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第十三章 相似原理及量纲分析

实际工程中，有时流动现象极为复杂，即使经过简化，也难以通过解析的方法求解。在这种情况下，就必须通过实验的方法来解决。
而工程原型有时尺寸巨大，在工程原型上进行实验，会耗费大量的人力与物力，有时则完全是不可能的(例如：水坝，水工建筑物中抗特大洪水的试验)。所以，通常利用缩小的模型进行实验。当然，如果原型尺寸很小，也可利用放大的模型进行实验。而进行模型实验，首先必须解决两类问题。
(1) 如何正确地设计和布置模型实验，例如，模型形状与尺寸的确定，介质的选取。
(2) 如何整理模型实验所得的结果，例如，实验数据的整理，以及如何将实验的结果推广到与实验相似的流动现象上。
相似原理就是解决上述问题的基础。本节的内容也适用于叶轮机械的模型研究、热力设备的模型研究以及工程传热学等有关学科。

§13-1 相似的概念

相似的概念最早出现在几何学中，如两个相似三角形，应具有对应夹角相等，对应边互成比例，那么，这两个三角形便是几何相似的。
在流体力学的研究中，所谓相似，主要是指流动的力学相似，而构成力学相似的两个流动，一个是指实际的流动现象，称为原型；另一个是在实验室中进行重演或预演的流动现象，称为模型。所谓力学相似是指原型流动与模型流动在对应物理量之间应互应平行(指矢量物理量如力，加速度等)并保持一定的比例关系(指矢量与标量物理量的数值，如力的数值，时间与压力的数值等)。对一般的流体运动，力学相似应包括以下三个方面。

一、几何相似
几何相似又叫空间相似。即要求模型的边界形状与原型的边界形状相似，且对应的线性尺寸成相同的比例。
如果以下标1表示原型流动，下标2表示模型流动，则几何相似包括：
线性比例尺： (1)
面积比例尺： (2)
体积比例尺： (3)
严格地说，几何相似还包括原型与模型表面的粗糙度相似，但这一点一般情况下不易做到，只有在流体阻力实验，边界层实验等情况下才考虑物体表面的粗糙相似，一般情况下不予考虑。
这样，当知道了原型的尺过后，就可按照来求得模型的几何尺寸。

二、运动相似
即在几何相似的条件下，原型流动与模型流动的流线应该几何相似，即对应的速度场、加速度场相似，包括速度与加速度方向一致，大小互成比例。运动相似应包括：
速度比例尺： (4)
时间比例尺： (5)
加速度比例尺： (6)
流量比例尺： (7)
另外，在流体机械中，还有转速比例尺
(8)
则： (9)
或： (10)
或中d1和d2分别为叶轮机械原型与模型的直径。(10)式是流体机械中满足运动相似的常用相似条件。
通过以上这些公式可见，只要确定了，则其余的一切运动学比例尺均可确定。

三、动力相似
动力相似系指在几何相似的条件下，原型与模型流动中，对应点的同名力方向相同，且大小互成比例。同名力是指具有同一力学性质的力。
由牛顿第二定律，则力的比例尺为：
(11)
其中m为流体的质量，ρ为流体的密度，为密度比例尺。则动力相似也可以认为作用在原型与模型上所有外力的力多边形几何相似。
并且，要使模型中流动与原型相似，除了上述的三个相似条件之外，还必须使两个流动的边界条件与起始条件相似。符合上述全部条件的这种物理相似则称为流动的力学相似。并且，在上述所有的相似比例尺中，有三个各自独立的基本比例尺δL、δV、δρ，基本比例尺一旦确定，其它一切物理量的比例尺随之确定，则原型与模型之间的一切物理量换算关系也随之确定了。
还需说明一下，两个力学相似的流动还应该具有相同的运动微分方程式。这是因为，流体运动微分方程实质上就是惯性力、压力、粘性力以及其它外力的平衡关系式，两流动相似，则对应点上这些力应当方向一致，大小互成比例。因此，如果两流动相似，应满足同一运动微分方程。反之，如果两流动具有相同的运动微分方程，则它们就具有运动相似与动力相似的性质，而几何相似已包含在运动相似与动力相似之中，因此，如果两个流动满足同一运动微分方程，且具有相似的边界条件与起始条件，那么，这两个流动就是力学相似的。

§13-2 相似原理

由前面的讨论可知，若判定两个流动是否相似，可用检查各种比例尺的方法确定，但是，这样做往往是很繁锁的。实际上，判定两个流动是否相似，可用一个更简便的方法，即相似定理。
在介绍相似定理之前，先定义相似现象，所谓相似现象，必须满足下述条件：
(1) 描述现象的微分方程组必须相同；
(2) 单值条件相似。单值条件又分为；
① 几何条件，例如几何形状及大小；
② 物性条件，例如密度与粘度；
③ 边界条件，例如进出口及壁面处流速的大小分布；
④ 起始条件，例如初始状态的速度、温度等。
在定常流动的情况下，如果模型与原型采用同样的流体，则单值条件就是几何条件与边界条件。
(3) 同名准则数相等；
上述三个条件，是相似现象的必要与充分条件。
例如，流体质点作直线运动，其运动微分方程为：

与其相似的另一流动，其流体质点的运动微分方程为：

由代入上式，则有

即
由此可见，各相似比例尺是不能随意选取的，必须受上式制约。若将，，代入上式，则可得到
(1)
St称为均时性准则，St为不变量，且St是个无因次综合量，无因次又称为零因次，而零因次是相似准则的主要属性。均时性准则在研究非定常流动时，要用到。
另外，把St称为变量是因为在同一系统中，某一时刻，不同点或不同截面上的相似准则会有不同的数值；而彼此相似的系统，在对应时刻，对应点或对应截面上，相似准则数应该相等。因此，相似准则不是常量，而称为不变量，例如，在图13-1所示的两个相似流动中

但是
其中Re即雷诺数，在这里又称为雷诺准则。
图13-1 相似原理

雷诺准则可作为描述两个相似的层流流动中，粘性阻力相似的准则。除St、Re外，流体力学中还有重力相似准则(佛汝德相似准则)；紊流阻力相似准则；压力相似准则(欧拉相似准则)；弹性力相似准则(柯西相似准则及马赫相准则)。这里不加详述。将上述准则的表达式列于下面。
均时性准则(又称为时间相似准则)
(2)
层流粘性阻力相似准则(雷诺相似准则)
(3)
紊流阻力相似准则
(4)
重力相似准则(佛汝德相似准则)
(5)
压力相似准则(欧拉相似准则)
(6)
弹性力相似准则
(7)
柯西准则
(8)
马赫准则
(9)
式中λ——流动的沿程损失系数；
g——重力加速度；
p——流体压强；
ρ——流体密度；
E0——流体的弹性模数，即作用在单位面积流体上的弹性力；
a——声音在气体(可压缩流体)中的传播速度。
1．相似第一定理
“彼此相似的现象，同名准则数必定相等”。相似第一定理又称为相似正定理，第一定理指出了实验时应该测量哪些量的问题。
严格地说，判定两个流动是否相似，应该满足相似第一定理。即所有对应的同名准则数应该相等。换句话说，除包括几何相似与运动相似之外，还应包括作用于流体上的所有外力相似。但实际上同时满足所有的外力相似是不可能的。对于某个具体的流动来说，虽然同时作用着各种不同性质的外力，但总有一种或两种外力起主要作用，它们决定着流体的运动状态。因此，在模型实验中，只要使主要外力满足相似条件，或主要的相似准则相等，这个实验就可进行下去。例如，一般而言，管内流动是在压差作用下克服管道摩擦而产生和流动，粘性力决定压差的大小，而其它力均是无足轻重的次要因素，此时，主要的相似准则即雷诺准则。

2．相似第二定理
相似第二定理又称为相似逆定理，可叙述为：“凡同一种类现象(即可用同一微分方程组描述的现象)，若单值性条件相似，并且由单值性条件中的物理量所组成的相似准则在数值上相等，则这些现象就必定相似”。
第二定理指出了模型实验应遵守的条件。但是，在实际工作中，要求模型与原型的单值性条件全部相似是很困难的。在保证一定精度的情况下，可允许单值性条件部份相似或近似相似。

§13-3 量纲分析法与相似第三定量(p定理)

在流体力学或其它学科领域中有时会遇到这样的情况：根据分析判断已知若干个物理量之间存在着函数关系并且已知其中某一物理量受其余物理量的影响，但由于问题的复杂性，运用已有的理论分析方法尚不能确定这种变化过程的方程式，这时则必须借助于科学实验。如果用依次改变每个自变量的方法进行实验，工作量又过于巨大，为了减少工作量，同时又能使实验结果具有普通适用价值，则必须合理的选择实验变量，通常是将物理量之间的函数式转化成无量纲数之间的函数式。怎样确定实验中的无量纲数，这就需要p定理和量纲分析的知识。
在介绍p定理之前，先介绍量纲分析法。
所谓量纲(也称为因次)即物理量单位的种类。例如，小时、分、秒、是时间的不同测量单位但这些单位属于同一种类，均为时间单位，用[T]表示。则T就是上述时间单位的量纲，同理，米、厘米、毫米等同属长度单位，用[L]表示长度量纲。吨、千克、克同属质量单位，用[M]表示质量量纲。上面三个量纲，在国际单位制中，又称为基本量纲，而其它物理量的量纲，均可用基本量纲的不同指数幂乘积形式来表示。例如

在流体力学中，取长度、质量、时间作为基本物理量，而其它物理量则是由基本量纲根据一定的物理方程导出的。因此，在量纲分析中，也取L、M、T作为基本量纲，在传热学中，还要加上一个温度的基本量纲[θ]。
而量纲分析法指出：一个物理方程式的等式两边应该具有相同的量纲。否则，则不是正确的物理程式。
然而，量纲分析法也有其不足之处。这是因为，物理量的基本量纲只有三个，即M、L、T。所以，只有当影响流动的参数也只有三个时，才能用三个等式来求解三个未知数(即三个指数)，上例影响流动的的参数有四个，即d，V，v，ρ，那么在只在三个等式方程的情况下，求解四个指数，即α，β，γ，δ，这就存在一个待定指数的问题。如果影响流动的参数更多，那么就有更多的待定指数。所以，这种方法使我们在指数的选取上存在着困难。
为此，柏金汉(E.Bucking.Ham)提出了改进的量纲分析法，即解决上述问题的另外一种更为普遍的方法，这就是著名的π的定理。
π定理(相似第三定理)叙述如下：
某一物理现象中，共有i个物理量(这些物理量不能由其它物理量组合而成)，这些物理量的基本量纲为j个，则i个物理量存在某种函数关系。
f(x1，x2，……，xi)=0 (9)
如果用Π1，Π2，……，Πi-j表示由x1，x2，……，xi组成的无量纲量，则有：
F(Π1，Π2，……，Πi-j)=0 (10)
以上这个结论就是著名的π定理，也称为相似第三定理或柏金汉定理。
在π定理的应用中，通常在变量x1，x2，……，xi中选择j个不同的物理量作为重复变量，连同其余的i-j个变量组合成Π1，Π2，……，Πi-j。
在流体力学中，为了保证几何相似，常选择一个长度量纲，例如l或d；为了保证运动相似，常选择一个速度量纲，例如速度V；为了保证动力相似，常选择一个质量有关的量纲，例如流体的密度ρ。
最后，需要指出的是，相似理论或量纲分析的应用，必须要求对所要研究的物理问题有细致的观察和深刻的了解，这样才能有效地运用量纲分析或π定理，换句话说，这种方法归根到底只能从实验中来到实验中去，若缺乏实验资料，而单纯依靠量纲分析是得不出正确结果的。