2024年河南省郑州市金水区金水区为民中学数学九上期末检测试题含解析.doc

2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题（每题4分，共48分
1．如图，交于点，切于点，点在上. 若，则为（ ）

A． B． C． D．
2．已知反比例函数的图象经过点，小良说了四句话，其中正确的是（ ）
A．当时， B．函数的图象只在第一象限
C．随的增大而增大 D．点不在此函数的图象上
3．如图所示，在中，与相交于点，为的中点，连接并延长交于点，则与的面积比值为（ ）

A． B． C． D．
4．正方形具有而菱形不具有的性质是（　　）
A．对角线互相平分 B．对角线相等
C．对角线平分一组对角 D．对角线互相垂直
5．已知，则的值是（　　）
A． B． C． D．
6．如图，△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，DE∥AC，若DB＝4，AB＝6，BE＝3，则EC的长是（ ）

A．4 B．2 C． D．
7．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
8．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．正三角形 B．正五边形 C．正六边形 D．正七边形
9．已知a、b满足a2﹣6a+2＝0，b2﹣6b+2＝0，则＝（　　）
A．﹣6 B．2 C．16 D．16或2
10．某商场对上周女装的销售情况进行了统计，如下表，经理决定本周进女装时多进一些红色的，可用来解释这一现象的统计知识是（ ）
颜色
黄色
绿色
白色
紫色
红色
数量（件）
100
180
220
80
520
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
11．模型结论：如图①，正内接于，点是劣弧上一点，可推出结论.
应用迁移：如图②，在中，，，，是内一点，则点到三个顶点的距离和的最小值为（ ）

A． B．5 C． D．
12．如图，电路图上有四个开关A、B、C、D和一个小灯泡，则任意闭合其中两个开关，小灯泡发光的概率是（　　）

A． B． C． D．
二、填空题（每题4分，共24分）
13．二次函数y＝ax1+bx+c（a≠2）的部分图象如图，图象过点（﹣1，2），对称轴为直线x＝1．下列结论：①4a+b＝2；②9a+c＞3b；③当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大；④当函数值y＜2时，自变量x的取值范围是x＜﹣1或x＞5；⑤8a+7b+1c＞2．其中正确的结论是_____．

14．已知中，，，，，垂足为点，以点为圆心作，使得点在外，且点在内，设的半径为，那么的取值范围是______.
15．设，，，设，则S=________________ (用含有n的代数式表示，其中n为正整数)．
16．已知⊙O的直径为10cm，线段OP=5cm，则点P与⊙O的位置关系是__．
17．定义：在平面直角坐标系中，我们将函数的图象绕原点逆时针旋转后得到的新曲线称为“逆旋抛物线”.

（1）如图①，己知点，在函数的图象上，抛物线的顶点为，若上三点、、是、、旋转后的对应点，连结，、，则__________；
（2）如图②，逆旋抛物线与直线相交于点、，则__________．

18．若关于的方程的一个根是1，则的值为______.
三、解答题（共78分）
19．（8分）已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点.

（1）填空： ， .
（2）如图1，已知，过点的直线与抛物线交于点、，且点、关于点对称，求直线的解析式.
（3）如图2，已知，是第一象限内抛物线上一点，作轴于点，若与相似，请求出点的横坐标.
20．（8分）已知抛物线与轴的两个交点是点，（在的左侧），与轴的交点是点．
（1）求证：，两点中必有一个点坐标是；
（2）若抛物线的对称轴是，求其解析式；
（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点，使？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
21．（8分）体育文化公司为某学校捐赠甲、乙两种品牌的体育器材，甲品牌有A、B、C三种型号，乙品牌有D、E两种型号，现要从甲、乙两种品牌的器材中各选购一种型号进行捐赠．
（1）下列事件是不可能事件的是 ．
A．选购乙品牌的D型号 B．既选购甲品牌也选购乙品牌
C．选购甲品牌的A型号和乙品牌的D型号 D．只选购甲品牌的A型号
（2）写出所有的选购方案（用列表法或树状图）；
（3）如果在上述选购方案中，每种方案被选中的可能性相同，那么A型器材被选中的概率是多少？
22．（10分）若抛物线（a、b、c是常数，）与直线都经过轴上的一点P，且抛物线L的顶点Q在直线上，则称此直线与该抛物线L具有“一带一路”关系，此时，直线叫做抛物线L的“带线”，抛物线L叫做直线的“路线”．
（1）若直线与抛物线具有“一带一路”关系，求m、n的值．
（2）若某“路线”L的顶点在反比例函数的图象上，它的“带线” 的解析式为，求此路的解析式．
23．（10分）探究问题：
⑴方法感悟：
如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足∠EAF=45°，连接EF，求证DE+BF=EF．
感悟解题方法，并完成下列填空：
将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，此时AB与AD重合，由旋转可得：
AB=AD,BG=DE, ∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°,
∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°，
因此，点G，B，F在同一条直线上．
∵∠EAF=45°
∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°．
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠3=45°．
即∠GAF=∠_________．
又AG=AE，AF=AF
∴△GAF≌_____．
∴_________=EF，故DE+BF=EF．

⑵方法迁移：
如图②，将沿斜边翻折得到△ADC，点E，F分别为DC，BC边上的点，且∠EAF=∠DAB．试猜想DE，BF，EF之间有何数量关系，并证明你的猜想．

⑶问题拓展：
如图③，在四边形ABCD中，AB=AD，E，F分别为DC,BC上的点，满足,试猜想当∠B与∠D满足什么关系时，可使得DE+BF=EF．请直接写出你的猜想（不必说明理由）
．
24．（10分）如图，△ABC与△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在正方形网格的格点上．
(1)画出位似中心O；
(2)△ABC与△A′B′C′的相似比为__________，面积比为__________.

25．（12分）如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，且AD＝AC，DE⊥BC，DE与AB相交于点E，EC与AD相交于点F．
(1)求证：△ABC∽△FCD；
(2)若S△ABC＝20，BC＝10，求DE的长．

26．已知，为⊙的直径，过点的弦∥半径，若．求的度数．

参考答案

一、选择题（每题4分，共48分）
1、B
【分析】根据切线的性质得到∠ODA=90，根据直角三角形的性质求出∠DOA，根据圆周角定理计算即可．
【详解】∵AD切⊙O于点D，
∴OD⊥AD，
∴∠ODA=90，
∵∠A40，
∴∠DOA=90-40=50，
由圆周角定理得，∠BCD=∠DOA=25°，
故选：B．
本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
2、D
【分析】利用待定系数法求出k，即可根据反比例函数的性质进行判断．
【详解】解：∵反比例函数的图象经过点（3，2），
∴k=2×3=6，
∴，
∴图象在一、三象限，在每个象限y随x的增大而减小，故A，B，C错误，
∴点不在此函数的图象上，选项D正确；
故选：D．
本题考查反比例函数图象上的点的特征，教育的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
3、C
【分析】根据平行四边形的性质得到OB=OD，利用点E是OD的中点，得到DE:BE=1：3，根据同高三角形面积比的关系得到S△ADE：S△ABE=1：3，利用平行四边形的性质得S平行四边形ABCD=2S△ABD，由此即可得到与的面积比.
【详解】在中，OB=OD，
∵为的中点，
∴DE=OE,
∴DE:BE=1：3，
∴S△ADE：S△ABE=1：3，
∴S△ABE：S△ABD=1：4，
∵S平行四边形ABCD=2S△ABD,
∴与的面积比为3:8，
故选：C.
此题考查平行四边形的性质，同高三角形面积比，熟记平行四边形的性质并熟练运用解题是关键.
4、B
【分析】根据正方形和菱形的性质逐项分析可得解.
【详解】根据正方形对角线的性质：平分、相等、垂直；菱形对角线的性质：平分、垂直，
故选B．
考点：1.菱形的性质；2.正方形的性质．
5、A
【解析】设a=k,b=2k,
则 .
故选A.
6、C
【分析】根据平行线分线段成比例定理，可得DB：AB=BE：BC，又由DB=4，AB=6，BE=3，即可求得答案．
【详解】解：∵DE∥AC，
∴DB：AB＝BE：BC，
∵DB＝4，AB＝6，BE＝3，
∴4：6＝3：BC，
解得：BC＝ ，
∴EC＝BC﹣BE＝ ．
故选C．
本题考查平行线分线段成比例定理．解题的关键是注意掌握各比例线段的对应关系．

7、C
【解析】试题解析：A、，没有给出a的取值，所以A选项错误；
B、不含有二次项，所以B选项错误；
C、是一元二次方程，所以C选项正确；
D、不是整式方程，所以D选项错误．故选C．
考点：一元二次方程的定义．
8、C
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可．
【详解】A、此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；
B、此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；
C、此图形既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项正确；
D、此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误．
故选：C．
本题主要考查了轴对称图形与中心对称图形，掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
9、D
【分析】当a=b时，可得出=2；当a≠b时，a、b为一元二次方程x2-6x+2=0的两根，利用根与系数的关系可得出a+b=6，ab=2，再将其代入=中即可求出结论．
【详解】当a=b时，=1+1=2；
当a≠b时，∵a、b满足a2-6a+2=0，b2-6b+2=0，
∴a、b为一元二次方程x2-6x+2=0的两根，
∴a+b=6，ab=2，
∴= =1．
故选：D．
此题考查根与系数的关系，分a=b及a≠b两种情况，求出的值是解题的关键．
10、C
【解析】在决定本周进女装时多进一些红色的，主要考虑的是各色女装的销售的数量，而红色上周销售量最大．
【详解】解：在决定本周进女装时多进一些红色的，主要考虑的是各色女装的销售的数量，而红色上周销售量最大．由于众数是数据中出现次数最多的数，
故考虑的是各色女装的销售数量的众数．
故选：C．
反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数方差等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．
11、D
【分析】在△DEG右侧作等边三角形DGM，连接FM，由模型可知DF+FG=FM，∴DF+EF+FG的最小值即为线段EM，根据题意求出EM即可.
详解】解：在△DEG右侧作等边三角形DGM，过M作ED的垂线交ED延长线于H，连接FM，EM，

由模型可知DF+FG=FM，∴DF+EF+FG的最小值即为EF+FM的最小值，即线段EM，
由已知易得∠MDH=30°，DM=DG=，
∴在直角△DMH中，MH=DM=，DH=，
∴EH=3+3=6，
在直角△MHE中，
本题主要考查了学生的知识迁移能力，熟练掌握等边三角形的性质和勾股定理是解题的关键.
12、A
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小灯泡发光的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】解：画树状图得：

∵共有12种等可能的结果，现任意闭合其中两个开关，则小灯泡发光的有6种情况，
∴小灯泡发光的概率为＝．
故选：A．
此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．

二、填空题（每题4分，共24分）
13、①④⑤．
【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性以及二次函数与一元二次方程的关系，逐项判断即可．
【详解】解：抛物线过点（﹣1，2），对称轴为直线x＝1．
∴x＝ ＝1，与x轴的另一个交点为（5，2），
即，4a+b＝2，故①正确；
当x＝﹣3时，y＝9a﹣3b+c＜2，即，9a+c＜3b，因此②不正确；
当x＜1时，y的值随x值的增大而增大，因此③不正确；
抛物线与x轴的两个交点为（﹣1，2），（5，2），又a＜2，因此当函数值y＜2时，自变量x的取值范围是x＜﹣1或x＞5，故④正确；
当x＝3时，y＝9a+3b+c＞2，
当x＝4时，y＝16a+4b+c＞2，
∴15a+7b+1c＞2，
又∵a＜2，
∴8a+7b+c＞2，故⑤正确；
综上所述，正确的结论有：①④⑤，
故答案为：①④⑤．
本题主要考查二次函数图像性质,解决本题的关键是要熟练掌握二次函数图像性质.
14、
【分析】先根据勾股定理求出AB的长，进而得出CD的长，再求出AD,BD的长，由点与圆的位置关系即可得出结论．
【详解】解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90，AC=3，BC=，
∴AB==1．
∵CD⊥AB，∴CD=．
∵AD•BD=CD2，
设AD=x，BD=1-x，得x(1-x)=,
又AD＞BD,解得x1=(舍去),x2=.
∴AD=,BD=.
∵点A在圆外，点B在圆内，
∴BD＜r＜AD,
∴r的范围是，
故答案为：．
本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的关键．
15、
【分析】先根据题目中提供的三个式子，分别计算的值，用含n的式子表示其规律，再计算S的值即可．
【详解】解：∵，∴；
∵，∴；
∵，∴；
……
∵，
∴；
∴

．

故答案为：
本题为规律探究问题，难度较大，根据提供的式子发现规律，并表示规律是解题的关键，同时要注意对于式子的理解．
16、点P在⊙O上
【分析】知道圆O的直径为10cm，OP的长，得到OP的长与半径的关系，求出点P与圆的位置关系．
【详解】因为圆O的直径为10cm，所以圆O的半径为5cm，又知OP=5cm，所以OP等于圆的半径，所以点P在⊙O上．
故答案为点P在⊙O上．
本题考查了点与圆的位置关系，根据OP的长和圆O的直径，可知OP的长与圆的半径相等，可以确定点P的位置．
17、3；
【分析】（1）求出点A、B的坐标，再根据割补法求△ABC的面积即可得到；
（2）将旋转后的MN和抛物线旋转到之前的状态，求出直线解析式及交点坐标，利用割补法求面积即可．
【详解】解：（1）在上，令x=0，解得y=2，
所以C（0，2），OC=2，
将，代入，
解得a=3，b=2，
∴，，
设，的直线解析式为，
则 ，
解得，
直线AB解析式为，令x=0，
解得，y=4，即OD=4，
∴，
∴
（2）如图，由旋转知，，，
∴，，
直线，令，得
∴
∴
∴

此题考查了二次函数与几何问题相结合的问题，将三角形的面积转化为解题关键．
18、－6
【分析】把x=1代入原方程就可以得到一个关于k的方程，解这个方程即可求出k的值．
【详解】把代入方程得到，解得.
故答案为：−6.
本题考查了一元二次方程的解，将方程的根代入并求值是解题的关键.

三、解答题（共78分）
19、（1），;（2）直线;（3）点的横坐标为或
【分析】（1）把，代入解析式即可求出a,b的值；
（2）设直线MN为y=kx-，根据二次函数联立得到一元二次方程，设交点、的横坐标为x1,x2,根据对称性可得x1+x2=5,根据根与系数的关系求解k，即可求解.
（3）求出OD,OB，设P（x,），得到HP=x,DH=-1=,根据与相似分两种情况列出比例式即可求解.
【详解】（1）把，代入
得解得
故答案为：-4；3；
（2）设直线MN为y=kx+b，把代入得b=-
∴直线MN为y=kx-，
联立二次函数得kx-=
整理得x2-(k+4)x++3=0
设交点、的横坐标为x1,x2,
∵点、关于点对称，
∴x1+x2=5
故k+4=5
解得k=1
∴直线；
（3）∵D（0,1），B（3,0）
∴OD=1,OB=3，
设P（x,），
则HP=x,DH=-1=,
当∽时，,即
解得x=
当∽时，,即
解得x=
∴点的横坐标为或.

此题主要考查二次函数综合，解题的关键是熟知待定系数法、函数与方程的关系及相似三角形的性质.
20、（1）见解析；（2）；（3）或
【分析】（1）将抛物线表达式变形为，求出与x轴交点坐标即可证明；
（2）根据抛物线对称轴的公式，将代入即可求得a值，从而得到解析式；
（3）分点P在AC上方和下方两种情况，结合∠ACO=45°得出直线PC与x轴所夹锐角度数，从而求出直线PC解析式，继而联立方程组，解之可得答案．
【详解】解：（1）=，
令y=0，则，，
则抛物线与x轴的交点中有一个为（-2，0）；
（2）抛物线的对称轴是：=，
解得：，代入解析式，
抛物线的解析式为：；
（3）存在这样的点，
，
，
如图1，当点在直线上方时，记直线与轴的交点为，

，
，，
则，
，
则，，
求得直线解析式为，
联立，
解得或，
，；
如图2，当点在直线下方时，记直线与轴的交点为，

，，
，
则，
，，
求得直线解析式为，
联立，
解得：或，
，，
综上，点的坐标为，或，．
本题是二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、二次函数的图象和性质、直线与抛物线相交的问题等．
21、（1）D；（2）见解析；（3）．
【分析】（1）根据不可能事件和随机随机的定义进行判断；
（2）画树状图展示所有6种等可能的结果数；
（3）找出A型器材被选中的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】（1）只选购甲品牌的A型号为不可能事件．
故答案为D；
（2）画树状图为：

共有6种等可能的结果数；
（3）A型器材被选中的结果数为2，
所以A型器材被选中的概率= ．
此题考查列表法与树状图法，解题关键在于利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．
22、（1）-1；（2）路线L的解析式为或
【解析】试题分析: (1)令直线y＝mx＋1中x＝0,则y＝1,所以该直线与y轴的交点为(0,1),将(0,1)代入抛物线y＝x2－2x＋n中,得n＝1,可求出抛物线的解析式为y＝x2－2x＋1＝(x－1)2,所以抛物线的顶点坐标为(1，0)．将点(1,0)代入到直线y＝mx＋1中,得0＝m＋1,解得m＝－1,
(2)将y＝2x－4和y＝联立方程可得2x－4＝,即2x2－4x－6＝0,解得x1＝－1,x2＝3,所以该“路线”L的顶点坐标为(－1,－6)或(3,2),令“带线”l：y＝2x－4中x＝0,则y＝－4,所以 “路线”L的图象过点(0,－4),设该“路线”L的解析式为y＝m(x＋1)2－6或y＝n(x－3)2＋2,由题意得:－4＝m(0＋1)2－6或－4＝n(0－3)2＋2,解得m＝2,n＝,所以此“路线”L的解析式为y＝2(x＋1)2－6或y＝ (x－3)2＋2.
试题解析:(1)令直线y＝mx＋1中x＝0,则y＝1,即该直线与y轴的交点为(0,1),将(0,1)代入抛物线y＝x2－2x＋n中,得n＝1,
∴抛物线的解析式为y＝x2－2x＋1＝(x－1)2,
∴抛物线的顶点坐标为(1，0)．将点(1,0)代入到直线y＝mx＋1中,得0＝m＋1,解得m＝－1,
(2)将y＝2x－4代入到y＝中,得2x－4＝,即2x2－4x－6＝0,解得x1＝－1,x2＝3,
∴该“路线”L的顶点坐标为(－1,－6)或(3,2),
令“带线”l：y＝2x－4中x＝0,则y＝－4,
∴“路线”L的图象过点(0,－4),
设该“路线”L的解析式为y＝m(x＋1)2－6或y＝n(x－3)2＋2,由题意得:
－4＝m(0＋1)2－6或－4＝n(0－3)2＋2,解得m＝2,n＝,
∴此“路线”L的解析式为y＝2(x＋1)2－6或y＝ (x－3)2＋2.
23、⑴EAF、△EAF、GF；⑵DE+BF=EF；⑶当∠B与∠D互补时，可使得DE+BF=EF．
【分析】（1）根据正方形性质填空；（2）假设∠BAD的度数为，将△ADE绕点A顺时针旋转得到△ABG，此时AB与AD重合，由旋转可得：AB=AD,BG=DE, ∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°,结合正方形性质可得DE+BF=EF. ⑶根据题意可得，当∠B与∠D互补时，可使得DE+BF=EF．
【详解】⑴EAF、△EAF、GF．
⑵DE+BF=EF，理由如下：
假设∠BAD的度数为，将△ADE绕点A顺时针旋转得到△ABG，此时AB与AD重合，由旋转可得：
AB=AD,BG=DE, ∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°,
∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°，
因此，点G，B，F在同一条直线上．
∵∠EAF=
∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠3=．
即∠GAF=∠EAF
又AG=AE，AF=AF
∴△GAF≌△EAF．
∴GF=EF，
又∵GF=BG+BF=DE+BF
∴DE+BF=EF．

⑶当∠B与∠D互补时，可使得DE+BF=EF．
正方形性质综合运用.
24、（1）作图见解析；（2）2∶1；4∶1.
【详解】（1）根据位似的性质，延长AA′、BB′、CC′，则它们的交点即为位似中心O；
（2）根据位似的性质得到AB：A′B′=OA：OA′=2：1，则△ABC与△A′B′C′的相似比为2：1，然后根据相似三角形的性质得到它们面积的比．
解：(1)如图，点O为位似中心；

(2)因为AB:A′B′=OA:OA′=12:6=2:1，
所以△ABC与△A′B′C′的相似比为2:1，面积比为4:1.
故答案为2:1； 4:1.
点睛：本题主要考查位似知识.利用位似的性质找出位似中心是解题的关键.
25、（1）见解析；（2）
【分析】（1）根据题目条件证明和，利用两组对应角相等的三角形相似，证明；
（2）过点A作于点M，先通过的面积求出AM的长，根据得到，再算出DE的长．
【详解】解：（1）∵，
∴，
∵D是BC边上的中点且
∴，
∴，
∴；
（2）如图，过点A作于点M，
∵，
∴，解得，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．

本题考查相似三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质和判定定理．
26、∠C=30°
【分析】根据平行线的性质求出∠AOD，根据圆周角定理解答．
【详解】解：∵OA∥DE，
∴∠AOD=∠D=60°，
由圆周角定理得，∠C= ∠AOD=30°
本题考查的是圆周角定理和平行线的性质，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．