人教版初中数学第十五章分式知识点.pdf

第十五章第十五章 分式分式15.1 分式分式15.1.1 从分式到分式从分式到分式1、一般地，如果 A，B 表示两个整数，并且 B 中含有字母，那么式子叫做分式，A 为分子，B 为分母。BA2、与分式有关的条件（1）分式有意义：分母不为 0（）0B（2）分式无意义：分母为 0（）0B（3）分式值为 0：分子为 0 且分母不为 0（）00BA（4）分式值为正或大于 0：分子分母同号（或）00BA00BA（5）分式值为负或小于 0：分子分母异号（或）00BA00BA（6）分式值为 1：分子分母值相等（A=B）（7）分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0）例 1若有意义，则 x 的取值范围是24xAx4 Bx4 Cx4 Dx4【答案】B【解析】试题解析：由题意得，x-40，解得，x4，故选 B考点：分式有意义的条件考点：分式的基本性质例 2要使分式有意义，则 x 应满足 （）1(1)(2)xxxAx-1 Bx2 Cx1 Dx-1 且x2【答案】D【解析】试题分析：（x+1）（x2）0，x+10 且 x20，x1 且 x2故选 D考点：分式有意义的条件例 3下列各式：2ba，xx3，y5，baba，)(1yxm中，是分式的共有（）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个【答案】C【解析】试题分析：xx3，baba，)(1yxm中分母中含有字母，因此是分式故分式有 3 个故选 C考点：分式的定义例 4当 x=时，分式的值为 0211xx【答案】1【解析】试题分析：由题意得：，且 x+10，解得：x=1，故答案为：1210 x 考点：分式的值为零的条件15.1.2 分式的基本性质分式的基本性质1、分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于 0 的整式，分式的值不变。字母表示：，其中 A、B、C 是整式，C0。AABCB CCBCABA拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即：BBABBAAA注意：在应用分式的基本性质时，要注意 C0 这个限制条件和隐含条件 B0。例 1如果把分式中的 x、y 都扩大到原来的 10 倍，则分式的值（）yxx10A扩大 100 倍 B扩大 10 倍C不变 D缩小到原来的101【答案】C【解析】试题分析：把分式中的 x、y 都扩大到原来的 10 倍，可得=，yxx10yxx10101010yxx10故选 C考点：分式的基本性质例 2把分式中的 a、b 都扩大 6 倍，则分式的值（）2ababA.扩大 12 倍 B.不变 C.扩大 6 倍 D.缩小 6 倍【答案】C【解析】试题分析：分别用 6a 和 6b 去代换原分式中的 a 和 b，原式=，2 6612266abababababab可见新分式的值是原分式的 6 倍故选 C考点：分式的基本性质例 3写出等式中括号内未知的式子：，括号内应填717)(2ccc【答案】c【解析】先把的分母提取公因式 c，得到，然后根据约分的定义求出括号内应填的数为 ccc7)(271)7()(ccc解：，71)7()(7)(2ccccc，71)7()(ccc括号内应填 c，故答案为 c2、分式的约分（1）定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。（2）步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因。（3）注意：分式的分子与分母均为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式的最低次幂。分子分母若为多项式，先对分子分母进行因式分解，再约分。（4）最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。约分时。分子分母公因式的确定方法：系数取分子、分母系数的最大公约数作为公因式的系数.取各个公因式的最低次幂作为公因式的因式.如果分子、分母是多项式,则应先把分子、分母分解因式,然后判断公因式例 1下列各式计算正确的是()A.;B.222aabbabba2232()xxyyxyxyC.;D.23546xxyy11xyxy【答案】D【解析】本题考查的是分式的约分根据分式的基本性质对各选项分析即可。A、，故本选项错误；babababaabbaba)()()(2222B、，故本选项错误；yxyxyxyxyxyx1)()()(232322C、，故本选项错误；86243)(yxyxD、，正确，11xyxy 故选 D。例 2把一个分式的分子与分母的 约去，叫做分式的约分;在分式中，分子与分母的公因式是 .222x yxyxy【答案】公因式；xy【解析】本题考查的是分式的约分根据分式的约分的定义即可得到结果。把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分；在分式中，分子与分母的公因式是222x yxyxy.xy例 3将下列分式约分：(1)=;(2)=;(3)=.258xx22357mnnm22)()(abba【答案】(1)(2)(3)183xnm5【解析】本题考查的是分式的约分根据分式的基本性质即可得到结果。（1）258xx=83x；（2）；（3）=22357mnnmnm522)()(abba.1例 4约分：=3263nmmn【答案】221mn【解析】首先确定分子与分母的公因式，系数是分子与分母的系数的最大公约数，相同的字母，取最小的次数作为公因式的字母的次数，确定公因式以后，把公因式约去即可解：原式=2233mnmnmn221mn故答案是：221mn例 5约分：22112mmm【答案】解：原式=)1)(1()1(2mmm)1)(1()1(2mmmmm11【解析】首先把分子分母分解因式，再约去公因式即可3、分式的通分（1）定义：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。（依据：分式的基本性质！）（2）最简公分母：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。通分时，最简公分母的确定方法：系数取各个分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数.取各个公因式的最高次幂作为最简公分母的因式.如果分母是多项式,则应先把每个分母分解因式,然后判断最简公分母.例 1下列各式计算正确的是()A.B.C.D.baba111abmbmam2aabab11011abba【答案】D【解析】本题考查的是分式的通分根据分式的性质对各学项分析即可。，故本选项错误；abbaba11故本选项错误；abambmbmam，故本选项错误；aabbabab111，正确，01111baabba故选 D。例 2分式，的最简公分母是23aa6528baA48a3b2 B24a3b2 C48a2b2 D24a2b2【答案】D【解析】求最简公分母就是求所有分式分母的最小公因数解：三个分式分母的系数项的公因数为 a2b2，常数项的最小公因数为 24，所以三分式的最小公分母是 24a2b2故选 D例 3分式，的最简公分母是（）xy223yxxy41A6xy2 B24xy2 C12xy2 D12xy【答案】C【解析】先求出 2，3，4 的最小公倍数为 12，按照相同字母取最高次幂，所有不同字母都写在积里，于是得到分式，xy2，的最简公分母为 12xy223yxxy41解：2，3，4 的最小公倍数为 12，分式，的最简公分母为 12xy2xy223yxxy41故选 C15.2 分式的运算分式的运算15.2.1 分式的乘除分式的乘除1、分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。式子表示为：a ca cb db d2、分式的乘除法法则：分式除以分式：把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。式子表示为：aca da dbdbbcc3、分式的乘方：把分子、分母分别乘方。式子表示为：nnnbaba例 1等于（）111abcdbcd A.a B.222ab c dC Dad222ab c d【答案】B.【解析】试题分析：原式=222111111aabbccddb c d故选 B.考点：分式的乘除法例 2化简的结果是（）211mmmmAm B Cm1 D1m11m【答案】A【解析】试题分析：原式利用除法法则变形，约分即可得到结果试题解析：原式=211mmmmm故选 A考点：分式的乘除法例 3化简的结果为 【答案】2x【解析】试题分析：首先将分式的各分子和分母进行因式分解，然后将除法改成乘法进行约分化简原式=x（x1）+x=2(1)(1)11xx xxxx-+-2x考点：分式的化简15.2.2 分式的加减分式的加减1、分式的加减法则：同分母分式加减法：分母不变，把分子相加减。式子表示为：cbacbca异分母分式加减法：先通分，化为同分母的分式，然后再加减。式子表示为：bdbcaddcba整式与分式加减法：可以把整式当作一个整数，整式前面是负号，要加括号，看作是分母为 1 的分式，再通分。2、分式的加、减、乘、除、乘方的混合运算的运算顺序先乘方、再乘除、后加减，同级运算中，谁在前先算谁，有括号的先算括号里面的，也要注意灵活，提高解题质量。注意：在运算过程中，要明确每一步变形的目的和依据，注意解题的格式要规范，不要随便跳步，以便查对有无错误或分析出错的原因。加减后得出的结果一定要化成最简分式（或整式）。例 1化简的结果为（）222624xxxxxA B C D214x 212xx12x62xx【答案】C【解析】试题分析：原式=故选 C262(2)(2)xxxx2(2)(6)(2)(2)xxxx2(2)(2)xxx12x考点：分式的加减法例 2化简的结果是（）2933mmmAm+3 Bm3 C D33mm33mm【答案】A【解析】试题分析：利用同分母分式的减法法则计算，原式=29(3)(3)333mmmmmm故选：A考点：分式的加减法例 3计算：+=【答案】2【解析】试题分析：根据同分母的分式相加减，分母不变，只把分子相加减，可解得原式=221 12aaaa 考点：分式的加减例 4化简的结果是（）xxx1112A B C D1x11x1x1xx【答案】A【解析】试题分析：原式=x+1；1112xxx111xxx故选 A考点：分式加减法例 5已知，求代数式的值2410 xx 314xxx【答案】5【解析】试题分析：此题考查了分式的化简与代值计算，熟练掌握运算法则是解本题的关键先正确进行分式的约分，然后准确代值计算即可试题解析：解：原式3444x xxx xx x2344xxxx x22444xxxx，2410 xx 241xx原式1451考点：分式的化简求值15.2.3 整数指数幂整数指数幂1、引入负整数、零指数幂后，指数的取值范围就推广到了全体实数，并且正正整数幂的法则对对负整数指数幂一样适用。即：（）nmnmaaa mnnmaa nnnbbaanmnmaaa0a ）（）（任何不等于零的数的零次幂都等于 1）nnbabanna1na0a10a0a其中 m，n 均为整数。15.3 分式方程分式方程解的步骤：1、去分母，把方程两边同乘以各分母的最简公分母。2、解整式方程，得到整式方程的解。3、检验，把所得的整式方程的解代入最简公分母中：例 1方程的解是（）2053xxAx=3 Bx=-2 Cx=2 Dx=5【答案】C【解析】试题分析：方程两边都乘以 3（5-x），得3x=2（5-x）解得 x=2检验：x=2 时，3（5-x）0，x=2 时原分式方程的解，故选 C考点：解分式方程例 2分式方程的解为（）1123xxA.x=1 B.x=2 C.x=3 D.x=4【答案】C.【解析】试题分析：方程两边同时乘以最简公分母 2x（x1）去分母得 3x3=2x解得 x=3，经检验 x=3 是原分式方程的解，故答案选 C.考点：分式方程的解法.例 3解方程：33122xxx【答案】x=1【解析】试题分析：观察可得 2x=（x2），所以可确定方程最简公分母为：（x2），然后去分母将分式方程化成整式方程求解注意检验试题解析：方程两边同乘以（x2），得：x3+（x2）=3，解得 x=1，检验：x=1 时，x20，x=1 是原分式方程的解考点：解分式方程例 4解分式方程：21124xxx【答案】x=-1.5.【解析】试题分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方程的解试题解析：去分母得：x（x+2）-x2+4=1，解得：x=-1.5，经检验 x=-1.5 是分式方程的解考点：解分式方程