高中数学导数与积分知识点.pdf

高中数学教案高中数学教案导数、定积分导数、定积分一课标要求：一课标要求：1导数及其应用（1）导数概念及其几何意义 通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；通过函数图像直观地理解导数的几何意义。（2）导数的运算 能根据导数定义求函数 y=c，y=x，y=x2，y=x3，y=1/x，y=x 的导数；能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如 f（ax+b）的导数；会使用导数公式表。（3）导数在研究函数中的应用 结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间；结合函数的图像，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。（4）生活中的优化问题举例例如，使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用。（5）定积分与微积分基本定理 通过实例（如求曲边梯形的面积、变力做功等），从问题情境中了解定积分的实际背景；借助几何直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的概念；通过实例（如变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系），直观了解微积分基本定理的含义。（6）数学文化收集有关微积分创立的时代背景和有关人物的资料，并进行交流；体会微积分的建立在人类文化发展中的意义和价值。具体要求见本标准中数学文化的要求。二命题走向二命题走向导数是高中数学中重要的内容，是解决实际问题的强有力的数学工具，运用导数的有关知识，研究函数的性质：单调性、极值和最值是高考的热点问题。在高考中考察形式多种多样，以选择题、填空题等主观题目的形式考察基本概念、运算及导数的应用，也经常以解答题形式和其它数学知识结合起来，综合考察利用导数研究函数的单调性、极值、最值.三要点精讲三要点精讲1导数的概念函数 y=f(x),如果自变量 x 在 x 处有增量，那么函数 y 相应地有增量=f（x+0 xy0）f（x），比值叫做函数 y=f（x）在 x 到 x+之间的平均变化率，即=x0 xy00 xxy。xxfxxf)()(00 如果当时，有极限，我们就说函数 y=f(x)在点 x 处可导，并把这个0 xxy0极限叫做 f（x）在点 x 处的导数，记作 f（x）或 y|。000 xx即 f（x）=。00limxxy0limxxxfxxf)()(00说明：（1）函数 f（x）在点 x 处可导，是指时，有极限。如果不存在极00 xxyxy限，就说函数在点 x 处不可导，或说无导数。0（2）是自变量 x 在 x 处的改变量，时，而是函数值的改变量，可以x00 xy是零。由导数的定义可知，求函数 y=f（x）在点 x 处的导数的步骤（可由学生来归纳）：0（1）求函数的增量=f（x+）f（x）；y0 x0（2）求平均变化率=；xyxxfxxf)()(00（3）取极限，得导数 f(x)=。0 xyx0lim2导数的几何意义 函数 y=f（x）在点 x 处的导数的几何意义是曲线 y=f（x）在点 p（x，f（x）000处的切线的斜率。也就是说，曲线 y=f（x）在点 p（x，f（x）处的切线的斜率是 f00（x）。相应地，切线方程为 yy=f/（x）（xx）。00003常见函数的导出公式（）（C 为常数）（）0)(C1)(nnxnx（）（）xxcos)(sinxxsin)(cos4两个函数的和、差、积的求导法则法则 1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，即：(.)vuvu法则 2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即：.)(uvvuuv若 C 为常数,则.即常数与函数的积的导数等于常0)(CuCuCuuCCu数乘以函数的导数：.)(CuCu法则 3 两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：=（v0）。vu2vuvvu形如 y=f的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解求导回代。x()法则：y|=y|u|XUX5导数的应用（1）一般地，设函数在某个区间可导，如果，则为增函数；)(xfy f)(x0)(xf如果，则为减函数；如果在某区间内恒有，则为常数；f0)(x)(xff0)(x)(xf（2）曲线在极值点处切线的斜率为 0，极值点处的导数为 0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；（3）一般地，在区间a，b上连续的函数 f在a，b上必有最大值与最小值。)(x求函数 在(a，b)内的极值；求函数 在区间端点的值(a)、(b)；将函数)(x)(x 的各极值与(a)、(b)比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。)(x6定积分（1）概念设函数f(x)在区间a，b上连续，用分点ax0 x1xi1xixnb把区间a，b等分成n个小区间，在每个小区间xi1，xi上取任一点i（i1，2，n）作和式In(i)x（其中x为小区间长度），把n即x0 时，和式In的极限叫做函数nif1f(x)在区间a，b上的定积分，记作：，即(i)x。badxxf)(badxxf)(ninf1lim这里，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间a，b叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式。基本的积分公式：C；C（mQ Q，m1）；dx0dxxm111mxmdxlnC；C；C；sinxC；x1xdxexxedxaxaaxlnxdxcosxdxsincosxC（表中C均为常数）。（2）定积分的性质（k为常数）；babadxxfkdxxkf)()(；bababadxxgdxxfdxxgxf)()()()(（其中bacabcdxxfdxxfdxxf)()()(acb。)（3）定积分求曲边梯形面积由三条直线xa，xb（ab），x轴及一条曲线yf（x）(f(x)0)围成的曲边梯的面积。badxxfS)(如果图形由曲线y1f1(x)，y2f2(x)（不妨设f1(x)f2(x)0），及直线xa，xb（ab）围成，那么所求图形的面积SS曲边梯形AMNBS曲边梯形DMNC。babadxxfdxxf)()(21四典例解析四典例解析题型 1：导数的概念例 1已知 s=，（1）计算 t 从 3 秒到 3.1 秒、3.001 秒、3.0001 秒.各段221gt内平均速度；（2）求 t=3 秒是瞬时速度。解析：（1）指时间改变量；tt,1.031.3,1.3,3指时间改变量。.3059.03211.321)3()1.3(22ggssss。059.313059.0tsv其余各段时间内的平均速度，事先刻在光盘上，待学生回答完第一时间内的平均速度后，即用多媒体出示，让学生思考在各段时间内的平均速度的变化情况。（2）从（1）可见某段时间内的平均速度随变化而变化，越小，越接近tsttts于一个定值，由极限定义可知，这个值就是时，的极限，0ttsV=0limxts0limxtsts)3()3(0limxtgtg22321)3(21=（6+=3g=29.4(米/秒)。g210limx)t例 2求函数 y=的导数。24x解析：，2222)()2(44)(4xxxxxxxxxy，22)(24xxxxxxy=-。00limlimxxxy22)(24xxxxx38x点评：掌握切的斜率、瞬时速度，它门都是一种特殊的极限，为学习导数的定义奠定基础。题型 2：导数的基本运算例 3（1）求的导数；)11(32xxxxy（2）求的导数；)11)(1(xxy（3）求的导数；2cos2sinxxxy（4）求 y=的导数；xxsin2（5）求 y的导数。xxxxx9532解析：（1）,2311xxyQ.2332xxy（2）先化简,2121111xxxxxxy.112121212321xxxxy（3）先使用三角公式进行化简.xxxxxysin212cos2sin.cos211)(sin21sin21xxxxxy（4）y=；xxxxx222sin)(sin*sin)(xxxxx22sincossin2（5）yxQ233x219xy*（x）x）*（）2321(x2321x21。23x1)11(292xx点评：（1）求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；（2）有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量。例 4写出由下列函数复合而成的函数：（1）y=cosu,u=1+（2）y=lnu,u=lnx2X解析：（1）y=cos(1+)；2X（2）y=ln(lnx)。点评：通过对 y=（3x-2展开求导及按复合关系求导，直观的得到=.给出2)xyuyxu复合函数的求导法则，并指导学生阅读法则的证明。题型 3：导数的几何意义例 5（1）若曲线的一条切线 与直线垂直，则 的方程为（4yxl480 xyl）A B C D430 xy450 xy430 xy430 xy（2）过点（1，0）作抛物线的切线，则其中一条切线为（）21yxx（A）（B）（C）（D）220 xy330 xy10 xy 10 xy 解析：（1）与直线垂直的直线 为，即在某一点480 xyl40 xym4yx的导数为 4，而，所以在(1，1)处导数为 4，此点的切线为，34yx 4yx430 xy故选 A；（2），设切点坐标为，则切线的斜率为 2，且21yx 00(,)xy01x，于是切线方程为，因为点（1，0）20001yxx200001(21)()yxxxxx 在切线上，可解得0 或4，代入可验正 D 正确，选 D。0 x点评：导数值对应函数在该点处的切线斜率。例 6（1）半径为 r 的圆的面积 S(r)r2,周长 C(r)=2r，若将 r 看作(0，)上的变量，则(r2)2r ，式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的 1 1周长函数。对于半径为 R 的球，若将 R 看作(0，)上的变量，请你写出类似于的式子：1 ；式可以用语言叙述为：2 2。（2）曲线和在它们交点处的两条切线与轴所围成的三角形面积是 1yx2yxx。解析：（1）V球，又 故式可填，用343R32443RR（）232443RR（）语言叙述为“球的体积函数的导数等于球的表面积函数。”；（2）曲线和在它们的交点坐标是(1，1)，两条切线方程分别是 y=x+2xy12xy 和 y=2x1，它们与轴所围成的三角形的面积是。x43点评：导数的运算可以和几何图形的切线、面积联系在一起，对于较复杂问题有很好的效果。题型 4：借助导数处理单调性、极值和最值例 7（1）对于 R 上可导的任意函数f（x），若满足（x1）0，则必有（fx（）Af（0）f（2）2f（1）B.f（0）f（2）2f（1）Cf（0）f（2）2f（1）D.f（0）f（2）2f（1）（2）函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，)(xf),(ba)(xf),(ba则函数在开区间内有极小值点（）)(xf),(baA1 个 B2 个 C3 个 D 4 个（3）已知函数。（）设，讨论的单调性；（）11axxf xex0a yf x若对任意恒有，求的取值范围。0,1x 1f x a解析：（1）依题意，当 x1 时，f（x）0，函数 f（x）在（1，）上是增函数；当 x1 时，f（x）0，f（x）在（，1）上是减函数，故 f（x）当 x1 时取得最小值，即有 f（0）f（1），f（2）f（1），故选 C；（2）函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，)(xf),(ba)(xf),(ba函数在开区间内有极小值的点即函数由减函数变为增函数的点，其导数值为由)(xf),(ba负到正的点，只有 1 个，选 A。（3）：()f(x)的定义域为(,1)(1,+).对 f(x)求导数得 f(x)=eax。ax2+2a(1x)2()当 a=2 时,f(x)=e2x,f(x)在(,0),(0,1)和(1,+)均大于2x2(1x)20,所以 f(x)在(,1),(1,+).为增函数；()当 0a0,f(x)在(,1),(1,+)为增函数.；()当 a2 时,01,令 f(x)=0,解得 x1=,x2=；a2aa2aa2a当 x 变化时,f(x)和 f(x)的变化情况如下表:x(,)a2a(,)a2aa2a(,1)a2a(1,+)f(x)f(x)f(x)在(,),(,1),(1,+)为增函数,f(x)在(,)为a2aa2aa2aa2a减函数。()()当 0f(0)=1；()当 a2 时,取 x0=(0,1),则由()知 f(x0)1 且 eax1，1+x1x得：f(x)=eax 1.综上当且仅当 a(,2时,对任意 x(0,1)恒1+x1x1+x1x有 f(x)1。点评：注意求函数的单调性之前，一定要考虑函数的定义域。导函数的正负对应原函数增减。例 8（1）在区间上的最大值是（）32()32f xxx1,1(A)2 (B)0 (C)2 (D)4（2）设函数f(x)=（）求f(x)的单调区间；（）3223(1)1,1.xaxa其中讨论f(x)的极值。解析：（1），令可得 x0 或 2（2 舍去），当2()363(2)fxxxx x()0fx1x0 时，0，当 0 x1 时，0，所以当 x0 时，f（x）取得最大值为()fx()fx2。选 C；（2）由已知得，令，解得 。()6(1)fxx xa()0fx 120,1xxa（）当时，在上单调递增；1a 2()6fxx()f x(,)当时，随的变化情况如下表：1a()61fxx xa(),()fxf xxx(,0)0(0,1)a1a(1,)a()fx+00()f xZ极大值极小值Z从上表可知，函数在上单调递增；在上单调递减；在()f x(,0)(0,1)a上单调递增。(1,)a（）由（）知，当时，函数没有极值；当时，函数在1a()f x1a()f x处取得极大值，在处取得极小值。0 x 1xa31(1)a点评：本小题主要考查利用导数研究函数的最大值和最小值的基础知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力。题型 5：导数综合题例 9设函数分别在处取得极小值、极大值.平面上点3()32f xxx 12xx、xoy的坐标分别为、，该平面上动点满足,点是点AB、11()x f x（,）22()xf x（,）P4PA PB uu u r uu u rQ关于直线的对称点.求P2(4)yx(I)求点的坐标；AB、(II)求动点的轨迹方程.Q解析：()令解得；033)23()(23xxxxf11xx或当时,，当时,，当时，。1x0)(xf11x0)(xf1x0)(xf所以,函数在处取得极小值,在取得极大值,故,1x1x1,121xx。4)1(,0)1(ff所以,点 A、B 的坐标为。)4,1(),0,1(BA（）设，),(nmp),(yxQ，4414,1,122nnmnmnmPBPA，所以。21PQk21mxny又 PQ 的中点在上，所以，消去得)4(2xy4222nxmynm,。92822yx点评：该题是导数与平面向量结合的综合题。例 10已知函数,数列满足:证明:()sinf xxxna1101,(),1,2,3,.nnaaf anL()；()。101nnaa3116nnaa证明:（I）先用数学归纳法证明，1,2,3,01na (i).当 n=1 时,由已知显然结论成立。(ii).假设当 n=k 时结论成立,即。01ka因为 0 x0 成立。01x于是故。31()0,sin06nnnng aaaa即3116nnaa点评：该题是数列知识和导数结合到一块。题型 6：导数实际应用题例 11请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为 1m 的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为 3m 的正六棱锥（如右图所示）。试问当帐篷的顶点O到底面中心的距离为多少时，帐篷的体积最大？1o本小题主要考查利用导数研究函数的最大值和最小值的基础知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力。解析：设 OO1为 x m,则由题设可得正六棱锥底面边长为（单位：m）。2223(1)82xxx于是底面正六边形的面积为（单位：m2）：。2222233 33(1)6(82)(82)42xxxxxgg帐篷的体积为（单位：m3）：233 313()(82)(1)1(16 12)232V xxxxxx求导数，得；23()(123)2V xx令解得 x=-2(不合题意，舍去),x=2。()0V x当 1x2 时，,V(x)为增函数；当 2x0。422229)3(tkbbtkkvFzu当 x=0 时，t=0；当 x=a 时，311)(batt又 ds=vdt，故阻力所作的功为：3277130320302727727)3(111baktkbdtbtkdtvkdtvkvdsFWtttzuzu（2）依题设可知抛物线为凸形，它与 x 轴的交点的横坐标分别为 x1=0，x2=b/a，所以(1)320261)(badxbxaxSab又直线 xy=4 与抛物线 y=ax2bx 相切，即它们有唯一的公共点，由方程组bxaxyyx24得 ax2(b1)x4=0，其判别式必须为 0，即(b1)216a=0于是代入（1）式得：,)1(1612ba，；)0(,)1(6128)(43bbbbS52)1(3)3(128)(bbbbS令 S(b)=0；在 b0 时得唯一驻点 b=3，且当 0b3 时，S(b)0；当 b3 时，S(b)0故在 b=3 时，S(b)取得极大值，也是最大值，即 a=1，b=3 时，S 取得最大值，且。29maxS点评：应用好定积分处理平面区域内的面积。五思维总结五思维总结1本讲内容在高考中以填空题和解答题为主主要考查：（1）函数的极限；（2）导数在研究函数的性质及在解决实际问题中的应用；（3）计算曲边图形的面积和旋转体的体积。2考生应立足基础知识和基本方法的复习，以课本题目为主，以熟练技能，巩固概念为目标。