人教版九年级数学-一元二次方程全章知识点专题复习(含答案).pdf

人教版九年级数学 一元二次方程全章知识点专题复习（含答案）1/19一元二次方程全章知识点专题复习一元二次方程全章知识点专题复习【课标要点课标要点】1.理解一元二次方程定义；2.会解一元二次方程；3.会根据根的判别式判断一元二次方程的根的情况；24bac4.会列一元二次方程解决实际问题.【知识网络知识网络】解法根的判别式一元二次方程二次三项式的分解因式根与系数的关系实际应用问题第第 1 1 讲讲 一元二次方程的概念一元二次方程的概念【知识要点知识要点】1、一元二次方程的一般形式：200),axbxcaa b c（其中是常数.2、在一般式中，当 b0 时，则有这两220c00axcaxbx或当时，则有，种情况都是一元二次方程.【典型例题典型例题】例例 1判断下列关于 x 的方程是不是一元二次方程.22222222213;(2)50;(3)230;(4)5;(5)2(3)21;511(6)33;(7)2;(8)()10;(9)3 340:1(10)0.(0)xxxxyxxx xxxxxxabxab xxxxxpxqxmp（）分析：一元二次方程，必须满足：（1）整式方程；（2）含有一个未知数，并且最高次数是 2.解：方程（1）、（6）、（7）的左边是分式，不属于整式方程，方程（3）含有两个未知人教版九年级数学 一元二次方程全章知识点专题复习（含答案）2/19数，方程（4）的左边不是整式，方程（5）经整理候，得6x1，方程（8）中未确定ab0，因此，只有（2）、（9）、（10）是一元二次方程.例例 2方程25)(3)(3)50.mmmxmx（1）m 为何值时，此方程为一元二次方程？（2）m 为何值时，此方程为一元一次方程？分析：形如的方程，当 n2 且 a0 时为一元二次方程；当 a0 时且0naxbxcb0 时为一元二次方程.解：（1）当 m22 时，m4，这时当 m4 时，此方程为一元5)(3)0.mm（二次方程.（2）方程为一元5)(3)0,20,2m30mmmm当（为自然数，且时，一次方程.由当 m5 时，此方程为5)(3)0m5m3mmm（得或，又因为3，一元一次方程.例例 3 为加强防汛工作，市工程队准备对苏州河一段长为 2240 米的河堤进行加固，由于采用了新的加固模式，现在计划每天加固的长度比原计划增加了 20 米，因而完成此段加固工程所需天数将比原计划缩短 2 填，为进一步缩短该段加固工程的时间，如果要求每天加固 224 米，那么在现在计划的基础上，每天加固的长度还应再增加多少米？（只需列出方程，并整理成一般一元二次方程形式.）分析：根据题意本题有两个关系式：一是计划每天加固的长度比原计划增加了 20 米，而是实际完成工程任务所需时间比原计划缩短 2 天，由时间关系列出方程.解：设现在计划每天加固河堤 x 米，则原来计划每天加固河堤（x20）米.根据题意德，整理，得 22402240220 xx22022400 xx【知识运用知识运用】一、选择题一、选择题1一元二次方程得一般形式是（）A.B.20 xbxc20axbxc人教版九年级数学 一元二次方程全章知识点专题复习（含答案）3/19C.D.以上都不对20()axbxcao2下列方程为一元二次方程的有（）A.B.C.D.x+y=021102xx 252axbxc219x3.关于 x 的方程经化简整理，化为232232(mnm xmxm xnxpxq其中），的形式后，二次项系数、一次项系数及常数项分别是（200)axbxca（）A.mn，p，qB.mn，p，q C.mn，p，qD.mn，p，q4将一元二次方程的二次项系数变为正整数，且使方程的根不变的是21x2x302（）A.B.C D2x2x302xx6042xx604 2xx60+4二、填空题二、填空题5方程是_元_次方程，二次项系数是_，一次项系数是_，常24x0数项是_.6.当 m_时，方程不是关于 x 的一元二次方程；当2m-1)x21)x0mm（(m_时，上述方程才是关于 x 的一元二次方程；7.若方程是一元二次方程，则 k 的取值范围是_;22x3x1kx三、解答题三、解答题8若方程是关于 x 的一元二次方程，求 k 的值.1(3)x230kkx9若关于 x 的一元二次方程的一个根是 0，求 a 的值.22(a-1)x+x+a10 10某大学改善校园环境，计划在一块长 80 米，宽 60 米的矩形场地中央建一矩形网球场，网球场占地面积为 3500 平方米，四周为宽度相等的步行道，求步行道的宽度，根据题人教版九年级数学 一元二次方程全章知识点专题复习（含答案）4/19意列出泛称，并将其化为一般形式.第第 2 2 讲讲 配方法配方法【知识要点知识要点】1、直接开平方法解一元二次方程：将方程化成则 x2b(0)xab的形式，.(0)ab b 2、配方法解一元二次方程：利用公式，把一元二次方程转化222a2()abbab为，再利用直接开平方法解方程.2()(0)xab b【典型例题典型例题】例例 1 用配方法解关于 x 的一元二次方程：x0pxq2分析：配方法解一元二次方程，关键要搞清配方的目的是什么，即配方要使方程能运用直接开平方法解决，该题是一种字母系数的一元二次方程，故可按上述步骤进行求解，先将其整理成一般形式，二次项系数化为 1.因二次项系数为 1，所以移项得，2xxpq 方程两边配方，然后利用完全平方公式，直接开平方法解出方程.解：2222221212x,x(),244qx,244qp400,44q4qx,;22(2)p40 x23p40pxqpppxqpppqppppxpqxq 222222移项，得配方，得整理，得（+）（1）当时，方程两边直接开平方，得当时，；（）当时,原方程无实数解.例例 2 用配方法解方程（1）；（2）2x6x5024x7x20人教版九年级数学 一元二次方程全章知识点专题复习（含答案）5/19分析：方程经过移项，配方后变为形如2().axbc 的方程解：（1）（2）移项，得化二次项系数为 1，24x7x2 例例 3 试证：不论 x 为何实数，多项式424224124xxxx的值总大于的值.分析：比较两个代数式大小通常用做差的方法.解：多项式424224124xxxx的值总大于的值.【知识运用知识运用】一、选择题一、选择题1 已知代数式2224x228x5xx的值为3，则代数式的值为（）A.5 B.5 C.5 或5 D.02将二次三项式进行配方，正确的结果是（）22x4x6A.B.C.D.242（x-1）242（x-1）222（x-2）222（x-2）221265,6959,314314,314,314xxxxxxx 2移项，得配方，得即（x）2222127717x()()4828717717xx86488717717xx8888717717xx88x 得即（），+，-，4242424222224242(241)(24)23(21)2(1)2x(1)20(241)(24)0 xxxxxxxxxxxxxx对于任何实数，总有即人教版九年级数学 一元二次方程全章知识点专题复习（含答案）6/193方程的解是（）2(1)9xA.B.C.D.2x 4x 122,4xx 122,4xx 4.已知，则代数式的11120,19,21202020axbxcx222abcabbcac值是（）A.4 B.3 C.2 D.1二、填空题二、填空题5224_ 9(_ 3)x 6将二次三项式进行配方，其结果等于_.2x2x27.已知 m 是方程的一个根，则代数式的值等于_.2xx202mm三、解答题三、解答题8用配方法解下列方程 2(1)2360;xx221(2)20;33yy 2(3)0.40.81;xx2(4)2(31)2 30;yy人教版九年级数学 一元二次方程全章知识点专题复习（含答案）7/199.用配方法证明的值恒小于 0.21074xx10.来自信息产业部的统计数字显示，2003 年 1 月至 4 月份我国手机产量为 4000 万台，相当于 2002 年全年手机产量的 80，预计到 2004 年年底收机产量将达到 9800 万台，试求这两年手机产量平均每年的增长率.人教版九年级数学 一元二次方程全章知识点专题复习（含答案）8/19第第 3 3 讲讲 公式法公式法【知识要点知识要点】1公式法：一般地，对于一元二次方程2221 2bb4ac00),b4ac0 x.2aaxbxca，（当时，2方程可用公式法求解；当方程无解.2b4ac0V当=，2b4ac0V当=时，【典型例题典型例题】例例 1 用公式法解下列方程 21 x4 3100 x（）2(2)221xx(3)(1)(1)2 2xxx分析：首先把每个方程化成一般式，确定 a、b、c 的值，在的前提下，代2b4ac0入求根公式求出方程的根.解：22(1)1,4,10,4(4 34 1 10 80,(4 3)84 32 22 322 12x 2 32x2 32.abcbacx Q1=2），人教版九年级数学 一元二次方程全章知识点专题复习（含答案）9/192221222212(2)2210,2,2,1,4242(13,21313,.22(3)2 210,1,2,1,42 241(2 22 323,223,23.(4)xxabcbacxxxxabcbacxx Q移项，得-1)=120,-212x=2 2原方程可化为（）-1)=120,-（-2 2）12x=2 22221210,1,1,1,4141(15,21515,.22xxabcbacxx Q将原方程可化为-1)=50,x例例 2 阅读下面一段材料，并解答问题.人教版九年级数学 一元二次方程全章知识点专题复习（含答案）10/1922222240(0),240,44200(0,)bbacaxbxcaxabacbacbbacxaaaxbxcaa b c 我们知道由一元二次方程运用配方法得其求根公式由平方根的意义知:当时即负数,没有平方根,故代数式就决定了方程根的情况,称它为一元二次方程根的判别式,用记号“”表示,故公式必须符合条件且0,方可用于求实数根.此外,若均为整数应当2222121244)2,(1)10,:4,?,?:,bacbbacakxxkxkx xxxk 注意当是完全平方时,方程根为有理根;当是完全平方且(是的整数倍时方程的根为整数根.根据上面得出的结论,请你解答下列问题:已知关于的方程试求 为何值时方程有两个实数根 若方程的两个实数根满足则为何值 分析根据上面材料分析当0时方程有实数根,从而确定k的取值,对1222121121212121.:(1),1)4(1)043230.2(2)0,0,2k-3=0,35k=,0,240,010,10,xxkkkkxxxxxxxxxxxkkx Q1于中需分类讨论 解方程有实数根故0,即-(化简得时方程有两个实数根由当时此时即符合要求.当x时即与相矛盾故舍去k=-13综上可知:当k=时有22x 例 3 某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为 200 平方米的三级污水处理池(平面图如右图),由于地形限制,三级水库处理池的长、宽都不能超过 16 米,如果池的外围墙建造单价为每米400 元,中间两条间隔墙单价为每米 300 元,池底建造单价为每平方米 80 元.(池墙的厚度忽略不计)(1)当三级污水处理池的总造价为 47200 元时,求池长 x;(2)如果规定总造价越低就越合算那么根据题目提供的信息以 47200 元为总造价来修建三级污水处理池是否最合算?请说明理由.分析：可根据三级污水处理池的总造价为 47200 元列方程.ADBC隔墙隔墙x人教版九年级数学 一元二次方程全章知识点专题复习（含答案）11/1921212400400:(1)400(2)300200 8047200,400 700800200 8047200,393500,14,25,14,25,2516(,)10014,16.7xxxxxxxxxxx 解由题意得即有 化简得 解得经检验都是原方程的根但米米不符合题意舍去 当池长为米时池宽为米米符合题意 当三级污水处理池的总造价为47200(2)1612.516400 700800 16200 80463004720016元时,池长为14米.当以47200元为总造价修建三级污水处理池时,不是最合算.当池长为米时,池宽为米米,故池长为16米符合题意,这时总造价为当以47200元为总造价修建三级污水处理池时,不是最合算.【知识应用知识应用】一、选择题一、选择题22222401)53200,0,0,xxkkmxxmmmnxmxnnmn1.方程2有两个相等的实数根,则的值为()A.-1 B.-2 C.1 D.22.若一元二次方程(的常数项为则为()A.1 B.2 C.1或2 D.53.若是方程的根则的值为()1A.B.1 C.222235020,_.6.610_.7.xxxmxmxxx 1-D.-124.不解方程,判断方程2的根的情况是()A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.无实数根 D.不能确定二、填空题5.已知2+2是方程的一个根则方程的另一个根是_,的值是方程3的两根之和是方程22230530_.xxx与方程2的公共解是三、解答题,28.已知直角三角形的一条直角边比另一条直角边长2cm,且面积为24cm求直角三角形的周长.人教版九年级数学 一元二次方程全章知识点专题复习（含答案）12/1921)(4)240,10,.kxkxkkk 9.已知方程(有零根其中求的值2210.2)0,aaxaxbxa要使(是关于的一元二次方程求的取值范围.第第 4 4 讲讲 分解因式法分解因式法【知识要点知识要点】112212121212a xba xbbba axxaa 1.分解因式法:把一个一元一次方:程整理为:()()=0的(0)的形式，方程的解为：；.2.注意(1)方程一边一定化为0；（2）常用的方法：提公因式法；运用公式法十字相乘法.【典型例题典型例题】260;xx例1 用因式分解法解下列方程.(1):(1),(2),(5)(5),.xx分析方程的右边是零左边可以用提公因式法分解方程不要去掉括号更不要两边同时除以或要先移项使方程右边为零212212:60,(6)0,060,0,6.(2)3(5)2(5)0,(5)3(5)20,(5)(133)0,501330,135,.3xxx xxxxxxxxxxxxxxx 解(1)即或原方程可变形为 即或2(2)3(5)2(5)xx人教版九年级数学 一元二次方程全章知识点专题复习（含答案）13/19例 2 用公式法因式分解式解下列方程.2222(4)(43)(2)49(3)16(6)xxxx(1)3 221222(1)(2)(1)(4)(43)0(4)(43)(4)(43)0(77)(1)0,770101,1.(2)7(3)4(6)0,7(3)4(6)7(3)4(xxxxxxxxxxxxxxxxxx 分析:方程先移项再利用因式分解法来解,方程移项后也能因式分解.解:移项,得 333或 原方程化为 126)0,(113)(345)0,3,15.11xxxx 化简为,1).xxxx例3 为解决新疆农牧民出行难的问题今年是新疆投资公路建设力度最大、最多的一年，某公路修筑队接受了改建农村公路96千米的任务，为了尽量减少施工带来的交通不便，实际施工时每天比计划多修1千米，结果提前16天完成任务，问原计划每天修多少千米？分析：如果把修路队原来计划每天修（千米），则实际每天修路是(千米,工作任务可根据工作时间=列方程工作效率解:设原计划每天修路千米,由题意得962129616160(3)(2)03(),2:xxxxxxx 化简整理得舍去答原计划每天修2千米.【知识运用知识运用】人教版九年级数学 一元二次方程全章知识点专题复习（含答案）14/191212121212121200550505244552A.B.4C.,4D.,4225(1)(2)034,ABx xxxxxxxxxx xxxxxxxxx xxxx 一、选择题1.一元二次方（5）0的两个根为（）A.，B.，C.，D.，2.方程（）5（）的根为（）3.方程的根是，则这个方程为（）.-1,2 .12CD34,A.(3)(4)0B.(3)(4)0C.(3)(4)0D.(3)(4)0 xxxxxxxxxx 1,-2 .0,-1,2 .0,1,-24.已知一元二次方程的两根分别为，则这个方程为（）22225123,_.4_,.5147.235(23)201(21);(2)(2)5(2)59.,3,xxxxxxxxxxyxxx2二、填空题:5.若与的值相等则6.当时代数式的值为零用分解因式法解方程:2()的解是_.三、解答题8.用适当的方法解方程.1(1)2有一个直角三角形它的边长恰是个连续整数这个三角形的三边长是多少?10.有一个两位数,它的十位数字和个位数字的和是5,把这个两位数的十位数字和个位数字互换后得到另一个两位数,两个两位数的积为736,求原来的两位数.人教版九年级数学 一元二次方程全章知识点专题复习（含答案）15/19第第 5 5 讲讲 一元二次方程一元二次方程【知识要点知识要点】1、黄金分割：如,图若点 C 把线段分成两条线段 AB 和 BC，且满足则称线段 AB 被点 C 黄金分ACBCABAC割，点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点，AC 与 AB 的比叫做黄金比.2、列方程解应用题的基本步骤可归纳为：审（审题）；设（设未知数）；列（列方程）解（解方程）；答（答案）.3、列方程解应用题的关键是找出存在的相等关系【典型例题典型例题】例例 1 某商场今年 2 月份的营业额为 400 万元，3 月份的营业额比 2 月份增加 10，5月份的营业额达到 633.6 万元，求 3 月份到五月份营业额的平均增长率.分析：本题属于平均增长率问题，由已知可设月平均增长率为 x，那么 3 月份的营业额为 400（110）（1x），5 月份营业额为 400（110）（1x）.2解：设平均月增长率为 x，由题意得 400（110）（1x）633.62整理得：（1x）2633.611.2440 x 0.2x所以平均月增长率为 20.例例 2 一块矩形耕地大小尺寸如图所示，要在这块地上沿东西和南北方向分别挖 2 条和 4 条水渠，如果水渠的宽相等，而且要保证余下的可耕地面积为 9600 米，那么水渠应2挖多宽？分析：这类问题的 特点是挖蕖所占用土地面积只与挖蕖的条数、渠道的宽度有关，而与渠道的位置无关，为了研究问题方便可分别把沿东西和南北方向挖的渠道移动到一起，那么剩余可耕的长方形土地的长为（1622x）米，宽为（644x）米.ABC人教版九年级数学 一元二次方程全章知识点专题复习（含答案）16/19解：设水渠应挖 x 米宽，以题意，得（1622x）（644x）9600化简，解得,（舍去）297960 xx11x 296x 答：水渠应挖 1 米宽.【知识运用知识运用】一、选择题一、选择题1 某商店十月份营业额为 5000 元，十二月份上升到 7200 元，平均每月增长的百分率是()A20%B.12 C22 D.102 从正方形的铁皮上，截去 2cm 宽的一条长方形，余下的面积是 48cm,则原来的正方形2铁皮的面积是（）A.9cm B.68cm C.8cm D.64cm22223有一个两位数，它的数字和等于 14，交换数字位置后，得到新的两位数比原来的两位数大 18，则原来的两位数是（）A68 B.86 C.68 D.864随着通讯市场竞争日益激烈，某通讯公司的收集市话收费标准按原标准每分钟降低了 a院后，再次下降 25，现在的收费标准是每分钟 b 元，则原收费标准是每分钟（）A.B.C.D.5(1)4b元5()4ba元3()4ba元4()3ba元二、填空题二、填空题5三个连续偶数，较小的两个数的平方和等于较大的数的平方，则这三个数为_.6一个两位数，它的数字之和为 9，如果十位数字为 a，那么这个两位数是_;b 把这个两位数的个位数字与十位数字对调组成一个新数，则这个数与原数的差为_.7.某种手表的成本在两年内以 100 元降低到 81 元，那么平均每年降低成本的百分率是_.三、解答题三、解答题8某工厂计划用两个月把产量提高 21，如果每月比上个月提高的百分数相同，求这个百分数.9某人将 2000 元人民币按一年定期存入银行，到期后支出 1000 元用来购物，剩下的 人教版九年级数学 一元二次方程全章知识点专题复习（含答案）17/191000 元及应得利息又全部按一年定期存入银行.若存款的 利率不变，到期后得本金和利息共 1320 元，求这种存款方式的年利率.10某商店如果将进货价为 8 元的商品按每件 10 元出售，每天可销售 200 件.现采用提高售价、减少进货量的方法增加利润，已知这种商品每涨价 0.5 元，其销售量就减少 10件.问售价定为多少时，才能使所赚利润最大，并求出最大利润.第第 1 讲讲人教版九年级数学 一元二次方程全章知识点专题复习（含答案）18/19一、1C 2.C 3.D 4.D二、5一、二，4，0，0 6.m=1,m1 7.222aabb三、8.根据题意的 1230kk由得 k1=2 解得 k=3 或 k=1,由得 k3,所以 k=19.由于方程的解使方程的左右两边相等，故将方程的解代入原方程后得到关于 a 得方程，求出 a 得值，但是需要满足原一元二次方程的二次项系数不为零，故只取 a=1.10设步行道的宽度为 x 米，根据题意得（802x）.(602x)=3500 整理，得方程的一般形式为703250 x2x第第 2 讲讲一、1A 2.B 3.C 4.B二、512x,2x；6.；7.2(1)3x22mm三、812123573(1)(2)2,3(4)13,3342xyyyy 214（）x=292711110)002040 x原式配方得（2210740,10740 xxxx即故的值恒小于10设这两年手机产量平均每年的增长率为 x，根据题意得（舍去）2124000212(1)980040%,8055xxx 解得第第 3 讲讲一、1B 2.B 3.D 4.A二、5 6.2 7.x=122,4三、8设直角三角形的较短的直角边长为 xcm，则较长的直角边长为（x+2）cm.根据题意得：21221(2)24248026,8()28610 x xxxxxx 2解得不符合题意舍去较长直角边为直角三角形的斜边为8 直角三角形的周长为681024（cm）人教版九年级数学 一元二次方程全章知识点专题复习（含答案）19/192001)0(4)02402xxkkkk Q方程有零根即将代入方程得，（910要使方程是 x 的一元二次方程，则由一元二次方程的定义.有220,2,1aaaax 且时该方程时关于的一元二次方程第第 4 讲讲一、1C 2.A 3.C 4.C二、5.1 或 4 6.x27.260,2yyx 三、8.（1）y（2）9.3，4，510.32，23110210121x2,x5 第第 5 讲讲一、1C 2.A 3.B 4.D 二、5.7,6,8 6.9a+9,8118a 7.10%三、8.设每月提高的百分率为 x,原产量为 a，以题意得 a(1+x)=a(1+21%)2220(1)1.210.110%2.1(10axx Q1解得x舍去）为9.设此种存款的年利率为 x，由题意得：【2000（1x）1000】(1+x)=1320所以年利率为 1010设此种商品的售价为 x 元，商品所赚利润 s 最大.2210.(20010)2040020(10)20000.5102000.xsxxxsxxs 当时，取最大值