吉林省长春市名校2024年九上数学期末质量检测模拟试题含解析.doc

2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题（每题4分，共48分）
1．如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=55°，则∠BCD的度数为（　　）

A． B． C． D．
2．的值为( )
A． B． C． D．
3．如图，在△ABC中，DE∥BC，若DE＝2，BC＝6，则＝（ 　）

A． B． C． D．
4．某商店以每件60元的价格购进一批货物，零售价为每件80元时，可以卖出100件（按相关规定零售价不能超过80元）．如果零售价在80元的基础上每降价1元，可以多卖出10件，当零售价在80元的基础上降价x元时，能获得2160元的利润，根据题意，可列方程为（　　）
A．x（100+10x）＝2160 B．（20﹣x）（100+10x）＝2160
C．（20+x）（100+10x）＝2160 D．（20﹣x）（100﹣10x）＝2160
5．在同一直角坐标系中，函数与y＝ax+1（a≠0）的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
6．如图，二次函数的图象经过点，，下列说法正确的是（ ）

A． B．
C． D．图象的对称轴是直线
7．如图，二次函数的最大值为3，一元二次方程有实数根，则的取值范围是

A．m≥3 B．m≥-3 C．m≤3 D．m≤-3
8．二次函数y＝x2﹣6x图象的顶点坐标为（　　）
A．（3，0） B．（﹣3，﹣9） C．（3，﹣9） D．（0，﹣6）
9．下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
10．某厂今年3月的产值为50万元，5月份上升到72万元，这两个月平均每月增长的百分率是多少？若设平均每月增长的百分率为x，则列出的方程正确的是（ ）
A．50（1+x）=72 B．50（1+x）＋50（1+x）2=72
C．50（1+x）×2=72 D．50（1+x）2=72
11．把函数y＝﹣3x2的图象向右平移2个单位，所得到的新函数的表达式是（　　）
A．y＝﹣3x2﹣2 B．y＝﹣3（x﹣2）2 C．y＝﹣3x2+2 D．y＝﹣3（x+2）2
12．如图所示的图案是由下列哪个图形旋转得到的（ ）

A． B． C． D．
二、填空题（每题4分，共24分）
13．如图，两个半径相等的直角扇形的圆心分别在对方的圆弧上，半径AE、CF交于点G，半径BE、CD交于点H，且点C是弧AB的中点，若扇形的半径为，则图中阴影部分的面积等于_____．

14．如图，△ABC是直角三角形，BC是斜边，将△ABP绕点A逆时针旋转后，恰好能与△ACP′完全重合，如果AP=8，则PP′的长度为___________．

15．如图，矩形中，，，以为圆心，为半径画弧，交于点，则图中阴影部分的面积是_______.

16．如图，AE，AD，BC分别切⊙O于点E、D和点F，若AD=8cm，则△ABC的周长为_______cm.

17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别是AB，AC的中点，点F是AD的中点．若AB=8，则EF=_____．

18．如图，反比例函数的图象位于第一、三象限，且图象上的点与坐标轴围成的矩形面积为2，请你在第三象限的图象上取一个符合题意的点，并写出它的坐标______________．

三、解答题（共78分）
19．（8分）如图，在四边形ABCD中，AB⊥AD，＝，对角线AC与BD交于点O，AC＝10，∠ABD＝∠ACB，点E在CB延长线上，且AE＝AC．
（1）求证：△AEB∽△BCO；
（2）当AE∥BD时，求AO的长．

20．（8分）在学习概率的课堂上，老师提出问题：一口袋装有除颜色外均相同的2个红球1个白球和1个篮球，小刚和小明想通过摸球来决定谁去看电影，同学甲设计了如下的方案：第一次随机从口袋中摸出一球不放回；第二次再任意摸出一球，两人胜负规则如下：摸到“一红一白”，则小刚看电影；摸到“一白一蓝”，则小明看电影．
同学甲的方案公平吗？请用列表或画树状图的方法说明；
你若认为这个方案不公平，那么请你改变一下规则，设计一个公平的方案．
21．（8分）如图，矩形中，，，点为边延长线上的一点，过的中点作交边于，交边的延长线于，，交边于，交边于

（1）当时，求的值；
（2）猜想与的数量关系，并证明你的猜想
22．（10分）如图，AB是⊙O的直径，弦DE垂直平分半径OA，C为垂足，弦DF与半径OB相交于点P，连结EF、EO，若DE=，∠DPA=45°．
（1）求⊙O的半径;
（2）求图中阴影部分的面积．

23．（10分已知抛物线，求证:无论为何值，抛物线与轴总有两个交点.
24．（10分）某化肥厂2019年生产氮肥4000吨，现准备通过改进技术提升生产效率，计划到2021年生产氮肥4840吨.现技术攻关小组按要求给出甲、乙两种技术改进方案，其中运用甲方案能使每年产量增长的百分率相同，运用乙方案能使每年增长的产量相同.问运用哪一种方案能使2020年氮肥的产量更高？高多少？
25．（12分）先化简，再求值：÷（1+x+），其中x＝tan60°﹣tan45°．
26．已知：如图，平行四边形，是的角平分线，交于点，且，；求的度数．

参考答案

一、选择题（每题4分，共48分）
1、A
【解析】试题分析：根据∠ABD的度数可得：弧AD的度数为110°，则弧BD的度数为70°，则∠BCD的度数为35°.
考点：圆周角的性质
2、C
【分析】根据特殊角的三角函数值解答即可.
【详解】tan60°=，
故选C.
本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题关键．
3、D
【解析】由DE∥BC知△ADE∽△ABC，然后根据相似比求解．
【详解】解：∵DE∥BC
∴△ADE∽△ABC.
又因为DE＝2，BC＝6，可得相似比为1:3.
即==.
故选D.
本题主要是先证明两三角形相似，再根据已给的线段求相似比即可．
4、B
【分析】根据第一句已知条件可得该货物单件利润为元,根据第二句话的已知条件,降价几个1元,就可以多卖出几个10件,可得降价后利润为元,数量为件,两者相乘得2160元,列方程即可.
【详解】解:由题意得,当售价在80元基础上降价元时,
.
本题主要考查的是一元二次方程应用题里的利润问题,理解掌握其中的数量关系列出方程是解答这类应用题的关键.
5、B
【分析】本题可先由反比例函数图象得到字母a的正负，再与一次函数y＝ax+1的图象相比较看是否一致即可解决问题．
【详解】解：A、由函数的图象可知a＞0，由y＝ax+1（a≠0）的图象可知a＜0故选项A错误．
B、由函数的图象可知a＞0，由y＝ax+1（a≠0）的图象可知a＞0，且交于y轴于正半轴，故选项B正确．
C、y＝ax+1（a≠0）的图象应该交于y轴于正半轴，故选项C错误．
D、由函数的图象可知a＜0，由y＝ax+1（a≠0）的图象可知a＞0，故选项D错误．
故选：B．
本题考查反比例函数的图象、一次函数的图象等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型.
6、D
【分析】根据二次函数的图像与性质即可求解.
【详解】由图象可知图象与y轴交点位于y轴正半轴，故c>0. A选项错误；
函数图象与x轴有两个交点，所以＞0，B选项错误；
观察图象可知x＝－1时y=a－b＋c＞0，所以a－b＋c＞0，C选项错误；
根据图象与x轴交点可知，对称轴是（1,0）.（5,0）两点的中垂线，，
x＝3即为函数对称轴，D选项正确；
故选D
此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是熟知二次函数的图像.
7、C
【解析】方程ax2+bx+c-m=0有实数相当于y=ax2+bx+c（a≠0）平移m个单位与x轴有交点，结合图象可得出m的范围．
【详解】方程ax2+bx+c-m=0有实数根，相当于y=ax2+bx+c（a≠0）平移m个单位与x轴有交点，
又∵图象最高点y=3，
∴二次函数最多可以向下平移三个单位，
∴m≤3，
故选：C．
本题主要考查二次函数图象与一元二次方程的关系，掌握二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程根的个数的关系是解题的关键．
8、C
【分析】将二次函数解析式变形为顶点式，进而可得出二次函数的顶点坐标．
【详解】解：∵y＝x2﹣6x＝x2﹣6x+9﹣9＝（x﹣3）2﹣9，
∴二次函数y＝x2﹣6x图象的顶点坐标为（3，﹣9）．
故选：C．
此题主要考查二次函数的顶点，解题的关键是熟知二次函数的图像与性质.
9、A
【解析】轴对称图形一个图形沿某一直线对折后图形与自身重合的图形；中心对称图形是指一个图形沿某一点旋转180°后图形能与自身重合，只有A图符合题中条件.
故应选A.
10、D
【分析】可先表示出4月份的产量，那么4月份的产量×（1增长率）=5月份的产量，把相应数值代入即可求解．
【详解】4月份产值为：50（1+x）
5月份产值为：50（1+x）（1+x）=50（1+x）2=72
故选D．
点睛：考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．
11、B
【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答．
【详解】二次函数y＝﹣3x1的图象向右平移1个单位，
得：y＝﹣3（x﹣1）1．
故选：B．
本题考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．
12、D

【解析】由一个基本图案可以通过旋转等方法变换出一些复合图案．
【详解】由图可得，如图所示的图案是由绕着一端旋转3次，每次旋转90°得到的，
故选：D．
此题考查旋转变换，解题关键是利用旋转中的三个要素（①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度）设计图案．通过旋转变换不同角度或者绕着不同的旋转中心向着不同的方向进行旋转都可设计出美丽的图案．

二、填空题（每题4分，共24分）
13、π﹣1
【分析】根据扇形的面积公式求出面积，再过点C作CM⊥AE，作CN⊥BE，垂足分别为M、N，然后证明△CMG与△CNH全等，从而得到中间空白区域的面积等于以1为对角线的正方形的面积，从而得出阴影部分的面积．
【详解】两扇形的面积和为：，
过点C作CM⊥AE，作CN⊥BE，垂足分别为M、N，如图，

则四边形EMCN是矩形，
∵点C是的中点，
∴EC平分∠AEB，
∴CM=CN，
∴矩形EMCN是正方形，
∵∠MCG+∠FCN=90°，∠NCH+∠FCN=90°，
∴∠MCG=∠NCH，
在△CMG与△CNH中，，
∴△CMG≌△CNH(ASA)，
∴中间空白区域面积相当于对角线是的正方形面积，
∴空白区域的面积为：，
∴图中阴影部分的面积=两个扇形面积和﹣1个空白区域面积的和．
故答案为：π﹣1．
本题主要考查了扇形的面积求法，三角形的面积的计算，全等三角形的判定和性质，得出四边形EMCN的面积是解决问题的关键．
14、
【分析】通过旋转的性质可以得到，，，从而可以得到是等腰直角三角形，再根据勾股定理可以计算出的长度．
【详解】解：根据旋转的性质得：，
∴是等腰直角三角形，
∴
∴
∴
故答案为：．
本题主要考查了旋转的性质以及勾股定理的应用，其中根据旋转的性质推断出是等腰直角三角形是解题的关键．
15、
【分析】阴影面积＝矩形面积－三角形面积－扇形面积.
【详解】作EFBC于F，如图所示：
在Rt中，
∴=2，
∴，
在Rt中，，∴，

=
=
故答案是：.
本题主要是利用扇形面积和三角形面积公式计算阴影部分的面积，解题关键是找到所求的量的等量关系．
16、16
【解析】∵AE，AD，BC分别切O于点E. D和点F，
∴AD=AC，DB=BF，CE=CF，
∴AB+BC+AC=AB+BF+CF+AC=AB+BD+CE+AC=AD+AE=2AD=16cm，
故答案为：16.
17、2
【详解】解：在Rt△ABC中，∵AD=BD=4，
∴CD=AB=4，
∵AF=DF，AE=EC，
∴EF=CD=2，
故答案为2.
18、满足的第三象限点均可，如（-1，-2）
【分析】因为过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积S是个定值，即S=|k|．
【详解】解：∵图象上的点与坐标轴围成的矩形面积为2，
∴|k|=2，
∴反比例函数y=
的图象在一、三象限，k＞0，
∴k=2，
∴此反比例函数的解析式为．
∴第三象限点均可，可取：当x=-1时，y=-2
综上所述，答案为：满足的第三象限点均可，如（-1，-2）
本题考查的是反比例函数系数k的几何意义，即过反比例函数图象上任意一点向两坐标轴引垂线，所得矩形的面积为|k|．

三、解答题（共78分）
19、（1）见解析；（2）
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到，等量代换得到，根据三角形的内角和和平角的性质得到，于是得到结论；
（2）过作与，过作与，根据平行线的性质得到，，推出，求得，，得到，根据相似三角形的性质得到，于是得到，根据平行线分线段成比例定理即可得到结论．
【详解】解：（1），
，
，
，
，，
，
在△AEB和△BCO中，
，
；
（2）过作于，过作于，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
．

本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
20、（1）不公平，理由见解析；（2）拿出一个红球或放进一个蓝球，其他不变．游戏就公平了.
【解析】（1）画出树状图，根据概率公式即可求出概率，比较概率即可得出结论；
（2）让二者的概率相同即可.
解：（1）同学甲的方案不公平．

理由如下：
由树状图可以看出：共有12种可能，摸到“一红一白”有4种，摸到“一白一蓝”的概率有2种，
故小刚获胜的概率为= ，小明获胜的概率为=，所以这个游戏不公平．
（2）拿出一个红球或放进一个蓝球，其他不变．游戏就公平了．
21、（1）；（2），证明见解析
【分析】（1）根据E为DP中点，，可得出EH=2，再利用平行线分线段对应成比例求解即可；
（2）作交于点，可求证∽，利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】解：（1）∵四边形是矩形，
∴
∴

∵
∴，
∵
∴
∴
∴
∴
（2）答：
证明：作交于点
则，
∵，，，
∴
∴∽
∴
∴
本题考查的知识点是相似三角形的判定定理及其性质以及平行线分线段成比例定理，解此题的关键是利用矩形的性质求出EH的长．
22、 (1) 2 ;(2)π-2.
【分析】（1）因为AB⊥DE，求得CE的长，因为DE平分AO，求得CO的长，根据勾股定理求得⊙O的半径
（2）连结OF，根据S阴影=S扇形– S△EOF求得
【详解】解：（1）∵直径AB⊥DE
∴
∵DE平分AO
∴
又∵
∴
在Rt△COE中，
∴⊙O的半径为2
（2）连结OF

在Rt△DCP中，
∵
∴
∴
∵
∴S阴影=
本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了扇形的面积公式、圆周角定理和含30度的直角三角形三边的关系．
23、证明见解析
【分析】求得判别式并分解得到平方与正数的和，得到判别式大于0即可证明.
【详解】证明:
.

无论为何值，抛物线与轴总有两个交点.
此题考查一元二次方程的判别式，正确计算并掌握判别式的三种情况即可正确解题.
24、乙方案能使2020年氮肥的产量更高，高20吨
【分析】设甲方案的平均增长率为，根据题意列出方程，求出x的值，即可求出甲方案2020年产量，再根据题意求出乙方案2020年产量，比较即可得出结论.
【详解】解：设甲方案的平均增长率为，依题意得
.
解得，，（不合题意，舍去）.
甲方案2020年产量：，
乙方案2020年产量：.
，（吨）.
答：乙方案能使2020年氮肥的产量更高，高20吨.
此题考查的是一元二次方程的应用，掌握增长率问题的公式是解决此题的关键.
25、，．
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求出x的值代入进行计算即可．
【详解】原式

•
．
当x=tan60°﹣tan45°1时，
原式．
本题考查了分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
26、50°
【分析】根据平行四边形的性质求出CD=CE，得到AB=BE，所以
根据，得到的度数
【详解】证明：四边形是平行四边形

是的角平分线

四边形是平行四边形

本题考查平行四边形的性质，由角平分线得到相等的角，再利用平行四边形的性质和等角对等边的性质求解，得出AB=BE是解决问题的关键．