2025年江苏省常州市“教学研究合作联盟”高一下数学期末复习检测模拟试题含解析.doc

2025年江苏省常州市“教学研究合作联盟”高一下数学期末复习检测模拟试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知函数（其中），对任意实数a，在区间上要使函数值出现的次数不少于4次且不多于8次，则k值为（ ）
A．2或3 B．4或3 C．5或6 D．8或7
2．若，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
3．已知的三个内角所对的边为，面积为，且，则等于（ ）
A． B． C． D．
4．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（ ）

A．54 B． C．90 D．81
5．图1是我国古代数学家赵爽创制的一幅“勾股圆方图”（又称“赵爽弦图”)，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形.受其启发，某同学设计了一个图形，它是由三个全等的钝角三角形与中间一个小正三角形拼成一个大正三角形，如图2所示，若，，则线段的长为（ )

A．3 B．3.5 C．4 D．4.5
6．已知各项为正数的等比数列中，，，则公比q＝
A．4 B．3 C．2 D．
7．在中，角，，所对的边分别为，，，则下列命题中正确命题的个数为( )
①若,则；
②若，则为钝角三角形；
③若，则．
A．1 B．2 C．3 D．0
8．设，，，则（ ）
A． B．
C． D．
9．直线与直线平行，则（ ）
A． B．或 C． D．或
10．已知函数，则（ ）
A．2 B．-2 C．1 D．-1
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．七位评委为某跳水运动员打出的分数的茎叶图如图，其中位数为_______.

12．已知点在直线上，则的最小值为__________.
13．若，，，则M与N的大小关系为___________．
14．函数在上是减函数，则的取值范围是________.
15．若数列满足，，则数列的通项公式______．
16．函数的反函数为____________．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．泉州与福州两地相距约200千米，一辆货车从泉州匀速行驶到福州，规定速度不得超过千米/时，已知货车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度千米/时的平方成正比，比例系数为0.01；固定部分为64元.
（1）把全程运输成本元表示为速度千米/时的函数，并指出这个函数的定义域；
（2）为了使全程运输成本最小，货车应以多大速度行驶？
18．设向量.
（1）当时，求的值；
（2）若，且，求的值.
19．已知．
（I）若函数有三个零点，求实数的值；
（II）若对任意，均有恒成立，求实数的取值范围．
20．已知向量，的夹角为120°，且||＝2，||＝3，设32，2．
（Ⅰ）若⊥，求实数k的值；
（Ⅱ）当k＝0时，求与的夹角θ的大小．
21．若
（1）化简；
（2）求函数的单调递增区间.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】
根据题意先表示出函数的周期，然后根据函数值出现的次数不少于4次且不多于8次，得到周期的范围，从而得到关于的不等式，从而得到的范围，结合，得到答案.
【详解】
函数，
所以可得，
因为在区间上，函数值出现的次数不少于4次且不多于8次，
所以得
即与的图像在区间上的交点个数大于等于4，小于等于8，
而与的图像在一个周期内有2个，
所以，即
解得，
又因，所以得或者，
故选：A.
本题考查正弦型函数的图像与性质，根据周期性求参数的值，函数与方程，属于中档题.
2、B
【解析】
，，，故选B.
3、C
【解析】
利用三角形面积公式可得，结合正弦定理及三角恒等变换知识可得，从而得到角A.
【详解】
∵
∴
即
∴
∴
∴，
∴（舍）
∴
故选C
此题考查了正弦定理、三角形面积公式，以及三角恒等变换，熟练掌握边角的转化是解本题的关键．
4、A
【解析】
由已知中的三视图可得：该几何体是一个以正方形为底面的斜四棱柱，进而得到答案．
【详解】
由三视图可知，该多面体是一个以正方形为底面的斜四棱柱，
四棱柱的底面是边长为3的正方形，四棱柱的高为6，
则该多面体的体积为.
故选：A.
本题考查三视图知识及几何体体积的计算根据三视图判断几何体的形状，再由几何体体积公式求解，属于简单题.
5、A
【解析】
设，可得，求得，在中，运用余弦定理，解方程可得所求值．
【详解】
设，可得，
且，
在中，可得，
即为，
化为，
解得舍去），
故选．
本题考查三角形的余弦定理，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
6、C
【解析】
由，利用等比数列的性质，结合各项为正数求出，从而可得结果.
【详解】
，，
，
，故选C.
本题主要考查等比数列的性质，以及等比数列基本量运算，意在考查灵活运用所学知识解决问题的能力，属于简单题.
7、C
【解析】
根据正弦定理和大角对大边判断①正确；利用余弦定理得到为钝角②正确；化简利用余弦定理得到③正确.
【详解】
①若,则；
根据，则 即，即，正确
②若，则为钝角三角形；
，为钝角，正确
③若，则

即，正确
故选C
本题考查了正弦定理和余弦定理，意在考查学生对于正弦定理和余弦定理的灵活运用.
8、B
【解析】
由指数函数的性质得，由对数函数的性质得，根据正切函数的性质得，即可求解，得到答案．
【详解】
由指数函数的性质，可得，由对数函数的性质可得，
根据正切函数的性质，可得，所以，故选B.
本题主要考查了指数式、对数式以及正切函数值的比较大小问题，其中解答中熟记指数函数与对数函数的性质，以及正切函数的性质得到的取值范围是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．
9、B
【解析】
两直线平行，斜率相等；按，和三类求解.
【详解】
当即时，
两直线为，，
两直线不平行，不符合题意；
当时，
两直线为 ，
两直线不平行，不符合题意；
当即时，
直线的斜率为 ，
直线的斜率为，
因为两直线平行，所以，
解得或，
故选B.
本题考查直线平行的斜率关系，注意斜率不存在和斜率为零的情况.
10、B
【解析】
根据分段函数的表达式，直接代入即可得到结论．
【详解】
由分段函数的表达式可知，
则，
故选：．
本题主要考查函数值的计算，根据分段函数的表达式求解是解决本题的关键，属于容易题．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、85
【解析】
按照茎叶图，将这组数据按照从小到大的顺序排列，找出中间的一个数即可.
【详解】
按照茎叶图，这组数据是79，83，84，85，87，92，93.
把这组数据按照从小到大的顺序排列，最中间一个是85.
所以中位数为85.
故答案为：85
本题考查对茎叶图的认识．考查中位数，属于基础题.
12、5
【解析】
由题得表示点到点的距离，再利用点到直线的距离求解.
【详解】
由题得表示点到点的距离.
又∵点在直线上，
∴的最小值等于点到直线的距离，
且.
本题主要考查点到两点间的距离和点到直线的距离的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
13、
【解析】
根据自变量的取值范围，利用作差法即可比较大小.
【详解】
，，，
所以

当时，
所以，
即，
故答案为：.
本题考查了作差法比较整式的大小，属于基础题.
14、
【解析】
根据二次函数的图象与性质，即可求得实数的取值范围，得到答案.
【详解】
由题意，函数表示开口向下，且对称轴方程为的抛物线，
当函数在上是减函数时，则满足，解得，
所以实数的取值范围.
故答案为：.
本题主要考查了二次函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记二次函数的图象与性质，列出相应的不等式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
15、
【解析】
在等式两边取倒数，可得出，然后利用等差数列的通项公式求出的通项公式，即可求出.
【详解】
，等式两边同时取倒数得，.
所以，数列是以为首项，以为公差的等差数列，.
因此，.
故答案为：.
本题考查利用倒数法求数列通项，同时也考查了等差数列的定义，考查计算能力，属于中等题.
16、
【解析】
由原函数的解析式解出自变量x的解析式，再把x 和y交换位置，即可得到结果.
【详解】
解：记
∴
故反函数为：
本题考查函数与反函数的定义，求反函数的方法和步骤，注意反函数的定义域是原函数的值域．

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）,；（2），货车应以千米/时速度行驶，货车应以千米/时速度行驶
【解析】
（1）先计算出从泉州匀速行驶到福州所用时间，然后乘以每小时的运输成本（可变部分加固定部分），由此求得全程运输成本，并根据速度限制求得定义域.
（2）由，，对进行分类讨论.当时，利用基本不等式求得行驶速度.当时，根据的单调性求得行驶速度.
【详解】
（1）依题意一辆货车从泉州匀速行驶到福州所用时间为小时，
全程运输成本为，
所求函数定义域为；
（2）当时，
故有，
当且仅当，即时，等号成立.
当时，
易证在上单调递减
故当千米/时，全程运输成本最小.
综上，为了使全程运输成本最小，，货车应以千米/时速度行驶，
货车应以千米/时速度行驶.
本小题主要考查函数模型在实际生活中的应用，考查基本不等式求最小值，考查函数的单调性，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.
18、（1）；（2）.
【解析】
（1）直接由向量的模长公式进行计算.
（2）由向量平行的公式可得，再用余弦的二倍角和正弦的和角公式，然后再转化为的式子，代值即可.
【详解】
（1）因为，所以，
所以.
（2）由得，所以，故.
本题考查向量求模长和向量的平行的坐标公式的利用以及三角函数的化简求值，属于基础题.
19、（I）或；（II）．
【解析】
（I）令，将有三个零点问题，转化为有三个不同的解的解决.画出和的图像，结合图像以及二次函数的判别式分类讨论，由此求得的值.（II）令，将恒成立不等式等价转化为恒成立，通过对分类讨论，求得的最大值，由此求得的取值范围.
【详解】
（I）由题意等价于有三个不同的解
由，可得其函数图象如图所示：

联立方程：，
由可得
结合图象可知
．
同理，由可得，
因为，结合图象可知，
综上可得：或．
（Ⅱ）设，原不就价于，
两边同乘得：，
设，
原题等价于的最大值．
（1）当时，，易得，
（2易得，
所以的最大值为16，即，故．
本小题主要考查根据函数零点个数求参数，考查数形结合的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，考查不等式恒成立问题的求解策略，考查分类讨论的数学思想，属于难题.
20、（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）利用⊥，结合向量的数量积的运算公式，得到关于的方程，即可求解；
（Ⅱ）当时，利用向量的数量积的运算公式，以及向量的夹角公式，即可求解.
【详解】
（Ⅰ）由题意，向量，的夹角为120°，且||＝2，||＝3，
所以，，，
又由.
若⊥，可得，
解得k．
（Ⅱ）当k＝0时，，则．
因为，
由向量的夹角公式，可得，
又因为0≤θ≤π，∴，所以与的夹角θ的大小为．
本题主要考查了向量的数量积的运算，以及向量的夹角公式的应用，其中解答中熟记向量的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
21、（1）（2）
【解析】
（1）利用利用诱导公式化简得解析式，可的结果．
（2）利用余弦函数的单调性求得函数的单调递增区间．
【详解】
（1）.
（2）
令，，
的单调递增区间为.
本题考查利用诱导公式化简求值、求余弦函数的单调区间，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力，属于基础题．