四川省成都市彭州中学2024-2025学年高一下数学期末教学质量检测模拟试题含解析.doc

四川省成都市彭州中学2024-2025学年高一下数学期末教学质量检测模拟试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知三棱锥中，，，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B．4 C． D．
2．函数的部分图象如图中实线所示，图中圆与的图象交于两点，且在轴上，则下列说法中正确的是

A．函数的最小正周期是
B．函数的图象关于点成中心对称
C．函数在单调递增
D．函数的图象向右平移后关于原点成中心对称
3．三边，满足，则三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形
4．已知满足：，则目标函数的最大值为（ ）
A．6 B．8 C．16 D．4
5．已知，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知的内角、、的对边分别为、、，边上的高为，且，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
7．已知点，,直线的方程为，且与线段相交，则直线的斜率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．若，则（ ）
A． B． C．2 D．
9．一个球自高为米的地方自由下落，每次着地后回弹高度为原来的，到球停在地面上为止，球经过的路程总和为（ ）米
A． B． C． D．
10．已知,,则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．如果函数的图象关于直线对称，那么该函数在上的最小值为_______________．
12．已知数列满足，，，则__________．
13．在平行四边形中，为与的交点，，若，则__________．
14．某产品分为优质品、合格品、次品三个等级，生产中出现合格品的概率为0.25，出现次品的概率为0.03，在该产品中任抽一件，则抽到优质品的概率为__________．
15．设函数满足，当时，，则=________.
16．已知，若方程的解集为，则__________．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知中，角的对边分别为.已知，.
(Ⅰ)求角的大小；
(Ⅱ)设点满足，求线段长度的取值范围.
18．设a为实数，函数，
（1）若，求不等式的解集；
（2）是否存在实数a，使得函数在区间上既有最大值又有最小值？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由；
（3）写出函数在R上的零点个数（不必写出过程）．
19．共享单车是指由企业在校园、公交站点、商业区、公共服务区等场所提供的自行车单车共享服务，由于其依托“互联网+”，符合“低碳出行”的理念，已越来越多地引起了人们的关注.某部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了50人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调査，并将问卷中的这50人根据其满意度评分值（百分制）按照分成5组，请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：
频率分布表
组别
分组
频数
频率
第1组

8
0.16
第2组

▆

第3组

20
0.40
第4组

▆
0.08
第5组

2

合计
▆
▆

（1）求的值；
（2）若在满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈，求所抽取的2人中至少一人来自第5组的概率.
20．某服装店为庆祝开业“三周年”，举行为期六天的促销活动，规定消费达到一定标准的顾客可进行一次抽奖活动，随着抽奖活动的有效开展，第五天该服装店经理对前五天中参加抽奖活动的人数进行统计，表示第天参加抽奖活动的人数，得到统计表格如下：

1
2
3
4
5

4
6
10
23
22
（1）若与具有线性相关关系，请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；
（2）预测第六天的参加抽奖活动的人数（按四舍五入取到整数）.
参考公式与参考数据：.
21．已知，，，求.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】
依据题中数据，利用勾股定理可判断出从而可得三棱锥各面都为直角三角形，进而可知外接圆的直径，即可求出三棱锥的外接球的表面积
【详解】

如图，因为 ,
又，,
从而可得三棱锥各面都为直角三角形，CD是三棱锥的外接球的直径，
在中，,,
即 ，，故选B．
本题主要考查学生空间想象以及数学建模能力，能够依据条件建立合适的模型是解题的关键．
2、B
【解析】
根据函数的图象，求得函数，再根据正弦型函数的性质，即可求解，得到答案．
【详解】
根据给定函数的图象，可得点的横坐标为，所以，解得，
所以的最小正周期， 不妨令，，由周期，所以，
又，所以，所以，
令，解得，当时，，即函数的一个对称中心为，即函数的图象关于点成中心对称．故选B．
本题主要考查了由三角函数的图象求解函数的解析式，以及三角函数的图象与性质，其中解答中根据函数的图象求得三角函数的解析式，再根据三角函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及运算与求解能力，属于基础题．
3、C
【解析】
由基本不等式得出，将三个不等式相加得出，由等号成立的条件可判断出的形状．
【详解】
为三边，，由基本不等式可得，
将上述三个不等式相加得，当且仅当时取等号，
所以，是等边三角形，故选C．
本题考查三角形形状的判断，考查基本不等式的应用，利用基本不等式要注意“一正、二定、三相等”条件的应用，考查推理能力，属于中等题．
4、D
【解析】
作出不等式组对应的平面区域，数形结合，利用z的几何意义，即得。
【详解】
由题得，不等式组对应的平面区域如图，中z表示函数在y轴的截距，由图易得，当函数经过点A时z取到最大值，A点坐标为，因此目标函数的最大值为4.

故选：D
本题考查线性规划，是基础题。
5、C
【解析】
根据特殊值排除A,B选项，根据单调性选出C,D选项中的正确选项.
【详解】
当时，，故A,B两个选项错误.由于，故，所以C选项正确，D选项错误.故本小题选C.
本小题主要考查三角函数值，考查对数函数和指数函数的单调性，属于基础题.
6、C
【解析】
由余弦定理化简可得，利用三角形面积公式可得，解得，利用正弦函数的图象和性质即可得解其最大值．
【详解】
由余弦定理可得：，
故：，
而，
故，
所以：．
故选．
本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式，正弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．

7、A
【解析】
直线过定点，利用直线的斜率公式分别计算出直线，和的斜率，根据斜率的单调性即可求斜率的取值范围．
【详解】
解：直线整理为即可知道直线过定点，
作出直线和点对应的图象如图：，，，
，，
要使直线与线段相交，则直线的斜率满足或，
或
即直线的斜率的取值范围是，
故选．

本题考查直线斜率的求法，利用数形结合确定直线斜率的取值范围，属于基础题．
8、D
【解析】
将转化为，结合二倍角的正切公式即可求出.
【详解】

故选D
本题主要考查了二倍角的正切公式，关键是将转化为，利用二倍角的正切公式求出，属于基础题.
9、D
【解析】
设球第次到第次着地这一过程中球经过的路程为米，可知数列是以为首项，以为公比的等比数列，由此可得出球经过的路程总和为米.
【详解】
设球第次到第次着地这一过程中球经过的路程为米，
则，由题意可知，数列是以为首项，以为公比的等比数列，因此，球经过的路程总和米.
故选:D.
本题考查等比数列的实际应用，涉及到无穷等比数列求和问题，考查计算能力，属于中等题.
10、D
【解析】
由题意可得，即，则，所以，即，也即，所以，应选答案D．
点睛：解答本题的关键是借助题设中的条件获得，进而得到，求得，从而求出使得问题获解．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
根据三角公式得辅助角公式，结合三角函数的对称性求出值，再利用的取值范围求出函数的最小值.
【详解】
解：，
令，则，
则.
因为函数的图象关于直线对称，
所以，
即，
则，
平方得.
整理可得，则，
所以函数.
因为，所以 ，
当时，即，函数有最小值为.
故答案为：.
本题主要考查三角函数最值求解，结合辅助角公式和利用三角函数的对称性建立方程是解决本题的关键.
12、-2
【解析】
根据题干中所给的表达式得到数列的周期性，进而得到结果.
【详解】
根据题干表达式得到

可以得数列具有周期性，周期为3，故得到
故得到
故答案为：-2.
这个题目考查了求数列中的某些项，一般方法是求出数列通项，对于数列通项不容易求的题目，可以列出数列的一些项，得到数列的周期或者一些其它规律，进而得到数列中的项.
13、
【解析】
根据向量加法的三角形法则逐步将待求的向量表示为已知向量.
【详解】
由向量的加法法则得：

所以 ，所以
故填：
本题考查向量的线性运算，属于基础题.
14、0.72
【解析】
根据对立事件的概率公式即可求解.
【详解】
由题意，在该产品中任抽一件，“抽到优质品”与“抽到合格品或次品”是对立事件，
所以在该产品中任抽一件，则抽到优质品的概率为.
故答案为
本题主要考查对立事件的概率公式，熟记对立事件的概念及概率计算公式即可求解，属于基础题型.
15、
【解析】
由已知得f（）=f（）+sin=f（）+sin+sin=f（）+sin+sin+sin，由此能求出结果．
【详解】
∵函数f（x）（x∈R）满足f（x+π）=f（x）+sinx，
当0≤x＜π时，f（x）=0，
∴f（）=f（）+sin
=f（）+sin+sin
=f（）+sin+sin+sin
=0+
=．
故答案为：．
本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．
16、
【解析】
将利用辅助角公式化简，可得出的值.
【详解】
，
其中，，因此，，故答案为
本题考查利用辅助角公式化简计算，化简时要熟悉辅助角变形的基本步骤，考查运算求解能力，属于中等题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、 (Ⅰ) (Ⅱ)
【解析】
（I）利用数量积的定义和三角形面积公式可求得，从而得角；
（II）由得，平方后可求得，即中线长，结合可得最小值，从而得取值范围．
【详解】
(Ⅰ)因为，所以
因为，所以得以
两式相除得
所以
(Ⅱ)因为，所以
因为，
所以
所以
所以．
当且仅当时取得等号
所以线段长度的取值范围时.
本题考查平面向量的数量积，考查平面向量的线性运算三角形面积公式，解题关键是把中线向量表示为，这样把线段长度（向量模）转化为向量的数量积．
18、（1）（2）不存在这样的实数,理由见解析（3）见解析
【解析】
（1）代入的值,通过讨论的范围,求出不等式的解集即可；
（2）通过讨论的范围,求出函数的单调区间,再求出函数的最值,得到关于的不等式组,解出并判断即可；
（3）通过讨论的范围,判断函数的零点个数即可
【详解】
（1）当时,,
则当时,,解得或,故；
当时,,解集为,
综上,的解集为
（2）,显然,,
①当时,则在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,
因为函数在上既有最大值又有最小值,
所以,,
则,即,解得,
故不存在这样的实数；
②当时,则在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,
因为函数在上既有最大值又有最小值,
故,,
则,即,解得,
故不存在这样的实数；
③当时,则为上的递增函数,
故函数在上不存在最大值和最小值,
综上,不存在这样的实数
（3）当或时,函数的零点个数为1；
当或时,函数的零点个数为2；
当时,函数的零点个数为3
本题考查分段函数的应用,考查利用函数的单调性求最值,考查函数的零点个数,着重考查分类讨论思想
19、（1）；（2）.
【解析】
（1）根据频率分布表可得b.先求得内的频数,即可由总数减去其余部分求得.结合频率分布直方图,即可求得的值.
（2）根据频率分布表可知在内有4人,在有2人.列举出从这6人中选取2人的所有可能,由古典概型概率计算公式即可求解.
【详解】
（1）由频率分布表可得
内的频数为,
∴
∴内的频率为
∴
∵内的频率为0.04
∴
（2）由题意可知,第4组共有4人,第5组共有2人,
设第4组的4人分别为、、、；第5组的2人分别为、
从中任取2人的所有基本事件为：,,,,,,,,,,,,,,共15个.
至少一人来自第5组的基本事件有：,,,,,,,共9个.
所以.
∴所抽取2人中至少一人来自第5组的概率为.
本题考查了频率分布表及频率分布直方图的应用,列举法表示事件的可能,古典概型概率计算方法,属于基础题.
20、（1）（2）预测第六天的参加抽奖活动的人数为29.
【解析】
（1）根据表中的数据，利用公式，分别求得的值，即可得到回归直线方程；
（2）将代入回归直线方程，求得，即可作出判断，得到结论.
【详解】
（1）根据表中的数据，可得，，
则，
，
又由，
故所求回归直线方程为.
（2）将代入中，求得，
故预测第六天的参加抽奖活动的人数为29.
本题主要考查了回归直线方程的求解，以及回归直线方程的应用，其中解答中利用公式准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
21、11
【解析】
根据题设条件，结合三角数的基本关系式，分别求得 ，和，再利用两角和的正切的公式，进行化简、运算，即可求解.
【详解】
由
，
由，
可得
又由，所以，
由，
得，
可得，
所以，
即.
本题主要考查了两角和与差的正切函数的化简、求值问题，其中解答中熟记两角和与差的正切公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，试题有一定的难度，属于中档试题.