线性规划例题集锦.ppt

1)若若z=2x+y,求求z的最值的最值.解：画出可行域如图：解：画出可行域如图：画出直线画出直线2x+y=0并平移得点并平移得点A使使Z最大，点最大，点B使使Z最小。最小。2x+y=0由由 求出求出A 为（为（5,2)。由由 求出求出B为（为（1，1)。(2)若若z=2x-y,求求z的最值的最值.解：画出可行域如图：画直线2x-y=0并平移得点A使Z最大，点C使Z最小。由 可得C为（1,4.4）由 可得A为（5,2）(3)若若z=x2+y2,求求z的最值的最值.解：画出可行域如图：解：画出可行域如图：表示可行域内的点表示可行域内的点（x,y)到原点的距离的平方，到原点的距离的平方，由由 求出求出A 为（为（5,2)。由由 求出求出B为（为（1，1)。由图可得点由图可得点A使使Z最大，点最大，点B 使使Z最小。最小。解：画出可行域如图：解：画出可行域如图：由由 求出求出A 为（为（5,2)。由图可得点由图可得点C使使Z最大，点最大，点A使使Z最小。最小。(4)若若 求求z 的最值的最值.表示可行域内的点表示可行域内的点（x,y)与原点连线的斜率，与原点连线的斜率，由 可得C为（1,4.4）(5)求可行域的面积和求可行域的面积和整点个数整点个数.解：画出可行域如图解：画出可行域如图：求求A出为（出为（5,2），），B为为(1，1)，C为为(1,4.4）。）。v例1某校食堂以面食和米食某校食堂以面食和米食为为主，面食每百主，面食每百克含蛋白克含蛋白质质6个个单单位，含淀粉位，含淀粉4个个单单位，售价位，售价0.5元；米食每百克含蛋白元；米食每百克含蛋白质质3个个单单位，含淀粉位，含淀粉7个个单单位，售价位，售价0.4元学校要元学校要给给学生配制成盒学生配制成盒饭饭，每，每盒至少有盒至少有8个个单单位的蛋白位的蛋白质质和和10个个单单位的淀粉，位的淀粉，应应如何配制盒如何配制盒饭饭，才既科学又使，才既科学又使费费用最少用最少？v解析：这是一个最优化问题，应先设出目标变量和关键变量并建立目标函数，然后根据目标函数的类型，选择合适的方法求最值。目标函数往往是一元二次函数或分式函数或三角函数或二元函数。如是一元二次函数一般用配方法求最值，如是三角函数一般用化一角一函数的方法求最值，如是分式函数一般用基本不等式法求最值，如是二元函数一般用线性规划法求最值，有时也可用基本不等式法求最值。2021/5/276解：设每份盒饭中面食为x百克，米食为y百克，费用z元。目标函数为：z0.5x0.4y线性约束条件为：画出可行域如图：画出直线画出直线 0.5x+0.4y=0 并平移得点并平移得点A使使Z最最小。小。0.5x+0.4y=0 A 求出点A 为所以每份盒饭中有面食 百克，米食为 百克，费用最省。2021/5/277例2某工厂生产甲、乙两种产品，每生产1 t产品需要的电力、煤、劳动力及产值如下表所示：品种电力(千度)煤(吨)劳动力(人)产值(千元)甲4357乙6639v该厂的劳动力满员150人，根据限额每天用电不超过180千度，用煤每天不得超过150 t，问每天生产这两种产品各多少时，才能创造最大的经济效益？2021/5/278解：设每天生产甲产品x吨，乙产品y吨，可得产值z千元。目标函数为：z7x9y线性约束条件为：画出可行域如图：画出直线画出直线7x+9y=0 并平移得点并平移得点P使使Z最小。最小。求出点P 为所以每天生产甲产品 吨，乙产品 吨时，效益最大。2021/5/279Q已知 满足不等式求：(1).的范围;(2).的范围.解:(1)表示可行域内任一点与定点Q（0,-3）连线的斜率,因为所以的范围为例4关闭程序返回首页BCA2021/5/2710(2).表示可行域内任一点与定点因为R（-1,-2）连线的斜率,R所以的范围为点评：此类问题转化为可行域内的点到定点的斜率.关闭程序返回首页BCA2021/5/2711N求：(1).最大值和最小值;(2).最大值和最小值;解:(1)表示可行域内任一点到原点的距离的平方.过向直线作垂线,垂足非别为易知,到距离最大,此时例3已知 满足不等式关闭程序返回首页BCA2021/5/2712P3.(2).解:表示可行域内任一点到定点距离的平方再减去1.过作直线的垂线,垂足是由直角三角形直角边与斜边关系,容易判断出的最小值是的最大值为点评：此类问题转化为可行域内的点到定点的距离.关闭程序返回首页MBCA2021/5/2713变式训练1某人需要补充维生素，现有甲、乙两种维生素胶囊，这两种胶囊都含有维生素A，C，D，E和最新发现的Z，甲种胶囊每粒含有维生素A，C，D，E，Z分别是1 mg,1 mg,4 mg,4 mg,5 mg；乙种胶囊每粒含有维生素A，C，D，E，Z分别是3 mg,2 mg,1 mg,3 mg,2 mg.若此人每天摄入维生素A至多19 mg，维生素C至多13 mg，维生素D至多24 mg，维生素E至少12 mg，那么他每天应服两种胶囊各多少粒才能满足维生素的需要量，并能获得最大量的维生素Z2021/5/27142021/5/2715作出不等式组表示的平面区域如图所示，作出5x2y0.把直线向右上方平移，直线经过可行域上的点M时，z5x2y取得最大值2021/5/27162021/5/2717【6】已知已知x,y满足满足 若若 取得最小值的点有无取得最小值的点有无穷多个，则穷多个，则m=.-1-1四面湖山收眼底四面湖山收眼底【6】已知已知x,y满足满足 若若 取得最大值的点有无穷多个，取得最大值的点有无穷多个，则则m=.1 1四面湖山收眼底四面湖山收眼底 【1】已知点已知点 A(0,0),B(1,2),C(5,1),D(2,-1),其中其中在不等式组在不等式组 所表示的平面区域所表示的平面区域内的点是内的点是().【2】满足满足|x|+|y|4 的整点的个数是的整点的个数是_.419+2(7+5+3+1)=41 练习：练习：求二元一次不等式组求二元一次不等式组所表示的平面区域的面积所表示的平面区域的面积例例5 5、x-y+50 y2 0 x22 2x xo oy y-5-55 5D DC CB BA Ax-y+5=0 x-y+5=0 x=2x=2y=2y=22 2如图，平面区域为直角梯形如图，平面区域为直角梯形,易得易得A(0,2),B(2,2),C(2,7),D(0,5)A(0,2),B(2,2),C(2,7),D(0,5)所以所以AD=3,AB=2,BC=5AD3,AB=2,BC=5故所求区域的面积为故所求区域的面积为S=S=解析：解析：21若二元一次不等式组若二元一次不等式组所表示的平面区域是一个三角形，所表示的平面区域是一个三角形，求求a a的取值范围的取值范围变式：变式：x-y+50 ya 0 x222(1)求z=x+y的最值。已知：已知：x,y满足满足 (2)求求z=的最值。的最值。(3)求求z=的最值。的最值。23(1)若若z=2x+y,求求z的最值的最值.解：画出可行域如图：解：画出可行域如图：画出直线画出直线 2x+y=0 并平移得点并平移得点A使使Z最大，最大，点点B使使Z最小。最小。2x+y=0由由 求出求出A 为（为（5,2)。由由 求出求出B为（为（1，1)。(1)求z=x+y的最值。已知：已知：x,y满足满足 0 xy解：画出可行域如图：解：画出可行域如图：AB画出直线画出直线 ：x+y=0并平移得点并平移得点A使使Z最大，最大，点点B使使Z最小。最小。设圆设圆P与平行的切线为与平行的切线为x+y+t=0由由 得得t=4或或t=8所以所以 为为x+y-4=0,为为x+y-8=0由由 求出求出A 为（为（2,2)。由由 求出求出B为（为（4,4)。2+2=44+4=8P25解：画出可行域如图：解：画出可行域如图：表示可行域内的点表示可行域内的点（x,y)到原点的距离的平方，到原点的距离的平方，由图可得点由图可得点A使使Z最大，点最大，点B 使使Z最小。最小。已知：已知：x,y满足满足 (2)求求z=的最值。的最值。0 xyABP=8解：画出可行域如图：解：画出可行域如图：已知：已知：x,y满足满足 0 xyABP(3)求求z=的最值。的最值。表示可行域内的点表示可行域内的点（x,y)与原点连线的斜率，与原点连线的斜率，由图可得点由图可得点A使使 Z最大，点最大，点B使使Z最小。最小。设圆过原点的切线为设圆过原点的切线为y=kx即即kx-y=o由由 可得可得 k=k=或或1.满足满足|x|+|y|4 的整点的个数是的整点的个数是_.2.2.不等式不等式|x|+|y|4 所表示的平所表示的平所表示的平所表示的平面区域的面积面区域的面积。