湖南省娄底市涟源市2024年数学九上期末学业质量监测试题含解析.doc

2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题(每小题3分,共30分)
1．下列对二次函数y=x2﹣x的图象的描述，正确的是（　　）
A．开口向下 B．对称轴是y轴
C．经过原点 D．在对称轴右侧部分是下降的
2．将分别标有“孔”“孟”“之”“乡”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀.随机摸出一球，不放回；再随机摸出一球.两次摸出的球上的汉字能组成“孔孟”的概率是（ ）
A． B． C． D．
3．等腰直角△ABC内有一点P，满足∠PAB=∠PBC=∠PCA，若∠BAC=90°，AP=1.则CP的长等于（ ）

A． B．2 C．2 D．3
4．如图，在△ABC中，AD⊥BC交BC于点D，AD＝BD，若AB＝，tanC＝，则BC＝（ ）

A．8 B． C．7 D．
5．下列二次函数中，如果函数图像的对称轴是轴，那么这个函数是（ ）
A． B． C． D．
6．数据3、4、6、7、x的平均数是5，这组数据的中位数是（ ）
A．4 B．4.5 C．5 D．6
7．如图工人师傅砌门时，常用木条EF固定长方形门框ABCD，使其不变形，这样做的根据是（ ）

A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线
C．三角形具有稳定性 D．长方形的四个角都是直角
8．小明同学对数据26，36，46，5■，52进行统计分析，发现其中一个两位数的个位数字被墨水涂污看不到了，则分析结果与被涂污数字无关的是 （ ）
A．平均数 B．方差 C．中位数 D．众数
9．铅球运动员掷铅球的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式为y＝－x2＋x＋.则该运动员此次掷铅球的成绩是(　　)
A．6 m B．12 m C．8 m D．10 m
10．二次函数y=a+bx+c的图象如图所示，则下列关系式错误的是（ ）

A．a＜0 B．b＞0 C．﹣4ac＞0 D．a+b+c＜0
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，OC交⊙O于点D，若∠C=40°，OA=9，则的长为 ．（结果保留π）

12．如图，一抛物线与轴相交于，两点，其顶点在折线段上移动，已知点，，的坐标分别为，，，若点横坐标的最小值为0，则点横坐标的最大值为______.

13．如图，已知正方形ABCD的边长为1，点M是BC边上的动点（不与B，C重合点N是AM的中点，过点N作EF⊥AM，分别交AB，BD，CD于点E，K，F，设BM＝x．
（1）AE的长为______（用含x的代数式表示）；
（2）设EK＝2KF，则的值为______．

14．b和2的比例中项是4，则b＝__．
15．如图，一架长为米的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时测得，如果梯子的底端外移到，则梯子顶端下移到，这时又测得，那么的长度约为______米．（，，，）

16．小明掷一枚硬币10次，有9次正面向上，当他掷第10次时，正面向上的概率是_____．
17．如图，五边形 ABCDE 是⊙O 的内接正五边形， AF 是⊙O 的直径，则∠ BDF 的度数是___________°．

18．一家鞋店对上一周某品牌女鞋的销量统计如下：
尺码（厘米）
22
22.5
23
23.5
24
24.5
25
销量（双）
1
2
5
11
7
3
1
该店决定本周进货时，多进一些尺码为23.5厘米的鞋，影响鞋店决策的统计量是___________ .
三、解答题(共66分)
19．（10分）为了“城市更美好、人民更幸福”，我市开展“三城联创”活动，环卫部门要求垃圾按三类分别装袋、投放，其中类指废电池，过期药品等有毒垃圾，类指剩余食品等厨余垃圾，类指塑料、废纸等可回收垃圾，甲、乙两人各投放一袋垃圾．
（1）甲投放的垃圾恰好是类的概率是 ；
（2）用树状图或表格求甲、乙两人投放的垃圾是不同类别的概率．
20．（6分）如图，一次函数y=﹣x+4的图象与反比例函数y=（k为常数，且k≠0）的图象交于A（1，a），B（3，b）两点．
（1）求反比例函数的表达式
（2）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标
（3）求△PAB的面积．

21．（6分）如图，为了估算河的宽度，在河对岸选定一个目标作为点A再在河的这边选点B和C，使AB⊥BC，然后，再选点E，使EC⊥BC，用视线确定BC和AE的交点D．此时如果测得BD=120米，DC=60米，EC=50米求两岸间的大致距离AB．

22．（8分）取什么值时，关于的方程有两个相等的实数根？求出这时方程的根.
23．（8分）已知：如图，在四边形ABCD中，点G在边BC的延长线上，CE平分∠BCD，CF平分∠GCD，EF∥BC交CD于点O．
（1）求证：OE=OF；
（2）若点O为CD的中点，求证：四边形DECF是矩形．

24．（8分）如图，顶点为M的抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C

（1）求抛物线的表达式；
（2）在直线AC的上方的抛物线上，有一点P（不与点M重合），使△ACP的面积等于△ACM的面积，请求出点P的坐标；
（3）在y轴上是否存在一点Q，使得△QAM为直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标：若不存在，请说明理由．
25．（10分）计算：
（1）（﹣1）2017﹣2﹣1+sin30°+（π﹣314）0；
（2）cos245°+sin60°tan45°+sin1．
26．（10分）如图，已知矩形ABCD的周长为12，E，F，G，H为矩形ABCD的各边中点，若AB＝x，四边形EFGH的面积为y.
(1)请直接写出y与x之间的函数关系式；
(2)根据(1)中的函数关系式，计算当x为何值时，y最大，并求出最大值．

参考答案

一、选择题(每小题3分,共30分)
1、C
【解析根据抛物线的开口方向、对称轴公式以及二次函数性质逐项进行判断即可得答案.
【详解】A、∵a=1＞0，∴抛物线开口向上，选项A不正确；
B、∵﹣，∴抛物线的对称轴为直线x=，选项B不正确；
C、当x=0时，y=x2﹣x=0，∴抛物线经过原点，选项C正确；
D、∵a＞0，抛物线的对称轴为直线x=，
∴当x＞时，y随x值的增大而增大，选项D不正确，
故选C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），对称轴直线x=-，当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，c=0时抛物线经过原点，熟练掌握相关知识是解题的关键.
2、B
【分析】根据简单概率的计算公式即可得解.
【详解】一共四个小球，随机摸出一球，不放回；再随机摸出一球一共有12中可能，其中能组成孔孟的有2种，所以两次摸出的球上的汉字能组成“孔孟”的概率是.
故选B.
考点：简单概率计算.
3、B
【分析】先利用定理求得，再证得，利用对应边成比例，即可求得答案.
【详解】如图，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴，，
设，则，如图，

∴，
∴,
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B
本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，熟练运用相似三角形的判定和性质是本题的关键．
4、C
【分析】证出△ABD是等腰直角三角形，得出AD＝BD＝AB＝4，由三角函数定义求出CD＝3，即可得出答案．
【详解】解：交于点，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
；
故选：．
本题考查了解直角三角形、等腰直角三角形的性质以及三角函数定义；熟练掌握等腰直角三角形的性质和三角函数定义是解题的关键．
5、C
【分析】由已知可知对称轴为x=0，从而确定函数解析式y=ax2+bx+c中，b=0，由选项入手即可．
【详解】二次函数的对称轴为y轴，
则函数对称轴为x=0，
即函数解析式y=ax2+bx+c中，b=0，
故选：C．
此题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．
6、C
【分析】首先根据3、4、6、7、x这组数据的平均数求得x值，再根据中位数的定义找到中位数即可．
【详解】由3、4、6、7、x的平均数是1，
即
得
这组数据按照从小到大排列为3、4、1、6、7，则中位数为1．
故选C
此题考查了平均数计算及中位数的定义，熟练运算平均数及掌握中位数的定义是解题关键．
7、C
【分析】根据三角形的稳定性，可直接选择．
【详解】加上EF后，原图形中具有△AEF了，故这种做法根据的是三角形的稳定性．
故选：C．
8、C
【分析】利用平均数、中位数、方差和标准差的定义对各选项进行判断．
【详解】解：这组数据的平均数、方差和标准差都与被涂污数字有关，而这组数据的中位数为46，与被涂污数字无关．
故选：C．
本题考查了方差：它也描述了数据对平均数的离散程度．也考查了中位数、平均数和众数的概念．掌握以上知识是解题的关键．
9、D
【分析】依题意，该二次函数与x轴的交点的x值为所求．即在抛物线解析式中．令y=0，求x的正数值．
【详解】把y=0代入y=-x1+x+得：
-x1+x+=0，
解之得：x1=2，x1=-1．
又x＞0，解得x=2．
故选D．
10、D
【解析】试题分析：根据抛物线的开口方向对A进行判断；根据抛物线的对称轴位置对B进行判断；根据抛物线与x轴的交点个数对C进行判断；根据自变量为1所对应的函数值为正数对D进行判断．A、抛物线开口向下，则a＜0，所以A选项的关系式正确；B、抛物线的对称轴在y轴的右侧，a、b异号，则b＞0，所以B选项的关系式正确；C、抛物线与x轴有2个交点，则△=b2﹣4ac＞0，所以D选项的关系式正确；D、当x=1时，y＞0，则a+b+c＞0，所以D选项的关系式错误．
考点：二次函数图象与系数的关系

二、填空题(每小题3分,共24分)
11、，
【解析】试题解析：∵AC是⊙O的切线，
∴∠OAC=90°，
∵∠C=40°，
∴∠AOD=50°，
∴的长为，
∴的长为π×9-=，
考点：1.切线的性质；2.弧长的计算．
12、7
【分析】当点横坐标的最小值为0时，抛物线顶点在C点，据此可求出抛物线的a值，再根据点横坐标的最大值时，顶点在E点，求出此时的抛物线即可求解.
【详解】当点横坐标的最小值为0时，抛物线顶点在C点，
设该抛物线的解析式为：y=a(x+2)2+8,代入点B（0,0）
得：0= a(x+2)2+8，
则a=−2，
即：B点横坐标取最小值时,抛物线的解析式为：y= -2(x+2)2+8.
当A点横坐标取最大值时,抛物线顶点应取E,
则此时抛物线的解析式：y=-2 (x−8)2+2，
令y=0，解得x1=7,x2=9
∴点A的横坐标的最大值为7.
故答案为7.
此题主要考查二次函数的平移问题，解题的关键是熟知待定系数法求解解析式.
13、 x
【分析】（1）根据勾股定理求得AM，进而得出AN，证得△AEN∽△AMB，由相似三角形的性质即可求得AE的长；
（2）连接AK、MG、CK，构建全等三角形和直角三角形，证明AK＝MK＝CK，再根据四边形的内角和定理得∠AKM＝90°，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得NK＝AM＝AN，然后根据相似三角形的性质求得＝＝x，即可得出＝x．
【详解】（1）解：∵正方形ABCD的边长为1，BM＝x，
∴AM＝，
∵点N是AM的中点，
∴AN＝，
∵EF⊥AM，
∴∠ANE＝90°，
∴∠ANE＝∠ABM＝90°，
∵∠EAN＝∠MAB，
∴△AEN∽△AMB，
∴＝，即＝，
∴AE＝，
故答案为：；
（2）解：如图，连接AK、MG、CK，
由正方形的轴对称性△ABK≌△CBK，
∴AK＝CK，∠KAB＝∠KCB，
∵EF⊥AM，N为AM中点，
∴AK＝MK，
∴MK＝CK，∠KMC＝∠KCM，
∴∠KAB＝∠KMC，
∵∠KMB+∠KMC＝180°，
∴∠KMB+∠KAB＝180°，
又∵四边形ABMK的内角和为360°，∠ABM＝90°，
∴∠AKM＝90°，
在Rt△AKM中，AM为斜边，N为AM的中点，
∴KN＝AM＝AN，
∴＝，
∵△AEN∽△AMB，
∴＝＝x，
∴＝x，
故答案为：x．

本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形判定和性质，等腰三角形的性质，以及直角三角形斜边.上的中线的性质，证得KN= AN是解题的关键．
14、1．
【分析】根据题意,b与2的比例中项为4,也就是b:4=4:2,然后再进一步解答即可．
【详解】根据题意可得:
B:4＝4:2,
解得b＝1,
故答案为:1．
本题主要考查了比例线段,解题本题的关键是理解两个数的比例中项,然后列出比例式进一步解答．
15、
【分析】直接利用锐角三角函数关系得出，的长，进而得出答案．
【详解】由题意可得：
∵，，
，
解得：，
∵，，
，
解得：，
则，
答：的长度约为米．
故答案为．
此题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出，的长是解题关键．
16、．
【分析】根据概率的性质和概率公式即可求出，当他掷第10次时，正面向上的概率．
【详解】解：∵掷一枚质地均匀的硬币，有两种结果：正面朝上，反面朝上，每种结果等可能出现，
∴她第10次掷这枚硬币时，正面向上的概率是：．
故答案为：．
本题考查了概率统计的问题，根据概率公式求解即可．
17、1
【分析】连接AD，根据圆周角定理得到∠ADF=90°，根据五边形的内角和得到∠ABC=∠C=108°，求得∠ABD=72°，由圆周角定理得到∠F=∠ABD=72°，求得∠FAD=18°，于是得到结论．
【详解】连接AD，

∵AF是⊙O的直径，
∴∠ADF=90°，
∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，
∴∠ABC=∠C=108°，
∴∠ABD=72°，
∴∠F=∠ABD=72°，
∴∠FAD=18°，
∴∠CDF=∠DAF=18°，
∴∠BDF=36°+18°=1°，
故答案为1．
本题考查正多边形与圆，圆周角定理等知识，解题的关键灵活运用所学知识解决问题．
18、众数
【解析】平均数、中位数、众数是描述一组数据集中程度的统计量;方差、标准差是描述一组数据离散程度的统计量.销量大的尺码就是这组数据的众数.
【详解】由于众数是数据中出现次数最多的数,故应最关心这组数据中的众数.
故答案为众数.
此题主要考查统计的有关知识,主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义.熟练掌握均数、中位数、众数、方差的意义是解答本题的关键.

三、解答题(共66分)
19、（1）；（2）．
【分析】（1）一共有3种等可能的结果，恰为类的概率是
（2）根据题意列出所有等可能的结果数，然后根据概率公式求解.
【详解】（1）
（2）
甲
乙
A
B
C
A
（A,A）
（A,B）
（A,C
B
（B,A）
（B,B）
（B,C）
C
（C,A）
（C,B）
（C,C）
由表格可知，甲、乙两人投放的垃圾共有9 种结果，每种结果出现的可能性相同，
其中甲、乙投放的垃圾恰是不同类别的有6 种，即（A,B），（A,C），（B,A），（B,C），（C,A），（C,B）,
∴（甲、乙投放的垃圾是不同类别）．
本题考查了列表法或树状图以及概率的求法.
20、（1）反比例函数的表达式y=，（2）点P坐标（，0）， (3)S△PAB= 1.1．
【解析】（1）把点A（1，a）代入一次函数中可得到A点坐标，再把A点坐标代入反比例解析式中即可得到反比例函数的表达式；（2）作点D关于x轴的对称点D，连接AD交x轴于点P，此时PA+PB的值最小.由B可知D点坐标，再由待定系数法求出直线AD的解析式，即可得到点P的坐标；（3）由S△PAB=S△ABD﹣S△PBD即可求出△PAB的面积.
解：（1）把点A（1，a）代入一次函数y=﹣x+4，
得a=﹣1+4， 
解得a=3， 
∴A（1，3）， 
点A（1，3）代入反比例函数y=， 
得k=3，  
∴反比例函数的表达式y=， 
（2）把B（3，b）代入y=得，b=1
∴点B坐标（3，1）；
作点B作关于x轴的对称点D，交x轴于点C，连接AD，交x轴于点P，此时PA+PB的值最小， 
∴D（3﹣1），
设直线AD的解析式为y=mx+n， 
把A，D两点代入得，， 解得m=﹣2，n=1， 
∴直线AD的解析式为y=﹣2x+1，
令y=0，得x=， 
∴点P坐标（，0），

(3)S△PAB=S△ABD﹣S△PBD=×2×2﹣×2×=2﹣=1.1．
点晴：本题是一道一次函数与反比例函数的综合题，并与几何图形结合在一起来求有关于最值方面的问题.此类问题的重点是在于通过待定系数法求出函数图象的解析式，再通过函数解析式反过来求坐标，为接下来求面积做好铺垫.
21、100米
【分析】由两角对应相等可得△BAD∽△CED，利用对应边成比例可得两岸间的大致距离AB．
【详解】∵AB⊥BC，EC⊥BC
∴∠B=∠C=90°
又∵∠ADB=∠EDC
∴△ABD∽△ECD
∴
即
∴AB=100
答:两岸向的大致距高AB为100米.
本题考查相似三角形的应用；用到的知识点为：两角对应相等的两三角形相似；相似三角形的对应边成比例．
22、k=2或10时，当k=2时，x1=x2=，当k=10时，x1=x2=
【分析】根据题意，得判别式△=[-（k+2）]2-4×4×（k-1）=0，解此一元二次方程即可求得k的值；然后代入k，利用直接开平方法，即可求得这时方程的根．
【详解】解：∵关于x的方程4x2-（k+2）x+k-1=0有两个相等的实数根，

∴△=[-（k+2）]2-4×4×（k-1）=k2-12k+20=0，
解得：k1=2， k2=10
∴k=2或10时，关于x的方程4x2-（k+2）x+k-1=0有两个相等的实数根．
当k=2时，原方程为：4x2-4x+1=0，即（2x-1）2=0，解得：x1=x2=；
当k=10时，原方程为：4x2-12x+9=0，即（2x-3）2=0，解得：x1=x2=；
此题考查了一元二次方程根的判别式与一元二次方程的解法．此题难度不大，解题的关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．
23、证明见解析
【解析】（1）由于CE平分∠BCD，那么∠DCE=∠BCE，而EF∥BC，于是∠OEC=∠BCE，等量代换∠OEC=∠DCE，那么OE=OC，同理OC=OF，等量代换有OE=OF；
（2）由于O是CD中点，故OD=OC，而OE=OF，那么易证四边形DECF是平行四边形，又CE、CF是∠BCD、∠DCG的角平分线，∠BCD+∠DCG=180°那么易得∠ECF=90°，从而可证四边形DECF是矩形．
【详解】解：（1）∵CE平分∠BCD、CF平分∠GCD，
∴∠BCE=∠DCE，∠DCF=∠GCF．
∵EF∥BC，
∴∠BCE=∠FEC，∠EFC=∠GCF，
∴∠DCE=∠FEC，∠EFC=∠DCF，
∴OE=OC，OF=OC，
∴OE=OF；
（2）∵点O为CD的中点，
∴OD=OC．
又∵OE=OF，
∴四边形DECF是平行四边形．
∵CE平分∠BCD、CF平分∠GCD，
∴∠DCE=∠BCD，∠DCF=∠DCG，
∴∠DCE+∠DCF=（∠BCD+∠DCG）=90°，
即∠ECF=90°，
∴四边形DECF是矩形．
本题主要考查平行线的性质及矩形的判定，证得OE=OF，得出四边形DECF是平行四边形是解题的关键，注意角平分线的应用．
24、（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）点P的坐标为：（2，3）；3）存在，点Q的坐标为：（0，1）或（0，3）或（0，）或（0，﹣）
【分析】（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），即可求解；
（2）过点M作直线m∥AC，在AC下方作等距离的直线n，直线n与抛物线交点即为点P，即可求解；
（3）分AM时斜边、AQ是斜边、MQ是斜边三种情况，分别求解即可．
【详解】解：（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），
故﹣3a＝1，解得：a＝﹣1，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；
（2）过点M作直线m∥AC，直线m与抛物线交点即为点P，

设直线m的表达式为：y＝﹣xb，
点M（1，4），则直线m的表达式为：y＝﹣x+5，
联立方程组，
解得：x＝1（舍去）或2；
故点P的坐标为：（2，3）；
（3）设点Q的坐标为：（0，m），而点A、M的坐标分别为：（3，0）、（1，4）；
则AM2＝20，AQ2＝9+m2，MQ2＝（m﹣4）2+1＝m2﹣8m+17；
当AM时斜边时，则20＝9+m2+m2﹣8m+17，解得：m＝1或3；
当AQ是斜边时，则9+m2=20+ m2﹣8m+17，解得m＝；
当MQ是斜边时，则m2﹣8m+17=20+9+m2，解得m＝﹣，
综上，点Q的坐标为：（0，1）或（0，3）或（0，）或（0，﹣）
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、勾股定理的运用等，其中(3)，要注意分类求解，避免遗漏．
25、（1）0；（2） ．
【分析】（1）直接利用特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质和负指数幂的性质分别化简得出答案；（2）直接利用特殊角的三角函数值化简得出答案．
【详解】（1）（﹣1）2017﹣2﹣1+sin30°+（π﹣314）0；
=﹣1﹣++1
=0；
（2）cos245°+sin60°tan45°+sin1
=（）2+×1+（）2
=++
=．
本题考查了实数运算，掌握实数运算是解题的关键．
26、 (1) y＝－x2＋3x；(2) 当x＝3时，y有最大值，为45.
【解析】分析：（1）由矩形的周长为12，AB=x，结合矩形的性质可得BC=6-x，然后由E，F，G，H为矩形ABCD的各边中点可得四边形EFGH的面积是矩形面积的一半，从而列出函数关系式；
（2）由关系式为二次函数以及二次项系数小于0可得四边形EFGH的面积有最大值，然后利用配方法将抛物线的解析式写成顶点式，从而得到x取什么值时，y取得最大值，以及最大值是多少.
详解：(1)∵矩形ABCD的周长为12，AB＝x，
∴BC＝×12－x＝6－x.
∵E，F，G，H为矩形ABCD的各边中点，
∴y＝x(6－x)＝－x2＋3x，
即y＝－x2＋3x.
(2)y＝－x2＋3x＝－ (x－3)2＋4.5，
∵a＝－＜0，
∴y有最大值，
当x＝3时，y有最大值，为4.5.
点睛：本题是一道有关二次函数应用的题目，解题的关键是依据矩形的性质结合已知列出二次函数关系式，然后利用二次函数的最值解决问题.