2024-2025学年山东省章丘市实验中学九年级数学第一学期期末学业质量监测模拟试题含解析.doc

2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题（每题4分，共48分）
1．下列各组中的四条线段成比例的是( )
A．4cm，2cm，1cm，3cm
B．1cm，2cm，3cm，5cm
C．3cm，4cm，5cm，6cm
D．1cm，2cm，2cm，4cm
2．如图，已知矩形ABCD的顶点A，D分别落在x轴、y轴上，OD2OA=6，AD：AB=3：1，则点C的坐标是（　　）

A．（2，7） B．（3，7） C．（3，8） D．（4，8）
3．如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O的圆心O在格点上，则∠BED的正切值等于（　　）

A． B． C．2 D．
4．如图，是的中位线，则的值为（ ）

A． B． C． D．
5．若将抛物线的函数图象先向右平移1个单位，再向下平移2个单位后，可得到一个新的抛物线的图象，则所得到的新的抛物线的解析式为(　　)
A． B．
C． D．
6．如图，在中，，，点、、分别在边、、上，且与关于直线DE对称．若，，则（ ）．

A．3 B．5 C． D．
7．在阳光的照射下，一块三角板的投影不会是（ ）
A．线段 B．与原三角形全等的三角形
C．变形的三角形 D．点
8．已知，则为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，在正方形ABCD中，AB=4，AC与相交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，P是OD的中点，过点P作PM⊥BC于点M，交于点N′，则PN-MN′的值为（ ）

A． B． C． D．
10．一个不透明的袋中，装有2个黄球、3个红球和5个白球，它们除颜色外都相同．从袋中任意摸出一个球，是白球的概率是（　　）
A． B． C． D．
11．如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O上的两个点（CD两点分别在直径AB的两侧），连接BD，AD，AC，CD，若∠BAD=56°，则∠C的度数为（）

A．56° B．55°
C．35° D．34°
12．如图，AB为⊙O的直径，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，点P在BA的延长线上，PD与⊙O相切，D为切点，若∠BCD＝125°，则∠ADP的大小为（ ）

A．25° B．40° C．35° D．30°
二、填空题（每题4分，共24分）
13．在一次摸球实验中，摸球箱内放有白色、黄色乒乓球共50个，这两种乒乓球的大小、材质都相同．小明发现，摸到白色乒乓球的频率稳定在60%左右，则箱内黄色乒乓球的个数很可能是________．
14．比较大小：______4.
15．如图，直线：（）与，轴分别交于，两点，以为边在直线的上方作正方形，反比例函数和的图象分别过点和点.若，则的值为______.

16．（2016湖北省咸宁市）如图，边长为4的正方形ABCD内接于点O，点E是上的一动点（不与A、B重合），点F是上的一点，连接OE、OF，分别与AB、BC交于点G，H，且∠EOF=90°，有以下结论：
①；
②△OGH是等腰三角形；
③四边形OGBH的面积随着点E位置的变化而变化；
④△GBH周长的最小值为．
其中正确的是________（把你认为正确结论的序号都填上）．

17．把所有正整数从小到大排列，并按如下规律分组：(1)、(2，3)、(4，5，6)、(7，8，9，10)、……，若An=(a，b)表示正整数n为第a组第b个数(从左往右数)，如A7=(4，1)，则A20=______________．
18．如图，二次函数的图象与轴交于点,与轴的一个交点为,点在抛物线上，且与点关于抛物线的对称轴对称．已知一次函数的图象经过两点,根据图象,则满足不等式的的取值范围是_____________

三、解答题（共78分）
19．（8分）如图，是两棵树分别在同一时刻、同一路灯下的影子．
（1）请画出路灯灯泡的位置（用字母表示）
（2）在图中画出路灯灯杆（用线段表示）；
（3）若左边树的高度是4米，影长是3米，树根离灯杆底的距离是1米，求灯杆的高度．

20．（8分）如图，以为直径作半圆，点是半圆弧的中点，点是上的一个动点（点不与点、重合），交于点，延长、交于点，过点作，垂足为.

（1）求证：是的切线；
（2）若的半径为1，当点运动到的三等分点时，求的长.
21．（8分）已知：如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，点D是BC边上的一个动点(不与B， C点重合)，∠ADE＝45°．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）设BD＝x，AE＝y，求y关于x的函数关系式；
（3）当△ADE是等腰三角形时，请直接写出AE的长．

22．（10分）如图，等腰中， ，点是边上一点，在上取点，使
（1）求证: ;
（2）若，求的长．

23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴、两点（在的左侧），且，，与轴交于，抛物线的顶点坐标为.

（1）求、两点的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）过点作直线轴，交轴于点，点是抛物线上、两点间的一个动点（点不与、两点重合），、与直线分别交于点、，当点运动时，是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由.
24．（10分）一个不透明的口袋中装有2个红球（记为红球1、红球2）、1个白球、1个黑球，这些球除颜色外都相同，将球摇匀．
（1）从中任意摸出1个球，恰好摸到红球的概率是 ；
（2）先从中任意摸出1个球，再从余下的3个球中任意摸出1个球，请用列举法（画树状图或列表）求两次都摸到红球的概率．
25．（12分）一元二次方程的一个根为，求的值及方程另一根．
26．某校九年级举行毕业典礼，需要从九年级班的名男生名女生中和九年级班的名男生名女生中各随机选出名主持人．
（1）用树状图或列表法列出所有可能情形；
（2）求名主持人恰好男女的概率．
参考答案

一、选择题（每题4分，共48分）
1、D
【分析】四条线段成比例，根据线段的长短关系，从小到大排列，判断中间两项的积是否等于两边两项的积，相等即成比例.
【详解】A.从小到大排列，由于1，所以不成比例，不符合题意；
B. 从小到大排列，由于1，所以不成比例，不符合题意；
C. 从小到大排列，由于3，所以不成比例，不符合题意；
D. 从小到大排列，由于1，所以成比例，符合题意；
故选D.
此题主要考查线段成比例的关系，解题的关键是通过计算判断是否成比例.
2、A
【解析】过C作CE⊥y轴于E，∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB，∠ADC=90°，
∴∠ADO+∠CDE=∠CDE+∠DCE=90°，
∴∠DCE=∠ADO，∴△CDE∽△ADO，
∴，
∵OD=2OA=6，AD：AB=3：1，
∴OA=3，CD：AD∴CE=OD=2，DE=OA=1，
∴OE=7，∴C（2，7），
故选A．

3、D
【分析】根据同弧或等弧所对的圆周角相等可知∠BED=∠BAD，再结合图形根据正切的定义进行求解即可得.
【详解】∵∠DAB=∠DEB，
∴tan∠DEB= tan∠DAB=，
故选D．
本题考查了圆周角定理（同弧或等弧所对的圆周角相等）和正切的概念，正确得出相等的角是解题关键．
4、B
【分析】由中位线的性质得到DE∥AC，DE=AC，可知△BDE∽△BCA，再根据相似三角形面积比等于相似比的平方可得，从而得出的值.
【详解】∵DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AC，DE=AC

∴△BDE∽△BCA
∴
∴
故选B.
本题考查了中位线的性质，以及相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方.
5、C
【分析】根据函数图象平移的法则“左加右减，上加下减”的原则进行解答即可．
【详解】由“左加右减”的原则可知，将抛物线先向右平移1个单位可得到抛物线；由“上加下减”的原则可知，将抛物线先向下平移2个单位可得到抛物线．
故选：C．
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
6、D
【分析】过点F作FH⊥AD，垂足为点H，设，根据勾股定理求出AC，FH，AH，设，根据轴对称的性质知，在Rt△BFE中运用勾股定理求出x，通过证明，求出DH的长，根据求出a的值，进而求解．
【详解】过点F作FH⊥AD，垂足为点H，
设，
由题意知，，，
由勾股定理知，，，
∵与关于直线DE对称，
∴，，
设，则，
在Rt△BFE中，，
解得，，即，，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴解得，，
∴，
故选D．

本题考查了轴对称图形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质等，巧作辅助线证明是解题的关键．
7、D
【分析】将一个三角板放在太阳光下，当它与阳光平行时，它所形成的投影是一条线段；当它与阳光成一定角度但不垂直时，它所形成的投影是三角形．
【详解】解：根据太阳高度角不同，所形成的投影也不同．当三角板与阳光平行时，所形成的投影为一条线段；当它与阳光形成一定角度但不垂直时，它所形成的投影是三角形，不可能是一个点，
故选D.
本题考查了平行投影特点，不同位置，不同时间，影子的大小、形状可能不同，具体形状应视其外在形状，及其与光线的夹角而定．
8、D
【分析】由题意先根据已知条件得出a＝b，再代入要求的式子进行计算即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴a＝b，
∴＝＝．
故选：D．
本题考查比例的性质和代数式求值，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
9、A
【分析】根据正方形的性质可得点O为AC的中点，根据三角形中位线的性质可求出PN的长，由PM⊥BC可得PM//CD，根据点P为OD中点可得点N′为OC中点，即可得出AC=4CN′，根据MN′//AB可得△CMN′∽△CBA，根据相似三角形的性质可求出MN′的长，进而可求出PN-MN′的长.
【详解】∵四边形ABCD是正方形，AB=4，
∴OA=OC，AD=AB=4，
∵N是AO的中点，P是OD的中点，
∴PN是△AOD的中位线，
∴PN=AD=2，
∵PM⊥BC，
∴PM//CD//AB，
∴点N′为OC的中点，
∴AC=4CN′，
∵PM//AB，
∴△CMN′∽△CBA，
∴，
∴MN′=1，
∴PN-MN′=2-1=1，
故选：A.
本题考查正方形的性质、三角形中位线的性质及相似三角形的判定与性质，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半；熟练掌握三角形中位线的性质及相似三角形的判定定理是解题关键.
10、A
【分析】由题意可得，共有10种等可能的结果，其中从口袋中任意摸出一个球是白球的有5种情况，利用概率公式即可求得答案．
【详解】解：∵从装有2个黄球、3个红球和5个白球的袋中任意摸出一个球有10种等可能结果，
其中摸出的球是白球的结果有5种，
∴从袋中任意摸出一个球，是白球的概率是＝，
故选A．
此题考查了概率公式，明确概率的意义是解答问题的关键用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
11、D
【分析】利用直径所对的圆周角是可求得的度数，根据同弧所对的的圆周角相等可得∠C的度数.
【详解】解：AB为⊙O的直径，点D为⊙O上的一个点

故选：D
本题考查了圆周角的性质，熟练掌握圆周角的相关性质是解题的关键.
12、C
【分析】连接AC，OD，根据直径所对的圆周角是直角得到∠ACB是直角，求出∠ACD的度数，根据圆周角定理求出∠AOD的度数，再利用切线的性质即可得到∠ADP的度数．
【详解】连接AC，OD．
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACD=125°﹣90°=35°，
∴∠AOD=2∠ACD=70°．
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ADO，
∴∠ADO=55°．
∵PD与⊙O相切，
∴OD⊥PD，
∴∠ADP=90°﹣∠ADO=90°﹣55°=35°．

故选：C．
本题考查了切线的性质、圆周角定理及推论，正确作出辅助线是解答本题的关键．

二、填空题（每题4分，共24分）
13、20
【解析】先设出白球的个数，根据白球的频率求出白球的个数，再用总的个数减去白球的个数即可．
【详解】设黄球的个数为x个，
∵共有黄色、白色的乒乓球50个，黄球的频率稳定在60%，
∴＝60%，
解得x＝30，
∴布袋中白色球的个数很可能是50－30＝20(个).
故答案为：20.
本题考查了利用频率估计概率，熟练掌握该知识点是本题解题的关键.
14、＞
【分析】用放缩法比较即可.
【详解】∵，
∴ >3+1=4.
故答案为：>.
此题主要考查了估算无理数的大小，在确定形如（a≥0）的无理数的整数部分时，常用的方法是“夹逼法”，其依据是平方和开平方互为逆运算.在应用“夹逼法”估算无理数时，关键是找出位于无理数两边的平方数，则无理数的整数部分即为较小的平方数的算术平方根.
15、-1
【分析】作CH⊥y轴于点H，证明△BAO≌△CBH，可得OA=BH=-3b，OB=CH=-b，可得点C的坐标为（-b，-2b），点D的坐标为（2b，-3b），代入反比例函数的解析式，即可得出k2的值．
【详解】解：如图，作CH⊥y轴于点H，

∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC，∠AOB=∠BHC=10°，∠ABC=10°
∴∠BAO=10°-∠OBA=∠CBH，
∴△BAO≌△CBH（AAS），
∴OA=BH，OB=CH，
∵直线l：（b＜0）与x，y轴分别交于A，B两点，
∴A（3b，0），B（0，b），
∵b＜0，
∴BH=-3b，CH=-b，
∴点C的坐标为（-b，-2b），
同理，点D的坐标为（2b，-3b），
∵k1=3，
∴（-b）×（-2b）=3，即2b2=3，
∴k22b×（-3b）=-6b2=-1．
故答案为：-1．
本题考查反比例函数图象上点的坐标的特征，直线与坐标轴的交点，正方形的性质，全等三角形的判定和性质．解题的关键是用b来表示出点C，D的坐标．
16、①②．
【解析】解：①如图所示，∵∠BOE+∠BOF=90°，∠COF+∠BOF=90°，∴∠BOE=∠COF．在△BOE与△COF中，∵OB=OC，∠BOE=∠COF，OE=OF，∴△BOE≌△COF，∴BE=CF，∴，①正确；

②∵OC=OB，∠COH=∠BOG，∠OCH=∠OBG=15°，∴△BOG≌△COH，∴OG=OH．∵∠GOH=90°，∴△OGH是等腰直角三角形，②正确；
③如图所示，∵△HOM≌△GON，∴四边形OGBH的面积始终等于正方形ONBM的面积，③错误；

④∵△BOG≌△COH，∴BG=CH，∴BG+BH=BC=1．设BG=x，则BH=1﹣x，则GH====，∴其最小值为，∴△GBH周长的最小值=GB+BH+GH=1+，D错误．
故答案为①②．
17、 (6，5)
【分析】通过新数组确定正整数n的位置，An=(a，b)表示正整数n为第a组第b个数(从左往右数)，
所有正整数从小到大排列第n个正整数，第一组（1），1个正整数，第二组（2,3）2个正整数，第三组（4,5,6）三个正整数，…，这样1+2+3+4+…+a> n，而1+23+4+…+(a-1)7，1+2+3=6<7，说明7在第4组，第四组应有4个数为（7,8,9,10）而7是这组的第一个数，为此P7=（4,1），
理解规律A20，先求第几组排进20，1+2+3+4+5+6=21>20，由1+2+3+4+5=15，第六组从16开始，按顺序找即可．
【详解】A20是指正整数20的排序，按规律1+2+3+4+5+6=21>20，说明20在第六组，而1+2+3+4+5=15<20，第六组从16开始，取6个数即第六组数（16，17，18，19，20，21），从左数第5个数是20，故A20=（6，5）．
故答案为：（6，5）．
本题考查按规律取数问题，关键是读懂An=（a，b）的含义，会用新数组来确定正整数n的位置．
18、
【分析】将点A的坐标代入二次函数解析式求出m的值，再根据二次函数解析式求出点C的坐标，然后求出点B的坐标，点A、B之间部分的自变量x的取值范围即为不等式的解集.
【详解】解：抛物线经过点

抛物线解析式为
点坐标
对称轴为x=-2,B、C关于对称轴对称,
点坐标
由图象可知，满足的的取值范围为
故答案为:．
本题考查了利用二次函数的性质来确定系数m和图象上点B的坐标，而根据图象可知满足不等式的的取值范围是在B、A两点之间.

三、解答题（共78分）
19、（1）见解析；（2）见解析；（3）灯杆的高度是米
【分析】（1）直接利用中心投影的性质得出O点位置；
（2）利用O点位置得出OC的位置；
（3）直接利用相似三角形的性质得出灯杆的高度．
【详解】解：（1）如图所示：O即为所求；
（2）如图所示：CO即为所求；

（3）由题意可得：△EAB∽△EOC，
则，
∵EB=3m，BC=1m，AB=4m，
∴，
解得：CO=，
答：灯杆的高度是 米．
此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出O点位置是解题关键．
20、（1）详见解析；（2）或

【分析】（1）连接，根据同弧所对的圆周角相等、直径所对的圆周角等于90°和等弧所对的弦相等可得：，，，从而证出≌，然后根据等腰三角形的性质即可求出∠ACF和∠ACO，从而求出∠OCF，即可证出结论；
（2）先根据等腰直角三角形的性质求出AC、BC，再根据一个弧有两个三等分点分类讨论：情况一：当点为靠近点的三等分点时，根据三等分点即可求出，再根据锐角三角函数即可求出CE，从而求出AE；情况二：当点为靠近点的三等分点时，根据三等分点即可求出，从而求出AP，再推导出∠PDE=30°，设，用表示出DE、CE和AE的长，从而利用勾股定理列出方程即可求出，从而求出AE.
【详解】（1）证明：连接

∵为的直径
∴
∴
根据同弧所对的圆周角相等可得，
又∵是的中点
∴
∴
在与中

∴≌
∴
又∵
∴平分
∴
∵，为的中点
∴平分
∴
∴
∴
∴为的切线
（2）证明：如图2

∵的半径为1
∴
又∵，
∴

情况一：如图2
当点为靠近点的三等分点时
∵点是的三等分点
∴
∴
在Rt△BCE中，
∴
情况二：如图3

当点为靠近点的三等分点时
∵点是的三等分点
∴
∴
∴
又∵
∴
又∵，
∴

∴
∴
∴
设，则
∴
∴
又∵
∴
即
解出：或（应小于，故舍去）
∴
综上所述：或
此题考查的是圆的基本性质、圆周角定理、切线的判定、等腰三角形的性质和解直角三角形，掌握同弧所对的圆周角相等、直径所对的圆周角是90°、切线的判定定理和用勾股定理和锐角三角函数解直角三角形是解决此题的关键.
21、（1）证明见解析；（2）y=x2-x+1=（x-）2+；（3）AE的长为2-或 ．
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质及三角形内角与外角的关系，易证△ABD∽△DCE．
（2）由△ABD∽△DCE，对应边成比例及等腰直角三角形的性质可求出y与x的函数关系式；
（3）当△ADE是等腰三角形时，因为三角形的腰和底不明确，所以应分AD=DE，AE=DE，AD=AE三种情况讨论求出满足题意的AE的长即可．
【详解】（1）证明：
∵∠BAC=90°，AB=AC
∴∠B=∠C=∠ADE=45°
∵∠ADC=∠B+∠BAD=∠ADE+∠CDE
∴∠BAD=∠CDE
∴△ABD∽△DCE；
（2）由（1）得△ABD∽△DCE，
∴=，
∵∠BAC=90°，AB=AC=1，
∴BC=，CD=-x，EC=1-y，
∴=，
∴y=x2-x+1=（x-）2+；
（3）当AD=DE时，△ABD≌△CDE，
∴BD=CE，
∴x=1-y，即 x-x2=x，
∵x≠0，
∴等式左右两边同时除以x得：x=-1
∴AE=1-x=2-，
当AE=DE时，DE⊥AC，此时D是BC中点，E也是AC的中点，
所以，AE=；
当AD=AE时，∠DAE=90°，D与B重合，不合题意；
综上，在AC上存在点E，使△ADE是等腰三角形，
AE的长为2-或 ．
本题考查相似三角形的性质、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的判定和性质、二次函数的性质等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
22、（1）见解析；（2）．
【分析】（1）利用三角形外角定理证得∠EDC=∠DAB，再根据两角相等即可证明△ABD∽△DCE；
（2）作高AF，利用三角函数求得，继而求得，再根据△ABD∽△DCE，利用对应边成比例即可求得答案．
【详解】（1）∵△ABC是等腰三角形，且∠BAC=120°，
∴∠ABD=∠ACB=30°，
∴∠ABD=∠ADE=30°，
∵∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠ABD+∠DAB，
∴∠EDC=∠DAB，
∴△ABD∽△DCE；
（2）过作于，

∵△ABC是等腰三角形，且∠BAC=120°，，
∴∠ABD=∠ACB=30°，，
则，
，
，
，
，
，
所以．
本题是相似形的综合题，考查了三角形相似的性质和判定、等腰三角形的性质、解直角三角形，证得△ABD∽△DCE是解题的关键．
23、（1）点坐标，点坐标；（2）；（3）是定值，定值为8
【分析】（1）由OA、OB的长可得A、B两点坐标；
（2）结合题意可设抛物线的解析式为，将点C坐标代入求解即可；
（3）过点作轴交轴于，设，可用含t的代数式表示出，，的长，利用，的性质可得EF、EG的长，相加可得结论.
【详解】（1）由抛物线交轴于、两点（在的左侧），且，
，得
点坐标，点坐标；
（2）设抛物线的解析式为，
把点坐标代入函数解析式，得
，
解得，
抛物线的解析式为
；
（3）（或是定值），理由如下：
过点作轴交轴于，如图

设，
则，，
，
∵，
∴，
∴，
∴

又∵，
∴，
∴，
∴

∴
本题考查了抛物线与三角形的综合，涉及的知识点主要有抛物线的解析式、相似三角形的判定和性质，灵活利用点坐标表示线段长是解题的关键.
24、（1）（2）
【解析】试题分析：（1）因为总共有4个球，红球有2个，因此可直接求得红球的概率；
（2）根据题意，列表表示小球摸出的情况，然后找到共12种可能，而两次都是红球的情况有2种，因此可求概率.
试题解析：解：（1）．
（2）用表格列出所有可能的结果：
第二次
第一次

红球1

红球2

白球

黑球

红球1

（红球1，红球2）

（红球1，白球）

（红球1，黑球）

红球2

（红球2，红球1）

（红球2，白球）

（红球2，黑球）

白球

（白球，红球1）

（白球，红球2）

（白球，黑球）

黑球

（黑球，红球1）

（黑球，红球2）

（黑球，白球）

由表格可知，共有12种可能出现的结果，并且它们都是等可能的，其中“两次都摸到红球”有2种可能．
∴P（两次都摸到红球）==．
考点：概率统计
25、，
【分析】把x=1代入已知方程，列出关于m的新方程，通过解新方程来求m的值；由根与系数的关系来求方程的另一根．
【详解】解：由题意得：，解得，
当时，方程为，解得：，，
∴方程的另一根．
本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
26、（1）答案见解析；（2）
【分析】（1）首先根据题意列表，由树形法可得所有等可能的结果；
（2）由选出的是2名主持人恰好1男1女的情况，根据概率公式即可求得解．
【详解】解：（1）用树状图表示如下：（A表示男生，B表示女生）

由树状图知共有6种等可能结果
（2）由树状图知：2名主持人1男1女有3种，
即(A1，B2)，(A1，B2)(A2，B1)，
所以P(恰好一男一女)=
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率所求情况数与总情况数之比．