
由题意，可先求得三个人都没有被录取的概率，接下来求至少有一人被录取的概率，利用对立事件的概率公式，求得结果.
【详解】
甲、乙、丙三人都没有被录取的概率为，
所以三人中至少有一人被录取的概率为，
故选B.
该题考查的是有关概率的求解问题，关键是掌握对立事件的概率加法公式，求得结果.
6、B
【解析】
利用基本元的思想，将已知条件转化为的形式，由此求得，进而求得.
【详解】
由于数列是等比数列，故，由于，故解得，所以.
故选：B.
本小题主要考查等比数列通项公式的基本量的计算，考查等比数列前项和公式，属于基础题.
7、D
【解析】
由题意知，

所以，解得，所以，故选D.
8、B
【解析】
逐项判断各项的定义域是否关于原点对称，再判断是否满足即可得解.
【详解】
易知各选项的定义域均关于原点对称
，故A错误；
，故B正确；
，故C错误；
，故D错误.
故选：B.
本题考查了诱导公式的应用和函数奇偶性的判断，属于基础题.
9、C
【解析】
由正弦定理结合已知，可以得到的关系，再根据余弦定理结合
，可以求出的值，再利用三角形面积公式求出三角形的面积即可.
【详解】
由正弦定理可知：，而，所以有，由余弦定理可知：，所以，
因此的面积为，故本题选C.
本题考查了正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，考查了数学运算能力.
10、C
【解析】
本题首先可根据相邻的两个对称中心之间的距离为来确定的值，然后根据直线是对称轴以及即可确定的值，解出函数的解析式之后，通过三角函数的性质求出最小正周期、对称轴、单调递增区间以及对称中心，即可得出结果．
【详解】
图像相邻的两个对称中心之间的距离为，即函数的周期为，由得，所以，又是一条对称轴，所以，，得，又，得，所以.
最小正周期，项错误；
令，，得对称轴方程为，，选项错误；
由，，得单调递增区间为，，项中的区间对应，故正确；
由，，得对称中心的坐标为，，选项错误，
综上所述，故选C．
本题考查根据三角函数图像性质来求三角函数解析式以及根据三角函数解析式得出三角函数的相关性质，考查对函数的相关性质的理解，考查推理能力，是中档题．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
求出的垂直平分线方程，两垂直平分线交点为外接圆圆心．再由两点间距离公式计算．
【详解】
由点B(0，)，C(2，)，得线段BC的垂直平分线方程为x＝1，①
由点A(1,0)，B(0，)，得线段AB的垂直平分线方程为
②
联立①②，解得△ABC外接圆的圆心坐标为，
其到原点的距离为 .
故答案为：
本题考查三角形外接圆圆心坐标，外心是三角形三条边的中垂线的交点，到三顶点距离相等．
12、
【解析】
由，可得出，再令，可计算出，然后检验是否满足在时的表达式，由此可得出数列的通项公式.
【详解】
由题意可知，当时，；
当时，.
又不满足.
因此，.
故答案为
本题考查利用求，一般利用来计算，但要对是否满足进行检验，考查运算求解能力，属于中等题.
13、464
【解析】
根据等比数列求和公式求解
【详解】
由题意得从2019年到2022年各年产值构成以100 为首项，1.1为公比的等比数列，其和为
本题考查等比数列应用以及等比数列求和公式，考查基本分析求解能力，属基础题
14、4
【解析】
利用求解.
【详解】

，当时，等号成立.
故答案为：4
本题主要考查绝对值不等式求最值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.
15、1
【解析】
设，在扇形中，利用扇形的面积公式可求，根据已知，在扇形中，利用扇形的面积公式即可计算得解．
【详解】
解：设，
扇形的面积为1，即：，
解得：，
为的中点，，
在扇形中，．
故答案为：1．
本题主要考查了扇形的面积公式的应用，考查了数形结合思想和转化思想，属于基础题．
16、
【解析】
试题分析：方程组无解等价于直线与直线平行，所以且．又，为正数，所以（），即取值范围是．
考点：方程组的思想以及基本不等式的应用．

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（I）选择更适宜作为产卵数关于温度的回归方程类型； （II）； （III）要使得产卵数不超过50，则温度控制在 以下.
【解析】
（I）由于散点图类似指数函数的图像，由此选择.（II）对；两边取以为底底而得对数，将非线性回归的问题转化为线性回归的问题，利用回归直线方程的计算公式计算出回归直线方程，进而化简为回归曲线方程.（III）令，解指数不等式求得温度的控制范围.
【详解】
（I）依散点图可知，选择更适宜作为产卵数关于温度的回归方程类型。
（II）因为，令，
所以与可看成线性回归
，
，
所以，

所以，
即，
（III）由即，

解得，
要使得产卵数不超过50，则温度控制在 以下。
本小题主要考查散点图的判断，考查非线性回归的求解方法，考查线性归回直线方程的计算公式，考查了利用回归方程进行预测.属于中档题.解题的关键点有两个，首先是根据散点图选择出恰当的回归方程，其次是要将非线性回归的问题，转化为线性回归来求解.
18、（1）（2）
【解析】
（1）求出公差，由公式得通项公式；
（2）由（1）求出，计算公比，再由等比数列前项和公式得和．
【详解】
（1）在等差数列中，，故设的公差为，
则，即，所以，
所以.
（2）设数列的公比为，则，
所以.
本题考查等差数列与等比数列的基本量法．求出数列的首项和公差（或公比），则数列的通项公式与前项和随之而定．
19、 (1)-7， (2)
【解析】
试题分析：(1)由向量共线得到等量关系，求出角的正切值，再利用两角差正切公式求解：(2)先根据向量数量积，利用二倍角公式及配角公式得到三角函数关系式，再从角出发研究基本三角函数范围：
试题解析：(1), 3分
6分
(2)8分
11分
，的值域为14分
考点：向量平行坐标表示，三角函数性质
20、（Ⅰ）见解析；（Ⅱ），；（Ⅲ）a≤1
【解析】
（Ⅰ）由已知得，
即， 由2b1=a1+a2=25，得b1=， 由a22=b1b2，得b2=18，
∴{}是以为首项，为公差的等差数列.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
∴，
因为，，成等比数列
所以.
Ⅲ）由（Ⅱ）知，
原式化为，
即f（n）=恒成立，
当a–1＞0即a＞1时，不合题意；
当a–1=0即a=1时，满足题意；
当a–1＜0即a＜1时，f（n）的对称轴为，f（n）单调递减，
∴只需f（1）=4a–15＜0，可得a＜，∴a＜1；
综上，a≤1.
21、（1）；（2）
【解析】
（1）根据函数奇偶性得到，再由，得;（2），将原式化简得到，进而得到，数列的前项和，，原恒成立问题转化为对恒成立，对n分奇偶得到最值即可.
【详解】
（1）因为为奇函数，，
得，又，得.
（2）由（1）知，得，又
，
化简得到：，又，所以，又，
故，则数列的前项和；
又，则数列的前项和为
，
对恒成立对恒成立
对恒成立，令，则
当为奇数时，原不等式对恒成立
对恒成立，又函数在上单增，故
有；
当为偶数时，原不等式对恒成立
对恒成立，又函数在上单增，故
有.
综上得.
这个题目考查了函数的奇偶性的应用以及数列通项公式的求法，数列前n项和的求法，还涉及不等式恒成立的问题，属于综合性较强的题目，数列中最值的求解方法如下：1．邻项比较法，求数列的最大值，可通过解不等式组 求得的取值范围；求数列的最小值，可通过解不等式组 求得的取值范围；2．数形结合，数列是一特殊的函数，分析通项公式对应函数的特点，借助函数的图像即可求解；3．单调性法，数列作为特殊的函数，可通过函数的单调性研究数列的单调性，必须注意的是数列对应的是孤立的点，这与连续函数的单调性有所不同；也可以通过差值的正负确定数列的单调性．