2025年山西省大同市铁路第一中学数学高一第二学期期末质量检测模拟试题含解析.doc

2025年山西省大同市铁路第一中学数学高一第二学期期末质量检测模拟试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．某中学举行高一广播体操比赛，共10个队参赛，为了确定出场顺序，学校制作了10个出场序号签供大家抽签高一（l）班先抽，则他们抽到的出场序号小于4的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．我国古代数学名著《九章算术》第六章“均输”中有这样一个问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何.”（注：“均输”即按比例分配，此处是指五人所得成等差数列；“钱”是古代的一种计量单位），则分得最少的一个得到( )
A．钱 B．钱 C．钱 D．1钱
3．圆的半径是，则的圆心角与圆弧围成的扇形面积是（ ）
A． B． C． D．
4．如图所示，在边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，向该正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域的概率是，则该阴影区域的面积是（ ）

A．3 B． C． D．
5．已知两个正数a，b满足，则的最小值是(    )
A．2 B．3 C．4 D．5
6．在中，角，，所对的边分别为，，，若，，则等于( )
A．1 B．2 C． D．4
7．函数在的图像大致为
A． B．
C． D．
8．若且，则（ ）
A． B． C． D．
9．设集合，则（ ）
A． B． C． D．
10．记等差数列的前n项和为.若，则（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知一组数据，，，的方差为，则这组数据，，，的方差为__．
12．在正方体的体对角线与棱所在直线的位置关系是______.
13．已知为直线上一点，过作圆的切线，则切线长最短时的切线方程为__________．
14．已知向量，，若，则______；若，则______.
15．设三棱锥满足，，则该三棱锥的体积的最大值为____________.
16．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝7，S6＝63，则an＝_____
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知向量.
(1)若，求的值；
(2)当时，求与夹角的余弦值．
18．的内角的对边分别为，.
（1）求
（2）若，的面积为，求.
19．已知，函数（其中），且图象在轴右侧的第一个最高点的横坐标为，并过点.
（1）求函数的解析式；
（2）求函数的单调增区间.
20．定理：若函数的图象关于直线对称，且方程有个根，则这个根之和为.利用上述定理，求解下列问题：
（1）已知函数，，设函数的图象关于直线对称，求的值及方程的所有根之和；
（2）若关于的方程在实数集上有唯一的解，求的值.
21．泉州与福州两地相距约200千米，一辆货车从泉州匀速行驶到福州，规定速度不得超过千米/时，已知货车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度千米/时的平方成正比，比例系数为001；固定部分为64元.
（1）把全程运输成本元表示为速度千米/时的函数，并指出这个函数的定义域；
（2）为了使全程运输成本最小，货车应以多大速度行驶？
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】
古典概率公式得到答案.
【详解】
抽到的出场序号小于4的概率：
故答案选D
本题考查了概率的计算，属于简单题.
2、B
【解析】
设所成等差数列的首项为，公差为，利用等差数列前项和公式及通项公式列出方程组，求出首项和公差，进而得出答案．
【详解】
由题意五人所分钱成等差数列，设得钱最多的为，则公差.
所以，则.
又，即
则，
分得最少的一个得到.
故选：B
本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
3、C
【解析】
先将化为弧度数，再利用扇形面积计算公式即可得出．
【详解】

所以扇形的面积为：
故选：C
题考查了扇形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
4、B
【解析】
利用几何概型的意义进行模拟试验，即估算不规则图形面积的大小．
【详解】
正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率，，
又，.
故选：B．
本题考查几何概型的意义进行模拟试验，计算不规则图形的面积考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意豆子落在阴影区域内的概率与阴影部分面积及正方形面积之间的关系.
5、D
【解析】
根据题意，分析可得，对其变形可得，由基本不等式分析可得答案．
【详解】
解：根据题意，正数，满足，
则；
即的最小值是；
故选：．
本题考查基本不等式的性质以及应用，关键是掌握基本不等式应用的条件．
6、D
【解析】
直接利用正弦定理得到，带入化简得到答案.
【详解】
正弦定理：
即：

故选D
本题考查了正弦定理，意在考查学生的计算能力.
7、C
【解析】
由解析式研究函数的性质奇偶性、特殊函数值的正负，可选择正确的图象．
【详解】
易知函数（）是偶函数，图象关于轴对称，可排除BD，
时，，可排除A．
故选C．
本题考查由函数解析式选择函数图象，解题方法是由解析式分析函数的性质，如单调性、奇偶性、函数的极值、最值、特殊值、函数的值的正负等等．
8、A
【解析】
利用同角的三角函数关系求得,再根据正弦的二倍角公式求解即可
【详解】
由题,因为,,
所以或,
因为,所以,则,
所以,
故选:A
本题考查正弦的二倍角公式的应用,考查同角的三角函数关系的应用,考查已知三角函数值求三角函数值问题
9、B
【解析】
补集：
【详解】
因为，所以,选B.
本题主要考查了集合的运算，需要掌握交集并集、补集的运算。属于基础题。
10、D
【解析】
由可得值，可得可得答案.
【详解】
解：由，可得，
所以，从而，
故选D.
本题主要考察等差数列的性质及等差数列前n项的和，由得出的值是解题的关键.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
利用方差的性质直接求解．
【详解】
一组数据，，，的方差为5，
这组数据，，，的方差为：．
本题考查方差的性质应用。若的方差为，
则的方差为。
12、异面直线
【解析】
根据异面直线的定义，作出图形，即可求解，得到答案.
【详解】
如图所示，与不在同一平面内，也不相交，所以体对角线与棱是异面直线.

本题主要考查了异面直线的概念及其判定，其中熟记异面直线的定义是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
13、或
【解析】
利用切线长最短时，取最小值找点：即过圆心作直线的垂线，求出垂足点．就切线的斜率是否存在分类讨论，结合圆心到切线的距离等于半径得出切线的方程．
【详解】
设切线长为，则，所以当切线长取最小值时，取最小值，
过圆心作直线的垂线，则点为垂足点，此时，直线的方程为，
联立，得，点的坐标为.
①若切线的斜率不存在，此时切线的方程为，圆心到该直线的距离为，合乎题意；
②若切线的斜率存在，设切线的方程为，即.
由题意可得，化简得，解得，
此时，所求切线的方程为，即.
综上所述，所求切线方程为或，
故答案为或．
本题考查过点的圆的切线方程的求解，考查圆的切线长相关问题，在过点引圆的切线问题时，要对直线的斜率是否存在进行分类讨论，另外就是将直线与圆相切转化为圆心到直线的距离等于半径长，考查分析问题与解决问题的能力，属于中等题．
14、6
【解析】
由向量平行与垂直的性质，列出式子计算即可.
【详解】
若，可得，解得；
若，则，解得.
故答案为：6；.
本题考查平面向量平行、垂直的性质，考查平面向量的坐标运算，考查学生的计算能力，属于基础题.
15、
【解析】
取中点，连，可证平面，，要使最大，只需求最大值，即可求解.
【详解】
取中点，连，
所以，
，
，平面，平面，
设中边上的高为，

，当且仅当时，取等号.
故答案为:.

本题考查锥体的体积计算，考查线面垂直的判定，属于中档题.
16、
【解析】
利用等比数列的前n项和公式列出方程组，求出首项与公比，由此能求出该数列的通项公式．
【详解】
由题意，,不合题意舍去；
当等比数列的前n项和为，
即，解得，所以，
故答案为：．
本题主要考查了等比数列的通项公式的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）-3；（2）－.
【解析】
(1)根据向量平行的坐标关系求得
(2)根据向量的数量积运算求得夹角.
【详解】
解　(1)由题意，得．因为，
所以，解得.
(2)当时，．
设与的夹角为θ，则
.
所以与夹角的余弦值为－.
本题考查向量的平行关系和向量数量积运算，属于基础题.
18、（1）；（2）8.
【解析】
(1)首先利用正弦定理边化角，再利用余弦定理可得结果；
（2）利用面积公式和余弦定理可得结果.
【详解】
（1）因为，所以，
则，
因为，所以.
（2）因为的面积为，所以，即，
因为，所以，
所以.
本题主要考查解三角形的综合应用，意在考查学生的基础知识，转化能力及计算能力，难度不大.
19、（1）；（2）.
【解析】
（1）根据向量的数量积得，结合，即可求解；
（2）令即可求得增区间.
【详解】
（1）由题

图象在轴右侧的第一个最高点的横坐标为，并过点
所以，解得，
，解得：，
所以；
（2）令

函数的单调增区间为.
此题考查根据平面向量的数量积，求函数解析式，根据三角函数的顶点坐标和曲线上的点的坐标求参数，利用整体代入法求单调区间.
20、（1），；（2）.
【解析】
（1）根据定义域和对称性即可得出的值，求出的解的个数，利用定理得出所有根的和；
（2）令，则为偶函数，于是的唯一零点为，于是，即可解出的值．
【详解】
解：（1）在上的图象关于直线对称，
，
令得，，即，．
在上有7个零点，
方程的所以根之和为．
（2）令，则，
是偶函数，
的图象关于轴对称，即关于直线对称，
只有1解，
的唯一解为，即，
，解得．
本题考查了函数零点与函数图象对称性的关系，属于基础题．
21、（1）,；（2），货车应以千米/时速度行驶，货车应以千米/时速度行驶
【解析】
（1）先计算出从泉州匀速行驶到福州所用时间，然后乘以每小时的运输成本（可变部分加固定部分），由此求得全程运输成本，并根据速度限制求得定义域.
（2）由，，对进行分类讨论.当时，利用基本不等式求得行驶速度.当时，根据的单调性求得行驶速度.
【详解】
（1）依题意一辆货车从泉州匀速行驶到福州所用时间为小时，
全程运输成本为，
所求函数定义域为；
（2）当时，
故有，
当且仅当，即时，等号成立.
当时，
易证在上单调递减
故当千米/时，全程运输成本最小.
综上，为了使全程运输成本最小，，货车应以千米/时速度行驶，
货车应以千米/时速度行驶.
本小题主要考查函数模型在实际生活中的应用，考查基本不等式求最小值，考查函数的单调性，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.