初中数学反比例函数知识点及经典例题.pdf

反比例函数反比例函数一、基础知识一、基础知识1.1.定义：一般地，形如定义：一般地，形如（为常数，为常数，）的函数称为反比例函数。）的函数称为反比例函数。xky kok 还可以写成还可以写成xky kxy 12.2.反比例函数解析式的特征：反比例函数解析式的特征：等号左边是函数等号左边是函数，等号右边是一个分式。分子是不为零的常数，等号右边是一个分式。分子是不为零的常数（也叫（也叫yk做比例系数做比例系数），分母中含有自变量，分母中含有自变量，且指数为，且指数为 1.1.kx比例系数比例系数0k自变量自变量的取值为一切非零实数。的取值为一切非零实数。x函数函数的取值是一切非零实数。的取值是一切非零实数。y3.3.反比例函数的图像反比例函数的图像图像的画法：描点法图像的画法：描点法 列表（应以列表（应以 O O 为中心，沿为中心，沿 O O 的两边分别取三对或以上互为相反的数）的两边分别取三对或以上互为相反的数）描点（有小到大的顺序）描点（有小到大的顺序）连线（从左到右光滑的曲线）连线（从左到右光滑的曲线）反比例函数的图像是双曲线，反比例函数的图像是双曲线，（为常数，为常数，）中自变量）中自变量，xky k0k0 x函数值函数值，所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐，所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐0y渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交。渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交。反比例函数的图像是是轴对称图形（对称轴是反比例函数的图像是是轴对称图形（对称轴是或或）。xy xy反比例函数反比例函数（）中比例系数）中比例系数的几何意义是：过双曲线的几何意义是：过双曲线 xky 0kkxky（）上任意引）上任意引轴轴轴的垂线，所得矩形面积为轴的垂线，所得矩形面积为。0kxyk4 4反比例函数性质如下表：反比例函数性质如下表：的取值的取值k图像所在象限图像所在象限函数的增减性函数的增减性ok 一、三象限一、三象限在每个象限内，在每个象限内，值随值随的增大而减小的增大而减小yxok 二、四象限二、四象限在每个象限内，在每个象限内，值随值随的增大而增大的增大而增大yx5.5.反比例函数解析式的确定：利用待定系数法（只需一对对应值或图像上一个反比例函数解析式的确定：利用待定系数法（只需一对对应值或图像上一个点的坐标即可求出点的坐标即可求出）k6 6“反比例关系反比例关系”与与“反比例函数反比例函数”：成反比例的关系式不一定是反比例函数：成反比例的关系式不一定是反比例函数,但是反比例函数但是反比例函数中的两个变量必成反比例关系。中的两个变量必成反比例关系。xky 7.7.反比例函数的应用反比例函数的应用二、例题二、例题【例例 1】1】如果函数如果函数的图像是双曲线，且在第二，四象限内，那么的的图像是双曲线，且在第二，四象限内，那么的222kkkxy值是多少？值是多少？【解析解析】有函数图像为双曲线则此函数为反比例函数有函数图像为双曲线则此函数为反比例函数，（）即）即xky 0kkxy（）又在第二，四象限内，则）又在第二，四象限内，则可以求出的值可以求出的值10k0k【答案答案】由反比例函数的定义，得：由反比例函数的定义，得：解得解得01222kkk0211kkk或1k时函数时函数为为1k222kkkxyxy1【例例 2】2】在反比例函数在反比例函数的图像上有三点的图像上有三点，xy11x1y2x2y3x3y。若。若则下列各式正确的是（则下列各式正确的是（）3210 xxxA A B B C C D D 213yyy123yyy321yyy231yyy【解析解析】可直接以数的角度比较大小，也可用图像法，还可取特殊值法。可直接以数的角度比较大小，也可用图像法，还可取特殊值法。解法一：由题意得解法一：由题意得，111xy221xy331xy，所以选所以选 A A3210 xxxQ213yyy解法二：用图像法，在直角坐标系中作出解法二：用图像法，在直角坐标系中作出的图像的图像xy1描出三个点，满足描出三个点，满足观察图像直接得到观察图像直接得到选选 A A3210 xxx213yyy解法三：用特殊值法解法三：用特殊值法213321321321,1,1,211,1,2,0yyyyyyxxxxxx令Q【例例 3】3】如果一次函数如果一次函数相交于点相交于点的图像与反比例函数xmnymnmxy30（），那么该直线与双曲线的另一个交点为（，那么该直线与双曲线的另一个交点为（）221，【解析解析】12132212213nmmnnmxxmnynmxy解得，相交于与双曲线直线QoyxyxoyxoyxoA B C D221111121,122211yxyxxyxyxyxy得解方程组双曲线为直线为11，另一个点为【例例 4】4】如图，在如图，在中，点中，点是直线是直线与双曲线与双曲线在第一象在第一象AOBRtAmxyxmy 限的交点，且限的交点，且，则，则的值是的值是_._.2AOBSm图图解解:因为直线因为直线与双曲线与双曲线过点过点,设设点的坐标为点的坐标为.mxyxmy AAAAyx,则有则有.所以所以.AAAAxmymxy,AAyxm 又点又点在第一象限在第一象限,所以所以.AAAAAyyABxxOB,所以所以.而已知而已知.myxABOBSAAAOB2121212AOBS 所以所以.4m三、练习题三、练习题1.1.反比例函数反比例函数的图像位于（的图像位于（）xy2A A第一、二象限第一、二象限 B B第一、三象限第一、三象限 C C第二、三象限第二、三象限 D D第二、四象限第二、四象限2.2.若若与与成反比例，成反比例，与与成正比例，则成正比例，则是是的（的（）yxxzyzA A、正比例函数、正比例函数 B B、反比例函数、反比例函数 C C、一次函数、一次函数D D、不能确定、不能确定3.3.如果矩形的面积为如果矩形的面积为 6cm6cm2 2，那么它的长，那么它的长cmcm 与宽与宽cmcm 之间的函数图象大致为之间的函数图象大致为（yx）4.4.某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压气球内气体的气压 P P (kPakPa )是气体体积是气体体积 V V (m m3 3 )的反比例函数，其图象如图所示当气球内气压大于的反比例函数，其图象如图所示当气球内气压大于 120120 kPakPa 时，气球将爆炸为了安全起见，气球的体积应时，气球将爆炸为了安全起见，气球的体积应（）A A、不小于、不小于m m3 3 B B、小于、小于m m3 3 C C、不小于、不小于m m3 3 D D、小于、小于m m3 354544545 5 5如图如图 ，A A、C C 是函数是函数的图象上的任意两点，过的图象上的任意两点，过 A A 作作xy1轴的垂线，垂足为轴的垂线，垂足为 B B，过，过 C C 作作 y y 轴的垂线，垂足为轴的垂线，垂足为 D D，记，记xRtAOBRtAOB 的面积为的面积为 S S1 1，RtCODRtCOD 的面积为的面积为 S S2 2则则 （）A A S S1 1 S S2 2 B B S S1 1 SS2 2 C C S S1 1=S=S2 2 D D S S1 1与与 S S2 2的大小关系不能确的大小关系不能确定定6 6关于关于 x x 的一次函数的一次函数 y=-2x+my=-2x+m 和反比例函数和反比例函数 y=y=的图象都经过点的图象都经过点 A A（-1nx2 2，1 1）.求：（求：（1 1）一次函数和反比例函数的解析式；（）一次函数和反比例函数的解析式；（2 2）两函数图象的另一个交）两函数图象的另一个交点点 B B 的坐标；的坐标；（3 3）AOBAOB 的面积的面积7.7.如图所示，一次函数如图所示，一次函数y yaxaxb b的图象与反比例函数的图象与反比例函数y y 的图象交于的图象交于k kx xA A、B B 两点，与两点，与x x轴交于点轴交于点 C C已知点已知点 A A 的坐标为（的坐标为（2 2，1 1），点，点 B B 的坐标为的坐标为 OyxABCD（，m m）1 12 2（1 1）求反比例函数和一次函数的解析式；）求反比例函数和一次函数的解析式；（2 2）根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的）根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x x的取值范围的取值范围 O OC CA AB B8 8 某蓄水池的排水管每小时排水某蓄水池的排水管每小时排水 8 8m m3 3，6 6 小时可将满池水全部排空小时可将满池水全部排空（1 1）蓄水池的容积是多少？）蓄水池的容积是多少？（2 2）如果增加排水管，使每小时的排水量达到）如果增加排水管，使每小时的排水量达到 Q Q（m m3 3），那么将满池水排空，那么将满池水排空所需的时间所需的时间t t（h h）将如何变化？）将如何变化？（3 3）写出）写出t t与与 Q Q 的关系式的关系式（4 4）如果准备在）如果准备在 5 5 小时内将满池水排空，那么每小时的排水量至少为多少？小时内将满池水排空，那么每小时的排水量至少为多少？（5 5）已知排水管的最大排水量为每小时）已知排水管的最大排水量为每小时 1212m m3 3，那么最少需多长时间可将满，那么最少需多长时间可将满池水全部排空？池水全部排空？.9.9.某商场出售一批名牌衬衣，衬衣进价为某商场出售一批名牌衬衣，衬衣进价为 6060 元，在营销中发现，该衬衣的日元，在营销中发现，该衬衣的日销售量销售量 y y（件）是日销售价（件）是日销售价 x x 元的反比例函数，且当售价定为元的反比例函数，且当售价定为 100100 元元/件时，每件时，每日可售出日可售出 3030 件件.（1 1）请写出）请写出 y y 关于关于 x x 的函数关系式；的函数关系式；（2 2）该商场计划经营此种衬衣的日销售利润为）该商场计划经营此种衬衣的日销售利润为 18001800 元，则其售价应为多少元？元，则其售价应为多少元？1010如图，在直角坐标系如图，在直角坐标系 xOyxOy 中，一次函数中，一次函数 y ykxkxb b 的图象与反比例函数的图象与反比例函数的图象交于的图象交于 A(-2A(-2，1)1)、B(1B(1，n)n)两点。两点。myx(1)(1)求上述反比例函数和一次函数的表达式；求上述反比例函数和一次函数的表达式；(2)(2)求求AOBAOB 的面积。的面积。四、课后作业四、课后作业1 1对与反比例函数对与反比例函数，下列说法不正确的是（，下列说法不正确的是（）xy2A A点（点（）在它的图像上）在它的图像上 1,2 B B它的图像在第一、三象限它的图像在第一、三象限C C当当时，时，0 x的增大而增大随xyD D当当时，时，0 x的增大而减小随xy2.2.已知反比例函数已知反比例函数的图象经过点（的图象经过点（1 1，-2-2），则这个函数的图象一定，则这个函数的图象一定0kykx经过经过（）A A、（2 2，1 1）B B、（2 2，-1-1）C C、（2 2，4 4）D D、（-1-1，-2-2）3 3在同一直角坐标平面内，如果直线在同一直角坐标平面内，如果直线与双曲线与双曲线没有交点，那么没有交点，那么xky1xky2和和的关系一定是（的关系一定是（）1k2kA.A.+=0=0B.B.000 D.D.=1k2k1k2k1k2k1k2k4.4.反比例函数反比例函数y y 的图象过点的图象过点 P P（1.51.5，2 2），则，则k k_k kx x5.5.点点 P P（2 2m m3 3，1 1）在反比例函数）在反比例函数y y 的图象上，则的图象上，则m m_1 1x x6.6.已知反比例函数的图象经过点（已知反比例函数的图象经过点（m m，2 2）和（）和（2 2，3 3）则）则m m的值为的值为_7.7.已知反比例函数已知反比例函数的图象上两点的图象上两点，当，当时，时，xmy21 2211,yxByxA210 xx有有，则，则的取值范围是？的取值范围是？21yy m8.8.已知已知 y y 与与 x-1x-1 成反比例，并且成反比例，并且 x x-2-2 时时 y y7 7，求：，求：(1)(1)求求 y y 和和 x x 之间的函数关系式；之间的函数关系式；(2)(2)当当 x=8x=8 时，求时，求 y y 的值；的值；(3)y(3)y-2-2 时，时，x x 的值。的值。9.9.已知已知,且反比例函数且反比例函数的图象在每个象限内，的图象在每个象限内，随随的增大而增的增大而增3bxby1yx大大,如果点如果点在双曲线上在双曲线上，求，求 a a 是多少？是多少？3,axby1