从力的做功到向量的数量积.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,第二章 平面向量,2.5 从力做的功到向量的数量积,1,复习引入,:,向量的加法,向量的减法,实数与向量的乘法,两个向量的数量积,运算结果,向量,向量,向量,？,想一想,2,如果一个物体在力,F,作用下产生位移,S,，那么,F,所做的功为,:,位移,S,O,A,F,F,S,力做功的计算,功为两个向量之间的某种运算，称为数量积,表示力,F,的方向与位移,S,的方向的夹角。,3,1,、两向量的,夹角,O,A,B,4,（,1,）求两向量的夹角，应保证两个向量有公共起点，若没有，须平移使它们有公,共起点,；,ba,B,O,A,O,A,a,B,b,B,b,a,O,A,A,a,O,B,b,（3）,a,，,b,=0,时,a,、,b,同向；,a,，,b,=,时，,a,、,b,反向；,a,，,b,=90,时，,a,b,.,（4）,规定：,零向量与任意向量垂直,.,几点说明：,即,5,如图，等边三角形中，求,（,1,）,AB,与,AC,的夹角；,（,2,）,AB,与,BC,的夹角。,A,B,C,通过平移,变成共起点！,练习,6,O,A,B,B,1,2,、射影的定义,如图,过点,B,作,BB,1,OA,于,B,1,则,|,|cos,叫作向量 在 方向上的,射影,当夹角为钝角、直角时射影应如何呢？,7,O,O,O注意：射影是一个数量，不是向量。,当,为锐角时射影为正值；,当,为钝角时射影为负值；,当,为直角时射影为0；,当,=0,时射影为|,b,|；,当,=180,时射影为,|,b,|.,8,3,、,数量积,表示数量而不表示向量,与、,不同,它们表示向量；,在运用数量积公式解题时,一定要注意向量,夹角的取值范围是,（1）,（2）,（3）,注意：,9,4、数量积的几何意义,10,当两个向量相等时,两个向量的数量积等于向量长度的平方,当两个向量都是单位向量时,它们的数量积等于它们夹角的余弦值,两个特殊向量之间怎样进行数量及运算呢？,（2.11）,（2.12）,11,5、向量数量积的性质,2.,a,b,ab,=0,3.,a,a,=|,a,|,2,或,4.,cos,=,；,5.,|,a,b,|,a,|,b,|,判定,两向量,垂直,的条件,用于计算向量的模,用于,计算,向量的,夹角,以及判断三角形的形状,1.,12,1,2,3,5、数量积的运算律,13,例,1,已知,且 与 的夹角,求,分析：可利用定义讨论,解,14,例2 在三角形ABC,设边BC,CA,AB的长度分别为a,b,c,证明:,a,2,=b,2,+c,2,-2bccosA,b,2,=c,2,+a,2,-2,c,acosB,c,2,=a,2,+b,2,-2abcosC,15,A,B,C,a,b,c,同理可证其他二式.我们把这个结果称为余弦定理.,证明 如图,设 ,则,16,例3 证明菱形的两条对角线互相垂直.,A,B,C,D,O,证明 菱形ABCD中,AB=AD,即菱形的两条对角线互相垂直.,17,a,b,=,(e,1,+e,2,),(e,2,-2e,1,),=,-2e,1,e,1,-e,1,e,2,+e,2,e,2,=,-,所以,2,3,例4 已知单位向量e,1,e,2,的夹角为,60,求向量a=e,1,+e,2,b=e,2,-2e,1,夹角.,解 由单位向量e,1,e,2,的夹角为,60,得,e,1,e,2,=,18,由 可得,cos=,a b,|,a,|,|,b,|,3,3,2,3,2,1,又,|,a,|,2,=|e,1,+,e,2,|,2,=|,e,1,|,2,+2,e,1,e,2,+|,e,2,|,2,=3,|,b,|,2,=|,e,2,-2,e,1,|,2,=4|,e,1,|,2,-4,e,1,e,2,+|,e,2,|,2,=3,所以,|,a,|=|,b,|=,又0,所以=120,19,（1）,（5）若 ，则对于任一非零 有,（2）,（3）,（7）对于任意向量 都有,（6）若 ，则 至少有一个为,判断下列命题是否正确：,20,公式变形,对功W=|F|s|cos,结构分析,抽象,平面向量数量积的定义a b=|a|b|cos,特殊化,五条重要性质,数形,结合,几何意义,小结,21,（1）向量的数量积的定义,（2）平面向量数量积的物理意义和几何意义,小结,（3）向量的数量积的性质,（4）向量的数量积的运算律,22,课堂小结,2.,向量的射影,4.,两个向量的数量积的性质：,(1).,a,b,a,b,=0,(3).,cos,=,(2).,a,a,=|,a,|,2,或,3.,向量的数量积（内积）,1.,两个向量的夹角,O,A,B,23,