正定矩阵概念及例题(课堂PPT).ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,正定二次型和正定矩阵的概念,判别二次型或矩阵正定的方法,正定二次型,下页,关闭,正定二次型是二次型中讨论最多的类型，本节,结合二次型的标准型中系数给出正定二次型的概念，,并给出了判定二次型正定及实对称矩阵的几种方法。,1,二次型的标准形不是唯一的。,标准形中所含项数是确定的(即是二次型的秩)。,限定变换为实变换时，标准形中正系数的个数是不变的。,正定二次型和正定矩阵的概念,定理11,(惯性定理)设有实二次型,它的秩是,r,，有两个实的可逆变换,上页,下页,返回,正数的个数称为,正惯性指数,，负数的个数,称为负惯性指数,2,对任何,x,0,都有,f,(x)0,则称,f,为,负定二次型,，并称对称阵,A,是,负定的,，记作,A,0,（显然,f,(0)=0），则称,f,为,正定,二次型,，并称对称阵,A,是,正定的,。记作,A,0,；如果,定理12,实二次型,为正定的充分,必要条件是：它的标准形的,n,个系数全为正。,证,设可逆变换,上页,下页,返回,3,先证充分性,推论,对称阵,A,为正定的充分必要条件是：,A,的特征值全为正。,再证必要性：用反证法。假设有,k,s,0,则,(单位坐标向量)时，,这与假设,f,正定矛盾，,上页,下页,返回,4,定理13,对称阵,A,为正定的充分必要条件是：,A,的各阶主子式都为正。即,对称阵,A,为负定的充分必要条件是：奇数阶主子式为负，而偶数阶主子式为正。即,这个定理称为,霍尔维兹定理,。,上页,下页,返回,5,注意：对于二次型，除了有正定和负定以外，还有半正定和半负定及不定二次型等概念。,上页,下页,返回,6,判别矩阵正定的方法,根据正定矩阵的定义及性质，判别对称矩阵,A,的正定性有两种方法。,一是求出,A,的所有特征值。若,A,的特征值均为正数，则,A,是正定的；若,A,的特征值均为负数，则,A,为负定的。,二是计算,A,的各阶主子式。若,A,的各阶主子式均大于零，则,A,是正定的；若,A,的各阶主子式中，奇数阶主子式为负，偶数阶为正，则,A,为负定的。,上页,下页,返回,7,例16,判定对称矩阵,正定性。,解,方法一,所以,A,是正定的。,上页,下页,返回,8,方法二：,A,的特征多项式为,上页,下页,返回,9,由实二次型的矩阵表示及对称矩阵的正定性判别法知，判断二次型的正定性也有两种方法。,一是利用对称矩阵,A,的正定性。若二次型,f,的对称矩阵,A,是正定的，则,f,是正定二次型；若,A,是负定的，则,f,也是负定二次型。,二是将,f,化为标准形。若其标准形的,n,个系数全为正，则,f,是正定的；若,f,的标准形的,n,个系数全为负，则,f,是负定的。,由于将,f,化为标准形非常复杂，因此第二种方法一般不用。,上页,下页,返回,判别二次型正定的方法,10,解,f,的矩阵是,所以,f,是负定的。,例17,判别二次型,的正定性。,A,的各阶主子式为：,上页,下页,返回,11,例18,设二次型,解,f,的矩阵是,A,的各阶主子式为：,上页,下页,返回,12,Ex.11,判别二次型,解,f,的矩阵是,所以,f,既不是正定的，也不是负定的，即不定二次型。,的正定性。,A,的各阶主子式为：,上页,下页,返回,13,例19,设,C,是满秩矩阵，实对称矩阵,A,是正定的，则,C,T,AC,是正定的。,证,因为,A,为正定，所以对任意,即,C,T,AC,是正定的。,上页,下页,返回,14,Ex.12,证明：若实对称矩阵,A,=(,a,ij,)为正定矩阵，,则,a,ii,0(,i,=1,2,n,).,证,因为,A,为正定，所以对任意,上页,返回,15,第五章小结,本章通过向量的内积，从而给n维向量建立了度,量的概念，结合方阵的特征值理论，给出了判定矩,阵是否可以对角化的判定方法；通过对实对称矩阵,所具有的特点，说明实对称矩阵不仅可以相似对角,化，而且可以正交对角化；从而为二次型化标准型,提供了一种重要方法：正交变换法。由二次型与实,对称矩阵的一一对应关系，将二次型的讨论转化为,矩阵的讨论，并讨论了正定二次型。,上页,下页,返回,16,第五章主要方法,一)方阵的特征值与特征向量的求法,上页,下页,返回,17,二)用正交方阵将方阵化为对角阵的方法,(1).求,A,的特征值；,(2).求,A,的特征值对应的,n,个线性无关的特征向量；,(3).将重特征值所对应的特征向量正交化，连同单特征值所对应的特征向量一起就得到两两正交的特征向量；,(4).将(3)中,n,个特征向量单位化，得到,n,个两两正交的单位特征向量；,(5).以这些特征向量作为列向量的矩阵就是所求的正交矩阵，且有,上页,下页,返回,18,三)化二次型为标准型的方法,(1).正交变换法,1.写出二次型对应的矩阵A.,2.将A化为对角阵，求出正交阵P.,3.写出标准型，且正交变换为X=PY.,(2).配方法,1.含有平方项，直接配方；,2.不含有平方项,化成含有平方项,再配方;,上页,下页,返回,19,四 判定矩阵与二次型为正定的方法,1.定义法：,2.用霍尔维兹定理：,A,的各阶主子式都为正，,则,A,是正定的;,3.用A的特征值：,A,的特征值全为正，则,A,是正定的;,化A所对应的二次型为标准形,根据标准形,中的正平方项个数判断;,上页,返回,20,