2025届北京市东城区第十一中学数学九上期末质量跟踪监视试题含解析.doc

2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题(每小题3分,共30分)
1．下列说法错误的是（　　）
A．必然事件发生的概率是1
B．通过大量重复试验，可以用频率估计概率
C．概率很小的事件不可能发生
D．投一枚图钉，“钉尖朝上”的概率不能用列举法求得
2．如图，一个正六边形转盘被分成6个全等三角形，任意转动这个转盘1次，当转盘停止时，指针指向阴影区域的概率是（ ）

A． B． C． D．
3．如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，G，F分别为AD、BC边上的点，若AG=1，BF=2，∠GEF=90°，则GF的长为( )

A．2 B．3 C．4 D．5
4．如图，点在二次函数的图象上，则方程解的一个近似值可能是（ ）

A．2.18 B．2.68 C．-0.51 D．2.45
5．把抛物线y=﹣2x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得函数的表达式为（ ）
A．y=﹣2（x+1）2+2
B．y=﹣2（x+1）2﹣2
C．y=﹣2（x﹣1）2+2
D．y=﹣2x﹣1）2﹣2
6．对于二次函数y＝－(x＋1)2＋3，下列结论：①其图象开口向下；②其图象的对称轴为直线x＝1；③其图象的顶点坐标为(－1，3)；④当x>1时，y随x的增大而减小．其中正确结论的个数为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
7．如图，在△ABC中，AB＝2.2，BC＝3.6，∠B＝60°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△ADE，若点B的对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长为（　　）

A．1.5 B．1.4 C．1.3 D．1.2
8．中，，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．5
9．如图，A、D是⊙O上的两点，BC是直径，若∠D＝40°，则∠ACO＝（　　）

A．80° B．70° C．60° D．50°
10．已知甲、乙两地相距100（km），汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶的时间（t）与行驶速度v（km/h）的函数关系图象大致是（ ）．
A． B． C． D．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．已知圆锥的底面半径为2cm，侧面积为10πcm2，则该圆锥的母线长为_____cm．
12．如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，点C为OA的中点，CE⊥OA交于点E，以点O为圆心，OC的长为半径作交OB于点D，若OA=2，则阴影部分的面积为 .

13．如图，△ABC绕点B逆时针方向旋转到△EBD的位置，∠A=20°，∠C=15°，E、B、C在同一直线上，则旋转角度是_______．

14．抛物线y=x2-2x+3，当-2≤x≤3时，y的取值范围是__________
15．在、、、1、2五个数中，若随机取一个数作为反比例函数中的值，则该函数图象在第二、第四象限的概率是__________．
16．某10人数学小组的一次测试中，有4人的成绩都是80分，其他6人的成绩都是90分，则这个小组成绩的平均数等于_____分．
17．方程（x﹣1）2=4的解为_____．
18．在矩形中，点是边上的一个动点，连接,过点作与点,交射线于点,连接,则的最小值是_____________

三、解答题(共66分)
19．（10分）如图①，在平面直角坐标系中，圆心为P（x，y）的动圆经过点A（1，2）且与x轴相切于点B．
（1）当x=2时，求⊙P的半径；
（2）求y关于x的函数解析式；判断此函数图象的形状；并在图②中画出此函数的图象；
（3）当⊙P的半径为1时，若⊙P与以上（2）中所得函数图象相交于点C、D，其中交点D（m，n）在点C的右侧，请利用图②，求cos∠APD的大小．

20．（6分）已知:如图，菱形中，点，分别在，边上，，连接，.求证:.

21．（6分）如图，在Rt△ABC中，，D是AB的中点过D点作AB的垂线交AC于点E，若BC＝6，sinA＝，求DE的长．

22．（8分）已知关于x的方程x2+（2m+1）x+m（m+1）＝1．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）已知方程的一个根为x＝1，求代数式m2+m﹣5的值．
23．（8分）如图1，AD、BD分别是△ABC的内角∠BAC、∠ABC的平分线，过点A作AE⊥AD，交BD的延长线于点E.
（1）求证：∠E=∠C；
（2）如图2，如果AE=AB，且BD：DE=2：3，求cos∠ABC的值；
（3）如果∠ABC是锐角，且△ABC与△ADE相似，求∠ABC的度数.

24．（8分）如图，AB是垂直于水平面的一座大楼，离大楼20米（BC＝20米）远的地方有一段斜坡CD（坡度为1：0.75），且坡长CD＝10米，某日下午一个时刻，在太阳光照射下，大楼的影子落在了水平面BC，斜坡CD，以及坡顶上的水平面DE处（A、B、C、D、E均在同一个平面内）．若DE＝4米，且此时太阳光与水平面所夹锐角为24°（∠AED＝24°），试求出大楼AB的高．（其中，sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°≈0.45）

25．（10分）综合与探究
如图1，平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点，.双曲线与直线交于点.

（1）求的值；
（2）在图1中以线段为边作矩形，使顶点在第一象限、顶点在轴负半轴上.线段交轴于点.直接写出点，，的坐标；
（3）如图2，在（2）题的条件下，已知点是双曲线上的一个动点，过点作轴的平行线分别交线段，于点，.
请从下列，两组题中任选一组题作答.我选择组题.
A．①当四边形的面积为时，求点的坐标；
②在①的条件下，连接，.坐标平面内是否存在点（不与点重合），使以，，为顶点的三角形与全等?若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由.
B．①当四边形成为菱形时，求点的坐标；
②在①的条件下，连接，.坐标平面内是否存在点（不与点重合），使以，，为顶点的三角形与全等?若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由.
26．（10分）如图在路灯下，小明的身高如图中线段AB所示，他在地面上的影子如图中线段AC所示，小亮的身高如图中线段FG所示，路灯灯泡在线段DE上．
（1）请你确定灯泡所在的位置，并画出小亮在灯光下形成的影子．
（2）如果小明的身高AB＝1.6m，他的影子长AC＝1.4m，且他到路灯的距离AD＝2.1m，求灯泡的高．

参考答案

一、选择题(每小题3分,共30分)
1、C
【解析】不确定事件就是随机事件，即可能发生也可能不发生的事件，发生的概率大于0并且小于1
【详解】A、必然事件发生的概率是1，正确；
B、通过大量重复试验，可以用频率估计概率，正确；
C、概率很小的事件也有可能发生，故错误；
D、投一枚图钉，“钉尖朝上”的概率不能用列举法求得，正确，
故选：C．
本题考查了概率的意义，概率的意义反映的只是这一事件发生的可能性的大小，概率取值范围：0≤p≤1，其中必然发生的事件的概率P(A)＝1；不可能发生事件的概率P(A)＝0；随机事件，发生的概率大于0并且小于1.事件发生的可能性越大，概率越接近与1，事件发生的可能性越小，概率越接近于0.
2、C
【解析】试题分析：转动转盘被均匀分成6部分，阴影部分占2份，转盘停止转动时指针指向阴影部分的概率是=；故选C．
考点：几何概率．
3、B
【解析】∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=90°，
∴∠AGE∠AEG=90°，∠BFE+∠FEB=90°，
∵∠GEF=90°，
∴∠GEA+∠FEB=90°，
∴∠AGE=∠FEB，∠AEG=∠EFB，
∴△AEG∽△BFE，
∴，
又∵AE=BE，
∴AE2=AG•BF=2，
∴AE=（舍负），
∴GF2=GE2+EF2=AG2+AE2+BE2+BF2=1+2+2+4=9，
∴GF的长为3，
故选B.
【点睛】本题考查了相似三角形的性质的应用，利用勾股定理即可得解，解题的关键是证明△AEG∽△BFE．
4、D
【分析】根据自变量两个取值所对应的函数值是-0.51和0.54，可得当函数值为0时，x的取值应在所给的自变量两个值之间．
【详解】解：∵图象上有两点分别为A（2.18，-0.51）、B（2.68，0.54），
∴当x=2.18时，y=-0.51；x=2.68时，y=0.54，
∴当y=0时，2.18＜x＜2.68，
只有选项D符合，
故选：D．
本题考查了图象法求一元二次方程的近似值，用到的知识点为：点在函数解析式上，点的横纵坐标适合这个函数解析式；二次函数值为0，就是函数图象与x轴的交点，跟所给的接近的函数值对应的自变量相关．
5、C
【详解】解：把抛物线y=﹣2x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，
所得函数的表达式为y=﹣2（x﹣1）2+2，
故选C．
6、C
【解析】由抛物线解析式可确定其开口方向、对称轴、顶点坐标，可判断①②③，再利用增减性可判断④，可求得答案．
【详解】∵
∴抛物线开口向上,对称轴为直线x=−1,顶点坐标为(−1,3)，
故②不正确，①③正确，
∵抛物线开口向上，且对称轴为x=−1，
∴当x>−1时，y随x的增大而增大，
∴当x>1时，y随x的增大而增大，
故④正确，
∴正确的结论有3个，
故选:C.
考查二次函数的图象与性质，掌握二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标的求解方法是解题的关键.
7、B
【分析】运用旋转变换的性质得到AD＝AB，进而得到△ABD为等边三角形，求出BD即可解决问题．
详解】解：如图，由题意得：AD＝AB，且∠B＝60°，
∴△ABD为等边三角形，
∴BD＝AB＝2，
∴CD＝3.6﹣2.2＝1.1．
故选：B．
该题主要考查了旋转变换的性质、等边三角形的判定等几何知识点及其应用问题；牢固掌握旋转变换的性质是解题的关键．
8、B
【分析】根据题意，可得= ，又由AB=4，代入即可得AC的值.
【详解】解：∵中，，，
∴=.
∴AC=AB== .
故选B.
本题考查解直角三角形、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数和勾股定理解答．
9、D
【分析】根据圆周角的性质可得∠ABC=∠D,再根据直径所对圆周角是直角,即可得出∠ACO的度数．
【详解】∵∠D＝40°，
∴∠AOC＝2∠D＝80°，
∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠OAC＝(180°﹣∠AOC)＝50°，
故选：D．
本题考查圆周角的性质,关键在于熟练掌握圆周角的性质,特别是直径所对的圆周角是直角．
10、C
【分析】根据题意写出t与v的关系式判断即可.
【详解】根据题意写出t与v的关系式为，故选C.
本题是对反比例函数解析式和图像的考查，准确写出解析式并判断其图像是解决本题的关键.

二、填空题(每小题3分,共24分)
11、5
【解析】根据圆的周长公式求出圆锥的底面周长，根据圆锥的侧面积的计算公式计算即可．
【详解设圆锥的母线长为Rcm，
圆锥的底面周长＝2π×2＝4π，
则×4π×R＝10π，
解得，R＝5（cm）
故答案为5
本题考查的是圆锥的计算，理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
12、.
【解析】试题解析：连接OE、AE，

∵点C为OA的中点，
∴∠CEO=30°，∠EOC=60°，
∴△AEO为等边三角形，
∴S扇形AOE=
∴S阴影=S扇形AOB-S扇形COD-（S扇形AOE-S△COE）
=
=
=．
13、35°
【分析】根据旋转角度的概念可得∠ABE为旋转角度，然后根据三角形外角的性质可进行求解．
【详解】解：由题意得：∠ABE为旋转角度，
∵∠A=20°，∠C=15°，E、B、C在同一直线上，
∴∠ABE=∠A+∠C=35°；
故答案为35°．
本题主要考查旋转及三角形外角的性质，熟练掌握旋转的性质及三角形外角的性质是解题的关键．
14、
【分析】先把一般式化为顶点式，根据二次函数的最值，以及对称性，即可求出y的最大值和最小值，即可得到取值范围.
【详解】解：∵，
又∵，
∴当时，抛物线有最小值y=2；
∵抛物线的对称轴为：，
∴当时，抛物线取到最大值，
最大值为：；
∴y的取值范围是：；
故答案为：.
本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
15、
【分析】根据反比例函数的图象在第二、第四象限得出，最后利用概率公式进行求解．
【详解】∵反比例函数的图象在第二、第四象限，
∴，
∴该函数图象在第二、第四象限的概率是，
故答案为：．
本题考查了反比例函数的图象，等可能情况下的概率计算公式，熟练掌握反比例函数图象的特征与概率公式是解题的关键．
16、1．
【分析】根据平均数的定义解决问题即可．
【详解】平均成绩＝（4×80+6×90）＝1（分），
故答案为1．
本题考查平均数的定义，解题的关键是掌握平均数的定义.

17、x1=3，x2=﹣1
【解析】试题解析：（x﹣1）2=4，
即x﹣1=±2，
所以x1=3，x2=﹣1．
故答案为x1=3，x2=﹣1．
18、
【分析】根据题意可点G在以AB为直径的圆上,设圆心为H,当HGC在一条直线上时，CG的值最值，利用勾股定理求出CH的长，CG就能求出了.
【详解】解：点的运动轨迹为以为直径的为圆心的圆弧。
连结GH,CH,CG≥CH-GH,
即CG=CH-GH时，也就是当三点共线时，值最小值.
最小值CG=CH-GH
∵矩形ABCD, ∴∠ABC=90°∴CH=

故答案为：

本题考查了矩形的性质、勾股定理、三角形三边的关系 CGH三点共线时CG最短是解决问题的关键.把动点转化成了定点，问题就迎刃而解了.
.

三、解答题(共66分)
19、（1）圆P的半径为；（2）画出函数图象，如图②所示；见解析；（3）cos∠APD==.
【解析】（1）由题意得到AP=PB，求出y的值，即为圆P的半径；
（2）利用两点间的距离公式，根据AP=PB，确定出y关于x的函数解析式，画出函数图象即可；
​（3）画出相应图形，求出m的值，进而确定出所求角的余弦值即可．
【详解】（1）由x=2，得到P（2，y），连接AP，PB，

∵圆P与x轴相切，∴PB⊥x轴，即PB=y，
由AP=PB，得到 ，解得：y=，则圆P的半径为
（2）同（1），由AP=PB，得到（x﹣1）2+（y﹣2）2=y2，
整理得：
图象为开口向上的抛物线，
画出函数图象，如图②所示；

（3）连接CD，连接AP并延长，交x轴于点F，
设PE=a，则有EF=a+1，ED= ，∴D坐标为（1+，a+1），
代入抛物线解析式得：，解得：或（舍去），
即PE=，在Rt△PED中，PE=，PD=1，
则cos∠APD==.
本题属于圆的综合题，涉及的知识点主要有两点间的距离公式，勾股定理，二次函数的图象和性质，圆的定义，圆的切线的性质，弄清题意是解决本题的关键.
20、见解析
【分析】根据菱形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可．
【详解】证明：连接，如图，

四边形是菱形，
，
在和中，，
(SAS)，
．
本题考查菱形的性质，关键是根据菱形的性质和全等三角形的判定和性质解答．
21、
【分析】先在Rt△ACB中利用三角函数求出AB长，根据勾股定理求出AC的长，再通过证△ADE∽△ACB，利用对应边成比例即可求.
【详解】解：∵BC＝6，sinA＝，
∴AB＝10，
∴AC＝=8，
∵D是AB的中点，
∴AD＝AB＝5，
∵∠ADE=∠C=90°, ∠A=∠A
∴△ADE∽△ACB，
∴＝，即＝，
解得：DE＝．
本题考查三角函数和相似三角形的判定与性质的应用，解直角三角形和利用相似三角形对应边成比例均是求线段长度的常用方法.
22、（1）方程总有两个不相等的实数根；（2）-2．
【分析】（1）根据一元二次方程的根的判别式即可得出△=1＞1，由此即可证出方程总有两个不相等的实数根；
（2）将x=1代入原方程求出m的值，再将m值代入代数式中求值即可．
【详解】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m（m+1）＝1．
∴△＝（2m+1）2﹣4m（m+1）＝1＞1，
∴方程总有两个不相等的实数根；
（2）∵x＝1是此方程的一个根，
∴把x＝1代入方程中得到m（m+1）＝1，
把m（m+1）＝1代入得m2+m﹣2=-2．
本题考查了根的判别式及用整体代入法求代数式的值，熟练掌握“当一元二次方程根的判别式△＞1时，方程有两个不相等的实数根．”是解题的关键．
23、（1）证明见详解；（2）；（3）30°或45°.
【分析】（1）由题意：∠E=90°-∠ADE，证明∠ADE=90°- ∠C即可解决问题．
(2) 延长AD交BC于点F．证明AE∥BC，可得∠AFB=∠EAD=90°，，由BD：DE=2：3，可得cos∠ABC= ；
（3）因为△ABC与△ADE相似，∠DAE=90°，所以∠ABC中必有一个内角为90°因为∠ABC是锐角，推出∠ABC≠90°．接下来分两种情形分别求解即可．
【详解】（1）证明：如图1中，
∵AE⊥AD，
∴∠DAE=90°，∠E=90°-∠ADE，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD= ∠BAC，同理∠ABD= ∠ABC，
∵∠ADE=∠BAD+∠DBA，∠BAC+∠ABC=180°-∠C，
∴∠ADE= （∠ABC+∠BAC）=90°- ∠C，
∴∠E=90°-（90°- ∠C）= ∠C．
（2）解：延长AD交BC于点F．

∵AB=AE，
∴∠ABE=∠E，
BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC，
∴∠E=∠CBE，
∴AE∥BC，
∴∠AFB=∠EAD=90°，，
∵BD：DE=2：3，
∴cos∠ABC
(3）∵△ABC与△ADE相似，∠DAE=90°，
∴∠ABC中必有一个内角为90°
∵∠ABC是锐角，
∴∠ABC≠90°．
①当∠BAC=∠DAE=90°时，
∵∠E=∠C，
∴∠ABC=∠E=∠C，
∵∠ABC+∠C=90°，
∴∠ABC=30°；
②当∠C=∠DAE=90°时，∠E＝∠C=45°，
∴∠EDA=45°，
∵△ABC与△ADE相似，
∴∠ABC=45°；
综上所述，∠ABC=30°或45°.
本题属于相似形综合题，考查相似三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．
24、211米．
【分析】延长ED交AB于G，作DH⊥BF于H，可得四边形 DHBG是矩形，从而得DG＝BH，DH＝BG，再根据条件解直角△DCH和直角△AEG即可求出结果.
【详解】解：延长ED交AB于G，作DH⊥BF于H，
∵DE∥BF，
∴四边形 DHBG是矩形，
∴DG＝BH，DH＝BG，
∵＝，CD＝10，
∴DH＝8，CH＝6，
∴GE＝20+4+6＝30，
∵tan24°＝＝0.41，
∴AG＝13.1，
∴AB＝AG+BG＝13.1+8＝21.1．
答：大楼AB的高为21.1米．

本题考查了解直角三角形的应用之坡度问题，正确作出辅助线、熟练掌握解直角三角形的知识是解题的关键.
25、（1）；（2），，；（3）A.①，②，，；B.①，②，，.
【分析】（1）根据点在的图象上，求得的值，从而求得的值；
（2）点在直线上易求得点的坐标，证得可求得点的坐标，证得即可求得点的坐标；
（3）A.①作轴，利用平行四边的面积公式先求得点的纵坐标，从而求得答案；
②分类讨论，画出相关图形，构造全等三角形结合轴对称的概念即可求解；
B.①作轴，根据菱形的性质结合相似三角形的性质先求得点的纵坐标，从而求得答案；
②分类讨论，画出相关图形，构造全等三角形结合轴对称的概念即可求解；
【详解】（1）在的图象上，
，
，
∴点的坐标是 ，
在的图象上
∴，
∴；
（2）对于一次函数，
当时，，
∴点的坐标是 ，
当时，，
∴点的坐标是 ，
∴，，
在矩形中，
，，
∴，
∴，
，
，
，
∴点的坐标是 ，
矩形ABCD中，AB∥DG，
∴

∴点的坐标是 ，
故点，，的坐标分别是： ， ， ；
（3）A：①过点作轴交轴于点，
轴，，
四边形为平行四边形，

的纵坐标为，
∴，
∴，
∴点的坐标是 ，

②当时，如图1，点与点关于轴对称，由轴对称的性质可得：点的坐标是；

当时，如图2，过点作⊥轴于，直线交 轴于，
∵，
∴，，
∴，
∴，，
∵点的坐标是 ，点的坐标是 ，
∴，，，
点的坐标是 ，

当时，如图3，点与点关于轴对称，由轴对称的性质可得：点的坐标是；

B：①过点作轴于点
， ， ，
∴，，，
，
四边形为菱形，，
∵轴，
∴ME∥BO，
∴ ，
，
，
，
的纵坐标为，
∴，
∴，
∴点的坐标是；

②当时，如图4，点与点关于轴对称，由轴对称的性质可得：点的坐标是；

当时，如图5，过点作⊥轴于，直线交 轴于，
∵，
∴，，
∴，
∴，，
∵点的坐标是 ，点的坐标是 ， ，
∴，，，
点的坐标是 ，

当时，如图6，点与点关于轴对称，由轴对称的性质可得：点的坐标是；

本题考查了反比例函数与一次函数的综合应用，运用待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式，掌握函数图象上点的坐标特征和矩形、菱形的性质；会运用三角形全等的知识解决线段相等的问题；理解坐标与图形性质，综合性强，有一定的难度．
26、 (1)画图见解析；(2)DE=4.
【解析】（1）连接CB延长CB交DE于O，点O即为所求．连接OG，延长OG交DF于H．线段FH即为所求．
（2）根据，可得 ，即可推出DO=4m．
【详解】（1）解：如图，点O为灯泡所在的位置，线段FH为小亮在灯光下形成的影子．

（2）解：由已知可得，，
∴，
∴OD=4m，
∴灯泡的高为4m．
本题考查中心投影、解题的关键是正确画出图形，记住物长与影长的比的定值，属于基础题，中考常考题型．