江苏省南京师范大附中江宁分校2024年数学九上期末统考试题含解析.doc

2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每题4分，共48分）
1．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是，的顶点都在这些小正方形的顶点上，则的值为（ ）

A． B． C． D．
2．数据60，70，40，30这四个数的平均数是（　　）
A．40 B．50 C．60 D．70
3．已知点在同一个函数的图象上，这个函数可能是（ ）
A． B． C． D．
4．已知，一次函数与反比例函数在同一直角坐标系中的图象可能（　　）
A． B．
C． D．
5．如图，、分别切⊙于、，，⊙半径为，则的长为（ ）

A． B． C． D．
6．若反比例函数y=的图象经过点（2，﹣6），则k的值为（　　）
A．﹣12 B．12 C．﹣3 D．3
7．如图，AB是半圆O的直径，且AB＝4cm，动点P从点O出发，沿OA→→BO的路径以每秒1cm的速度运动一周．设运动时间为t，s＝OP2，则下列图象能大致刻画s与t的关系的是（　　）

A． B．
C． D．
8．要使式子有意义，则x的值可以是（ ）
A．2 B．0 C．1 D．9
9．二次函数的图象与y轴的交点坐标是（ ）
A．（0，1） B．（1，0） C．（－1，0） D．（0，－1）
10．下列说法正确的是 （ ）
A．“经过有交通信号的路口遇到红灯”是必然事件
B．已知某篮球运动员投篮投中的概率为0.6，则他投10次一定可投中6次
C．投掷一枚硬币正面朝上是随机事件
D．明天太阳从东方升起是随机事件
11．从一组数据1，2，2，3中任意取走一个数，剩下三个数不变的是（　　）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
12．关于x的一元二次方程(2x－1)2+n2+1=0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判定
二、填空题（每题4分，共24分）
13．一种微粒的半径是1．11114米，这个数据用科学记数法表示为____．
14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5cm，BC=12cm，将△ABC绕点B顺时针旋转60°，得到△BDE，连接DC交AB于点F，则△ACF与△BDF的周长之和为_______cm．

15．已知二次函数y＝﹣x2+2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2+2x+m＝0的解为_____．

16．点关于原点的对称点的坐标为________.
17．在函数中，自变量x的取值范围是　 　．
18．如图，边长为4的正六边形ABCDEF的中心与坐标原点O重合，AF∥轴，将正六边形ABCDEF绕原点O顺时针旋转，每次旋转60°，则第2019次后，顶点A的坐标为_______．

三、解答题（共78分）
19．（8分）在平面直角坐标系中，的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）.

（1）画出关于原点对称的；
（2）将绕顺时针旋转，画出旋转后得到的，并直接写出此过程中线段扫过图形的面积.（结果保留）
20．（8分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，P为AB上一点，且点P不与点A重合，过点P作PE⊥AB交AC边于E点，点E不与点C重合，若AB＝10，AC＝8，设AP的长为x，四边形PECB的周长为y，
（1）试证明：△AEP∽△ABC；
（2）求y与x之间的函数关系式．

21．（8分）如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分．如果M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E，并且CD＝4，EM＝6，求⊙O的半径．

22．（10分）如图，四边形、、都是正方形．
求证：；
求的度数．

23．（10分）乐至县城有两座远近闻名的南北古塔，清朝道光11年至13年（公元1831--1833年）修建，南塔名为文运塔”，高30米；北塔名为“凌云塔”.为了测量北塔的高度AB，身高为1.65米的小明在C处用测角仪CD，（如图所示）测得塔顶A的仰角为45°，此时小明在太阳光线下的影长为1.1米，测角仪的影长为1米.随后，他再向北塔方向前进14米到达H处，又测得北塔的顶端A的仰角为60°，求北塔AB的高度．（参考数据≈1.414,≈1.732，结果保留整数）

24．（10分）已知关于的方程.
（1）求证：无论为何值，该方程都有两个不相等的实数根；
（2）若该方程的一个根为-1，则另一个根为 .
25．（12分）如图，中，，，平分，交轴于点，点是轴上一点，经过点、，与轴交于点，过点作，垂足为，的延长线交轴于点，

（1）求证：为的切线；
（2）求的半径．
26．如图，在平面直角坐标系中，∠ACB＝90°，OC＝2BO，AC＝6，点B的坐标为（1，0），抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A、B两点．
（1）求点A的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）点P是直线AB上方抛物线上的一点，过点P作PD垂直x轴于点D，交线段AB于点E，使PE＝DE．
①求点P的坐标；
②在直线PD上是否存在点M，使△ABM为直角三角形？若存在，求出符合条件的所有点M的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案

一、选择题（每题4分，共48分）
1、D
【分析】过作于，首先根据勾股定理求出，然后在中即可求出的值．
【详解】如图，过作于，则，

AC＝＝1．
．
故选D．
本题考查了勾股定理的运用以及锐角三角函数，正确作出辅助线是解题的关键．
2、B
【分析】用四个数的和除以4即可.
【详解】（60+70+40+30）÷4=200÷4=50.
故选B.
本题重点考查了算术平均数的计算，希望同学们要牢记公式，并能够灵活运用.
数据x1、x2、……、xn的算术平均数：=(x1+x2+……+xn).
3、D
【解析】由点的坐标特点，可知函数图象关于轴对称，于是排除选项；再根据的特点和二次函数的性质，可知抛物线的开口向下，即，故选项正确．
【详解】
点与点关于轴对称；
由于的图象关于原点对称，因此选项错误；

由可知，在对称轴的右侧，随的增大而减小，
对于二次函数只有时，在对称轴的右侧，随的增大而减小，
选项正确
故选．
考查正比例函数、反比例函数、二次函数的图象和性质，可以采用排除法，直接法得出答案．
4、A
【分析】根据反比例函数图象确定b的符号，结合已知条件求得a的符号，由a,b的符号确定一次函数图象所经过的象限．
【详解】解：若反比例函数 经过第一、三象限，则 ．所以 ．则一次函数 的图象应该经过第一、二、三象限；
若反比例函数经过第二、四象限，则a<1．所以b>1．则一次函数的图象应该经过第二、三、四象限．
故选项A正确；
故选A．
本题考查了反比例函数的图象性质和一次函数函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．
5、C
【分析】连接PO、AO、BO，由角平分线的判定定理得，PO平分∠APB，则∠APO=30°，得到PO=4，由勾股定理，即可求出PA.
【详解】解：连接PO、AO、BO，如图：

∵、分别切⊙于、，
∴，，AO=BO，
∴PO平分∠APB，
∴∠APO==30°，
∵AO=2，∠PAO=90°，
∴PO=2AO=4，
由勾股定理，则
；
故选：C.
本题考查了圆的切线的性质，角平分线的判定定理，以及勾股定理，解题的关键是掌握角平分线的判定定理，得到∠APO=30°.
6、A
【解析】试题分析：∵反比例函数的图象经过点（2，﹣6），∴，解得k=﹣1．故选A．
考点：反比例函数图象上点的坐标特征．
7、C
【解析】在半径AO上运动时，s=OP1=t1；在弧BA上运动时，s=OP1=4；在BO上运动时，s=OP1=（4π+4-t）1，s也是t是二次函数；即可得出答案．
【详解】解：利用图象可得出：当点P在半径AO上运动时，s=OP1=t1；
在弧AB上运动时，s=OP1=4；
在OB上运动时，s=OP1=（1π+4-t）1．
结合图像可知C选项正确
故选：C．
此题考查了动点问题的函数图象，能够结合图形正确得出s与时间t之间的函数关系是解决问题的关键．
8、D
【解析】式子为二次根式，根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，可得x-50，解不等式就可得到答案.
【详解】∵式子有意义，
∴x-50，
∴x5，
观察个选项，可以发现x的值可以是9.
故选D.
本题考查二次根式有意义的条件.
9、D
【详解】当x=0时，y=0-1=-1,
∴图象与y轴的交点坐标是（0,-1）.
故选D.
10、C
【解析】试题解析：A. “经过有交通信号的路口遇到红灯”是随机事件, 说法错误.
B. 已知某篮球运动员投篮投中的概率为0.6，则他投10次一定可投中6次,说法错误.
C. 投掷一枚硬币正面朝上是随机事件,说法正确.
D. 明天太阳从东方升起是必然事件.说法错误.
故选C.
11、C
【分析】根据中位数的定义求解可得．
【详解】原来这组数据的中位数为＝2，
无论去掉哪个数据，剩余三个数的中位数仍然是2，
故选：C．
此题考查数据平均数、众数、中位数方差的计算方法，掌握正确的计算方法才能解答.
12、C
【分析】先对原方程进行变形，然后进行判定即可．
【详解】解：由原方程可以化为：(2x－1)2=-n2-1
∵(2x－1)2≥0, -n2-1≤-1
∴原方程没有实数根．
故答案为C．
本题考查了一元二次方程的解，解题的关键在于对方程的变形，而不是运用根的判别式．

二、填空题（每题4分，共24分）
13、
【解析】试题分析：科学计数法是指a×，且1≤＜11，小数点向右移动几位，则n的相反数就是几．
考点：科学计数法
14、1．
【详解】∵将△ABC绕点B顺时针旋转60°，得到△BDE，
∴△ABC≌△BDE，∠CBD=60°，
∴BD=BC=12cm，
∴△BCD为等边三角形，
∴CD=BC=BD=12cm，
在Rt△ACB中，AB===13，
△ACF与△BDF的周长之和=AC+AF+CF+BF+DF+BD=AC+AB+CD+BD=5+13+12+12=1（cm），
故答案为1．
考点：旋转的性质．
15、x1＝﹣1或x2＝1．
【分析】由二次函数y＝﹣x2+2x+m的部分图象可以得到抛物线的对称轴和抛物线与x轴的一个交点坐标，然后可以求出另一个交点坐标，再利用抛物线与x轴交点的横坐标与相应的一元二次方程的根的关系即可得到关于x的一元二次方程﹣x2+2x+m＝0的解．
【详解】解：依题意得二次函数y＝﹣x2+2x+m的对称轴为x＝1，与x轴的一个交点为（1，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点横坐标为1﹣（1﹣1）＝﹣1，
∴交点坐标为（﹣1，0）
∴当x＝﹣1或x＝1时，函数值y＝0，
即﹣x2+2x+m＝0，
∴关于x的一元二次方程﹣x2+2x+m＝0的解为x1＝﹣1或x2＝1．
故答案为：x1＝﹣1或x2＝1．
本题考查了关于二次函数与一元二次方程，在解题过程中，充分利用二次函数图象，根据图象提取有用条件来解答，这样可以降低题的难度，从而提高解题效率．
16、
【分析】根据点关于原点对称，横纵坐标都变号，即可得出答案.
【详解】根据对称变换规律，将P点的横纵坐标都变号后可得点，故答案为.
本题考查坐标系中点的对称变换，熟记变换口诀“关于谁对称，谁不变，另一个变号；关于原点对称，两个都变号”.
17、
【解析】试题分析：求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使在实数范围内有意义，必须．
18、
【分析】将正六边形ABCDEF绕原点O逆时针旋转2019次时，点A所在的位置就是原D点所在的位置．
【详解】2019×60°÷360°=336…3，即与正六边形ABCDEF绕原点O逆时针旋转3次时点A的坐标是一样的．
当点A按逆时针旋转180°时，与原D点重合．
连接OD，过点D作DH⊥x轴，垂足为H；

由已知ED=1，∠DOE=60°（正六边形的性质），
∴△OED是等边三角形，
∴OD=DE=OE=1．
∵DH⊥OE，
∴∠ODH=30°，OH=HE=2，HD=．
∵D在第四象限，
∴D，即旋转2019后点A的坐标是．
故答案为．
本题考查了正多边形和圆、旋转变换的性质，掌握正多边形的性质、旋转变换的性质是解题的关键．

三、解答题（共78分）
19、（1）如图所示，见解析；（2）
【分析】
（1）利用画中心对称图形的作图方法直接画出关于原点对称的即可；
（2）利用画旋转图形的作图方法直接画出，并利用扇形公式求出线段扫过图形的面积.
【详解】
解：（1）如图所示

（2）作图见图；由题意可知线段扫过图形的面积为扇形利用扇形公式：.
本题考查中心对称图形以及旋转图形的作图，熟练掌握相关作图技巧以及利用扇形公式是解题关键.
20、（1）见解析；（2）y=．（0＜x＜6.4）
【分析】（1）可证明△APE和△ACB都是直角三角形，还有一个公共角，从而得出：△AEP∽△ABC；
（2）由勾股定理得出BC，再由相似，求出PE＝x，，即可得出y与x的函数关系式．
【详解】（1）∵PE⊥AB，
∴∠APE＝90°，
又∵∠C＝90°，
∴∠APE＝∠C，
又∵∠A＝∠A，
∴△AEP∽△ABC；
（2）在Rt△ABC中，AB＝10，AC＝8，
∴BC＝，
由（1）可知，△APE∽△ACB
∴，
又∵AP＝x，
即，
∴PE＝x， ，
∴＝．（0＜x＜6.4）
本题考查了相似三角形的性质问题，掌握相似三角形的性质以及判定定理是解题的关键．
21、
解析】连接OC,由垂径定理可得: EM⊥CD,即可求得的半径.
【详解】解：连接OC，

∵M是⊙O弦CD的中点，
根据垂径定理：EM⊥CD，
又CD＝4则有：CM＝CD＝2，
设圆的半径是x米，
在Rt△COM中，有OC2＝CM2+OM2，
即：x2＝22+（6﹣x）2，
解得：x＝，
所以圆的半径长是．
本题考查的是圆，熟练掌握垂径定理是解题的关键.
22、（1）见解析；（2）45°.
【分析】（1）设正方形的边长为a，求出AC的长为a，再求出△ACF与△GCA中∠ACF的两边的比值相等，根据两边对应成比例、夹角相等，两三角形相似，即可判定△ACF与△GCA相似2）根据相似三角形的对应角相等可得∠1=∠CAF，再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，∠2+∠CAF=∠ACB=45°，所以∠1+∠2=45°．
【详解】设正方形的边长为，则，
∴，
又∵，
∴；
解：由得：，
∴，
∴．
本题主要考查相似三角形的判定，利用两边对应成比例，夹角相等两三角形相似的判定和相似三角形对应角相等的性质以及三角形的外角性质，求出两三角形的对应边的比值相等是解题关键．
23、北塔的高度AB约为35米．
【分析】设AE=x，根据在同一时间，物体高度与影子长度成正比例关系可得CD的长，在Rt△ADE中，由∠ADE=45°可得AE=DE=x，可得EF=(x-14)米，在Rt△AFE中，利用∠AFE的正切列方程可求出x的值，根据AB=AE+BE即可得答案.
【详解】设AE=x，
∵小明身高为1.65米，在太阳光线下的影长为1.1米，测角仪CD的影长为1米，
∴
∴CD=1.5（米）
∴BE=CD=1.5（米），
∵在Rt△ADE中，∠ADE=45°，
∴DE=AE=x，
∵DF=14米，
∴EF=DE－DF=(x－14)米，
在Rt△AFE中，∠AFE=60°，
∴tan60°==，
解得：x=()（米），
故AB=AE+BE=+1.5≈35米．
答：北塔的高度AB约为35米．

本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握各三角函数的定义及特殊角的三角函数值是解题关键.
24、（1）见解析；（2）1或－1
【分析】（1）根据因式分解法求出方程的两个解，再证明这两个解不相等即可；
（2）根据（1）中的两个解分类讨论即可．
【详解】（1）证明： 原方程可化为
或
，
∵
∴无论为何值，该方程都有两个不相等的实数根．
（2）当时，解得：m=1，即方程的另一个根为1；
当m=-1时，则另一个根为，
∴另一个根为1或－1
故答案为：1或－1．
此题考查的是解一元二次方程和根据一元二次方程的一个根求另一个根，掌握因式分解法解一元二次方程和分类讨论的数学思想是解决此题的关键．

25、（1）证明见解析；（2）1．
【分析】(1)连接CP，根据等腰三角形的性质得到∠PAC=∠PCA，由角平分线的定义得到∠PAC=∠EAC，等量代换得到∠PCA=∠EAC，推出PC∥AE，于是得到结论；
(2)连接PC，根据角平分线的定义得到∠BAC=∠OAC，根据等腰三角形的性质得到∠PCA=∠PAC，等量代换得到∠BAC=∠ACP，推出PC∥AB，根据相似三角形的性质即可得到结论.
【详解】（1） 证明：连接，

∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
即是的切线．
(2)连接，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴的半径为1
本题考查了角平分线的定义，平行线的判定和性质，切线的判定，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
26、（1）y=﹣x2﹣3x+4；（2）①P（﹣1，6）；②点M的坐标为：∴M（﹣1，3+）或（﹣1，3﹣）或（﹣1，﹣1）或（﹣1，）．
【解析】（1）先根据已知求点A的坐标，利用待定系数法求二次函数的解析式；
（2）①先得AB的解析式为：y=-2x+2，根据PD⊥x轴，设P（x，-x2-3x+4），则E（x，-2x+2），根据PE=DE，列方程可得P的坐标；
②先设点M的坐标，根据两点距离公式可得AB，AM，BM的长，分三种情况：△ABM为直角三角形时，分别以A、B、M为直角顶点时，利用勾股定理列方程可得点M的坐标．
【详解】（1）∵B（1，0），
∴OB=1，
∵OC=2OB=2，
∴C（﹣2，0），
Rt△ABC中，tan∠ABC=2，
∴=2，
∴=2，
∴AC=6，
∴A（﹣2，6），
把A（﹣2，6）和B（1，0）代入y=﹣x2+bx+c得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y=﹣x2﹣3x+4；
（2）①∵A（﹣2，6），B（1，0），
易得AB的解析式为：y=﹣2x+2，
设P（x，﹣x2﹣3x+4），则E（x，﹣2x+2），
∵PE=DE，
∴﹣x2﹣3x+4﹣（﹣2x+2）=（﹣2x+2），
x=1（舍）或﹣1，
∴P（﹣1，6）；
②∵M在直线PD上，且P（﹣1，6），
设M（﹣1，y），
∴AM2=（﹣1+2）2+（y﹣6）2=1+（y﹣6）2，
BM2=（1+1）2+y2=4+y2，
AB2=（1+2）2+62=45，
分三种情况：
i）当∠AMB=90°时，有AM2+BM2=AB2，
∴1+（y﹣6）2+4+y2=45，
解得：y=3，
∴M（﹣1，3+）或（﹣1，3﹣）；
ii）当∠ABM=90°时，有AB2+BM2=AM2，
∴45+4+y2=1+（y﹣6）2，y=﹣1，
∴M（﹣1，﹣1），
iii）当∠BAM=90°时，有AM2+AB2=BM2，
∴1+（y﹣6）2+45=4+y2，y=，
∴M（﹣1，）；
综上所述，点M的坐标为：∴M（﹣1，3+）或（﹣1，3﹣）或（﹣1，﹣1）或（﹣1，）．
此题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，铅直高度和勾股定理的运用，直角三角形的判定等知识．此题难度适中，解题的关键是注意方程思想与分类讨论思想的应用．