中南大学微积分总复习课省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢,微积分IA总复习,第1页,函数与极限,一、主要内容,第2页,函 数,定义,反函数,隐函数,反函数与直接,函数之间关系,基本初等函数,复合函数,初等函数,函 数,性质,单值与多值,奇偶性,单调性,有界性,周期性,双曲函数与,反双曲函数,第3页,函数分类,函数,初等函数,非初等函数(分段函数,有没有穷多项等函数),代数函数,超越函数,有理函数,无理函数,有理整函数(多项式函数),有理分函数(分式函数),第4页,左右极限,两个主要,极限,求极限惯用方法,无穷小,性质,极限存在,充要条件,判定极限,存在准则,无穷小比较,极限性质,数列极限,函 数 极 限,等价无穷小,及其性质,唯一性,无穷小,二者,关系,无穷大,第5页,1、极限定义,第6页,第7页,左极限,右极限,第8页,无穷小:,极限为零变量称为,无穷小,.,绝对值无限增大变量称为,无穷大,.,无穷大:,在同一过程中,无穷大倒数为无穷小;恒不为零无穷小倒数为无穷大.,无穷小与无穷大关系,2、无穷小与无穷大,第9页,定理1 在同一过程中,有限个无穷小代数和仍是无穷小.,定理2 有界函数与无穷小乘积是无穷小.,推论1 在同一过程中,有极限变量与无穷小乘积是无穷小.,推论2 常数与无穷小乘积是无穷小.,推论3 有限个无穷小乘积也是无穷小.,无穷小运算性质,第10页,定理,推论1,推论2,3、极限性质,第11页,4、求极限惯用方法,a.多项式与分式函数代入法求极限;,b.消去零因子法求极限;,c.无穷小因子分出法求极限;,d.利用无穷小运算性质求极限;,e.利用左右极限求分段函数极限.,第12页,5、判定极限存在准则,(夹逼准则),第13页,(1),(2),6、两个主要极限,第14页,定义:,7、无穷小比较,第15页,定理(等价无穷小替换定理),8、等价无穷小性质,9、极限唯一性,第16页,左右连续,在区间a,b,上连续,连续函数,性 质,初等函数,连续性,间断点定义,连 续 定 义,连续,充要条件,连续函数,运算性质,非初等函数,连续性,振荡间断点,无穷间断点,跳跃间断点,可去间断点,第一类,第二类,第17页,1、连续定义,第18页,定理,3、连续充要条件,2、单侧连续,第19页,4、间断点定义,第20页,(1)跳跃间断点,(2)可去间断点,5、间断点分类,第21页,跳跃间断点与可去间断点统称为,第一类间断点,.,特点:,可去型,第一类间断点,跳跃型,0,y,x,0,y,x,第22页,0,y,x,无穷型,振荡型,第二类间断点,0,y,x,第二类间断点,第23页,6、闭区间连续性,7、连续性运算性质,定理,第24页,定理1,严格单调连续函数必有严格单调连续反函数.,定理2,8、初等函数连续性,定理3,第25页,定理4,基本初等函数在定义域内是连续.,定理5,一切初等函数在其,定义区间,内都是连续.,定义区间是指包含在定义域内区间.,9、闭区间上连续函数性质,定理1(最大值和最小值定理)在闭区间上连续函数一定有最大值和最小值.,第26页,定理2(有界性定理)在闭区间上连续函数一定在该区间上有界.,第27页,推论,在闭区间上连续函数必取得介于最大值,M,与最小值,m,之间任何值.,第28页,导数与微分,第29页,求 导 法 则,基本公式,导 数,微 分,关 系,高阶导数,高阶微分,第30页,导数定义,第31页,求导法则,(1)函数和、差、积、商求导法则,(2)反函数求导法则,第32页,(3)复合函数求导法则,(4)对数求导法,先在方程两边取对数,然后利用隐函数求导方法求出导数.,适用范围:,第33页,(5)隐函数求导法则,用复合函数求导法则直接对方程两边求导.,(6)参变量函数求导法则,第34页,高阶导数,记作,二阶导数导数称为三阶导数,(二阶和二阶以上导数统称为,高阶导数,),第35页,微分定义,定义,(微分实质),第36页,导数与微分关系,定理,微分求法,求法:,计算函数导数,乘以自变量微分.,第37页,函数和、差、积、商微分法则微分基本法则,微分形式不变性,第38页,中值定理与导数应用,第39页,洛必达法则,Rolle,定理,Lagrange,中值,定理,惯用,泰勒公式,Cauchy,中值定理,Taylor,中值定理,单调性,极值与最值,凹凸性,拐点,函数,图形描绘;,曲率;求根方法.,导数应用,第40页,罗尔中值定理,第41页,拉格朗日中值定理,有限增量公式,.,第42页,柯西中值定理,推论,第43页,泰勒中值定理,第44页,洛必达法则,定义,这种在一定条件下经过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值方法称为洛必达法则.,关键:,将其它类型未定式化为洛必达法则可处理类型 .,注意：,洛必达法则使用条件.,第45页导数应用,定理,(1)函数单调性判定法,第46页,定义,(2)函数极值及其求法,第47页,定理(必要条件),定义,函数极大值与极小值统称为,极值,使函数取得极值点称为,极值点,.,极值是函数局部性概念:,极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值.,驻点和不可导点统称为,临界点,.,第48页,定理(第一充分条件),定理(第二充分条件),第49页,求极值步骤:,第50页,步骤:,1.求驻点和不可导点;,2.求区间端点及驻点和不可导点函数值,比较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个就是最小值;,注意:,假如区间内只有一个极值,则这个极值就是最值.(最大值或最小值),(3)最大值、最小值问题,第51页,实际问题求最值应注意:,1)建立目标函数;,2)求最值;,(4)曲线凹凸与拐点,定义,第52页,第53页,定理1,第54页,方法1:,方法2:,第55页,利用函数特征描绘函数图形.,第一步,第二步,(5)函数图形描绘,第56页,第三步,第四步,确定函数图形水平、铅直渐近线以及其它改变趋势;,第五步,第57页,(6)弧微分 曲率 曲率圆,曲率计算公式,第58页,定义,第59页,不定积分,第60页,积分法,原 函 数,选,择,u,有,效,方,法,基,本,积,分,表,第一换元法,第二换元法,直接,积分法,分部,积分法,不 定 积 分,几个特殊类型,函数积分,第61页,原函数,定义,原函数存在定理,即：,连续函数一定有原函数,第62页,不定积分,(1)定义,第63页,(2)微分运算与求不定积分运算是,互逆,.,(3)不定积分性质,第64页,第一类换元法,直接积分法,第一类换元公式（,凑微分法,）,由定义直接利用基本积分表与积分性质求不定积分方法.,第65页,常见类型:,第66页,第二类换元法,第二类换元公式,第67页,惯用代换:,第68页,分部积分法,分部积分公式,选择u有效方法:,LIATE选择法,L-对数函数；,I-反三角函数；,A-代数函数；,T-三角函数；,E-指数函数；,哪个在前哪个选作u.,第69页,几个特殊类型函数积分,（1）有理函数积分,定义,两个多项式商表示函数称之.,真分式化为部分分式之和,待定系数法,第70页,四种类型分式不定积分,此两积分都可积,后者有递推公式,第71页,令,（2）三角函数有理式积分,定义,由三角函数和常数经过有限次四则运算组成函数称之普通记为,第72页,（3）简单无理函数积分,讨论类型：,处理方法：,作代换去掉根号,第73页,定积分与广义积分,第74页,问题1:,曲边梯形面积,问题2:,变速直线运动旅程,存在定理,广义积分,定积分,定积分,性质,定积分,计算法,牛顿-莱布尼茨公式,第75页,1、问题提出,实例1,（求曲边梯形面积A）,第76页,实例2,（求变速直线运动旅程）,方法:,分割、求和、取极限.,第77页,2、定积分定义定义,第78页,记为,第79页,可积两个,充分,条件：,定理1,定理2,3、存在定理,第80页,4、定积分性质,性质1,性质2,性质3,第81页,性质5,推论：,（1）,（2）,性质4,第82页,性质7(定积分中值定理),性质6,积分中值公式,第83页,5、牛顿莱布尼茨公式,定理1,定理2（原函数存在定理）,第84页,定理 3（微积分基本公式）,也可写成,牛顿莱布尼茨公式,第85页,6、定积分计算法,换元公式,（1）换元法,（2）分部积分法,分部积分公式,第86页,定积分应用,第87页,微 元 法,理 论 依 据,名称释译,所求量,特点,解 题 步 骤,定积分应用中惯用公式,第88页,所求量特点,微元素法,第89页,解题步骤,第90页,定积分应用惯用公式,(1)平面图形面积,直角坐标情形,第91页,假如曲边梯形曲边为参数方程,曲边梯形面积,参数方程所表示函数,第92页,极坐标情形,第93页,(2)体积,x,y,o,第94页,平行截面面积为已知立体体积,第95页,(3)平面曲线弧长,弧长,A曲线弧为,弧长,B曲线弧为,第96页,C曲线弧为,弧长,(4)旋转体侧面积,x,y,o,第97页,无穷级数,第98页,常数项级数,函数项级数,一,般,项,级,数,正,项,级,数,幂级数,三角级数,收,敛,半,径,R,泰勒展开式,数或函数,函 数,数,任,意,项,级,数,傅氏展开式,傅氏级数,泰勒级数,满足狄 氏条件,在收敛 级数与数,条件下 相互转化,第99页,常数项级数,级数部分和,定义,级数收敛与发散,第100页,性质1,:,级数每一项同乘一个不为零常数,敛散性不变.,性质2,:,收敛级数能够逐项相加与逐项相减.,性质3,:,在级数前面加上有限项不影响级数敛散性.,性质4,:,收敛级数加括弧后所成级数依然收敛于原来和.,级数收敛必要条件:,收敛级数基本性质,第101页,常数项级数审敛法,正 项 级 数,任意项级数,1.,2.,4.充要条件,5.比较法,6.比值法,7.根值法,4.绝对收敛,5.交织级数,(莱布尼茨定理),3.按基本性质;,普通项级数,4.绝对收敛,第102页,定义正项级数及其审敛法,审敛法,(1)比较审敛法,第103页,(2)比较审敛法极限形式,第104页,第105页,第106页,定义,正、负项相间级数称为交织级数.,交织级数及其审敛法,第107页,定义,正项和负项任意出现级数称为任意项级数,.,任意项级数及其审敛法,第108页,函数项级数,(1)定义,(2)收敛点与收敛域,第109页,(3)和函数,第110页,(1)定义,幂级数,第111页,(2)收敛性,第112页,推论,第113页,定义:,正数R称为幂级数,收敛半径,.,幂级数收敛域称为幂级数,收敛区间,.,第114页,a.代数运算性质:,加减法,(其中,(3)幂级数运算,第115页,乘法,(其中,除法,第116页,b.和函数分析运算性质:,第117页,幂级数展开式,(1)定义,第118页,(2)充要条件,(3)唯一性,第119页,(3)展开方法,a.直接法(泰勒级数法),步骤:,b.间接法,依据唯一性,利用常见展开式,经过,变量代换,四则运算,恒等变形,逐项求导,逐项积分,等方法,求展开式.,第120页,(4)常见函数展开式,第121页,第122页,(1)三角函数系,三角函数系,傅里叶级数,第123页,(2)傅里叶级数,定义,三角级数,第124页,其中,称为傅里叶级数.,第125页,(3)狄利克雷(Dirichlet)充分条件(收敛定理),第126页,(4)正弦级数与余弦级数,第127页,第128页,奇延拓:,(5)周期延拓,第129页,偶延拓:,第130页,第131页,二、经典例题,第132页,例1,解,将分子、分母同乘以因子(1,-,x,),则,第133页,例2,解,第134页,例3,解,第135页,第136页,例4,证实,讨论:,第137页,由零点定理知,综上,第138页,例5,解,第139页,例6,解,分析:,不能用公式求导.,第140页,例7,解,两边取对数,第141页,例8,解,先去掉绝对值,第142页,第143页,例9,解,第144页,例10,解,第145页,例11,解,第146页,例12,证,由介值定理,第147页,注意到,由,有,+,得,第148页,例13,证,第149页,例14,证,第150页,则有,第151页,例15,解,第152页,若两曲线满足题设条件,必在该点处含有相同一阶导数和二阶导数,于是有,第153页,解此方程组得,故所求作抛物线方程为,曲率圆方程为,两曲线在点处曲率圆圆心为,第154页,例16,解,(倒代换),第155页,例17,解,第156页,解得,第157页,例18,解,第158页,例19,解,第159页,例20,解,第160页,第161页,第162页,例21,解,第163页,例22,解,第164页,例23,解,第165页,例24,解,是偶函数,第166页,例25,解,第167页,例26,证,第168页,第169页,例27,证,作辅助函数,第170页,第171页,例28,解,第172页,依据级数收敛必要条件，,原级数收敛,第173页,解,依据比较判别法，,原级数收敛,第174页,解,从而有,第175页,原级数收敛；,原级数发散；,原级数也发散,第176页,例29,解,即原级数非绝对收敛,第177页,由莱布尼茨定理：,第178页,所以此交织级数收敛，,故原级数是条件收敛,第179页,例30,解,两边逐项积分,第180页,第181页,例31,解,第182页,第183页,例32,解,第184页,第185页,例33,解,第186页,第187页,第188页,和函数图形为,第189页,例35,解,第190页,第191页,由上式得,第192页,例36,解,第193页,第194页,