厦门市海沧中学2025年数学高一第二学期期末调研模拟试题含解析.doc

厦门市海沧中学2025年数学高一第二学期期末调研模拟试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．在锐角三角形中， ， ， 分别为内角， ， 的对边，已知， ， ，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
2．平面直角坐标系xOy中，角的顶点在原点，始边在x轴非负半轴，终边与单位圆交于点，将其终边绕O点逆时针旋转后与单位园交于点B，则B的横坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．设，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，且，（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
4．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱全面积与侧面积的比为（ ）
A． B． C． D．
5．某学校高一、高二年级共有1800人，现按照分层抽样的方法，抽取90人作为样本进行某项调查.若样本中高一年级学生有42人，则该校高一年级学生共有（ ）
A．420人 B．480人 C．840人 D．960人
6．函数的值域为
A．[1, ] B．[1,2] C．[ ,2] D．[
7．△ABC中，三个内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若c＝，b＝1，∠B＝，则△ABC的形状为（ ）
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰三角形或直角三角形
8．化简的结果是（　）
A． B． C． D．
9．已知函数，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
10．已知各项均不为零的数列，定义向量，，． 下列命题中真命题是 ( )
A．若对任意的，都有成立，则数列是等差数列
B．若对任意的，都有成立，则数列是等比数列
C．若对任意的，都有成立，则数列是等差数列
D．若对任意的，都有成立，则数列是等比数列
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．若函数的图象与直线恰有两个不同交点，则的取值范围是________.
12．观察下列式子：你可归纳出的不等式是___________
13．用数学归纳法证明时，从“到”，左边需增乘的代数式是___________.
14．如图，在正方体中，有以下结论：

①平面；
②平面；
③；
④异面直线与所成的角为.
则其中正确结论的序号是____（写出所有正确结论的序号）.
15．在中，为上的一点，且，是的中点，过点的直线，是直线上的动点， ，则_________.

16．在中，、、所对的边依次为、、，且，
若用含、、，且不含、、的式子表示，则_______ .
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．某公司为了变废为宝，节约资源，新上了一个从生活垃圾中提炼生物柴油的项目．经测算该项目月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可以近似地表示为：，且每处理一吨生活垃圾，可得到能利用的生物柴油价值为元，若该项目不获利，政府将给予补贴．
（1）当时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则政府每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？
（2）该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
18．已知数列{an}和{bn}满足a1=1，b1=0， ，.
（1）证明：{an+bn}是等比数列，{an–bn}是等差数列；
（2）求{an}和{bn}的通项公式.
19．已知数列的前项和，且，数列满足：对于任意，有.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的通项公式，若在数列的两项之间都按照如下规则插入一些数后，构成新数列：和两项之间插入个数，使这个数构成等差数列，求；
（3）若不等式成立的自然数恰有个，求正整数的值．
20．数列满足．
（1）求证：为等比数列；
（2）求的通项公式．
21．如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，点是的中点，点是和的交点．

(1)证明： 平面；
(2)求三棱锥的体积．
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】
由结合题意可得：，
故，△ABC为锐角三角形，则，
由题意结合三角函数的性质有：，
则：，
即：，
则，
由正弦定理有：，
故.
本题选择D选项.
点睛：在解决三角形问题中，求解角度值一般应用余弦定理，因为余弦定理在内具有单调性，求解面积常用面积公式，因为公式中既有边又有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来.
2、B
【解析】
，B的横坐标为，计算得到答案.
【详解】
有题意知：
B的横坐标为：
故答案选B
本题考查了三角函数的计算，意在考查学生的计算能力.
3、A
【解析】
试题分析：由面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一平面的一条垂线，则两面垂直，可得，
可得
考点：空间线面平行垂直的判定与性质
4、A
【解析】
解：设圆柱底面积半径为r，则高为2πr，全面积：侧面积=[（2πr）2+2πr2]：（2πr）2
这个圆柱全面积与侧面积的比为,故选A
5、C
【解析】
先由样本容量和总体容量确定抽样比，用高一年级抽取的人数除以抽样比即可求出结果.
【详解】
由题意需要从1800人中抽取90人，所以抽样比为，
又样本中高一年级学生有42人，所以该校高一年级学生共有人.故选C
本题主要考查分层抽样，先确定抽样比，即可确定每层的个体数，属于基础题型.
6、D
【解析】
因为函数，平方求出的取值范围，再根据函数的性质求出的值域.
【详解】
函数定义域为： ，
因为，
又，
所以的值域为.
故选D.
本题考查函数的值域，此题也可用三角换元求解.求函数值域常用方法：单调性法，换元法，判别式法，反函数法，几何法，平方法等.
7、D
【解析】
试题分析：在中，由正弦定理可得，因为，所以或，所以或，所以的形状一定为等腰三角形或直角三角形，故选D．
考点：正弦定理．
8、A
【解析】
根据平面向量加法及数乘的几何意义，即可求解，得到答案．
【详解】
根据平面向量加法及数乘的几何意义，可得，
故选A．
本题主要考查了平面向量的加法法则的应用，其中解答中熟记平面向量的加法法则是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
9、A
【解析】
分别考虑即时；即时，原不等式的解集，最后求出 并集。
【详解】
当即时，，则等价于，即，解得：，
当即时，，则等价于，即，所以，
综述所述，原不等式的解集为
故答案选A
本题考查分段函数的应用，一元二次不等式的解集，属于基础题。
10、A
【解析】
根据向量平行的坐标表示，得到，利用累乘法，求得，从而可作出判定，得到答案．
【详解】
由题意知，向量，，，
当时，可得，即，
所以，
所以数列表示首项为，公差为的等差数列．
当，可得，即，
所以，
所以数列既不是等差数列，也不是等比数列.
故选A．
本题主要考查了向量的平行关系的坐标表示，等差数列的定义，以及“累乘法”求解通项公式的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
作出函数的图像，根据图像可得答案.
【详解】
因为，所以，
所以，所以，
作出函数的图像，由图可知

故答案为：
本题考查了正弦型函数的图像，考查了数形结合思想，属于基础题.
12、
【解析】
观察三个已知式子的左边和右边，第1个不等式左边可改写成；第2个不等式左边的可改写成，右边的可改写成；第3个不等式的左边可改写成；据此可发现第个不等式的规律.
【详解】
观察三个已知式子的左边和右边，
第1个式子可改写为：，
第2个式子可改写为：，
第3个式子可改写为：，

所以可归纳出第个不等式是：.
故答案为：.
本题考查归纳推理，考查学生分析、解决问题的能力，属于基础题．
13、.
【解析】
从到时左边需增乘的代数式是，化简即可得出．
【详解】
假设时命题成立，则，
当时，
从到时左边需增乘的代数式是．
故答案为：.
本题考查数学归纳法的应用，考查推理能力与计算能力，属于中档题．
14、①③
【解析】
①：利用线面平行的判定定理可以直接判断是正确的结论；
②：举反例可以判断出该结论是错误的；
③：可以利用线面垂直的判定定理，得到线面垂直，再利用线面垂直的性质定理可以判断是正确的结论；
④：可以通过，可以判断出异面直线与所成的角为，即本结论是错误的，最后选出正确的结论序号.
【详解】
①：平面，平面 平面，故本结论是正确的；
②：在正方形中，，显然不垂直，而，所以不互相垂直，要是平面，则必有互相垂直，显然是不可能的，故本结论是错误的；
③：平面，平面，，在正方形中，
，平面，，所以平面，而平面，故，因此本结论是正确的；
④：因为，所以异面直线与所成的角为，在正方形中，
，故本结论是错误的，因此正确结论的序号是①③.
本题考查了线面平行的判定定理、线面垂直的判定定理、性质定理，考查了异面直线所成的角、线面垂直的性质.
15、
【解析】
用表示出,由对应相等即可得出．
【详解】

因为，所以解得得．
本题主要考查了平面向量的基本定理，以及向量的三角形法则，平面上任意不共线的一组向量可以作为一组基底．
16、
【解析】
利用诱导公式，二倍角公式，余弦定理化简即可得解.
【详解】

.
故答案为.
本题主要考查了诱导公式，二倍角的三角函数公式，余弦定理，属于中档题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）不能获利，政府每月至少补贴元；（2）每月处理量为吨时，平均成本最低.
【解析】
（1）利用：（生物的柴油总价值）（对应段的月处理成本）利润，根据利润的正负以及大小来判断是否需要补贴，以及补贴多少；（2）考虑：（月处理成本）（月处理量）每吨的平均处理成本，即为，计算的最小值，注意分段.
【详解】
（1）当时，该项目获利为，则
∴当时，，因此该项目不会获利
当时，取得最大值，
所以政府每月至少需要补贴元才能使该项目不亏损；
（2）由题意可知，生活垃圾每吨的平均处理成本为：
当时，
所以当时，取得最小值；
当时，
当且仅当，即时，取得最小值
因为，所以当每月处理量为吨时，才能使每吨的平均处理成本最低．
本题考查分段函数模型的实际运用，难度一般.（1）实际问题在求解的时候注意定义域问题；（2）利用基本不等式求解最值的时候，注意说明取等号的条件.
18、（1）见解析；（2），．
【解析】
(1)可通过题意中的以及对两式进行相加和相减即可推导出数列是等比数列以及数列是等差数列；
(2)可通过(1)中的结果推导出数列以及数列的通项公式，然后利用数列以及数列的通项公式即可得出结果．
【详解】
(1)由题意可知，，，，
所以，即，
所以数列是首项为、公比为的等比数列，，
因为，
所以，数列是首项、公差为的等差数列，．
(2)由(1)可知，，，
所以，．
本题考查了数列的相关性质，主要考查了等差数列以及等比数列的相关证明，证明数列是等差数列或者等比数列一定要结合等差数列或者等比数列的定义，考查推理能力，考查化归与转化思想，是中档题．
19、（1）；，；（3）.
【解析】
（1）令求出，然后令，由得出，两式相减可得出数列是等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求出数列的通项公式；
（2）令可计算出，再令，由可得出，两式相减求出，求出，再检验是否满足的表达式，由此可得出数列的通项公式，求出，
由，以及可得出的值；
（3）化简可得，分类讨论，当、时，不等式成立，当时，，利用判断数列的单调性，得出该数列的最大项，可知满足不等式，且和不满足该不等式，由此可得出实数的取值范围，进而求出正整数的值.
【详解】
（1）对任意的，.
当时，，解得；
当时，由得出，两式相减得，
化简得，即，所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，
因此，；
（2）对于任意，有.
当时，，；
当时，由，
可得，
上述两式相减得，
.
适合上式，因此，.
由于和两项之间插入个数，使得这个数成等差数列，这个数列的公差为.
，且，
所以，；
（3）由，得.
当、，该不等式显然成立；
当时，，由，得，设，
，
当时，，即
当时，，即，则.
所以，数列的最大项为，又，.
由题意可中，满足不等式，和不满足不等式.
，则，因此正整数的值为.
本题考查利用求数列的通项公式、等差数列定义的应用，同时也考查了数列不等式的求解，涉及数列单调性的应用，考查推理能力与运算求解能力，属于中等题.
20、（1）见解析（2）
【解析】
（1）证明和的比是定值，即得；（2）由（1）的通项公式入手，即得。
【详解】
（1）由题得，，即有，相邻两项之比为定值3，故为公比的等比数列；（2）因为为等比数列，且，则有，整理得的通项公式为.
本题考查等比数列的概念，以及求数列的通项公式，是基础题。
21、 (1) 证明见解析；（2）.
【解析】
(1)在中，利用中位线性质得到 ，证明平面.
(2)直接利用体积公式得到答案.
【详解】
在中，点是的中点，底面是正方形点为中点
根据中位线性质得到，平面，故平面.
(2) 底面

本题考查了线面平行，三棱锥体积，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.