吉林省长春六中、八中、十一中等省重点中学2025届数学高一下期末教学质量检测模拟试题含解析.doc

吉林省长春六中、八中、十一中等省重点中学2025届数学高一下期末教学质量检测模拟试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．在空间中，可以确定一个平面的条件是（ ）
A．一条直线
B．不共线的三个点
C．任意的三个点
D．两条直线
2．已知某区中小学学生人数如图所示，为了解学生参加社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法来进行调查。若高中需抽取20名学生，则小学与初中共需抽取的人数为（）

A．30 B．40 C．70 D．90
3．从装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，则与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是以下事件“①两球都不是白球；②两球恰有一个白球；③两球至少有一个白球”中的(　　)
A．①② B．①③
C．②③ D．①②③
4．将函数的图像上的所有点向右平移个单位长度，得到函数的图像，若的部分图像如图所示，

则函数的解析式为
A． B．
C． D．
5．如图，在三角形中，点是边上靠近的三等分点，则( )

A． B．
C． D．
6．已知，那么（ ）
A． B． C． D．
7．已知是等差数列，其中，，则公差 ( )
A． B． C． D．
8．已知向量,满足,和的夹角为,则( )
A． B． C． D．1
9．在数列中，若，，则（ ）
A． B． C． D．
10．《九章算术》中有这样一个问题：今有竹九节，欲均减容之（其意为：使容量均匀递减），上三节容四升，下三节容二升，中三节容几何？（　）
A．二升 B．三升 C．四升 D．五升
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知公式，，借助这个公式，我们可以求函数的值域，则该函数的值域是______.
12．已知数列为等比数列，，，则数列的公比为__________．
13．在直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在，此时圆上一点P的位置在，圆在x轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于时，的坐标为________．
14．已知算式，在方框中填入两个正整数，使它们的乘积最大，则这两个正整数之和是___.
15．计算__________．
16．在平行四边形中，= ，边，的长分别为2，1.若， 分别是边，上的点，且满足，则的取值范围是______．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．设{an}是等差数列，a1=–10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比数列．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）记{an}的前n项和为Sn，求Sn的最小值．
18．等差数列中，，.
（1）求通项公式；
（2）若，求的最小值.
19．已知圆（为坐标原点），直线.
（1）过直线上任意一点作圆的两条切线，切点分别为，求四边形面积的最小值.
（2）过点的直线分别与圆交于点（不与重合），若，试问直线是否过定点？并说明理由.
20．已知三棱柱（如图所示）底面为边长为2的正三角形，侧棱底面，，为的中点.

（1）求证：平面；
（2）若为的中点，求证：平面；
（3）求三棱锥的体积.
21．设的内角的对边分别为，且满足.
（1）试判断的形状，并说明理由；（2）若，试求面积的最大值.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】
试题分析：根据平面的基本性质及推论，即确定平面的几何条件，即可知道答案．
解：对于A．过一条直线可以有无数个平面，故错；
对于C．过共线的三个点可以有无数个平面，故错；
对于D．过异面的两条直线不能确定平面，故错；
由平面的基本性质及推论知B正确．
故选B．
考点：平面的基本性质及推论．
2、C
【解析】
根据高中抽取的人数和高中总人数计算可得抽样比；利用小学和初中总人数乘以抽样比即可得到结果.
【详解】
由题意可得，抽样比为：
则小学和初中共抽取：人
本题正确选项：
本题考查分层抽样中样本数量的求解，关键是能够明确分层抽样原则，准确求解出抽样比，属于基础题.
3、A
【解析】
试题分析：结合互斥事件和对立事件的定义，即可得出结论
解：根据题意，结合互斥事件、对立事件的定义可得，事件“两球都为白球”和事件“两球都不是白球”；事件“两球都为白球”和事件“两球中恰有一白球”；不可能同时发生，故它们是互斥事件．
但这两个事件不是对立事件，因为他们的和事件不是必然事件．
故选A
考点：互斥事件与对立事件．
4、C
【解析】
根据图象求出A，ω和φ的值，得到g（x）的解析式，然后将g（x）图象上的所有点向左平移个单位长度得到f（x）的图象．
【详解】
由图象知A＝1，（），即函数的周期T＝π，
则π，得ω＝2，
即g（x）＝sin（2x+φ），
由五点对应法得2φ＝2kπ+π，k,得φ，
则g（x）＝sin（2x），
将g（x）图象上的所有点向左平移个单位长度得到f（x）的图象，
即f（x）＝sin[2（x）]＝sin（2x）=，
故选C．
本题主要考查三角函数解析式的求解，结合图象求出A，ω和φ的值以及利用三角函数的图象变换关系是解决本题的关键．
5、A
【解析】
利用向量的三角形法则以及线性运算法则进行运算,即可得出结论.
【详解】
因为点是边上靠近的三等分点,所以,
所以,
故选:A.
本题考查向量的加､减法以及数乘运算,需要学生熟练掌握三角形法则和共线定理.
6、A
【解析】
依题意有，故
7、D
【解析】
根据等差数列通项公式即可构造方程求得结果.
【详解】

故选：
本题考查等差数列基本量的计算，关键是熟练应用等差数列通项公式，属于基础题.
8、B
【解析】
由平面向量的数量积公式，即可得到本题答案.
【详解】
由题意可得.
故选：B.
本题主要考查平面向量的数量积公式，属基础题.
9、C
【解析】
利用倒数法构造等差数列，求解通项公式后即可求解某一项的值.
【详解】
∵，∴，即，
数列是首项为，公差为2的等差数列，∴，
即，∴．故选C．
对于形如，可将其转化为的等差数列形式，然后根据等差数列去计算.
10、B
【解析】
由题意可得，上、中、下三节的容量成等差数列．再利用等差数列的性质，求出中三节容量，即可得到答案．
【详解】
由题意，上、中、下三节的容量成等差数列，上三节容四升，下三节容二升，
则中三节容量为，故选B．
本题主要考查了等差数列的性质的应用，其中解答中熟记等差数列的等差中项公式是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
根据题意，可令，结合，再进行整体代换即可求解
【详解】
令，则，
，，
则，，，则函数值域为
故答案为：
本题考查3倍角公式的使用，函数的转化思想，属于中档题
12、
【解析】
设等比数列的公比为，由可求出的值.
【详解】
设等比数列的公比为，则，，因此，数列的公比为，
故答案为：.
本题考查等比数列公比的计算，在等比数列的问题中，通常将数列中的项用首项和公比表示，建立方程组来求解，考查运算求解能力，属于基础题.
13、
【解析】
设滚动后圆的圆心为C，切点为A，连接CP．过C作与x轴正方向平行的射线，交圆C于B（2，1），设∠BCP=θ，则根据圆的参数方程，得P的坐标为（1+cosθ，1+sinθ），再根据圆的圆心从（0，1）滚动到（1，1），算出，结合三角函数的诱导公式，化简可得P的坐标为，即为向量的坐标．
【详解】
设滚动后的圆的圆心为C，切点为，连接CP，

过C作与x轴正方向平行的射线，交圆C于，设，
∵C的方程为，
∴根据圆的参数方程，得P的坐标为，
∵单位圆的圆心的初始位置在，圆滚动到圆心位于，
，可得，
可得，，
代入上面所得的式子，得到P的坐标为，
所以的坐标是.
故答案为：.
本题考查圆的参数方程,平面向量坐标表示的应用，解题的关键是根据数形结合找到变量的角度，属于中等题.
14、.
【解析】
设填入的数从左到右依次为，则，利用基本不等式可求得的最大值及此时的和.
【详解】
设在方框中填入的两个正整数从左到右依次为，则，于是，，当且仅当时取等号，此时.
故答案为：15
本题考查基本不等式成立的条件，属于基础题.
15、
【解析】
采用分离常数法对所给极限式变形，可得到极限值.
【详解】
.
本题考查分离常数法求极限，难度较易.
16、
【解析】
以A为原点AB为轴建立直角坐标系，表示出MN的坐标，利用向量乘法公式得到表达式，最后计算取值范围.
【详解】
以A为原点AB为轴建立直角坐标系
平行四边形中，= ，边，的长分别为2，1
设
则

当时，有最大值5
当时，有最小值2
故答案为
本题考查了向量运算和向量乘法的最大最小值，通过建立直角坐标系的方法简化了技巧，是解决向量复杂问题的常用方法.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】
(Ⅰ)由题意首先求得数列的公差，然后利用等差数列通项公式可得的通项公式；
(Ⅱ)首先求得的表达式，然后结合二次函数的性质可得其最小值.
【详解】
（Ⅰ）设等差数列的公差为，
因为成等比数列，所以，
即，解得，所以.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知,
所以；
当或者时，取到最小值.
等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用.
18、（1）；（2）
【解析】
（1）等差数列中，由，，能求出通项公式．
（2）利用等差数列前项和公式得到不等式，即可求出的最小值．
【详解】
解：（1）等差数列中，，．
通项公式，
即
（2），
，
解得（舍去或，
，的最小值为1．
本题考查等差数列的通项公式、项数的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
19、（1）12；（2）过定点，理由见解析
【解析】
（1）由，得过点的切线长，所以四边形的面积为，即可得到本题答案；
（2）设直线的方程为，则直线的方程为.
联立方程，消去，整理得，
得，，
所以，令，即可得到本题答案.
【详解】
（1）由题意可得圆心到直线的距离为，从而，
则过点的切线长.
故四边形的面积为，即四边形面积的最小值为12.
（2）因为，所以直线与直线的斜率都存在，且不为0.
设直线的方程为，则直线的方程为.
联立方程，消去，整理得
解得或，则.
同理可得.
所以.
令，得，解得.
取，可以证得，所以直线过定点.
当时，轴，易知与均为正三角形，直线的方程为，也过定点.
综上，直线过定点.
本题主要考查与椭圆相关的四边形面积的范围问题以及与椭圆有关的直线过定点问题，联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理是解决此类问题的常用方法.
20、（1）见解析（2）见解析（3）
【解析】
（1）在平面找一条直线平行即可．
（2）在平面内找两条相交直线垂直即可．
（3）三棱锥即可
【详解】
（1）连接，
因为直棱柱，则为矩形，则为的中点
连接，在中，为中位线，则
平面

（2）连接，底面底面
底面 ①
为正边的中点 ②
由①②及平面

（3）因为
取的中点，连接，则平面即为高，

本题主要考查了直线与平面平行，直线与平面垂直的证明，以及三棱锥的体积公式，证明直线与平面平行往往转化成证明直线与直线平行．属于中等题．
21、（1）；（2）.
【解析】
试题分析：（1）由，利用正、余弦定理，得，化简整理即可证明：为直角三角形；
（2）利用，，根据基本不等式可得：，即可求出面积的最大值.
试题解析：
解法1：（1）∵，
由正、余弦定理，得
，
化简整理得：，
∵，所以，
故为直角三角形，且；
（2）∵，
∴，
当且仅当时，上式等号成立，∴.故，
即面积的最大值为.
解法2
（1）由已知：，
又∵，
，
∴，
而，∴，
∴，
故，∴为直角三角形.
（2）由（1），∴.
∵，∴，
∴，
令，∵，∴，
∴.
而在上单调递增，
∴.