2025届黑龙江省绥化市青冈一中数学高一下期末检测试题含解析.doc

2025届黑龙江省绥化市青冈一中数学高一下期末检测试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．圆关于直线对称，则的值是（ ）
A． B． C． D．
2．数列中，，，则( )．
A． B． C． D．
3．若向量， ，且，则＝( )
A． B．－ C． D．－
4．在中，已知，，则为（ ）
A．等腰直角三角形 B．等边三角形
C．锐角非等边三角形 D．钝角三角形
5．在数列中，已知，，则该数列前2019项的和（ ）
A．2019 B．2020 C．4038 D．4040
6．以下有四个说法：
①若、为互斥事件，则；
②在中，，则；
③和的最大公约数是；
④周长为的扇形，其面积的最大值为；
其中说法正确的个数是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知点O是边长为2的正三角形ABC的中心，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知某路段最高限速60 km/h，电子监控测得连续6辆汽车的速度用茎叶图表示如图所示（单位：km/h），若从中任抽取2辆汽车，则恰好有1辆汽车超速的概率为（ ）

A． B． C． D．
9．已知数列中，，则= （ ）
A． B． C． D．
10．在投资生产产品时，每生产需要资金200万，需场地，可获得300万；投资生产产品时，每生产需要资金300万，需场地，可获得200万，现某单位可使用资金1400万，场地，则投资这两种产品，最大可获利( )
A．1350万 B．1475万 C．1800万 D．2100万
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知直线平面，，那么在平面内过点P与直线m平行的直线有________条.
12．已知，，若，则实数_______.
13．在中，角的对边分别为，且面积为，则面积的最大值为_____．
14．某货船在处看灯塔在北偏东方向，它以每小时18海里的速度向正北方向航行，经过40分钟到达处，看到灯塔在北偏东方向，此时货船到灯塔的距离为______海里.
15．在中，，，面积为，则________．
16．在直角梯形.中，，分别为的中点，以为圆心，为半径的圆交于，点在上运动（如图）.若，其中，则的最大值是________.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知数列满足，（）；
（1）求、、；
（2）猜想数列的通项公式；
（3）用数学归纳法证明你的猜想；
18．某电视台有一档益智答题类综艺节日，每期节目从现场编号为01～80的80名观众中随机抽取10人答题.答题选手要从“科技”和“文艺”两类题目中选一类作答，一共回答10个问题，答对1题得1分.
（1）若采用随机数表法抽取答题选手，按照以下随机数表，从下方带点的数字2开始向右读，每次读取两位数，一行用完接下一行左端，求抽取的第6个观众的编号.
1622779439 4954435482 1737932378 873509643 8426349164
8442175331 5724550688 7704744767 2176335025 8392120676
（2）若采用等距系统抽样法抽取答题选手，且抽取的最小编号为06，求抽取的最大编号.
（3）某期节目的10名答题选手中6人选科技类题目，4人选文艺类题目.其中选择科技类的6人得分的平均数为7，方差为；选择文艺类的4人得分的平均数为8，方差为.求这期节目的10名答题选手得分的平均数和方差.
19．已知数列的前项和为，满足，，数列满足，，且.

（1）求数列的通项公式；
（2）求证：数列是等差数列，求数列的通项公式；
（3）若，数列的前项和为，对任意的，都有，求实数的取值范围.
20．在中，，且边上的中线长为，
(1)求角的大小；
(2)求的面积.
21．已知向量，.函数的图象关于直线对称，且.
（1）求函数的表达式：
（2）求函数在区间上的值域.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】
圆关于直线对称，
所以圆心(1,1)在直线上，得.
故选B.
2、B
【解析】
通过取倒数的方式可知数列为等差数列，利用等差数列通项公式求得，进而得到结果.
【详解】
由得：，即
数列是以为首项，为公差的等差数列

本题正确选项：
本题考查利用递推关系式求解数列中的项的问题，关键是能够根据递推关系式的形式，确定采用倒数法得到等差数列.
3、B
【解析】
根据向量平行的坐标表示，列出等式，化简即可求出．
【详解】
因为，所以，即，
解得，故选B．
本题主要考查向量平行的坐标表示以及同角三角函数基本关系的应用．
4、A
【解析】
已知第一个等式利用正弦定理化简，再利用诱导公式及内角和定理表示，根据两角和与差的正弦函数公式化简，得到A＝B，第二个等式左边前两个因式利用积化和差公式变形，右边利用二倍角的余弦函数公式化简，将A+B＝C，A﹣B＝0代入计算求出cosC的值为0，进而确定出C为直角，即可确定出三角形形状．
【详解】
将已知等式2acosB＝c，利用正弦定理化简得：2sinAcosB＝sinC，
∵sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB，
∴2sinAcosB＝sinAcosB+cosAsinB，即sinAcosB﹣cosAsinB＝sin（A﹣B）＝0，
∵A与B都为△ABC的内角，∴A﹣B＝0，即A＝B，
已知第二个等式变形得：sinAsinB（2﹣cosC）＝（1﹣cosC）+＝1﹣cosC，
﹣ [cos（A+B）﹣cos（A﹣B）]（2﹣cosC）＝1﹣ cosC，
∴﹣（﹣cosC﹣1）（2﹣cosC）＝1﹣ cosC，
即（cosC+1）（2﹣cosC）＝2﹣cosC，
整理得：cos2C﹣2cosC＝0，即cosC（cosC﹣2）＝0，
∴cosC＝0或cosC＝2（舍去），
∴C＝90°，
则△ABC为等腰直角三角形．
故选A．
此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦公式，二倍角的余弦函数公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．
5、A
【解析】
根据条件判断出为等差数列，利用等差数列的性质得到和之间的关系，得到答案.
【详解】

为等差数列

本题考查等差中项，等差数列的基本性质，属于简单题.
6、C
【解析】
设、为对立事件可得出命题①的正误；利用大边对大角定理和余弦函数在上的单调性可判断出命题②的正误；列出和各自的约数，可找出两个数的最大公约数，从而可判断出命题③的正误；设扇形的半径为，再利用基本不等式可得出扇形面积的最大值，从而判断出命题④的正误.
【详解】
对于命题①，若、为对立事件，则、互斥，则，命题①错误；
对于命题②，由大边对大角定理知，，且，函数在上单调递减，所以，，命题②正确；
对于命题③，的约数有、、、、、，的约数有、、、、、、、，则和的最大公约数是，命题③正确；
对于命题④，设扇形的半径为，则扇形的弧长为，
扇形的面积为，由基本不等式得，
当且仅当，即当时，等号成立，所以，扇形面积的最大值为，命题④错误.故选C.
本题考查命题真假的判断，涉及互斥事件的概率、三角形边角关系、公约数以及扇形面积的最值，判断时要结合这些知识点的基本概念来理解，考查推理能力，属于中等题.
7、B
【解析】
直接由正三角形的性质求出两向量的模和夹角，由数量积定义计算．
【详解】
∵点O是边长为2的正三角形ABC的中心，∴，，
∴．
故选：B.
本题考查平面向量的数量积，掌握数量积的定义是解题关键．
8、A
【解析】
求出基本事件的总数，以及满足题意的基本事件数目，即可求解概率.
【详解】
解：由题意任抽取2辆汽车，其速度分别为：，共15个基本事件，
其中恰好有1辆汽车超速的有，，共8个基本事件，
则恰好有1辆汽车超速的概率为：，
故选：A.
本题考查古典概型的概率的求法，属于基本知识的考查.
9、B
【解析】
，故选B.
10、B
【解析】
设生产产品x百吨，生产产品百吨，利润为百万元，先分析题意，找出相关量之间的不等关系，即满足的约束条件，由约束条件画出可行域；要求应作怎样的组合投资，可使获利最大，即求可行域中的最优解，在线性规划的解答题中建议使用直线平移法求出最优解，即将目标函数看成是一条直线，分析目标函数与直线截距的关系，进而求出最优解．
【详解】
设生产产品百吨，生产产品百吨，利润为百万元
则约束条件为：，作出不等式组所表示的平面区域：

目标函数为.
由解得.
使目标函数为化为
要使得最大，即需要直线在轴的截距最大即可.
由图可知当直线过点时截距最大.
此时
应作生产产品3.25百吨，生产产品2.5百吨的组合投资，可使获利最大．
故选：B．
在解决线性规划的应用题时，其步骤为：①分析题目中相关量的关系，列出不等式组，即约束条件⇒②由约束条件画出可行域⇒③分析目标函数Z与直线截距之间的关系⇒④使用平移直线法求出最优解⇒⑤还原到现实问题中．属于中档题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、1

【解析】
利用线面平行的性质定理来进行解答.
【详解】
过直线与点可确定一个平面，由于为公共点，所以两平面相交，不妨设交线为，因为直线平面，所以，其它过点的直线都与相交，所以与也不会平行，所以过点且平行于的直线只有一条，在平面内，
故答案为：1.
本题考查线面平行的性质定理，是基础题.
12、
【解析】
利用平面向量垂直的数量积关系可得，再利用数量积的坐标运算可得：，解方程即可.
【详解】
因为，所以，
整理得：，解得：
本题主要考查了平面向量垂直的坐标关系及方程思想，属于基础题．
13、
【解析】
利用三角形面积构造方程可求得，可知，从而得到；根据余弦定理，结合基本不等式可求得，代入三角形面积公式可求得最大值.
【详解】

，
由余弦定理得：（当且仅当时取等号）

本题正确结果：
本题考查解三角形问题中的三角形面积的最值问题的求解；求解最值问题的关键是能够通过余弦定理构造等量关系，进而利用基本不等式求得边长之积的最值，属于常考题型.
14、
【解析】
由题意利用方位角的定义画出示意图，再利用三角形，解出的长度．
【详解】
解：由题意画出图形为：
因为，，所以，又由于某船以每小时18海里的速度向正北方向航行，经过40分钟航行到，所以（海里）．
在中，利用正弦定理得：，所以；
故答案为：．

此题考查了学生对于题意的正确理解，还考查了利用正弦定理求解三角形及学生的计算能力，属于基础题．
15、
【解析】
由已知利用三角形面积公式可求c，进而利用余弦定理可求a的值，根据正弦定理即可计算求解.
【详解】
，，面积为
,
解得，
由余弦定理可得：
，
所以,
故答案为：
本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理，正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题.
16、
【解析】
建立直角坐标系，设，根据，表示出，结合三角函数相关知识即可求得最大值.
【详解】
建立如图所示的平面直角坐标系：

，分别为的中点，，
以为圆心，为半径的圆交于，点在上运动，
设，
，
即，
，所以，两式相加：，
即，
要取得最大值，即当时，

故答案为：
此题考查平面向量线性运算，处理平面几何相关问题，涉及三角换元，转化为求解三角函数的最值问题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1），，；（2）；（3）证明见解析；
【解析】
（1）根据数列的递推关系式，代入运算，即可求解、、；
（2）由（1）可猜想得；
（3）利用数学归纳法，即可证得猜想是正确的.
【详解】
（1）由题意，数列满足，（）；
所以，，；
（2）由（1）可猜想得；
（3）①当时，，上式成立；

②假设当时，成立，
则当时，

由①②可得，当时，成立，
即数列的通项公式为.
本题主要考查了数列的递推关系式的应用，以及数学归纳法的证明，其中解答中根据数列的递推公式，准确计算，同时熟记数学归纳法的证明方法是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.
18、（1）42；（2）78；（3）平均数为7.4，方差为2.24
【解析】
（1）根据随机数表依次读取数据即可，取01～80之间的数据；
（2）根据系统抽样，确定组矩，计算可得；
（3）根据平均数和方差得出数据的整体关系，整体代入求解10名选手的平均数和方差.
【详解】
（1）根据题意读取的编号依次是：2096（超界），43,84（超界），26,34,91（超界），64,84（超界），42,17，
所以抽取的第6个观众的编号为42；
（2）若采用系统抽样，组矩为8，最小编号为06，则最大编号为6+9×8=78；
（3）记选择科技类的6人成绩分别为：，
选择文艺类的4人成绩分别为：，
由题：，，
，，
所以这10名选手的平均数为
方差为

此题考查统计相关知识，涉及随机数表读数，系统抽样和平均数与方差的计算，对计算公式的变形处理要求较高.
19、（1）；（2）证明见解析，；（3）或.
【解析】
（1）运用数列的递推式以及数列的和与通项的关系可得，再由等比数列的定义通项公式可得结果；（2）对等式两边除以，结合等差数列的定义和通项公式，可得所求；（3）求得，由数列的错位相减法求和，可得，化简,即，对任意的成立，运用数列的单调性可得最大值，解不等式可得所求范围．
【详解】
(1)，可得，即；
时,,又，
相减可得,即，
则；
(2)证明：，
可得，
可得是首项和公差均为1的等差数列，
可得,即；
(3) ，
前n项和为，
，
相减可得
，
可得，
,即为，
即,对任意的成立，
由，
可得为递减数列，即n=1时取得最大值1−2=−1，
可得，即或.
“错位相减法”求数列的和是重点也是难点，利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点：①掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列与一个等比数列的积）；②相减时注意最后一项 的符号；③求和时注意项数别出错；④最后结果一定不能忘记等式两边同时除以.
20、（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】
(1)本题可根据三角函数相关公式将化简为，然后根据即可求出角的大小；
(2)本题首先可设的中点为，然后根据向量的平行四边形法则得到，再然后通过化简计算即可求得，最后通过三角形面积公式即可得出结果．
【详解】
(1)由正弦定理边角互换可得，
所以.
因为，
所以，
即，
即，整理得.
因为，所以，
所以，
即，所以.
因为，所以，即．
(2)设的中点为，根据向量的平行四边形法则可知
所以，即，
因为，，所以，解得（负值舍去）.
所以．
本题考查三角恒等变换公式及解三角形相关公式的应用，考查了向量的平行四边形法则以及向量的运算，考查了化归与转化思想，体现了综合性，是难题．
21、（1）；（2）
【解析】
（1）转化条件得，由对称轴可得，再结合即可得解；
（2）根据自变量的范围可得，利用整体法即可得解.
【详解】
（1）由题意，
函数的图象关于直线对称，.
即.
又 ，，得，由得，故.
则函数的表达式为
（2），.
，，
则函数在区间上的值域为.
本题考查了向量数量积的坐标运算、函数表达式和值域的确定，考查了整体意识，属于基础题.