2024-2025学年山东省潍坊市临朐九上数学期末经典模拟试题含解析.doc

2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题(每小题3分,共30分)
1．已知是关于的一个完全平方式，则的值是（ ）．
A．6 B． C．12 D．
2．在△ABC中，D是AB中点，E是AC中点，若△ADE的面积是3，则△ABC的面积是（　　）
A．3 B．6 C．9 D．12
3．如图，把正三角形绕着它的中心顺时针旋转60°后，是（　　）

A． B． C． D．
4．已知方程的两根为，则的值是（ ）
A．1 B．2 C．-2 D．4
5．已知点关于轴的对称点在反比例函数的图像上，则实数的值为（ ）
A．-3 B． C． D．3
6．若锐角α满足cosα＜且tanα＜，则α的范围是(　　)
A．30°＜α＜45° B．45°＜α＜60°
C．60°＜α＜90° D．30°＜α＜60°
7．下列命题正确的是（ ）
A．长度为5cm、2cm和3cm的三条线段可以组成三角形
B．的平方根是±4
C．是实数，点一定在第一象限
D．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
8．如图，为的直径，点是弧的中点，过点作于点，延长交于点，若，，则的直径长为（ ）

A．10 B．13 C．15 D．1．
9．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与相似的是（ ）

A． B． C． D．
10．某小组作“用频率估计概率的实验”时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能的是（ ）

A．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是4
B．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”
C．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红色
D．暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．如图一次函数的图象分别交x轴、y轴于A、B，P为AB上一点且PC为△AOB的中位线，PC的延长线交反比例函数的图象于Q，，则Q点的坐标为_____________

12．在中，，为的中点，则的长为__________．
13．反比例函数与在第一象限内的图象如图所示，轴于点，与两个函数的图象分别相交于两点，连接，则的面积为_________ ．

14．将抛物线y=x2向左平移4个单位后，再向下平移2个单位，则此时抛物线的解析式是________．
15．如图，已知反比例函数y=(k为常数，k≠0)的图象经过点A，过A点作AB⊥x轴，垂足为B，若△AOB的面积为1，则k=________________．
16．关于的方程的一个根是1，则方程的另一个根是____．
17．已知抛物线的对称轴是y轴，且经过点（1，3）、（2，6），则该抛物线的解析式为_____．
18．已知二次函数的图象与轴有两个交点，则下列说法正确的有：_________________．(填序号)
①该二次函数的图象一定过定点；
②若该函数图象开口向下，则的取值范围为：；
③当且时，的最大值为；
④当且该函数图象与轴两交点的横坐标满足时，的取值范围为：．
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，AB是€⊙O的直径，点C是€€⊙O上一点，AC平分∠DAB，直线DC与AB的延长线相交于点P，AD与PC延长线垂直，垂足为点D，CE平分∠ACB，交AB于点F，交€€⊙O于点E．
（1）求证：PC与⊙O相切；
（2）求证：PC＝PF；
（3）若AC＝8，tan∠ABC＝，求线段BE的长．

20．（6分）随机抽取某小吃店一周的营业额(单位: 元)如下表:
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
星期六
星期日
合计

（1）分析数据，填空:这组数据的平均数是 元，中位数是 元，众数是 元.
（2）估计一个月(按天计算)的营业额,星期一到星期五营业额相差不大，用这天的平均数估算合适么?简要说明理由.
21．（6分）先化简，再求值：，其中x=sin45°，y=cos60°．
22．（8分）如图，∠MAN=90°，，分别为射线，上的两个动点，将线段绕点逆时针旋转到，连接交于点．

（1）当∠ACB=30°时，依题意补全图形，并直接写出的值；
（2）写出一个∠ACB的度数，使得，并证明．
23．（8分）如图，AB是⊙O的直径，CD切⊙O于点C，BE⊥CD于E，连接AC，BC．
（1）求证：BC平分∠ABE；
（2）若⊙O的半径为3，cosA＝，求CE的长．

24．（8分）如图，点是线段上的任意一点(点不与点重合)，分别以为边在直线的同侧作等边三角形和等边三角形，与相交于点，与相交于点．

(1)求证: ；
(2)求证: ；
(3)若的长为12cm，当点在线段上移动时，是否存在这样的一点，使线段的长度最长?若存在,请确定点的位置并求出的长；若不存在，请说明理由．
25．（10分）一个小球沿着足够长的光滑斜面向上滚动，它的速度与时间满足一次函数关系，其部分数据如下表：

（1） 求小球的速度v与时间t的关系.
（2）小球在运动过程中，离出发点的距离S与v的关系满足 ，求S与t的关系式，并求出小球经过多长时间距离出发点32m？
（3）求时间为多少时小球离出发点最远，最远距离为多少？
26．（10分）如图，⊙O过▱ABCD的三顶点A、D、C，边AB与⊙O相切于点A，边BC与⊙O相交于点H，射线AD交边CD于点E，交⊙O于点F，点P在射线AO上，且∠PCD=2∠DAF．
（1）求证：△ABH是等腰三角形；
（2）求证：直线PC是⊙O的切线；
（3）若AB=2，AD=，求⊙O的半径．

参考答案

一、选择题(每小题3分,共30分)
1、B
【分析】这里首末两项是x和3这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x和3积的2倍，故m=±1．
【详解】∵（x±3）2=x2±1x+32，
∴是关于的一个完全平方式
则m=±1．
故选：B．
本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．
2、D
【分析】根据相似三角形的性质与判定即可求出答案．
【详解】解：∵D是AB中点，E是AC中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE＝BC，DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∴S△ABC＝4S△ADE＝12，
故选：D．
本题考查了相似三角形的面积问题，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
3、A
【分析】根据旋转的性质判断即可.
【详解】解:∵把正三角形绕着它的中心顺时针旋转60°，
∴图形A符合题意，
故选：A．
本题考查的是图形的旋转，和学生的空间想象能力，熟练掌握旋转的性质是解题的关键.
4、A
【分析】先化成一元二次方程的一般形式，根据根与系数的关系得出x1+x2，x1•x2，代入求出即可．
【详解】∵2x2﹣3x=1，
∴2x2﹣3x﹣1=0，
由根与系数的关系得：x1+x2，x1•x2，
所以x1+x1x2+x2()=1．
故选：A．
本题考查了根与系数的关系，能熟记根与系数的关系的内容是解答本题的关键．
5、A
【分析】先根据关于x轴对称的点的坐标特征确定A'的坐标为，然后把A′的坐标代入中即可得到k的值．
【详解】解：点关于x轴的对称点A'的坐标为，
把A′代入，
得k=-1×1=-1．
故选：A．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．
6、B
【详解】∵α是锐角，
∴cosα>0，
∵cosα<，
∴00，
∵tanα<，
∴0角的余弦函数、正切函数值，熟记特殊角的三角函数值和了解锐角三角函数的增减性是解题的关键
7、C
【分析】根据三角形三边关系、平方根的性质、象限的性质、平行线的性质进行判断即可．
【详解】A. 长度为5cm、2cm和3cm的三条线段不可以组成三角形，错误；
B. 的平方根是±2，错误；
C. 是实数，点一定在第一象限，正确；
D. 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，错误；
故答案为：C．
本题考查了判断命题真假的问题，掌握三角形三边关系、平方根的性质、象限的性质、平行线的性质是解题的关键．
8、C
【分析】连接OD交AC于点G，根据垂径定理以及弦、弧之间的关系先得出DFAC，再由垂径定理及推论得出DE的长以及OD⊥AC，最后在Rt△DOE中，根据勾股定理列方程求得半径r，从而求出结果．
【详解】解：连接OD交AC于点G，
∵AB⊥DF，∴，DE=EF．
又点是弧的中点，
∴，OD⊥AC，
∴，
∴AC=DF=12，
∴DE=2．
设的半径为r，
∴OE=AO-AE=r-3，
在Rt△ODE中，根据勾股定理得，OE2+DE2=OD2，
∴(r-3)2+22=r2，
解得r=．
∴的直径为3．
故选：C．

本题主要考查垂径定理及其推论，弧、弦之间的关系以及勾股定理，解题的关键是通过作辅助线构造直角三角形，是中考常考题型．
9B
【分析】求出△ABC的三边长，再分别求出选项A、B、C、D中各三角形的三边长，根据三组对应边的比相等判定两个三角形相似，由此得到答案.
【详解】如图，，AC=2，,
A、三边依次为： ， ，1，
∵，∴A选项中的三角形与不相似；
B、三边依次为：、、1，
∵，∴B选项中的三角形与相似；
C、三边依次为：3、、，
∵，∴C选项中的三角形与不相似；
D、三边依次为： 、、2，
∵，∴D选项中的三角形与不相似；
故选：B.
此题考查网格中三角形相似的判定，勾股定理，需根据勾股定理分别求每个三角形的边长，判断对应边的比是否相等是解题的关键.
10、A
【分析】根据统计图可知，试验结果在0.17附近波动，即其概率P≈0.17，计算四个选项的概率，约为0.17者即为正确答案．
【详解】解：A、掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是4的概率为≈0.17，故A选项正确；
B、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀“的概率为，故B选项错误；
C、一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率是：，故C选项错误；
D、暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球的概率为，故D选项错误；
故选：A．
此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．

二、填空题(每小题3分,共24分)
11、 (2,)
【解析】因为三角形OQC的面积是Q点的横纵坐标乘积的一半，所以可求出k的值，PC为中位线，可求出C的横坐标，也是Q的横坐标，代入反比例函数可求出纵坐标
【详解】解：设A点的坐标为（a，0），B点坐标为（0，b），
分别代入，
解方程得a=4，b=-2，
∴A（4，0），B（0，-2）
∵PC是△AOB的中位线，
∴PC⊥x轴，即QC⊥OC，
又Q在反比例函数的图象上，
∴2S△OQC=k，
∴k＝2×＝3，
∵PC是△AOB的中位线，
∴C（2，0），
可设Q（2，q）
∵Q在反比例函数的图象上，
∴q＝，
∴点Q的坐标为(2 ， )．
点睛：本题考查反比例函数的综合运用，关键是知道函数上面取点后所得的三角函数的面积和点的坐标之间的关系．
12、5
【分析】先根据勾股定理的逆定理判定△ABC是直角三角形，再根据斜中定理计算即可得出答案.
【详解】∵
∴
∴△ABC为直角三角形，AB为斜边
又为的中点
∴
故答案为5.
本题考查的是勾股定理的逆定理以及直角三角形的斜中定理，解题关键是根据已知条件判断出三角形是直角三角形.
13、
【分析】设直线AB与x轴交于点C，那么．根据反比例函数的比例系数k的几何意义，即可求出结果．
【详解】设直线AB与x轴交于点C．
∵AC⊥x轴，BC⊥x轴．
∵点A在双曲线的图象上，
∴，
∵点B在双曲线的图象上，
∴，
∴．
故答案为：1．
本题主要考查反比例函数的比例系数的几何意义．反比例函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系，即．
14、y=（x+4）2-2
【解析】∵y=x2向左平移4个单位后,再向下平移2个单位. ∴y= .故此时抛物线的解析式是y=.故答案为y=（x+4）2-2.
点睛：主要考查了函数图象的平移,要求熟练掌握平移的规律:左加右减,上加下减.并用规律求函数解析式.
15、-1
【解析】试题解析：设点A的坐标为(m，n)因为点A在y=的图象上，所以，有mn＝k，△ABO的面积为＝1，∴=1，∴=1，∴k=±1，由函数图象位于第二、四象限知k<0，∴k=-1．
考点：反比例外函数k的几何意义.
16、
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求解即可．
【详解】设方程的另一个根为x1，
∵方程的一个根是1，
∴x1·1=1，即x1=1，
故答案为：1．
本题主要考查一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理），掌握知识点是解题关键．
17、y＝x1+1
【分析】根据抛物线的对称轴是y轴，得到b＝0，设出适当的表达式，把点（1，3）、（1，6）代入设出的表达式中，求出a、c的值，即可确定出抛物线的表达式．
【详解】∵抛物线的对称轴是y轴，∴设此抛物线的表达式是y＝ax1+c，
把点（1，3）、（1，6）代入得：，解得：a＝1，c＝1，
则此抛物线的表达式是y＝x1+1，故答案为：y＝x1+1．
本题考查代定系数法求函数的解析式，根据抛物线的对称轴是y轴，得到b＝0，再设抛物线的表达式是y＝ax1+c是解题的关键.
18、
【分析】根据二次函数图象与x轴有两个交点，利用根的判别式可求出，①中将点代入即可判断，②中根据“开口向下”和“与x轴有两个交点”即可得出m的取值范围，③中根据m的取值可判断出开口方向和对称轴范围，从而判断增减性确定最大值，④中根据开口方向及x1，x2的范围可判断出对应y的取值，从而建立不等式组求解集．
【详解】由题目中可知： ，，，
由题意二次函数图象与x轴有两个交点，则：
，即，
①将代入二次函数解析式中，，则点在函数图象上，故正确；
②若二次函数开口向下，则，解得，且，所以的取值范围为：，故正确；
③当时，，即二次函数开口向上，对称轴，对称轴在左侧，则当时，随的增大而增大，当时有最大值，，故错误；
④当时，，即二次函数开口向上，
∵，
∴当时，，时，，即，
解得：，
∵，
∴当时，，时，，即，
解得：，
综上，，故正确．
故答案为：①②④．
本题考查二次函数的图像与性质，以及利用不等式组求字母取值范围，熟练掌握二次函数各系数与图象之间的关系是解题的关键．

三、解答题(共66分)
19、（1）见解析；（2）见解析；（3）BE＝5．
【分析】（1）连接OC，根据角平分线的定义、等腰三角形的性质得到∠DAC＝∠OCA，得到OC∥AD，根据平行线的性质得到OC⊥PD，根据切线的判定定理证明结论；
（2）根据圆周角定理、三角形的外角的性质证明∠PFC＝∠PCF，根据等腰三角形的判定定理证明；
（3）连接AE，根据正切的定义求出BC，根据勾股定理求出AB，根据等腰直角三角形的性质计算即可．
【详解】（1）证明：连接OC，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠CAB，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠CAB，
∴∠DAC＝∠OCA，
∴OC∥AD，又AD⊥PD，
∴OC⊥PD，
∴PC与⊙O相切；
（2）证明：∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE＝∠BCE，
∴，
∴∠ABE＝∠ECB，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠ABC＝90°，
∵∠BCP+∠OCB＝90°，
∴∠BCP＝∠BAC，
∵∠BAC＝∠BEC，
∴∠BCP＝∠BEC，
∵∠PFC＝∠BEC+∠ABE，∠PCF＝∠ECB+∠BCP，
∴∠PFC＝∠PCF，
∴PC＝PF；
（3）解：连接AE，
在Rt△ACB中，tan∠ABC＝，AC＝8，
∴BC＝6，
由勾股定理得，AB＝，
∵，
∴AE＝BE，
则△AEB为等腰直角三角形，
∴BE＝AB＝5．

本题考查的是角平分线的定义、等腰三角形的性质和判定，切线的判定及勾股定理、锐角三角函数．熟练运用这些性质是解题的关键．
20、（1）780,680,640；（2）不合适，理由见解析
【分析】（1）根据平均数、中位数、众数的定义，即可得解；
（2）根据数值和平均数之间的差距即可判定.
【详解】(1)这组数据的平均数是元，
从小到大排列为:540、640、640、680、780、1070、1110，则其中位数是680元，
众数是640元．
（2）不合适
理由：星期一到星期五的日平均营业额相差不大，但是与周六和周日差距较大，
平均数受极端值影响较大，所以不合适.
此题主要考查统计的相关概念，数据波动以及离散程度的相关知识，熟练掌握，即可解题.
21、
【分析】利用分式的乘法和除法进行化简，再把x、y的值代入计算，即可得到答案.
【详解】解：原式＝＝．
当x=sin45°=，y=cos60°=时，
原式＝．
本题考查了特殊角的三角函数值，分式的化简求值，以及分式的混合运算，解题的关键是正确的进行化简，掌握特殊角的三角函数值.
22、（1）；（2）∠．
【分析】（1）按照题意补全图形即可，由已知可证△∽△，再由相似三角形的性质可知，从而可得答案；
（2）过点作于点，由已知可证△∽△，从而有，再利用∠ACB的度数可求出，从而可得出答案.
【详解】解：（1）正确补全图形；

∵
∴△∽△
∴
∵
∴．
（2）解：∠．
证明：∵，
∴．
∵，
∴．
过点作于点，

∴
∵，
∴．
∵，
∴．
∵∠．
∴△∽△．
∴．
本题主要考查相似三角形的判定及性质，掌握旋转的性质及相似三角形的判定是解题的关键.
23、（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）根据切线的性质得OC⊥DE，则可判断OC∥BE，根据平行线的性质得∠OCB＝∠CBE，加上∠OCB＝∠CBO，所以∠OBC＝∠CBE；
（2）由已知数据可求出AC，BC的长，易证△BEC∽△BCA，由相似三角形的性质即可求出CE的长．
【详解】（1）证明：∵CD是⊙O的切线，
∴OC⊥DE，
而BE⊥DE，
∴OC∥BE，
∴∠OCB＝∠CBE，
而OB＝OC，
∴∠OCB＝∠CBO，
∴∠OBC＝∠CBE，
即BC平分∠ABE；
（2）∵⊙O的半径为3，
∴AB＝6，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵cosA＝，
∴＝，
∴AC＝2，
∴BC＝＝2，
∵∠ABC＝∠ECB，∠ACB＝∠BEC＝90°，
∴△BEC∽△BCA，
∴＝，
即＝，
∴CE＝．
本题考查了切线的性质，平行线的判定和性质，勾股定理的运用以及相似三角形的判定和性质，熟记和圆有关的各种性质定理是解题的关键．
24、 (1)见解析；(2) 见解析；(1) 存在,请确定C点的位置见解析，MN=1．
【分析】（1）根据题意证明△DCB≌△ACE即可得出结论；
（2）由题中条件可得△ACE≌△DCB，进而得出△ACM≌△DCN，即CM=CN，△MCN是等边三角形，即可得出结论；
（1）可先假设其存在，设AC=x，MN=y，进而由平行线分线段成比例即可得出结论．
【详解】解：（1）∵△ACD与△BCE是等边三角形，
∴AC=CD，CE=BC，
∴∠ACE=∠BCD，
在△ACE与△DCB中，
，
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴DB=AE；
（2）∵△ACE≌△DCB，
∴∠CAE=∠BDC，
在△ACM与△DCN中，
，
∴△ACM≌△DCN，
∴CM=CN，
又∵∠MCN=180°-60°-60°=60°，
∴△MCN是等边三角形，
∴∠MNC=∠NCB=60°
即MN∥AB；
（1）解：假设符合条件的点C存在，设AC=x，MN=y，
∵MN∥AB，
∴，
即，
，
当x=6时，ymax=1cm，
即点C在点A右侧6cm处，且MN=1．
本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及平行线分线段成比例的性质和二次函数问题，能够将所学知识联系起来，从而熟练求解．
25、（1）v=-4t+20；（2）小球经过2s距离出发点32m；（3）当时间为5s时小球离出发点最远，最远距离为50m．
【分析】（1）直接运用待定系数法即可；
（2）将中的用第（1）问中求得的式子来做等量代换，化简可得到S与t的关系式，令S=32时，得到关于t的方程，解出即可；
（3）将S与t的关系式化成顶点式，即可求出S的最大值与相应的时间.
【详解】(1)设v=kt+b，将（2,123,8）代入得：
，解得
所以v=-4t+20
（2）
∴
当时，
，
∵当时，
∴，
答：小球经过2s距离出发点32m.
（3）∵，
∴当t=5时，v=0，m
答：当时间为5s时小球离出发点最远，最远距离为50m.
本题考查了一次函数、一元二次方程、二次函数的应用，掌握好用待定系数法求函数解析式，一元二次方程的解法，二次函数的最值求法是解题的基础，注意解决实际问题，不能忘记检验.
26、 (1)见解析；（2）见解析；（3） ．
【解析】（1）要想证明△ABH是等腰三角形，只需要根据平行四边形的性质可得∠B=∠ADC，再根据圆内接四边形的对角互补可得∠ADC+∠AHC=180°，再根据邻补角互补，可知∠AHC+∠AHB=180°，从而可以得到∠ABH和∠AHB的关系，从而可以证明结论成立；
（2）要证直线PC是⊙O的切线，只需要连接OC，证明∠OCP=90°即可，根据平行四边形的性质和边AB与⊙O相切于点A，可以得到∠AEC的度数，又∠PCD=2∠DAF，∠DOF=2∠DAF，∠COE=∠DOF，通过转化可以得到∠OCP的度数，从而可以证明结论；
（3）根据题意和（1）（2）可以得到∠AED=90°，由平行四边形的性质和勾股定理，由AB=2，AD=，可以求得半径的长．
【详解】（1）证明：
∵四边形ADCH是圆内接四边形，

∴∠ADC+∠AHC=180°，
又∵∠AHC+∠AHB=180°，
∴∠ADC=∠AHB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ADC=∠B，
∴∠AHB=∠B，
∴AB=AH，
∴△ABH是等腰三角形；
（2）证明：连接OC，如右图所示，
∵边AB与⊙O相切于点A，
∴BA⊥AF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴CD⊥AF，
又∵FA经过圆心O，
∴，∠OEC=90°，
∴∠COF=2∠DAF，
又∵∠PCD=2∠DAF，
∴∠COF=∠PCD，
∵∠COF+∠OCE=90°，
∴∠PCD+∠OCE=90°，即∠OCP=90°，
∴直线PC是⊙O的切线；
（3）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC=AB=2，
∵FA⊥CD，
∴DE=CE=1，
∵∠AED=90°，AD=，DE=1，
∴AE=，
设⊙O的半径为r，则OA=OD=r，OE=AE﹣OA=4﹣r，
∵∠OED=90°，DE=1，
∴r2=（4﹣r）2+12,解得，r=，即⊙O的半径是．

考点：1.圆的综合题；2.平行四边形的性质；3.勾股定理；4同弧所对的圆心角和圆周角的关系.