初中数学动点专题.pdf

动点问题动点问题动点问题动点问题：是指图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动所形成的轨迹或变化的图形.顾名思义，动点问题不同于我们一般的几何题目，它的图形是发生运动变化的。解决这类问题的关键解决这类问题的关键：动中求静,找出运动的点（线）和不动的点（线）。要求在熟练掌握三角形、长方形（正方形）、梯形、扇形等图形的图形性质的基本上，通过“对称、平移、旋转”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。从数学思想的层面上要掌握：从数学思想的层面上要掌握：（1）运动观点；（2）方程思想；（3）数形结合思想；（4）分类思想；（5）转化思想等动点问题解题思路：归纳为动点问题解题思路：归纳为 12 个字个字“看要素，表线段，列等式，查结果看要素，表线段，列等式，查结果”。分析动点变化的要素，包括：起点，终点，速度，方向，运动范围等观察哪些是运动的点（线），哪些是固定不动的点（线）明白了点的运动，再把图中的线段长度表示出来用距离（用距离（S）=速度（速度（V）时间（时间（T），以便于下一步的运算利用一些不动的量，长度不变的线段，列出等式。这里有很多变化，动点问题的核心考查也在这里，查结果。查结果。这就涉及到动点问题的又一难点范围。最后一定要将结果返代回题目中进行考查看是否满足题意，不满足的要舍去。例题：例题：梯形 ABCD 中，ADBC，B=90，AD=16cm，AB=6cm，BC=24cm，动点 P 从点 A 开始，沿 AD 边，以 1 厘米/秒的速度向点 D 运动；动点 Q 从点 C 开始，沿 CB 边，以4 厘米/秒的速度向 B 点运动。已知 P、Q 两点分别从 A、C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动。假设运动时间为 t 秒，问：（1）t 为何值时，四边形 PQCD 是平行四边形？（2）在某个时刻，四边形 PQCD 可能是菱形吗？为什么？（3）t 为何值时，四边形 PQCD 是直角梯形？（4）在某个时刻，四边形 PQCD 可能是等腰梯形吗？为什么？我们来通过这道例题，严格按照上面所讲的步骤尝试一次看看。1，看要素。，看要素。其中点 P 和 Q 为动点，其余点问固定点。点 P 运动的起点为点 A，终点为点 D，方向为 AD 方向，速度为 1 厘米/秒。点 Q 运动的起点为点 C，终点为点 B，方向为 CB 方向，速度为 4 厘米/秒。我们可以看到两点是相向运动，点 Q 速度要快。另外大家这里要特别注意点的运动范围：点 P 从 A 到点 D 需 16s，点 Q 从点 C 到点 B 只需 6s，而题目中说“当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动”，所以这道题整个的运动时间最多是 6s，也就是说大家解出的答案不能大于 6 了，这点往往易被大家忽略，也是经常出错的地方。2，表线段。，表线段。运动时间为 t，则 AP=t，CQ=4t，PD=16-t，BQ=24-4t，还可以得到AB=6，CD=103，列等式。，列等式。这里要借助几何图形本身的性质，找出其中的等量关系来列等式。平行四边形：对边相等。PD=CQ，16-t=4t，t=3.2 菱形：四边都相等。PD=CD=CQ=PQ，即 t=3.2 且 PD=12.8，但 PD=CD=10，矛盾，不可能形成菱形。直角梯形：借助四边形 APQB 是矩形，矩形对边也相等。AP=BQ，t=24-4t，t=4.8 等腰梯形：作等腰梯形的两高，底角的两个三角形全等。过点 P，D 分别向 BC 作垂线，垂足为 E，F，则 QE=CF，t-(24-4t)=24-16，t=6.44，查结果。，查结果。我们发现第四问的结果超过 6 了，要舍去，所以题目不可能形成等腰梯形。动点问题常见题型：动点问题常见题型：一、建立函数解析式一、建立函数解析式函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,和动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,1、应用勾股定理建立函数解析式、应用勾股定理建立函数解析式例 1：如图 1,在半径为 6,圆心角为 90的扇形 OAB 的弧 AB 上,有一个动点 P,PH OA,垂足为 H,OPH 的重心为 G.(1)当点 P 在弧 AB 上运动时,线段 GO、GP、GH 中,有无长度保持不变的线段?如果有,请指出这样的线段,并求出相应的长度.(2)设 PH=x，GP=y，求 y 关于 x 的函数解析式，并写自变量 x 的取值范围（即自变量 x 的取值范围).(3)如果PGH 是等腰三角形,试求出线段 PH 的长.解:(1)当点 P 在弧 AB 上运动时,OP 保持不变,于是线段 GO、GP、GH 中,有长度保持不变的线段，这条线段是 GH=NH=OP=2.图 1 (3)2、应用比例式建立函数解析式、应用比例式建立函数解析式例 2：如图 2,在ABC 中,AB=AC=1,点 D,E 在直线 BC 上运动.设 BD=x,CE=y.(1)如果BAC=30,DAE=105,试确定 y 与 x 之间的函数解析式；(2)如果BAC 的度数为,DAE 的度数为,当,满足怎样的关系式时,(1)中 y 与 x 之间的函数解析式还成立?试说明理由.解:(1)在ABC 中,AB=AC,BAC=30,ABC=ACB=75,ABD=ACE=105.BAC=30,DAE=105,DAB+CAE=75,又DAB+ADB=ABC=75,CAE=ADB,ADBEAC,ACBDCEAB,.11xyxy1(2)由于DAB+CAE=,又DAB+ADB=ABC=,且函数关系式成立,290=,整理得.290290当 时,函数解析式 成立.290 xy1例 3:如图 3(1),在ABC 中,ABC=90,AB=4,BC=3.点 O是边 AC 上的一个动点,以点 O 为圆心作半圆,与边 AB 相切于点 D,交线段 OC 于点 E.作 EPED,交射线 AB 于点 P,交射线 CB 于点 F.(1)求证:ADEAEP.(2)设 OA=x,AP=y,求 y 关于 x 的函数解析式,并写出它的定义域.图 3(1)(3)当 BF=1 时,求线段 AP 的长.解:(1)连结 OD.根据题意,得 ODAB,ODA=90,ODA=DEP.又由 OD=OE,得ODE=OED.ADE=AEP,ADEAEP.(2)ABC=90,AB=4,BC=3,AC=5.ABC=ADO=90,ODBC,53xOD,54xADOD=,AD=.AE=.x53x54xx53x58ADEAEP,.()AEADAPAExxyx585458xy5168250 x(3)当 BF=1 时，若 EP 交线段 CB 的延长线于点 F,如图 3，则 CF=4.ADE=AEP,PDE=PEC.FBP=DEP=90,FPB=DPE,F=PDE,F=FEC,CF=CE.5-=4,得.可求 y=2,即 AP=2.x5885x若 EP 交线段 CB 于点 F,如图 3(2),则 CF=2.类似,可得 CF=CE.5-=2,得.x58815x可求得 y=6,即 AP=6.PDEACB3(2)OF综上所述,当 BF=1 时,线段 AP 的长为 2 或 6.3、应用求图形面积的方法建立函数关系式、应用求图形面积的方法建立函数关系式例 4：如图 4,在ABC 中,BAC=90,AB=AC=,A 的半径为 1.若点 O 在 BC 边上运动(与点 B、C 不重合),设 BO=x,AOC 的面积为 y.(1)求 y 关于 x 的函数解析式,并写出函数的定义域.(2)以点 O 为圆心,BO 长为半径作圆 O,求当O 与A相切时,AOC 的面积.解:(1)过点 A 作 AHBC,垂足为 H.BAC=90,AB=AC=,BC=4,AH=BC=2.OC=4-x.图 4,().AHOCSAOC214xy40 x(2)当O 与A 外切时,在 RtAOH 中,OA=,OH=,.解得.1xx2222)2(2)1(xx67x此时,AOC 的面积=.y617674当O 与A 内切时,在 RtAOH 中,OA=,OH=,.解得.1x2x222)2(2)1(xx27x此时,AOC 的面积=.y21274综上所述,当O 与A 相切时,AOC 的面积为或.61721二：动态几何题二：动态几何题动态几何特点-问题背景是特殊图形，（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。点动问题点动问题如图 5，ABC 中，AB=AC=10，BC=12，点 D 在边 BC 上，且 BD=4，以点 D 为顶点作EDF=B，分别交边 AB 于点E，交 AC 或延长线于点 F（1）当 AE=6 时，求 AF 的长；（2）当以点 C 为圆心 CF 长为半径的C 和以点 A 为圆心 AE 长为半径的A 相切时，求BE 的长；（3）当以边 AC 为直径的O 与线段 DE 相切时，求 BE 的长题型背景和区分度测量点 图 5解：（1）证明，代入数据得，AF=2CDFEBDBECDBDCF8CF（2）设 BE=,则利用（1）的方法，x,10 ACd,10 xAExCF32 相切时分外切和内切两种情况考虑：外切，；xx32101024x内切，xx32101017210 x100 xQ当和相切时，的长为或CABE2417210（3）当以边为直径的与线段相切时，ACODE320BE 习习题：1.如图，已知点 F 的坐标为（3，0），点 A、B 分别是某函数图像与 x 轴、y 轴的交点，点P 是此图像上的一动点，设点 P 的横坐标为 x，PF 的长为 d，且 d 与 x 之间满足关系：d=535x(0 x5)，则结论：AF=2 BF=4 OA=5 OB=3，正确结论的序号是 A B C D 所用到的相关知识点：勾股定理解题思路：获得该曲线的解析式即可得到所有的答案。所谓的解析式就是曲线上的某一点的 y 值与 x 值之间的关系。解析式：1)当 P 点的 x 值小于 OF 时，则 P 点解析式：y2=d2-(3-x)2y2=(8-x)(2-x)B 点坐标是（0，4），OB=4,BF=5(勾股数 3,4,5)8525因此 A、C 排除。2)当 P 点的 x 值大于 OF 时，则 P 点解析式：y2=d2-(x-3)2y2=(2+x)(8-x)A 点坐标是（5,0）OA=5，AF=5-3=22585因此 D 排除y yx xO OP PF FB BA ADNMLMNLxxxxyyyyOOOO因此答案是 B.2.一电工沿着如图所示的梯子NL往上爬，当他爬到中点 M 处时，由于地面太滑，梯子沿墙面与地面滑下，设点 M 的坐标为（x，y）（x0）,则 y 与 x 之间的函数关系用图象表示大致是 A B C D所用到的相关知识点：勾股定理、相似三角形。想办法找到 y 和 x 之间的关系式解题思路：获得该曲线的解析式，根据解析式判断图形的样子。设：梯子的长度是 L.从 M 点做轴的垂线。因为 M 点是中点，所以 ON=2x;解析式：y2=()2 -x2 从解析式看，只有图形 A 是正确的。3如图，矩形中，是的中点，点在矩形的边上沿ABCD1AB 2AD MCDP运动，则的面积与点经过的路程之间的函数关系用图ABCMAPMyPx象表示大致是下图中的1123 3.5xy0A1123 3.5xy0B1123 3.5xy01123 3.5xy0DCBAPM 所用到的相关知识点：勾股定理，三角形面积公式。想办法找到和 x 之间的关系式APM解题思路：分段获得与 x 的解析式，根据解析式判断图形的样子。APMADM=1/4 矩形 ABCD;只要得到 APB 和 PCM 的面积，即可求出 APM 的面积。或者直接求出 APM 的面积。分段：第一段：P 在 AB 线段上移动，则 APM=y=*2*x=x 排除了 B、C第二段：P 在 BC 段移动，则 APM=y=2*1 *1*(x-1)*（3-x）=-x 排除了 B第三段：P 在 BC 段移动，则 APM=y=*（1+2+0.5-x）*2=3.5-x 答案是 A4.如图，P是边长为 1 的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在射线BC上，且PE=PB.设AP=x,PBE的面积为y.则能够正确反映y与x之间的函数关系的图象是CDABCDOxy112xy112O211yxO211yxOABCPDE（8 题图）所用到的相关知识点：勾股定理想办法找到 PBE 和 x 之间的关系式解题思路：从 P 点做 AB 的垂线，交与 O 点。则 PBE 的高=1-x；因为 PBE 是等腰三角形，所以 BE=2*x PBE=*2*x*（1-x）PBE=x-x2这是个抛物线方程，故选 A.5.如图，在平面直角坐标系中，两个函数的图象交于点A.动621,xyxy点P从点O开始沿OA方向以每秒 1 个单位的速度运动，作PQx轴交直线BC于点Q，以PQ为一边向下作正方形PQMN，设它与OAB重叠部分的面积为S.（1）求点A的坐标.（2）试求出点P在线段OA上运动时，S与运动时间t（秒）的关系式.（3）在（2）的条件下，S是否有最大值？若有，求出t为何值时，S有最大值，并求出最大值；若没有，请说明理由.所用到的相关知识点：勾股定理、二元一次方程关键要明白正方形 PQMN 和OAB重叠部分的面积为S.什么时候为正方形，什么时候为长方形。1）A 点处，两条直线的 x、y 值相等；x=-x+6 x=42)线段 PQ 与直线的交点，y 值相等。PQ=-x+6 x=6-1 x PQ 相邻边的长度为xS 与 t 的关系，亦即 x 与 t 的关系:x2+x2=(1*t)2 x=t 带入上式：当 PQ 长度大于 x 时，则 S=（6-1 x）*x;S=（6-1*t）*t;当 PQ 长度小于 x 时，则 S=（6-1 x）*（6-1 x）S=（6-1*t）2 当 PQ 长度等于 x 时，则（6-1 x）=x x=S=*3)S 有最大值。即当 PQ=x 时，亦即 t=时，Smax=144/256.如图，直角梯形中，,为坐标原点，点在轴正半轴上，OABCABOCOAy点在轴正半轴上，点坐标为（2，2），=60，于点CxB3BCOBCOH.动点从点出发，沿线段向点运动，动点从点出发，沿线段HPHHOOQO向点运动，两点同时出发，速度都为每秒 1 个单位长度.设点运动的时OAAP间为 秒.t（1）求的长；OH（2）若的面积为（平方单位）.求与 之OPQSSt间的函数关系式.并求 为何值时，的面积最大，tOPQ最大值是多少？所用到的相关知识点：勾股定理、等边、等腰三角形的特征、2 个动点。关键点：点坐标为（2，2），=60；S 的面积的求法。B3BCOABHOQPyxMC1）通过 B 点的坐标知道，ABO=60 OBC=60 三角形 OBC 为等边三角形；OH=OA=2 2)从 P 点做 x 轴的垂线交于 N 点，则的面积为=SOQPN-SOPN OPQSOP=OH-1*t=2-t;因为POC=30 PN=(2-t);ON=(2-t);SOQPN=(OQ+PN)*ON=1*t+(2-t)*(2-t);SOPN=ON*PN=*(2-t)*(2-t)S=*(2-t)*t=*（2t-t2）=*1-(t-1)2当 t=1 时，S 面积最大。S=*1.如图，在梯形中，动点ABCD354 245ADBCADDCABB，从点出发沿线段以每秒 2 个单位长度的速度向终点运动；动点同时从点MBBCCNC出发沿线段以每秒 1 个单位长度的速度向终点运CDD动设运动的时间为 秒t（1）求的长BC从 A 和 D 做 BC 的垂线 A和 D。则 BA=4；DC=3BC=4+3+3=10（2）当时，求 的值MNABt经过 D 点做 AB 的平行线，叫 BC 于 Q 点。则CMCQ=CNCD （10-2t)(10-3)=1*t5 t=5017（3）试探究：为何值时，为等腰三角形tMNC若三角形 MNC 为等腰三角形，就有两种情况需要讨论：第一种：当 CM=CN 时：10-2t=t t=103(秒)第二种：当 MN=CN 时：RTCNPRTCDF NPDF=CNCD NP=4t5 在等腰NMC 中：有（MC2)+NP=CN ADCBMN (5-t)+(4t5)=t 整理得：16t-250t+525=0 解得：t1=258,t2=252(当 t=252 秒时，CN5，舍去)综上，使得MNC 为等腰的运动时间 t 有两个值：t=103 时，CM=CN t=258 时，MN=CN 3、如图，已知、如图，已知中，中，厘米，厘米，厘米，点厘米，点为为的中的中ABC10ABAC8BC DAB点点（1）如果点）如果点 P 在线段在线段 BC 上以上以 3 厘米厘米/秒的速度由秒的速度由 B 点向点向 C 点运动，同时，点点运动，同时，点Q 在线段在线段 CA 上由上由 C 点向点向 A 点运动点运动若点若点 Q 的运动速度与点的运动速度与点 P 的运动速度相等，经过的运动速度相等，经过 1 秒后，秒后，与与BPD是否全等，请说明理由；是否全等，请说明理由；CQP全等的概念是角度和边长都相同。全等的概念是角度和边长都相同。两个三角形中两个三角形中DBP=PCQ;BD=PC(8-3*1);BP=CQ所以，两个三角形全等。若点若点 Q 的运动速度与点的运动速度与点 P 的运动速度不相等，当点的运动速度不相等，当点 Q 的运动速度为的运动速度为多少时，能够使多少时，能够使与与全等？全等？BPDCQP设设 Q 的速度为的速度为 v,要使两个三角形全等，则需要满足下列条件：要使两个三角形全等，则需要满足下列条件：BP=CP;BD=QC BD=5=vt;BP=4=3*t t=4/3 v=15/4 厘米厘米/秒秒（2）若点）若点 Q 以以中的运动速度从点中的运动速度从点 C 出发，点出发，点 P 以原来的运动速度从点以原来的运动速度从点 B 同同时出发，都逆时针沿时出发，都逆时针沿三边运动，求经过多长时间点三边运动，求经过多长时间点 P 与点与点 Q 第一次在第一次在ABC的哪条边上相遇？的哪条边上相遇？ABC追击问题追击问题4、直线、直线364yx 与坐标轴分别交于与坐标轴分别交于AB、两点，动点两点，动点PQ、同时从同时从O点出发，点出发，同时到达同时到达A点，运动停止点点，运动停止点Q沿线段沿线段OA运动，速度为每秒运动，速度为每秒 1 个单位长度，个单位长度，点点P沿路线沿路线OBA运动运动（1）直接写出）直接写出AB、两点的坐标；两点的坐标；A(8，0)B(0，6)xAOQPByAQCDBP（2）设点）设点Q的运动时间为的运动时间为t秒，秒，OPQ的面积为的面积为S，求出，求出S与与t之间的函数关之间的函数关系式；系式；所用的知识：勾股定理，距离、速度、时间关系式，相似三角形。注意所给的所用的知识：勾股定理，距离、速度、时间关系式，相似三角形。注意所给的数字数字的相关性的相关性;解题思路：要找到解题思路：要找到 P 的运动速度，分段列式；的运动速度，分段列式；由问由问 1 得知，得知，AB=10，P 速度速度=（10+6）/8=2P 在在 OB 段运动时：段运动时：S=(1*t)*(2*t)=t2P 在在 AB 段运动时段运动时,BP=2t-OB=2t-6;则则 P 点的坐标是：点的坐标是：横坐标横坐标=OA*BP/AB=0.8(2t-6)纵坐标纵坐标=OB*BP/AB=0.6(2t-6)S=(1*t)*0.6*(2t-6)=0.3*(2t-6)t4.有一根直尺的短边长 2，长边长 10，还有一块锐角为 45的直角三角形纸板，它的斜边长 12cm.如图 12，将直尺的短边 DE 放置与直角三角形纸板的斜边 AB 重合，且点 D 与点 A 重合.将直尺沿 AB 方向平移(如图 13)，设平移的长度为 xcm(0 x10)，直尺和三角形纸板的重叠部分(图中阴影部分)的面积为S2.(1)当 x=0 时(如图 12)，S=_2*2/2=2_；当 x=10 时，S=（10+12）*2/2=_22_(2)当 0 x4 时(如图 13)，求 S 关于 x 的函数关系式；2)S=(x+x+2)*2/2=2x+2 (0 x4)(图 12)(D)EFCBAxFEGABCD(图 13)不妨用直尺和三角板做一做模拟实验，问题就容易解决了！