概率论与数理统计-第二章-随机变量及其分布函数PPT演示课件.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2020/1/8,#,随机变量及其分布,Chapter 2,Random variable and Distribution,1,目录,CONTENTS,随机变量及其分布,2.1,2.2,2.3,2.4,常用的连续型随机变量,常用的离散型随机变量,随机变量函数的分布,2,2.1,随机变量及其分布函数,Random variable and distribution,E,4,：在土地里种下一粒种子。,E,1,：,记录一个路口在一段时间内经过的车辆数,1,=0,，,1,，,2,，,3,，,E,2,：,扔一个骰子，出现的点数,2,=1,，,2,，,3,，,4,，,5,，,6,4,=,发芽，不发芽,E,5,：在工厂生产的零件中任取一件。,5,=,正品，次品,E,3,：,检验灯泡的寿命,3,=t|t0,随机试验的结果虽然不是数量，但是可以将它数量化！,引例,:,3,2.1,随机变量及其分布函数,E,4,：在土地里种下一粒种子。,4,=,发芽，不发芽,E,5,：在工厂生产的零件中任取一件。,5,=,正品，次品,随机试验的结果虽然不是数量，但是可以将它数量化！,由于试验的结果是随机的，因而,X=X(,),的取值也是随机的，所以将,X=X(,),称为随机变量！,在样本空间上定义一个集合函数,4,一、随机变量,Random variable,例如：设,X=,某路口在一段时间内通过的车辆数,A=,通过的车辆数不超过,4,B=,通过至少,6,辆车,设,X=,取到次品的件数,=,至多取到,2,件次品,=A,=,恰好取到,2,件次品,=B,今后，我们用随机变量的,取值和取值范围,来表示随机事件！,定义,1,设随机试验,E,的样本空间为,=,称定义在,上,的,单,值实值函数,为,随机变量,记为,R.V.X.(random variable X),。,5,二、分布函数,Distribution function,取值或取值范围的概率？,例如：,将一枚硬币连抛三次，观察正反面向上的,情况。,样本空间,=HHH,，,HHT,，,HTH,，,THH,，,HTT,，,THT,，,TTH,，,TTT,设,X=,正面向上的次数,6,二、分布函数,Distribution function,对于任意区间（,a,，,b,更为一般的，,我们来讨论随机事件,的概率,7,二、分布函数,Distribution function,定义,2,设,X,为随机变量,x,为,任意实数,函数,为随机变量,X,的,分布函数,(,distribution function,),。,Definition 2,Let X be a random variable on the sample space.Then the function,is called the,distribution function,of X.,分布函数,F(x),是随机事件,Xx,的,概率,它是一个,普通函数,因而可用微积分的方法来研究随机变量,.,8,随机点,实数点,二、分布函数,Distribution function,分布函数,9,利用概率性质等知识可以证明分布函数具有下列性质,:,1,、,0,F(x),1;,2,、,F(x),在其间断点处是右连续,.,3,、,F(-,)=0,F(+,)=1,4,、,F(x),是,单调不减函数,即对任意实数,x,1,x,2,(x,1,x,2,),有,F(x,1,),F(x,2,);,5,、,Px,1,X,x,2,=Fx,2,)-F(x,1,),图像值域范围,图像左右趋势,间断点右连续,(,离散型,),图像自左至右呈上升,利用分布函数计算事件概率,10,【,例,1,】,设随机变量,X,的分布函数为,试求,(1),系数,A,B,；,(2)X,取值落在（,-1,，,1,中的概率。,解,（,1,）由,解得：,于是，分布函数为：,11,（,2,）由分布函数计算事件概率公式得：,解：已知分布函数为：,【,例,1,】,设随机变量,X,的分布函数为,试求,(1),系数,A,B,；,(2)X,取值落在（,-1,，,1,中的概率。,12,【,例,2】,设随机变量,X,的分布函数为,求,:,常,数,a,和,b,。,解：,因为F(x),在,x=0,点右连续,所以,又因为,故,3,、,F(-,)=0,F(+,)=1,13,2.1,离散型随机变量,Discrete random variable,一、概念,定义,2,设离散型随机变量,X,所有可能取值为,且,X,取各个可能值的概率为,定义,1,若随机变量,X,的全部可能取值为有限个或可列无限,个可能值,则,称,X,为,离散型随机变量,.,称为离散型随机变量,X,的,概率分布,(,分布律或分布列,).,注意：,离散型随机变量,X,的,概率分布,(,分布律或分布列,),与分布函数 不是一回事！,Discrete Distribution,14,数列,:,分布列的,表示方法表格,:,概率分布图：,P,X,0.5,1,15,由概率的性质易知离散型随机变量的,分布列,满足下列特征,性质,:,非负性,规范性,用于确定待定参数,随机点,实数点,Nonnegativity,Normalization,Additivity,16,注 意,Attention,对,离散随机变量的,分布函数,distribution function,应注意,：,(1),F,(,x,),是递增的,阶梯函数,;,(2),其间断点均为右连续的,;,(3),其间断点即为,X,的可能取值点,;,(4),其间断点的,跳跃高度,是对应的概率值,.,Figure 1 The distribution function,17,【,例,1】,给定离散型,R.V.X,的分布列如下：,解：,所以有：,求：,常数,C,；,分布函数,F(x),概率,18,求：,分布函数,F(x),概率,解：,当 时，,在 内不含,X,的任何取值,当 时，,在 内含,X,的一个取值,19,当 时，,在 内含,X,的,2,个取值,当 时，,在 内含,X,的,3,个取值,20,当 时，,在 内含有,X,的全部取值,综上所述：,21,因为,X,的可能取值中没有,1,，,所以,求：,概率,解：,22,2.2,常用离散型随机变量的分布,1,、两点分布 或（,0-1,）分布,定义,1,设离散型随机变量,X,的分布列为,则称,X,服从0-1,）分布，记作,X,（,0-1,）分布,（,0-1,）分布的分布函数,1,1-p,0,1,F(x),x,其中,0p1,two-point distribution,23,设随机试验,E,的只有两个样本点：,，其中,则称这种试验为,贝努利试验,(Bernoulli experiment),。,显然，贝努利试验服从（,0-1,）分布,若将一个贝努利试验 独立 重复 地做,n,次，则称之为,n,重贝努利试验。,各次试验的结果互不影响,每次试验中,P(A)=p,例如：,抛一枚硬币，观察正反面出现的次数。,这是一个一重贝努利试验。,若将一枚硬币连抛,n,次，观察正反面出现的次数。,令,A,表示出现正面，那么这是一个,n,重贝努利试验。,24,袋中有,a,个红球，,b,个白球，任取一球，观察其颜色，,令,A,表示“取到红球”，则,若连续有放回的取,n,次，那么这是一个,n,重贝努利试验。,问题：,n,重贝努利试验服从什么分布？,注意：不放回抽样取,n,次，不是,n,重贝努利试验！,假设在,n,重贝努利试验中，用,X,表示事件,A,发生的次数,那么,X,是一个离散型随机变量，其可能取值为,0,1,2,，,n,求：,P(X=k)=?k=0,1,2,.,n,25,假设在,n,重贝努利试验中，用,X,表示事件,A,发生的次数,那么,X,是一个离散型随机变量，其可能取值为,0,1,2,，,n,求：,P(X=k)=?k=0,1,2,.,n,现在：,取,n=3,，,k=2,即进行,3,次贝努利试验，事件,A,发生,2,次的概率。,设,A,i,=,事件,A,在第,i,次发生（,i=1,2,3,）,X=“,三次试验中,A,发生的次数”，,26,2,、二项分布,binomial distribution,则称,X,服从参数,n,，,p,的二项分布，记为,特别的，当,n=1,时，称之为两点分布或,0-1,分布,。,设,n,重贝努利试验中,事件,A,发生,的概率为 令,随机变量,X,表示“,n,次试验中事件,A,发生的次数,”，则其可能取值为,0,，,1,，,2,，,，,n,，且其分布列为,27例,2.2.1,一批产品中，一等品率为,20%,，从这批产品中任取,20,件，则取出的产品中至少,2,件一等品的概率？,解：,设,X,表示,20,件产品中一等品的件数，,则,X,的可能取值为,0,1,2,，,20,A=,抽检产品为一等品,20,重贝努利试验,X,表示“,n,次试验中事件,A,发生的次数”,28,例,2.2.2,某种特效药的临床有效率为,0.95,，今有,10,人服用，,问至少有,8,人治愈的概率是多少？,令,X,表示治愈的人数，则,X,表示“,n,次试验中事件,A,发生的次数”,+,29,由此得：,从而解得,:,p,=2/3.,例,2.2.3,设,，,已知,，求,解,:,由,知,P,(,X,=0)=1/9.,所以,30,3,、泊松分布,Poisson distribution,定义,3,设离散型随机变量,X,所有可能取的值为,0,1,2,，,且其分布律为,则称随机变量,X,服从参数为,的泊松分布,记为,泊松分布主要用于描述（,i,）稀有事件发生的概率,;,（,ii,）单位时间或单位面积上的计数过程,31,解：令,X,表示铸件的砂眼数，则,故所求事件的概率为：,32,例,2.2.4,由某商店过去的销售记录可知，某种商品每月的销售数可用参数为 的泊松分布描述。为了有,99%,以上的把握保证商品不脱销，问：商店在月底至少要进货该商品多少件？,设商店月底进货,N,件,令X,表示“商店每月销售该种商品的件数”,则有,r.v.,XP(5),。,【,解,】,由题意可知，当 时，产品不脱销。,所以有,即,查泊松分布表可得：,或,33,关于,二项分布的近似计算,，,当,n,20,，,p,0.05,时，满足泊松逼近定理的条件。,泊松分布可作为二项分布的一种近似计算。,（二项分布的泊松逼近定理）,设,当,n,很大，,np,很小时，有,其中,34,例,2.2.5,某射击运动员射击,400,次，每次射击击中目标的概率为,0.01,，问：至少,2,次击中目标的概率？,解：,设,X=,击中目标的次数，,则,X,的可能取值为,0,1,2,400,根据题意可知，,则所求事件的概率为又因为,利用泊松逼近定理有：,400,重贝努利试验,35,4.,几何分布,Geometric distribution,定义,4,独立重复的进行一个试验（无数次），设,事件,A,在每次试验中发生的概率为,p,，,0p1,，用,X,表示,事件,A,首次发生时已进行的试验次数,，则,X,的可能取值为,k=1,2,，,若,A,i,=,在第,i,次试验中事件,A,发生，则有,则称随机变量,X,服从,参数为,p,的几何分布,记做,或表示为：直到事件,A,发生为止，已经进行,的试验次数,36,【,例,2.2.6,】,设甲袋中有,9,个白球，,1,个红球，乙袋中有,10,个白球。每次从甲乙两袋中各取一球交换后放回袋中，求红球首次放入乙袋中时，取球次数不超过,3,次的概率？,解：,设,X=,红球首次放入乙袋时的取球次数,故 随机变量,X,服从,参数为,p=0.1,的几何分布,A=,取到红球,则,P(A)=,0.1,其概率分布律为,所求事件的概率为,37,一、概念,定义,1,设随机变量,X,的分布函数为,F(x),如果存在,非负,函数,f(x),使对,任意实数,x,均有,则称,X,为,连续型随机变量,其中函数,f(x),称为,X,的,概率密度,(,函数,).,例如：,牛顿,-,莱布尼兹公式,2.3,连续型随机变量,Continuous random variable,probability density function of X,38,2.1,连续型随机变量,Continuous random variable,39,二、概率密度的性质,Properties,由概率密度求分布函数,由分布函数求概率密度,“,规范性”，用于确定待定参数,由于,F(x),是变上限积分函数，则,F(x),是实数集上的,连续函数,非负性,Nonnegativity,Normalization,Additivity,40,需要指出的是：,对于连续型,R.V.X,来说，,X,取任一指定实数值,a,的概率均为,0,即：,因此，对于连续型,R.V.X,来说，,这条性质对于离散型,R.V.X,来说不成立！,注意区分：f(x),是概率密度函数，用来求解概率,F(x),！,P(A)=0 A=,.,由此可知：不可能事件与零概率事件的关系为,41,【,例,1】,设随机变量,X,的概率密度为,求：,A,的值,分布函数,F(x),解：,-1,1,求：,A,的值,分布函数,F(x),42,【,例,1】,设随机变量,X,的概率密度为,求：,A,的值,分布函数,F(x),解：,-1,1,43,【,例,1】,设随机变量,X,的概率密度为,求：,A,的值,分布函数,F(x),解：,-1,1,当 时，,当 时，,44,【,例,1】,设随机变量,X,的概率密度为,求：,A,的值,分布函数,F(x),解：,-1,1,当 时，,45例,2,】,设随机变量,X,的分布函数为,（,1,）求概率,（,2,）求概率密度。,【,解,】,（,1,）由分布函数求概率公式得：,46,（,2,）对分布函数求导数即得概率密度：,47,【,例,3】,设连续型随机变量,X,的分布函数为,求：系数,A,？,根据,F(x),的连续性,，有,48,连续型,密度函数,X,f(,x,),(,不唯一,),2.,4.,P,(,X,=,a,)=0,离散型,分布列,:,p,n,=,P,(,X,=,x,n,),(,唯一,),2.,F,(,x,)=,3,.,F,(,a,+0)=,F,(,a,);,P,(,a,a,和,B,=,Y,a,独立，,解,:,因为,X,与Y,同分布，故,P,(,A,)=,P,(,B,),P,(,A,B,)=,P,(,A,)+,P,(,B,),P,(,A,),P,(,B,),从中解得,且,P,(,A,B,)=3/4,求常数,a,.,且由,A,、,B,独立，得：,=2,P,(,A,),P,(,A,),2,=3/4,从中解得,:,P,(,A,)=1/2,由此得,0,a,a,),例,4,50,例,4,某种型号电子元件的寿命,X(,小时,),具有以下的概率密度函数,现有一批元件,(,设各元件工作相互独立,),，问：,任取一只，其寿命大于,1500,小时的概率是多少？,任取,4,只，,4,只寿命都大于,1500,小时的概率是多少？,任取4,只，,4,只中至少有一只寿命大于,1500,小时的概率？,若已知一只元件的寿命大于,1500,小时，则该元件的寿命大 于,2000,小时的概率是多少？,51,解,：（,1,）,（,2,）由于各元件工作独立，故所求事件的概率为：,（,3,）所求事件的概率为：,任取一只，其寿命大于,1500,小时的概率是多少？,任取,4,只，,4,只寿命都大于,1500,小时的概率是多少？,任取,4,只，,4,只中至少有一只寿命大于,1500,小时的概率？,各元件工作相互独立,52,令,则所求事件的概率为：,已知：,且有：,又因为：,所以,(4),若已知一只元件的寿命大于,1500,小时，则该元件的寿命大 于,2000,小时的概率是多少？,53,1,、均匀分布,Uniform Distribution,2.4,常用的连续分布,定义,2,设连续型随机变量,X,具有概率密度,则称,X,服从区间,(a,b),上的均匀分布,记为,其,分布函数,为,54,均匀分布的意义,55,例,2.4.1,设某电子元件的寿命,X,（单位：小时）服从,(300,500),上的均匀分布，问：元件寿命大于,450,小时的概率？,解：,由题意可知：,所以概率密度函数为,所求事件的概率为,56,例,2.4.2,假设,X,U,(2,5).,现在对,X,进行三次独立观测，,试求至少有两次观测值大于,3,的概率,.,解：,记,A,=,X,3,则,P,(,A,)=,P,(,X,3),设,Y,表示三次独立观测中,A,出现的次数,则,Y,b,(3,2/3),，所求概率为,P,(,Y,2)=,P,(,Y,=2)+,P,(,Y,=3),=20/27,已知,57,例,2.4.3,某公司经销某种原料，根据历史资料表明：这种原料,的市场需求量,X,（单位：吨）服从（,300,500),上的均匀分布，,每售出一吨该原料，公司可获利,1.5,（千元）；若积压,1,吨，则,公司损失,0.5,（千元）问公司应该组织多少货源，可使平均收益,最大？,解：由已知 ，可得,设公司应组织,a,吨货源，收益,Y,千元。,58,故平均收益为,59,定义,3,设连续型随机变量,X,的,概率密度,为,其中,0,为常数,则称随机变量,X,服从参数为,的,指数分布,，,记为,2,、指数分布,Exponential Distribution,注：,指数分布常用来描述对某,一事件发生的等待时间,.,例如,，,乘客在公交车站等车的时间，电子元件的寿命等，,因而它在可靠性理论和排队论中有广泛的应用,.,60,易求得,的分布函数,凑微分,61,例,2.4.3,设打一次电话所用时间（分钟）服从参数为,0.2,的指数分布。如果有人刚好在你面前走进公用电话亭并开始打电话（假定只有一部电话），试求你等待：,超过,5,分钟的概率；,5,分钟到,10,分钟之间的概率？,解：,设X,表示打电话所用的时间,则,其概率密度函数为,根据题意可有：,即：等候的时间,62,正态分布是最常见最重要的一种分布,例如测量误差,人的生理特征尺寸如身高、体重等,;,正常情况下生产的产品尺寸,:,直径、长度、重量高度等都近似服从正态分布,.,(1),正态分布的应用与背景,3,、正态分布,Normal Distribution,63,定义,4,设连续型随机变量,X,的,概率密度函数,为,其中 均为常数,则称随机变量,X,服从参数为,的正态分布或高斯分布,记为,64,(2),正态概率密度函数的几何特征,65,66,67,(3),正态分布的分布函数及其图像,连续型随机变量的分布函数的图像是一条连续没有间断的曲线！,68,标准正态分布的,概率密度,表示为,4.,标准正态分布,标准正态分布的,分布函数,表示为,定义,5,在正态分布 中，如果 ，则称,该正态分布为标准正态分布，记作,69,标准正态分布的图形,概率密度函数,概率分布函数,70,2,、标准正态分布的概率计算,若 ，则有,71,72,例,1,=0.7517,=1-0.9591=0.0409,=0.8925,=2*0.975-1=0.95,=0.9591-1+0.7517=0.7108,=2*(1-0.9671)=0.0658,73,一般正态分布的标准化过程,对于一般的正态分布 只要通过一个线性变换就能将其转化为标准正态分布！,设,则有,令,74,因此：,则它的分布函数可以写成：,若,对于任意区间 则有,【,例,2】,若 ，求,75,【,例,3】,设,求：,76,【,例,3】,设,求：,正态分布一定要转化为标准正态分布才能进行计算！,77,线性插值法,78,4,、随机变量函数的分布,已知随机变量,X,的分布,现求其,连续函数,Y=g(X),的分,布。此时，,Y,也是随机变量。,一、离散型随机变量函数分布列的求法,（同一表格法）,设离散型,r.v.X,的分布律为,则求函数,Y=g(X),的分布律的,步骤,为：,求,Y,的所有可能取值,计算,Y,取各可能值的概率：,如果,Y,各可能取值,互异,即 则,79,如果,Y,各可能取值中存在多个值相等,则,Y,取该值,的概率为这些相等值对应的,X,取值的概率之和,.,例如,当,则由基本事件互斥性与概率可加性得：,80,【,例,1,】,设,r.v.X,的分布律为,:,求,X-1,X,2,-1,的分布律,.,【,解,】,采用,“,同一表格法,”,.,X,-1,0,1,2,p,k,0.2,0.3,0.1,0.4,p,k,0.2,0.3,0.1,0.4,X,-1,0,1,2,X-1,-2,-1,0,1,X,2,-1,0,-1,0,3,互异,有等值,81,X-1,-2,-1,0,1,p,k,0.2,0.3,0.1,0.4,故,X-1,分布律为,:,X,2,-1,的分布律为,:,X,2,-1,-1,0,3,p,k,0.3,0.3,0.4,其中,82,二、连续型随机变量函数概率密度的求法,方法,1,分布函数法,(,一般情形,),设连续型随机变量,X,的概率密度为,则求,Y=g(X),的概率密度 的步骤为：,其中积分区间是以,y,的函数为端点的区间。,分布函数对,y,求导数即得概率密度：,求导,时一般用到,变限函数,的导数公式,.,求,Y,的分布函数：,83,【,例,2,】,设,r.v.X,的概率密度为,求,Y=X,2,的概率密度。,【,解,】,设,Y,的分布函数为,，则,对,y,求导得：,84,特别的,如,r.v.XN(0,1),则,85,于是，,Y=X,2,的分布律为,此时，称,Y,服从自由度为,1,的,2-,分布,。,86,方法,2,公式法,(y=g(x),为,单调可导,函数,),函数,g(x),处处可导且有恒有,定理,设连续型随机变量,X,的概率密度为,则,Y=g(X),是连续型随机变量，且其概率密度为,其中,h(y),为,g(x),的反函数，且,证明自学,87,若,只在有限区间,上不为零，则只需,假设在,上恒有,，此时,由概率密度求随机变量函数分布的方法,当随机变量函数是单调可导函数时,可采用,公式法,;,当随机变量函数不是单调函数时,可采用,分布函数法,.,核心,:,事件,g(X),y,等价转换为,X,Iy,。,88,