2025届安徽省亳州一中学南学校国际部数学九上期末联考试题含解析.doc

2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图1，E为矩形ABCD边AD上一点，点P从点C沿折线CD﹣DE﹣EB运动到点B时停止，点Q从点B沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/s．若P，Q同时开始运动，设运动时间为t（s），△BPQ的面积为y（cm2）．已知y与t的函数图象如图2，则下列结论错误的是（　　）

A．AE=8cm
B．sin∠EBC=
C．当10≤t≤12时，
D．当t=12s时，△PBQ是等腰三角形
2． 抛物线的顶点坐标（ ）
A．(-3，4) B．(-3，-4) C．(3，-4) D．(3，4)
3．随机抽取某商场4月份5天的营业额（单位：万元）分别为3.4，2.9，3.0，3.1，2.6，则这个商场4月份的营业额大约是（ ）
A．90万元
B．450万元
C．3万元
D．15万元
4．在▱ABCD中，∠A﹣∠B=40°，则∠C的度数为(　　)
A．70° B．40° C．110° D．150°
5．《代数学》中记载，形如的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为．”小聪按此方法解关于的方程时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为36，则该方程的正数解为（ ）

A．6 B． C． D．
6．池塘中放养了鲤鱼2000条，鲢鱼若干条，在几次随机捕捞中，共捕到鲤鱼200条，鲢鱼300条，估计池塘中原来放养了鲢鱼（ ）
A．10000条 B．2000条 C．3000条 D．4000条
7．运动会的领奖台可以近似的看成如图所示的立体图形，则它的左视图是（　　）

A． B．
C． D．
8．如图，小明将一个含有角的直角三角板绕着它的一条直角边所在的直线旋转一周，形成一个几何体，将这个几何体的侧面展开，得到的大致图形是（ ）

A． B．
C． D．
9．已知抛物线y=x2－8xc的顶点在x轴上，则c的值是（ ）
A．16 B．-4 C．4 D．8
10．方程x2－4＝0的解是
A．x＝2 B．x＝－2 C．x＝±2 D．x＝±4
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．小明家的客厅有一张直径为1.1米，高0.75米的圆桌BC，在距地面2米的A处有一盏灯，圆桌的影子为DE，依据题意建立平面直角坐标系，其中点D的坐标为（2，0），则点E的坐标是_________．

12．反比例函数y＝的图象在第一、三象限，则m的取值范围是_______．
13．一组数据：2,5,3,1,6，则这组数据的中位数是________.
14．两个函数和（abc≠0）的图象如图所示，请直接写出关于x的不等式的解集_______________．

15．在△ABC中，已知（sinA-）2+│tanB-│=1．那么∠C=_________度．
16．分解因式：a2b﹣b3= ．
17．如图AC，BD是⊙O的两条直径，首位顺次连接A，B，C，D得到四边形ABCD，若AD=3，∠BAC=30°，则图中阴影部分的面积是______．

18．已知线段a＝4，b＝16，则a，b的比例中项线段的长是_______．
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线BF分别与AC、AD交于点E、F．

（1）求证：AB＝AF；
（2）当AB＝3，BC＝4时，求的值．
20．（6分）已知抛物线y＝ax2+2x﹣（a≠0）与y轴交于点A，与x轴的一个交点为B．
（1）①请直接写出点A的坐标　 　；
②当抛物线的对称轴为直线x＝﹣4时，请直接写出a＝　 　；
（2）若点B为（3，0），当m2+2m+3≤x≤m2+2m+5，且am＜0时，抛物线最低点的纵坐标为﹣，求m的值；
（3）已知点C（﹣5，﹣3）和点D（5，1），若抛物线与线段CD有两个不同的交点，求a的取值范围．
21．（6分）如图，△ABC的高AD、BE相交于点F．求证：．

22．（8分）化简求值：，其中a=2cos30°+tan45°．
23．（8分）已知：在中，．
(1)求作：的外接圆．(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)
(2)若的外接圆的圆心到边的距离为4，，则 ．

24．（8分）如图，将▱ABCD的边AB延长至点E，使BE=AB，连接DE、EC、BD、DE交BC于点O．

（1）求证：△ABD≌△BEC；
（2）若∠BOD=2∠A，求证：四边形BECD是矩形．
25．（10分）如图，直线与双曲线在第一象限内交于、两点，已知，.

（1）__________，____________________,____________________.
（2）直接写出不等式的解集；
（3）设点是线段上的一个动点，过点作轴于点,是轴上一点，求的面积的最大值.
26．（10分）某教师为了对学生零花钱的使用进行教育指导,对全班50名学生每人一周内的零花钱数额进行统计调查，并绘制了统计表及统计图，如图所示.
(1)这50名学生每人一周内的零花钱数额的平均数是_______元/人；
(2)如果把全班50名学生每人一周内的零花钱按照不同数额人数绘制成扇形统计图，则一周内的零花钱数额为5元的人数所占的圆心角度数是_____度；
(3)一周内的零花钱数额为20元的有5人，其中有2名是女生， 3名是男生，现从这5人中选2名进行个别教育指导，请用画树状图或列表法求出刚好选中2名是一男一女的概率.

参考答案

一、选择题(每小题3分,共30分)
1、D
【分析】观察图象可知：点P在CD上运动的时间为6s，在DE上运动的时间为4s，点Q在BC上运动的时间为12s，所以CD=6，DE=4，BC=12，然后结合三角函数、三角形的面积等逐一进行判断即可得.
【详解】观察图象可知：点P在CD上运动的时间为6s，在DE上运动的时间为4s，点Q在BC上运动的时间为12s，
所以CD=6，DE=4，BC=12，
∵AD=BC，
∴AD=12，
∴AE=12﹣4=8cm，故A正确，
在Rt△ABE中，∵AE=8，AB=CD=6，

∴BE==10，
∴sin∠EBC=sin∠AEB=，故B正确，
当10≤t≤12时，点P在BE上，BP=10﹣（t﹣10）=20﹣t，
∴S△BQP=•t•（20﹣t）•=﹣t2+6t，故C正确，
如图，当t=12时，Q点与C点重合，点P在BE上，此时BP=20-12=8，过点P作PM⊥BC于M，
在Rt△BPM中，cos∠PBM=，
又∠PBM=∠AEB，在Rt△ABE中，cos∠AEB=，
∴，
∴BM=6.4，∴QM=12-6.4=5.6，
∴BP≠PC，即△PBQ不是等腰三角形，故D错误，
故选D．

本题考查动点问题的函数图象，涉及了矩形的性质，勾股定理，三角形函数，等腰三角形的判定等知识，综合性较强，解题的关键是理解题意，读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．
2、D
【解析】根据抛物线顶点式的特点写出顶点坐标即可得.
【详解】因为是抛物线的顶点式，
根据顶点式的坐标特点，顶点坐标为（3， 4），
故选D．
本题考查了抛物线的顶点，熟练掌握抛物线顶点式的特点是解题的关键.
3、A
【解析】．所以4月份营业额约为3×30＝90（万元）．
4、C
【分析】由题意根据平行四边形的对角相等以及邻角之和为180°，即可求出该平行四边形各个内角的度数．
【详解】解：由题意画出图形如下所示：

则∠A+∠B=180°，
又∵∠A﹣∠B=40°，
∴∠A=110°，∠B=70°，
∴∠C=∠A=110°．
故选：C．
本题考查平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形的对角相等以及邻角之和为180°进行分析.
5、B
【分析】根据已知的数学模型，同理可得空白小正方形的边长为，先计算出大正方形的面积=阴影部分的面积+4个小正方形的面积，可得大正方形的边长，从而得结论．
【详解】x2+6x+m=0，
x2+6x=-m，
∵阴影部分的面积为36，
∴x2+6x=36，
4x=6，
x=，
同理：先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为x的矩形，得到大正方形的面积为36+（）2×4=36+9=45，则该方程的正数解为．
故选：B．
此题考查了解一元二次方程的几何解法，用到的知识点是长方形、正方形的面积公式，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程．
6、C
【分析】根据题意求出鲤鱼与鲢鱼的比值，进而利用池塘中放养了鲤鱼2000条除以鲤鱼与鲢鱼的比值即可估计池塘中原来放养了鲢鱼的条数．
【详解】解：由题意可知鲤鱼与鲢鱼的比值为：，
所以池塘中原来放养了鲢鱼：（条）.
故选：C.
本题考查的是通过样本去估计总体，熟练掌握通过样本去估计总体的方法，只需将样本“成比例地放大”为总体即可．
7、D
【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【详解】解：由左视图的定义知该领奖台的左视图如下：

故选D．
本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图，注意看不到的线用虚线表示．
8、C
【分析】先根据面动成体得到圆锥，进而可知其侧面展开图是扇形，根据扇形的弧长公式求得扇形的圆心角，即可判别．
【详解】设含有角的直角三角板的直角边长为1，则斜边长为，
将一个含有角的直角三角板绕着它的一条直角边所在的直线旋转一周，形成一个几何体是圆锥，
此圆锥的底面周长为：，
圆锥的侧面展开图是扇形，
，即，
∴，
∵，
∴图C符合题意，
故选：C．
本题考查了点、线、面、体中的面动成体，解题关键是根据扇形的弧长公式求得扇形的圆心角．
9、A
【分析】顶点在x轴上,所以顶点的纵坐标是0.据此作答.
【详解】∵二次函数y=-8x+c的顶点的横坐标为x=- = -=4，
∵顶点在x轴上，
∴顶点的坐标是(4，0)，
把(4，0)代入y=-8x+c中，得：
16-32+c=0，
解得：c=16，
故答案为A
本题考查求抛物线顶点纵坐标的公式,比较简单.
10、C
【分析】方程变形为x1=4，再把方程两边直接开方得到x=±1．
【详解】解：x1=4，
∴x=±1．
故选C．

二、填空题(每小题3分,共24分)
11、（3.76，0）
【分析】根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．
【详解】解：∵BC∥DE，
∴△ABC∽△ADE，
∴，
∵BC=1.1，
∴DE=3.76，
∴E（3.76，0）．
故答案为：（3.76，0）．
本题考查了中心投影，相似三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
12、m>1
【分析】由于反比例函数y＝的图象在一、三象限内，则m-1＞0，解得m的取值范围即可．
【详解】解：由题意得,反比例函数y＝的图象在一、三象限内，
则m-1＞0，
解得m＞1.
故答案为m＞1.
本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是熟练的掌握反比例函数的性质.
13、3
【解析】根据中位数的定义进行求解即可得出答案.
【详解】将数据从小到大排列：1，2，3，5，6，
处于最中间的数是3，
∴中位数为3，
故答案为：3.
【点睛】本题考查了中位数的定义，中位数是将一组数据从小到大或从大到小排列，处于最中间（中间两数的平均数）的数即为这组数据的中位数.
14、或；
【分析】由题意可知关于x的不等式的解集实际上就是一次函数的值大于反比例函数的值时自变量x的取值范围，由于反比例函数的图象有两个分支，因此可以分开来考虑．
【详解】解：关于x的不等式的解集实际上就是一次函数的值大于反比例函数的值时自变量x的取值范围，观察图象的交点坐标可得：或.
本题考查一次函数的图象和性质、反比例函数的图象和性质以及一次函数、反比例函数与一次不等式的关系，理解不等式与一次函数和反比例函数的关系式解决问题的关键．
15、2
【分析】直接利用非负数的性质和特殊角的三角函数值求出∠A，∠B的度数，进而根据三角形内角和定理得出答案．
【详解】∵(sinA)2+|tanB|=1，
∴sinA1，tanB1，
∴sinA，tanB，
∴∠A=45°，∠B=61°，
∴∠C=181°-∠A-∠B=181°-45°-61°=2°．
故答案为：2．
本题考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解答本题的关键．
16、b（a+b）（a﹣b）
【分析先提取公因式，再利用平方差公式进行二次因式分解．平方差公式：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．
【详解】解：a2b﹣b3，
=b（a2﹣b2）=b（a+b）（a﹣b）．
故答案为b（a+b）（a﹣b）．
17、
【分析】首先证明△BOC是等边三角形及△OBC≌△AOD（SAS），进而得出S△AOD＝S△DOC＝S△BOC＝S△AOB，得到S阴＝2•S扇形OAD，再利用扇形的面积公式计算即可；
【详解】解：∵AC是直径，
∴∠ABC＝∠ADC=90°，
∵∠BAC＝30°，AD＝3，
∴AC＝2AD=6，∠ACB＝60°，
∴OA=OC=3，
∵OC＝OB=OA=OD，

∴△OBC与△AOD是等边三角形，
∴∠BOC＝∠AOD＝60°，
∴△OBC≌△AOD（SAS）
又∵O是AC，BD的中点，
∴S△AOD＝S△DOC＝S△BOC＝S△AOB，
∴S阴＝2•S扇形OAD=，
故答案为：．
本题考查扇形的面积公式、解直角三角形、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
18、1
【分析】设线段a，b的比例中项为c，根据比例中项的定义可得c2＝ab，代入数据可直接求出c的值，注意两条线段的比例中项为正数．
【详解】解：设线段a，b的比例中项为c，
∵c是长度分别为4、16的两条线段的比例中项，
∴c2＝ab＝4×16，
∴c2＝64，
∴c＝1或-1（负数舍去），
∴a、b的比例中项为1；
故答案为：1．
本题主要考查了比例线段．掌握比例中项的定义，是解题的关键．

三、解答题(共66分)
19、（1）见解析；（2）.
【分析】（1）只要根据平行线的性质和角平分线的定义即可得到∠1＝∠3，进而可得结论；
（2）易证△AEF∽△CEB，于是AE：CE＝AF：BC，然后结合（1）的结论即可求出AE：EC，进一步即得结果.
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∴∠2＝∠3，
∵BF平分∠ABC，∴∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3，
∴AB＝AF；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，
∴△AEF∽△CEB，∴AE：CE＝AF：BC，
∵AF＝AB＝3，BC＝4，
∴AE：EC＝3：4，
∴．
本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定和相似三角形的判定和性质，属于常考题型，熟练掌握上述基本知识是解题关键.
20、（1）①；②；（2）；（1）a＞或a＜﹣1．
【分析】（1）①令x＝0，由抛物线的解析式求出y的值，便可得A点坐标；
②根据抛物线的对称轴公式列出a的方程，便可求出a的值；
（2）把B点坐标代入抛物线的解析式，便可求得a的值，再结合已知条件am＜0，得m的取值范围，再根据二次函数的性质结合条件当m2+2m+1≤x≤m2+2m+5时，抛物线最低点的纵坐标为,列出m的方程，求得m的值，进而得出m的准确值；
（1）用待定系数法求出CD的解析式，再求出抛物线的对称轴，进而分两种情况：当a＞0时，抛物线的顶点在y轴左边，要使抛物线与线段CD有两个不同的交点，则C、D两必须在抛物线上方，顶点在CD下方，根据这一条件列出a不等式组，进行解答；当a＜0时，抛物线的顶点在y轴的右边，要使抛物线与线段CD有两个不同的交点，则C、D两必须在抛物线下方，抛物线的顶点必须在CD上方，据此列出a的不等式组进行解答．
【详解】（1）①令x＝0，得，
∴,
故答案为：；
②∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣4，
∴ ，
∴a＝，
故答案为：；
（2）∵点B为（1，0），
∴9a+6﹣＝0，
∴a＝﹣，
∴抛物线的解析式为：，
∴对称轴为x＝﹣2，
∵am＜0，
∴m＞0，
∴m2+2m+1＞1＞﹣2，
∵当m2+2m+1≤x≤m2+2m+5时，y随x的增大而减小，
∵当m2+2m+1≤x≤m2+2m+5，且am＜0时，抛物线最低点的纵坐标为﹣，
∴ ，
整理得（m2+2m+5）2﹣4（m2+2m+5）﹣12＝0，
解得，m2+2m+5＝6，或m2+2m+5＝﹣2（△＜0，无解），
∴，
∵m＞0，
∴；
（1）设直线CD的解析式为y＝kxb（k≠0），
∵点C（﹣5，﹣1）和点D（5，1），
∴ ，
∴，
∴CD的解析式为，
∵y＝ax2+2x﹣（a≠0）
∴对称轴为，
①当a＞0时，，则抛物线的顶点在y轴左侧，
∵抛物线与线段CD有两个不同的交点，
∴，
∴；
②当a＜0时，，则抛物线的顶点在y轴左侧，
∵抛物线与线段CD有两个不同的交点，
∴，
∴a＜﹣1，
综上，或a＜﹣1．
本题为二次函数综合题，难度较大，解题时需注意用待定系数法求出CD的解析式，再求出抛物线的对称轴，要分两种情况进行讨论.
21、见解析
【分析】由题意可证△AEF∽△BDF，可得，即可得.
【详解】解：证明：∵AD，BE是△ABC的高，
∴∠ADB=∠AEF=90°，且∠AFE=∠BFD，
∴△AEF∽△BDF，
∴，
∴.
本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练运用相似三角形的性质是本题的关键．
22、，
【分析】本题考查了分式的化简求值，先把括号内通分化简，再把除法转化为乘法，约分化简，最后根据特殊角的三角函数值求出a的值，代入计算．
【详解】解：原式=÷
=
=，
当a=2cos30°+tan45°=2×+1=+1时，
原式=．
23、 (1)见解析；(2)
【分析】(1)作线段的垂直平分线，两线交于点，以为圆心，为半径作，即为所求．
(2)在中，利用勾股定理求出即可解决问题．
【详解】解：(1)如图即为所求．

(2)设线段的垂直平分线交于点．
由题意，
在中，，
∴．
故答案为．
本题考查作图-复杂作图，等腰三角形的性质，三角形的外接圆与外心等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
24、（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）先运用平行四边形的知识得到AB=BE、BE=DC、BD=EC，即可证明△ABD≌△BEC；
（2）由四边形BECD为平行四边形可得OD=OE，OC=OB，再结合四边形ABCD为平行四边形得到∠A=∠OCD，再结合已知条件可得OC=OD，即BC=ED；最后根据对角线相等的平行四边形是矩形证明即可．
【详解】证明：(1)∵在平行四边形ABCD
∴AD=BC，AB=CD，AB∥CD，即BE∥CD．
又∵AB=BE，
∴BE=DC．
∴四边形BECD为平行四边形．
∴BD=EC．
在△ABD与△BEC中，

∴△ABD≌△BEC(SSS)；
(2)∵四边形BECD为平行四边形，
∴ OD=OE，OC=OB，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠A=∠BCD．即∠A=∠OCD．
又∵∠BOD=2∠A，∠BOD=∠OCD+∠ODC，
∴∠OCD=∠ODC
∴OC=OD．
∴OC+OB=OD+OE，即BC=ED．
∴四边形BECD为矩形．
本题主要考查了矩形的判定、平行四边形的性质和判定、平行线的性质、全等三角形的性质和判定、三角形的外角性质等知识点，灵活应用相关知识是解答本题的关键．
25、（1），，.（2）或.（3）当时，有最大值，最大值为
【分析】（1）先求出反比例函数解析式，进而求出点A坐标，最后用待定系数法，即可得出结论；
（2）直接利用函数图象得出结论；
（3）先设出点P坐标，进而表示出△PED的面积，即可得出结论．
【详解】解：（1）∵点B（2，1）在双曲线上，
∴k2＝2×1＝2，
∴双曲线的解析式为y2＝，
∵A（1，m）在双曲线y2＝上，
∴m＝1×2＝2，
∴A（1，2），
∵直线AB：y1＝k1x＋b过A（1，2）、B（2，1）两点，
∴，
∴，
∴直线AB的解析式为：y＝−x＋3；
故，，
故答案为：-1；2；3；
（2）根据函数图象得，不等式y2＞y1的解集为0＜x＜1或x＞2；
（3）设点，且，
则

当时，有最大值，最大值为
此题是反比例函数综合题，主要考查了一次函数和反比例函数的图象和性质，待定系数法，三角形的面积公式，求出直线AB的解析式是解本题的关键．
26、 (1)12；(2)72；(3).
【分析】（1）根据加权平均数的计算公式计算即可；
（2）用样本中零花钱数额为5元的人数所占比例乘以360°即可；
（3）通过列表，求出所有情况及符合题意的情况有多少种，根据概率的计算公式得出答案即可．
【详解】解：（1）平均数是（元）；
故答案为：12；
（2）一周内的零花钱数额为5元的人数所占的圆心角度数为：；
故答案为：72；
（3）表格如下：

从这5人中选2名共20种情况，刚好选中2名是一男一女有12种情况，所以刚好选中2名是一男一女的概率为，
故答案为．
本题考查加权平均数、统计图表的应用以及树状图或列表法求概率，难度不大，解题的关键是将相关概念应用到实际问题中，解决问题．