2025届江苏省南京市上元中学九年级数学第一学期期末考试模拟试题含解析.doc

2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题(每小题3分,共30分)
1．函数y＝kx﹣k（k≠0）和y＝﹣（k≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
2．如图，在⊙O中，AB⊥OC，垂足为点D，AB＝8，CD＝2，若点P是优弧上的任意一点，则sin∠APB＝（　　）

A． B． C． D．

3．关于抛物线y＝x2+6x﹣8，下列选项结论正确的是（　　）
A．开口向下 B．抛物线过点(0，8)
C．抛物线与x轴有两个交点 D．对称轴是直线x＝3
4．已知反比例函数的图象在二、四象限，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．在△ABC中，∠C=90°，则下列等式成立的是（　　）
A．sinA= B．sinA= C．sinA= D．sinA=
6．表中所列 的7对值是二次函数 图象上的点所对应的坐标，其中
x
…

…
y
…
7
m
14
k
14
m
7
…
根据表中提供的信息，有以下4 个判断
① ；② ；③ 当时，y 的值是 k；④ 其中判断正确的是 （ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
7．如图，将沿着弦翻折，劣弧恰好经过圆心.如果半径为4，那么的弦长度为

A． B． C． D．
8．抛物线y＝3（x+2）2﹣（m2+1）（m为常数）的顶点在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
9．一个三角形的两边长分别为和，第三边长是方程的根，则这个三角形的周长为（ ）
A． B． C．10或11 D．不能确定
10．下列是电视台的台标，属于中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．如图，将一个顶角为30°角的等腰△ABC绕点A顺时针旋转一个角度α（0＜α＜180°）得到△AB'C′，使得点B′、A、C在同一条直线上，则α等于_____°．

12．从某玉米种子中抽取6批，在同一条件下进行发芽试验，有关数据如下：
种子粒数
100
400
800
1 000
2 000
5 000
发芽种子粒数
85
318
652
793
1 604
4 005
发芽频率
0.850
0.795
0.815
0.793
0.802
0.801
根据以上数据可以估计，该玉米种子发芽的概率为___________（精确到0.1）．
13．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象如图，下列结论：①abc＞0；②2a+b＜0；③a﹣b+c＜0；④a+c＞0；⑤b2＞4ac；⑥当x＞1时，y随x的增大而减小．其中正确的说法有_____（写出正确说法的序号）

14．如图，内接于⊙O，，是⊙O上与点关于圆心成中心对称的点，是边上一点，连结．已知，，是线段上一动点，连结并延长交四边形的一边于点，且满足，则的值为_______________．

15．已知一元二次方程有一个根为0，则a的值为_______.
16．如图，将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，点P是优弧上一点，则∠APB的度数为．

17．抛物线y＝﹣3（x﹣1）2+2的开口向_____，对称轴为_____，顶点坐标为_____．
18．如图，四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AB＝5cm，AD＝3cm，BC＝2cm，P是AB上一点，若以P、A、D为顶点的三角形与△PBC相似，则PA＝_____cm．

三、解答题(共66分)
19．（10分）杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B处，其身体看成一点的路线是抛物线的一部分，如图所示．
求演员弹跳离地面的最大高度；
已知人梯高米，在一次表演中，人梯到起跳点A的水平距离是4米，问这次表演是否成功？请说明理由．

20．（6分）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感．
每轮传染中平均一个人传染了几个人？
按照这样的速度传染，第三轮将又有多少人被传染？
21．（6分）如图①，在平面直角坐标系中，圆心为P（x，y）的动圆经过点A（1，2）且与x轴相切于点B．
（1）当x=2时，求⊙P的半径；
（2）求y关于x的函数解析式；判断此函数图象的形状；并在图②中画出此函数的图象；
（3）当⊙P的半径为1时，若⊙P与以上（2）中所得函数图象相交于点C、D，其中交点D（m，n）在点C的右侧，请利用图②，求cos∠APD的大小．

22．（8分）已知四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD边上的点，DE与CF相交于点G．
（1）如图①，若四边形ABCD是矩形，且DE⊥CF，求证：．
（2）如图②，若四边形ABCD是平行四边形，要使成立，完成下列探究过程：
要使，转化成，显然△DEA与△CFD不相似，考虑，需要△DEA∽△DFG，只需∠A＝∠________;另一方面，只要，需要△CFD∽△CDG，只需∠CGD＝∠________．由此探究出使成立时，∠B与∠EGC应该满足的关系是________．
（3）如图③，若AB＝BC＝6，AD＝CD=8，∠BAD=90°，DE⊥CF，那么的值是多少?(直接写出结果)

23．（8分）将两张半径均为10的半圆形的纸片完全重合叠放一起，上面这张纸片绕着直径的一端B顺时针旋转30°后得到如图所示的图形，与直径AB交于点C，连接点与圆心O′.

（1）求的长；
（2）求图中下面这张半圆形纸片未被上面这张纸片重叠部分的面积.
24．（8分）如图1，的直径，点为线段上一动点，过点作的垂线交于点，，连结，.设的长为，的面积为.

小东根据学习函数的经验，对函数随自变量的变化而变化的规律进行了探究.
下面是小东的探究过程，请帮助小东完成下面的问题.
（1）通过对图1的研究、分析与计算，得到了与的几组对应值，如下表：

0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4

0
0.7
1.7
2.9

4.8
5.2
4.6
0
请求出表中小东漏填的数；
（2）如图2，建立平面直角坐标系，描出表中各对应值为坐标的点，画出该函数的大致图象；

（3）结合画出的函数图象，当的面积为时，求出的长.
25．（10分）已知：点和是一次函数与反比例函数图象的连个不同交点，点关于轴的对称点为,直线以及分别与轴交于点和.
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若，求的取值范围.

26．（10分）如图，已知中，， 点是边上一点，且

求证:;
求证:．
参考答案

一、选择题(每小题3分,共30分)
1、D
【分析】分别根据反比例函数及一次函数图象的特点对四个选项进行逐一分析即可．
【详解】解：由反比例函数y＝﹣（k≠0）的图象在一、三象限可知，﹣k＞0，
∴k＜0，
∴一次函数y＝kx﹣k的图象经过一、二、四象限，故A、B选项错误；
由反比例函数y＝﹣（k≠0）的图象在二、四象限可知，﹣k＜0，
∴k＞0，
∴一次函数y＝kx﹣k的图象经过一、三、四象限，故C选项错误，D选项正确；
故选：D．
此题主要考查一次函数与反比例函数图像综合，解题的关键是熟知一次函数与反比例函数系数与图像的关系．
2、B
【分析】如图，连接OA，OB．设OA＝OB＝x．利用勾股定理构建方程求出x，再证明∠APB＝∠AOD即可解决问题．
【详解】如图，连接OA，OB．设OA＝OB＝x．

∵OC⊥AB，
∴AD＝DB＝4，
在Rt△AOD中，则有x2＝42+（x﹣2）2，
∴x＝5，
∵OA＝OB，OD⊥AB，
∴∠AOD＝∠BOD，
∵∠APB＝∠AOB＝∠AOD，
∴sin∠APB＝sin∠AOD＝＝，
故选：B．
考查了圆周角定理和解直角三角形等知识，解题的关键是熟练灵活运用其相关知识．
3、C
【分析】根据△的符号，可判断图像与x轴的交点情况，根据二次项系数可判断开口方向，令函数式中x＝0，可求图像与y轴的交点坐标，利用配方法可求图像的顶点坐标．
【详解】解：A、抛物线y＝x2+6x﹣8中a＝1＞0，则抛物线开口方向向上，故本选项不符合题意．
B、x＝0时，y＝﹣8，抛物线与y轴交点坐标为（0，﹣8），故本选项不符合题意．
C、△＝62﹣4×1×(-8)＞0，抛物线与x轴有两个交点，本选项符合题意．
D、抛物线y＝x2+6x﹣8＝（x+3）2﹣17，则该抛物线的对称轴是直线x＝﹣3，故本选项不符合题意．
故选：C．
本题主要考查的是二次函数的开口，与y轴x轴的交点，对称轴等基本性质，掌握二次函数的基本性质是解题的关键.
4、D
【分析】由题意根据反比例函数的性质即可确定的符号，进行计算从而求解．
【详解】解：因为反比例函数的图象在二、四象限，
所以，解得.
故选：D.
本题考查反比例函数的性质，注意掌握反比例函数，当 k＞0时，反比例函数图象在一、三象限；当k＜0时，反比例函数图象在第二、四象限内．
5、B
【解析】分析：根据题意画出图形，进而分析得出答案．
详解：如图所示：sinA=．
故选B．

点睛：本题主要考查了锐角三角函数的定义，正确记忆边角关系是解题的关键．
6、B
【分析】根据表格得到二次函数的性质,分别求出开口方向,对称轴、最值即可解题.
【详解】解：由表格中的数据可知,当时,y的值先变大后减小,说明二次函数开口向下,所以① 正确；同时可以确定对称轴在与之间,所以在对称轴左侧可得② 正确；因为不知道横坐标之间的取值规律,所以无法说明对称轴是直线x=,所以此时顶点的函数值不一定等于k,所以③ 当时，y 的值是 k错误；由题可知函数有最大值,此时,化简整理得：④ 正确,
综上正确的有①②④,
故选B.
本题考查了二次函数的性质,中等难度,将表格信息转换成有效信息是解题关键.
7、D
【分析】如果过O作OC⊥AB于D，交折叠前的AB弧于C，根据折叠后劣弧恰好经过圆心O，根据垂径定理及勾股定理即可求出AD的长，进而求出AB的长．
【详解】解：如图，过O作OC⊥AB于D，交折叠前的AB弧于C，

根据折叠后劣弧恰好经过圆心O，那么可得出的是OD=CD=2，
直角三角形OAD中，OA=4，OD=2，
∴AD=
∴AB=2AD= ,
故选：D．
本题考查了垂径定理和勾股定理的综合运用，利用好条件：劣弧折叠后恰好经过圆心O是解题的关键．
8、C
【分析】根据二次函数的性质求出抛物线的顶点坐标，根据偶次方的非负性判断．
【详解】抛物线y＝3（x+2）2﹣（m2+1）的的顶点坐标为（﹣2，﹣（m2+1）），
∵m2+1＞0，
∴﹣（m2+1）＜0，
∴抛物线的顶点在第三象限，
故选：C．
本题考查的是二次函数的性质，掌握二次函数的顶点坐标的确定方法、偶次方的非负性是解题的关键．
9、B
【分析】直接利用因式分解法解方程，进而利用三角形三边关系得出答案．
【详解】∵，
∴，
解得：，
∵一个三角形的两边长为3和5，
∴第三边长的取值范围是：，即，
则第三边长为：3，
∴这个三角形的周长为：．
故选：B．
本题主要考查了因式分解法解方程以及三角形三边关系，正确掌握三角形三边关系是解题关键．
10、C
【解析】根据中心对称图形的概念即可求解．
【详解】A、不是中心对称图形，故此选项错误；
B、不是中心对称图形，故此选项错误；
C、是中心对称图形，故此选项正确；
D、不是中心对称图形，故此选项错误．
故选：C．
本题考查了中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．

二、填空题(每小题3分,共24分)
11、1°
【分析】由等腰三角形的性质可求∠BAC＝∠BCA＝75°，由旋转的性质可求解．
【详解】解：∵∠B＝30°，BC＝AB，
∴∠BAC＝∠BCA＝75°，
∴∠BAB'＝1°，
∵将一个顶角为30°角的等腰△ABC绕点A顺时针旋转一个角度α（0＜α＜180°）得到△AB'C′，
∴∠BAB'＝α＝1°，
故答案为：1．
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，灵活运用旋转的性质是本题的关键．
12、1．2
【分析】仔细观察表格，发现大量重复试验发芽的频率逐渐稳定在1.2左右，从而得到结论．
【详解】∵观察表格，发现大量重复试验发芽的频率逐渐稳定在1.2左右，
∴该玉米种子发芽的概率为1.2，
故答案为1.2．
考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．
13、②④⑤⑥
【分析】① 利用抛物线开口方向得到a＜0，利用抛物线的对称轴在y轴的右侧得到b＞0，利用抛物线与y轴的交点在x轴上方得到c＞0，即可判断；
②利用0＜﹣＜1得到b＜﹣2a，则可对其进行判断；
③利用x＝﹣1时y的正负可对a﹣b+c进行判断；
④利用a+c＞b＞0可对其进行判断；
⑤根据抛物线与x轴交点的个数即可判断；
⑥根据二次函数的图象和性质即可得出答案．
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，
∴a、b异号，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以①错误；
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣，
∴0＜﹣＜1，
∴b＜﹣2a，即2a+b＜0，所以②正确；
∵x＝﹣1时，y＞0，
∴a﹣b+c＞0，所以③错误；
∴a+c＞b，
而b＞0，
∴a+c＞0，所以④正确；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴△＝b2﹣4ac＞0，所以⑤正确；
∵抛物线开口向下，在对称轴的右侧y随x的增大而减下，
∴当x＞1时，y随x的增大而减小，所以⑥正确．
故答案为：②④⑤⑥．
本题主要考查二次函数的图象及性质，掌握二次函数的图象及性质并数形结合是解题的关键．
14、1或
【详解】解：因为内接于圆，，D是⊙O上与点B关于圆心O成中心对称的点，
∴AB=BC=CD=AD,
是正方形

①点R在线段AD上，

∵AD∥BC，
∴∠ARB=∠PBR，∠RAQ=∠APB，
∵AP=BR，
∴△BAP≌ABR，
∴AR=BP，
在△AQR与△PQB中，
，

②点R在线段CD上，此时△ABP≌△BCR，

∴∠BAP=∠CBR．
∵∠CBR+∠ABR=90°，
∴∠BAP+∠ABR=90°，
∴BQ是直角△ABP斜边上的高，

∴QR=BR-BQ=5-2.4=2.6，
.
故答案为：1或.
本题考查正方形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理,中心对称的性质.解答本题的关键是熟练掌握判定两个三角形全等的一般方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
15、-1
【解析】将x=0代入原方程可得关于a的方程，解之可求得a的值，结合一元二次方程的定义即可确定出a的值.
【详解】把x=0代入一元二次方程a-1）x2+7ax+a2+3a-1=0，
可得a2+3a-1=0，
解得a=-1或a=1，
∵二次项系数a-1≠0，
∴a≠1，
∴a=-1，
故答案为-1．
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般式以及一元二次方程的解，熟知一元二次方程二次项系数不为0是解本题的关键.
16、60°
【解析】分析：作半径OC⊥AB于D，连结OA、OB，如图，根据折叠的性质得OD=CD，则OD=OA，根据含30度的直角三角形三边的关系得到∠OAD=30°，接着根据三角形内角和定理可计算出∠AOB=120°，然后根据圆周角定理计算∠APB的度数．
详解：如图作半径OC⊥AB于D，连结OA、OB．

∵将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，
∴OD=CD，∴OD=OC=OA，∴∠OAD=30°．
∵OA=OB，∴∠ABO=30°，∴∠AOB=120°，
∴∠APB=∠AOB=60°．
故答案为60°．
点睛：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了含30度的直角三角形三边的关系和折叠的性质，求得∠OAD=30°是解题的关键．
17、下 直线x＝1 （1，2）
【分析】根据y=a（x-h）2+k的性质即可得答案
【详解】∵-3<0，
∴抛物线的开口向下，
∵y＝﹣3（x﹣1）2+2是二次函数的顶点式，
∴该抛物线的对称轴是直线x＝1，顶点坐标为（1，2），
故答案为：下，直线x＝1，（1，2）
本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的三种形式及性质是解题关键．
18、2或1
【分析】根据相似三角形的判定与性质，当若点A，P，D分别与点B，C，P对应，与若点A，P，D分别与点B，P，C对应，分别分析得出AP的长度即可．
【详解】解：设AP＝xcm．则BP＝AB﹣AP＝(5﹣x)cm
以A，D，P为顶点的三角形与以B，C，P为顶点的三角形相似，
①当AD：PB＝PA：BC时，
，
解得x＝2或1．
②当AD：BC＝PA+PB时，，解得x＝1，
∴当A，D，P为顶点的三角形与以B，C，P为顶点的三角形相似，AP的值为2或1．
故答案为2或1．
本题考查了相似三角形的问题，掌握相似三角形的性质以及判定定理是解题的关键．

三、解答题(共66分)
19、 (1) ；（2）能成功；理由见解析.
【分析】（1）将抛物线解析式整理成顶点式，可得最大值，即为最大高度；
（2）将x=4代入抛物线解析式，计算函数值是否等于3.4进行判断.
【详解】(1)y=-x2+3x+1=-+
∵-＜0，
∴函数的最大值是．
答：演员弹跳的最大高度是米．
(2)当x=4时，y=-×42+3×4+13.4=BC，
所以这次表演成功．
此题将用待定系数法求二次函数解析式、动点问题和最小值问题相结合，有较大的
维跳跃，考查了同学们的应变能力和综合思维能力，是一道好题．
20、（1）8人；（2）648人.
【分析】（1）设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感，列方程求解；
(2)根据（1）中所求数据，进而得到第三轮被传染的人数.
【详解】解：（1）设每轮传染中平均一个人传染了x个人，依题意有
x+1+（x+1）x=81，
解得x1=8，x2=﹣10（不符合题意舍去）．
答：每轮传染中平均一个人传染了8个人．
（2）8×81=648（人）．
答：第三轮将又有648人被传染人．
本题主要考查一元一次方程的实际应用，注意根据题中已知等量关系列出方程式是关键.
21、（1）圆P的半径为；（2）画出函数图象，如图②所示；见解析；（3）cos∠APD==.
【解析】（1）由题意得到AP=PB，求出y的值，即为圆P的半径；
（2）利用两点间的距离公式，根据AP=PB，确定出y关于x的函数解析式，画出函数图象即可；
​（3）画出相应图形，求出m的值，进而确定出所求角的余弦值即可．
【详解】（1）由x=2，得到P（2，y），连接AP，PB，

∵圆P与x轴相切，∴PB⊥x轴，即PB=y，
由AP=PB，得到 ，解得：y=，则圆P的半径为
（2）同（1），由AP=PB，得到（x﹣1）2+（y﹣2）2=y2，
整理得：
图象为开口向上的抛物线，
画出函数图象，如图②所示；

（3）连接CD，连接AP并延长，交x轴于点F，
设PE=a，则有EF=a+1，ED= ，∴D坐标为（1+，a+1），
代入抛物线解析式得：，解得：或（舍去），
即PE=，在Rt△PED中，PE=，PD=1，
则cos∠APD==.
本题属于圆的综合题，涉及的知识点主要有两点间的距离公式，勾股定理，二次函数的图象和性质，圆的定义，圆的切线的性质，弄清题意是解决本题的关键.
22、（1）证明见解析；（2）DGF，CDF，∠B＋∠EGC＝180°；（3）．
【分析】（1）根据矩形性质得出∠A＝∠FDC＝90°，求出∠CFD＝∠AED，证出△AED∽△DFC即可；
（2）当∠B＋∠EGC＝180°时，成立，分别证明即可；
（3）过C作CN⊥AD于N，CM⊥AB交AB延长线于M，连接BD，设CN＝x，△BAD≌△BCD，推出∠BCD＝∠A＝90°，证△BCM∽△DCN，求出CM＝x，在Rt△CMB中，由勾股定理得出BM2＋CM2＝BC2，代入得出方程（x−2）2＋（x）2＝22，求出CN＝，证出△AED∽△NFC，即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠FDC＝90°，
∵CF⊥DE，
∴∠DGF＝90°，
∴∠ADE＋∠CFD＝90°，∠ADE＋∠AED＝90°，
∴∠CFD＝∠AED，
∵∠A＝∠CDF，
∴△AED∽△DFC，
∴；
（2）当∠B＋∠EGC＝180°时，．
要使，转化成，显然△DEA与△CFD不相似，考虑，需要△DEA∽△DFG，只需∠A＝∠DGF;另一方面，只要，需要△CFD∽△CDG，只需∠CGD＝∠CDF．
当∠B＋∠EGC＝180°时：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠ADC，AD∥BC，
∴∠B＋∠A＝180°，
∵∠B＋∠EGC＝180°，
∴∠A＝∠EGC＝∠FGD，
∵∠FDG＝∠EDA，
∴△DFG∽△DEA，
∴，
∵∠B＝∠ADC，∠B＋∠EGC＝180°，∠EGC＋∠DGC＝180°，
∴∠CGD＝∠CDF，
∵∠GCD＝∠DCF，
∴△CGD∽△CDF，
∴，
∴，
∴，
即当∠B＋∠EGC＝180°时，成立；
（3）过C作CN⊥AD于N，CM⊥AB交AB延长线于M，连接BD，设CN＝x，

∵∠BAD＝90°，即AB⊥AD，
∴∠A＝∠M＝∠CNA＝90°，
∴四边形AMCN是矩形，
∴AM＝CN，AN＝CM，
∵在△BAD和△BCD中，，
∴△BAD≌△BCD（SSS），
∴∠BCD＝∠A＝90°，
∴∠ABC＋∠ADC＝180°，
∵∠ABC＋∠CBM＝180°，
∴∠MBC＝∠ADC，
∵∠CND＝∠M＝90°，
∴△BCM∽△DCN，
∴，
∴，
∴CM＝x，
在Rt△CMB中，CM＝x，BM＝AM−AB＝x−2，由勾股定理得：BM2＋CM2＝BC2，
∴（x−2）2＋（x）2＝22，
x＝0（舍去），x＝，
CN＝，
∵∠A＝∠FGD＝90°，
∴∠AED＋∠AFG＝180°，
∵∠AFG＋∠NFC＝180°，
∴∠AED＝∠CFN，
∵∠A＝∠CNF＝90°，
∴△AED∽△NFC，
∴．
本题考查了矩形性质和判定，勾股定理，平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用性质和定理进行推理的能力，题目比较好．
23、（1）（2）
【解析】试题分析：（1）连结BC，作O′D⊥BC于D，根据旋转变换的性质求出∠CBA′的度数，根据弧长公式计算即可；
（2）根据扇形面积公式、三角形面积公式，结合图形计算即可．
试题解析：
（1）连结BC,作OD⊥BC于D,
可求得∠BO′C=120,O′D=5,
的长为
（2）
24、（1）；（2）详见解析；（3）2.0或者3.7
【分析】（1）当x＝2时，点C与点O重合，此时DE是直径，由此即可解决问题；
（2）利用描点法即可解决问题；
（3）利用图象法，确定y＝4时x的值即可；
【详解】（1）当时，即是直径，可求得的面积为4.0，
∴；
（2）函数图象如图所示：

（3）由图像可知，当时，或3.7
本题考查圆综合题，三角形的面积，函数图象等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．
25、（1）；（2） 或.
【分析】（1）将点A（-1，-4）代入反比例函数解析式，即可得m的值；
（2）分两种情况讨论：当P在第一象限或第三象限时，过点作于点，交x轴于点， ，通过相似的性质求出AC的长，然后求出点P的坐标，求出一次函数的解析式，即可求出k的取值范围.
【详解】解：1）将点A（-1，-4）代入反比例函数解析式，即可得m=4，
∴反比例函数解析式是；
（2）分两种情况讨论：当P在第一象限时，如图1，当时，过点作于点，交x轴于点，

∵，
∴，，
∴，
∴AC=6,
∴点P的纵坐标是2，
把y=2代入中得x=2，
∴点P的坐标是（2，2），
∴，
∴，
∴一次函数的解析式为y=2x-2,
当时，AC>6,此时点P的纵坐标大于2，k的值变大，所以k>2，
∴；
当P在第三象限时，如图2，当时，过点作于点，交x轴于点，

∵，
∴，，
∴，
∴AC=6,
∴点P的纵坐标是-10，
把y=-10代入中得x= ，

∴点P的坐标是（，-10），
∴，
∴，
∴一次函数的解析式为y=-10x-14,
当时，AC>6,此时点P的纵坐标小于-10，k的值变小，所以k<-10，
∴；
综上所述，的取值范围或.
本题是函数和相似三角形的综合题，难度较大.要紧盯着如何求点P坐标这一突破口，通过相似求出线段的长，从而解决问题.
26、（1）详见解析；（2）详见解析
【分析】（1）根据相似三角形的性质和判定定理，即可得到结论；
（2）由得，进而即可得到结论．
【详解】（1），
，，
，即：，
∴；
,
．

∴，
，即：∠DBE=90°，
．
本题主要考查相似三角形的判定和性质定理以及直角三角形的性质定理，掌握两边对应成比例，夹角相等的两个三角形是相似三角形，是解题的关键．