大学文科数学复习资料.pdf

一、单项选择题一、单项选择题（共共 1010 小题，每小题小题，每小题 2 2 分，共分，共 2020 分分）1、设函数的定义域是，那么的定义域是(B )。)(xf0,1(1)f xA.B.C.D.0,1 1,01,20,22、=(D )。xxx3sinlimA.3 B.1 C.D.0313、下列为时的等价无穷小的是（C ）。0 xA.与 B.与 C.与 D.与x2sinx12xex)1ln(xxxcos122x4、过曲线上点的切线平行于直线，则切点的坐标是（D xxyln0Mxy20M）。A.(1,0)B.(e,0)C.(e,1)D.(e,e)5、设函数二阶可导，如果，那么点(A )。)(xfy 01)()(00 xfxf0 x A.是极大值点 B.是极小值点 C.不是极值点 D.不是驻点6、在区间内，下列曲线为凹的是（D）。),(A.B.C.D.)1ln(2xy32xxyxycosxey7、设为连续函数，则=（B）。)(xf)2(dxxfA.B.C.D.)2(21xf)2(xf)2(2xf)(2xf8、若，则=（D ）。Cexdxxfx22)()(xfA.B.C.D.xxe22xex222xxe2)1(22xxex9、下列关系式正确的是（C ）A.B.)()(xfdxxfd)()(xdfdxxfdC.D.dxxfdxxfd)()(Cxfdxxfd)()(10、=（C ）。)cos1(xdA.B.C.D.xcos1CxxsinCx cosCx sin二、填空题二、填空题（共共 1010 空，每空空，每空 2 2 分，共分，共 2020 分分）11=12、设，则=2 xxx)1321(lim32e1)(0 xfhxfhxfh)()2(lim000。13、在处连续，则=1 。00)1ln(sin)(xaxxxxf0 xa212xey14、设，则=10！)10).(2)(1()(xxxxxf)0(f15、在上满足拉格朗日定理条件的=。xxfln)(2,1 2ln116、函数在的最小值是 -2 。xxy333,017、为的一个原函数，则=xcos)(xfdxxf)(Cxcos18、=19、=。dxxx)1(1Cxx1lndxxexCxex)1(20、经过点(0,1)且其切线斜率为的曲线方程是xe2212xey三、计算题（共三、计算题（共 9 9 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4545 分）分）21、求极限：。22、求极限：。xeexxxcos12lim0)sin11(lim0 xxx23、设函数由方程所确定，求。)(xfy exyeydy24、函数二阶可导，且，求。)(xf)(sin xfy y25、设函数，求当为何值时，在处连续且可11)(2xbaxxxxfba,)(xf1x导。26、求。27、求。28、为的一个原函dxxx2)1ln2(dxx 111xxsin)(xf数，求。29、求dxxfx)(3dxxxx52)52)(1(30、某产品的总成本的变化率（边际成本）为产量的函数。若x，且固定成本为 80，总收入是产量的函数。求124.0)(xxCxxxR20)(（1）总利润函数；（2）产量为多少时，总利润最大。31、证明：当时，。2、设在1,2上有二阶导数，且0 xxx )1ln()(xf，。证明：，使。0)2()1(ff)()1()(2xfxxF)2,1(0)(F21、解：2 分，xeexeexxxxxxsinlimcos12lim00 2 分xeexxxcoslim0=21 分22、解：1 分xxxxxxxxsinsinlim)sin11(lim002 分20sinlimxxxx1 分xxx2cos1lim01 分02sinlim0 xx23、解：对两边求 x 的微分，得exyey3 分0 xdyydxdyey解出：2 分dydxxeydyy24、解：2 分xxfycos)(sin3 分xxfxxfy2cos)(sin sin)(sin 25、解：因为在处可导，故有2 分)(xf1x1)1()(lim1)1()(lim11xfxfxfxfxx即，解得：3 分211lim11lim211xxxbaxxx1,2ba26、解：1 分)(ln)1ln2()1ln2(22xdxdxxx2 分)1ln2()1ln2(212xdx2 分Cx3)1ln2(6127、解：令，则xt 12 分dtttdxx121112 分Cttdtt2)1ln(2)111(2分1.)11ln(122Cxx28、解：23332()()()3()x fx dxx df xx f xx f x dx分由已知，1 分2sincossin()()xxxxf xxx故：3()(cossin)3(cossin)x fx dxx xxxxxx dx所以2 分32()(6)cos4 sinx fx dxxxxxC29、解：dxxxx52)52)(1(3 分)52()52(21252xxdxx2 分Cxx62)52(12130、解：由已知，解得 124.0)xxC80)0(C80122.0)(2xxxC总利润函数802.032)80122.0(20)()()(22xxxxxxCxRxL即3 分802.032)(2xxxL，令，解得xxL4.032)(0)(xL80 x因为，所以当时，取得最大利润2 分04.0)(xL80 x1200)80(L31、证：设，即在单减3 分xxxf)1ln()(01)(xxxf)(xf),0 所以当时，有，即2 分0 x)0()(fxfxx )1ln(32、证：由已知，在1,2上满足罗尔中值定理的条件，0)1(F0)2()2(fF)(xF故，使 2 分 又，)2,1(c0)(cF)()1()()1(2)(2xfxxfxxF有所以对在1,2上满足罗尔中值定理的条件，故，使0)1(F)(xF)2,1(),1(c0)(F1、若 f(x)为奇函数,且对任意实数 x 恒有 f(x+3)-f(x-1)=0，则 f(2)=（B）A、-1B、0 C、1D、22、函数在区间（D）内有界)1ln(xyA、B、C、D、),1(),2()2,1()3,2(3、下列极限存在的有(A)A、B、C、D、2)1(limxxxx121lim0 xxxxe10limxxx1lim204、下列为时的等价无穷小的是（C ）。0 xA 与 B、与 C、与 D、与x2sinx12xex)1ln(xxxcos122x5、对数列，以下结论正确的是（D ）nuA、单调增加的正数数列必收敛、单调减少的 数列必收敛、单调减少的负数数列必收敛、单调减少的正数数列必收敛6、设在上，则（B）成立。1,00)(xfA、B、)0()1()0()1(ffff)0()0()1()1(ffffC、D、)0()1()0()1(ffff)0()1()0()1(ffff7、(1,1)是函数的拐点，则（A ）321yaxbxA、D、1,3ab 0,0ab2,4ab 2,3ab 8、若是的一个极值点，则在点处(B )0 x)(xf0 xA、B、或不存在 C、D、0)(0 xf0)(0 xf)(0 xf 0)(0 xf且0)(0 xf0)(0 xf9、已知，则（C）Cxdxxf1arctan)()(xfA、B、C、D、)1(212x211x211x211x10、若 cos2x 是 g(x)的一个原函数，则（A ）A、B、C、Cxxxg2cosd)(Cxgxx)(d2cos D、Cxxxg2cosd)(Cxgxx)(d)2(cos11、设函数 f(x)的定义域为0，4，则 f(x2)的定义域是_.2,212、极限=13、极限_0_ xxx20)21(lim4e2sinlim1xxxx14、若,则 1 。3)12(lim2xxaxxxa15、已知在 x=0 处可导，且，则 4。)(xfy 2)0(fxfxfx)0()2(lim016、设函数有连续的导函数，且，若)xf0)0(f1)0(f 在 处连续，则常数 A=3 00sin2)()(xAxxxxfxF0 x 17、曲线 y=x+ln x 在点（1，1）处的切线方程为12 xy18、若，则()()f x dxF xcdxxxf)(lnCxF)(ln19、设为连续函数，则()f x)2(dxxfdxd)2(xf20、=dxxx2121Cxx212arcsin求极限.22、求极限 23、设，求 dy0limx)1ln(1sine2xxxxxx1)1(lim212xxy24、设，求 25、函数二阶可导，求xxyx2 y)(xf)(sin xfy y26、若，求：。27、求20yxyex10 xydydxxdxx35cossin28、求 29、设的一个原函数为，求dxxx1)(xf2xedxxf x)(30、某种商品的平均成本，价格函数（为商品数量），试4)(QCQQP420)(Q求生产多少商品时，利润最大？31、证明方程，其中，至少有一个正根，并且它不超过sinxaxb0,0ab32、证明：当时，ab0 x212xxex21、解：1 分，20201sinelim)1ln(1sinelimxxxxxxxx3 分2sinelim2coselim00 xxxxxxx=1/21 分22、解：1xxxxxex)1ln(1lim)1(lim分1 分xxxe)1ln(lim2 分xxe11lim1 分10 e23、解：2 分dxxxdy)12(2故：3 分dxxxdy222)1(2224、解：5 分2)ln1(xxyx25、解：2 分xxfycos)(sin3 分xxfxxfysin)(sincos)(sin 226、解：两边对 x 求导：20yxyex2 分0122yyexyyy解得：2 分yexyyy212故1 分101yxy27、解：2 分xxdxxdxxsincossincossin25351 分xdxxsin)sin(sin752 分Cxx8sin6sin8628、解：设，则1xttdtdxtx2,122 分dtttdxxx121221 分dtt)111(22Ctt)arctan(22 分Cxx)1arctan1(229、解：2dxxfxxfxxdfdxxf x)()()()(分而由已知，2 分Cedxxfx2)(22)(xxexf故1 分Ceexdxxf xxx2222)(30、解：由已知,QQC4)(2420)()(QQQQPQR总利润函数2 分2416)()()(QQQCQRQL，令，解得；QQL816)(0)(QL2Q因为，所以当时，取得最大利润08)(QL2Q31、证：设，显然在上连续，xbxaxfsin)()(xf,0ba ；1 分0)0(bf 1)sin()(baabaf若，则即是方程正根1 分01)sin(baba若,则，01)sin(ba0)(baf由零点定理，即3 分0)(.),0(fstba0sinba命题得证32、证：设，21)(2xxexfxxexfx1)(1)(xexf当时，在上单增，有2 分0 x0)(xf)(xf),0 0)0()(fxf故也在上单增，有2 分)(xf),0 0)0()(fxf即当时，0 x1、设函数的定义域是，那么的定义域是(B )。)(xf2,0)2(xfA.B.C.D.2,00,22,1 4,22、=(C)。xxx3sinlim0A.3 B.1 C.D.0313、下列为时的等价无穷小的是（B ）。0 xA.与 B.与 C.与D.与x2sinx1xexxcos122x)21ln(xx4、曲线在点处的切线斜率是（A）。xxyln)0,1(A.1 B.2 C.e D.05、若是的一个极值点，则在处(B)。0 x)(xfy 0 x A.B.或不存在 C D.0)(0 xf0)(0 xf)(0 xf0)(0 xf0)(0 xf6、在区间内，下列曲线为凹的是（D）。),(A.B.C.D.)1ln(2xy32xxyxycosxey7、设为连续函数，则=（B）。)(xfdxxfd)2(A.B.C.D.dxxf)2(21dxxf)2(dxxf)2(2dxxf)(28、若，则=（D ）。CxFdxxf)()(dxxxf)1(2A.B.C.D.CxF)1(22CxF)1(22CxF)1(212CxF)1(2129、下列关系式正确的是（C）A.B.)()(xfdxxf)()(xdfdxxfC.D.Cxfdxxf)()(dxxfdxxf)()(10、=（C）。)sin1(xdA.B.C.D.xsin1CxxcosCx sinCx cos11、=12、已知，则=xxx)1231(lim23e4)()2(lim000hxfhxfh)(0 xf2 13、设，则=1 。xxeexf2)()0(f14、在处连续，则=1 。00)1ln(1)(xaxxexfx0 xa15、在上满足拉格朗日定理条件的=xxfln)(,1 e1e16、函数在的最小值是 1 。222xxy2,117、为的一个原函数，则=xe)(xfdxxf)(Cex18、=19、=dxx2cosCxx242sindxexxx)ln(2Cexxxln220、经过点(1,3)且其切线斜率为的曲线方程是x222 xy21、求极限：。22、求极限：。xxexx2coslim0 xxxlnlim023、设函数由方程所确定，求。)(xfy yxey10|xdy24、函数二阶可导，且，求。)(xf)(cosxfy y25、设函数，求当为何值时，在处连续且可导。00)(xbxaxexfxba,)(xf0 x26、求。27、求。dxxx21cosdxx31128、为的一个原函数，求。29、求xxsin)(xfdxxxf)(dxxx2130、某产品的成本为产量的函数，求产量为多少时，平均成本x4100)(2xxC最小。31、证明：。xex132、设在连续，在内二阶可导，且。)(xf,ba),(ba)()()()(bcacfbfaf证明：，使 1 分),(ba0)(f212xxex21、解：31sinlim2coslim00 xexxexxxx分，=11 分22、解：1 分xxxxxx1lnlimlnlim002 分2011limxxx2 分0lim0 xx23、解：对两边求 x 的微分，得yxey12 分dyxedxedyyy解出：2 分dydxxeedyyy11 分edxdyx024、解：2 分xxfysin)(cos3 分xxfxxfy2sin)(cos cos)(cos 25、解：因为在处可导，故有2 分)(xf0 x0)0()(lim0)0()(lim00 xfxfxfxfxx即，解得：3 分11lim01lim00 xexbaxxxx1,1ba26、解：3 分xdxdxxx11cos1cos22 分Cx1sin27、解：令，则2 分3xt dtttdxx1311232 分dttt)111(3Ctt)1ln(3)1(2321 分Cxx)1ln(3)1(2332328、解：2 分dxxfxxfxxdfdxxxf)()()()(由已知，Cxxdxxfsin)(1 分xxxxxxfcossin)sin()(故：Cxxxxxxdxxxfsin)cos(sin)(所以2 分Cxxdxxxfcos)(229、解：3 分)1(11211222xdxdxxx2 分Cx)1ln(21230、解：由已知平均成本，求导得 4100)(1xxxC41100)(2xxC令，解得（舍去负值）；0)(xC20 x因为，所以当时，取得最小平均成本2 分0)20(C20 x25)20(C31、证：设，令，解得，有xexfx1)(1)(xexf0)(xf0 x，01)0(f即是函数的最小值点3 分0 xxexfx1)(所以，即2 分0)0(1)(fxexfxxex132、证：对在上都满足罗尔定理的条件，)(xf,bcca所以，使3 分),(),(21bcca0)(,0)(21ff),(ba又对在上满足罗尔定理的条件，)(xf,21则，使。2 分),(),(21ba0)(f1、设函数的定义域是，那么的定义域是(B )。)(xf2,0)2(xfA.B.C.D.2,00,22,1 4,22、=(C )。xxx3sinlim0A.3 B.1 C.D.0313、下列为时的等价无穷小的是（B ）。0 xA.与 B.与 C.与 D.与x2sinx1xexxcos122x)21ln(xx4、曲线在点处的切线斜率是（A ）。xxyln)0,1(A.1 B.2 C.e D.05、若是的一个极值点，则在处(B )。0 x)(xfy 0 xA.B.或不存在 C.D.0)0 xf0)(0 xf)(0 xf0)(0 xf0)(0 xf6、在区间内，下列曲线为凹的是（D ）。),(A.B.C.D.)1ln(2xy32xxyxycosxey7、设为连续函数，则=（B）。)(xfdxxfd)2(A.B.C.D.dxxf)2(21dxxf)2(dxxf)2(2dxxf)(28、若，则=（D ）。CxFdxxf)()(dxxxf)1(2A.B.C.CxF)1(22CxF)1(22 D.CxF)1(212CxF)1(2129、下列关系式正确的是（C）A.B.)()(xfdxxf)()(xdfdxxfC.D.Cxfdxxf)()(dxxfdxxf)()(10、=（C）。)sin1(xdA.B.C.D.xsin1CxxcosCx sinCx cos二、填空题二、填空题（每空 2 分，共 20 分）11、=12、已知，则=2 xxx)1231(lim23e4)()2(lim000hxfhxfh)(0 xf。13、设，则=1xxeexf2)()0(f14、在处连续，则=1 。00)1ln(1)(xaxxexfx0 xa15、在上满足拉格朗日定理条件的=xxfln)(,1 e1e16、函数在的最小值是 1222xxy2,117、为的一个原函数，则=。xe)(xfdxxf)(Cex18、=19、=dxx2cosCxx242sindxexxx)ln(2Cexxxln220、经过点(1,3)且其切线斜率为的曲线方程是 x222 xy三、计算题（共三、计算题（共 9 9 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4545 分）分）21、求极限：。22、求极限：。xxexx2coslim0 xxxlnlim023、设函数由方程所确定，求。)(xfy yxey10|xdy24、函数二阶可导，且，求。)(xf)(cosxfy y25、设函数，求当为何值时，在处连续且可导。00)(xbxaxexfxba,)(xf0 x26、求。27、求。dxxx21cosdxx31128、为的一个原函数，求。29、求xxsin)(xfdxxxf)(dxxx2130、产品的成本为产量的函数，。求产量为多少时平均成本最小。x4100)(2xxC31、证明：。32、设在连续，在内二阶可导，且xex1)(xf,ba),(ba。证明：，使)()()()(bcacfbfaf),(ba0)(f三、解答题（共三、解答题（共 9 9 题，每小题题，每小题 5 5 分，总分分，总分 4545 分）分）21、解：31sinlim2coslim00 xexxexxxx分，=11 分22、解：1 分xxxxxx1lnlimlnlim002 分2011limxxx2 分0lim0 xx23、解：对两边求 x 的微分，得yxey12 分dyxedxedyyy解出：2 分dydxxeedyyy11 分edxdyx024、解：2 分xxfysin)(cos3 分xxfxxfy2sin)(cos cos)(cos 25、解：因为在处可导，故有2 分)(xf0 x0)0()(lim0)0()(lim00 xfxfxfxfxx即，解得：3 分11lim01lim00 xexbaxxxx1,1ba26、解：3 分xdxdxxx11cos1cos22 分Cx1sin27、解：令，则2 分3xt dtttdxx1311232 分dttt)111(3Ctt)1ln(3)1(2321 分Cxx)1ln(3)1(23323 28、解：2 分dxxfxxfxxdfdxxxf)()()()(由已知，Cxxdxxfsin)(1 分xxxxxxfcossin)sin()(故：Cxxxxxxdxxxfsin)cos(sin)(所以2 分Cxxdxxxfcos)(229、解：3 分)1(11211222xdxdxxx2 分Cx)1ln(212四、应用题四、应用题（共（共 1 1 小题，小题，5 5 分）分）30、解：由已知平均成本，求导得 4100)(1xxxC41100)(2xxC令，解得（舍去负值）；0)(xC20 x因为，所以当时，取得最小平均成本2 分0)20(C20 x25)20(C五、证明题（共五、证明题（共 2 2 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 1010 分）分）31、证：设，令，解得，有xexfx1)(1)(xexf0)(xf0 x，01)0(f即是函数的最小值点3 分0 xxexfx1)(所以，即2 分0)0(1)(fxexfxxex132、证：对在上都满足罗尔定理的条件，)(xf,bcca所以，使3 分),(),(21bcca0)(,0)(21ff),(ba又对在上满足罗尔定理的条件，)(xf,21则，使。2),(),(21ba0)(f