湖南长沙一中学岳麓中学2025届数学九年级第一学期期末调研模拟试题含解析.doc

2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图，正三角形ABC的边长为4cm，D，E，F分别为BC，AC，AB的中点，以A，B，C三点为圆心，2cm为半径作圆．则图中阴影部分面积为（　　）

A．（2-π）cm2 B．（π-）cm2 C．（4-2π）cm2 D．（2π-2）cm2
2．二次函数化为的形式，结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，一个直角梯形的堤坝坡长AB为6米，斜坡AB的坡角为60°，为了改善堤坝的稳固性，准备将其坡角改为45°，则调整后的斜坡AE的长度为（　　）

A．3米 B．3米 C．（3﹣2）米 D．（3﹣3）米
4．用一个平面去截一个圆锥，截面的形状不可能是( )
A．圆 B．矩形 C．椭圆 D．三角形
5．一元二次方程x2+px﹣2=0的一个根为2，则p的值为（ ）
A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2
6．某种工件是由一个长方体钢块中间钻了一个上下通透的圆孔制作而成，其俯视图如图所示，则此工件的左视图是 （    ）

A． B． C． D．
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，CE为AB边上的中线，AD=2，CE=5，则CD=（ ）

A．2 B．3 C．4 D．2
8．下列选项中，y是x的反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
9．四条线段成比例,其中＝3，，，则等于(   )
A．2㎝ B．㎝ C． D．8㎝
10．抛物线 y＝（x﹣1）2﹣2 的顶点是（　　）
A．（1，﹣2） B．（﹣1，2 C．（1，2） D．（﹣1，﹣2）
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．在一个不透明的盒子中装有12个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同，若从中随机摸出一个球是白球的概率是，则黄球个数为__________．
12．若△ABC∽△A′B′C′，且=，△ABC的周长为12 cm，则△A′B′C′的周长为_______cm.
13．如图所示的网格是正方形网格，线段AB绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）后与⊙O相切，则α的值为_____．

14．如图，在矩形中，，点在边上，，则BE=__________；若交于点，则的长度为________．

15．在一个不透明的袋子中放有a个球，其中有6个白球，这些球除颜色外完全相同，若每次把球充分搅匀后，任意摸出一一球记下颜色再放回袋子．通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在0.25左右，则a的值约为_____．
16．方程x（x﹣5）＝0的根是_____．
17．如图，把直角尺的角的顶点落在上，两边分别交于三点，若的半径为.则劣弧的长为______．

18．把函数y＝x2的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数____的图象．
三、解答题(共66分)
19．（10分）有六张完全相同的卡片，分两组，每组三张，在组的卡片上分别画上“√，×，√”，组的卡片上分别画上“√，×，×”，如图①所示．
（1）若将卡片无标记的一面朝上摆在桌上，再分别从两组卡片中随机各抽取一张，求两张卡片上标记都是“√”的概率（请用“树形图法”或“列表法”求解）．
（2）若把两组卡片无标记的一面对应粘贴在一起得到三张卡片，其正、反面标记如图②所示，将卡片正面朝上摆在桌上，并用瓶盖盖住标记．
①若随机揭开其中一个盖子，看到的标记是“√”的概率是多少？
②若揭开盖子，看到的卡片正面标记是“√”后，猜想它的反面也是“√”，求猜对的概率．

20．（6分）如图，某数学兴趣小组想测量一棵树CD的高度，他们先在点A处测得树顶C的仰角为30°，然后沿AD方向前行10m，到达B点，在B处测得树顶C的仰角高度为60°（A、B、D三点在同一直线上）．请你根据他们测量数据计算这棵树CD的高度（结果精确到0.1m）．（参考数据：≈1.414，≈1.732）

21．（6分）甲、乙两人进行摸牌游戏现有三张形状大小完全相同的牌，正面分别标有数字2，3，1．将三张牌背面朝上，洗匀后放在桌子上，甲从中随机抽取一张牌，记录数字后放回洗匀，乙再从中随机抽取一张．
（1）甲从中随机抽取一张牌，抽取的数字为奇数的概率为　 　；
（2）请用列表法或画树状图的方法，求两人抽取的数字相同的概率．
22．（8分）如图,抛物线与轴交于A、B两点,与轴交于点C，抛物线的对称轴交轴于点D，已知点A的坐标为(-1,0),点C的坐标为(0,2)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在,请说明理由．

23．（8分）镇江某特产专卖店销售某种特产，其进价为每千克40元，若按每千克60元出售，则平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低1元，平均每天的销售量增加10千克，若专卖店销售这种特产想要平均每天获利2240元，且销量尽可能大，则每千克特产应定价多少元？
24．（8分）有这样一个问题：探究函数y＝的图象与性质．小彤根据学习函数的经验，对函数y＝的图象与性质进行了探究．
下面是小彤探究的过程，请补充完整：
(1)函数y＝的自变量x的取值范围是　 　；
(2)下表是y与x的几组对应值：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
4
5
6
7
8
…
y
…

m

0
﹣1
3
2

…
则m的值为　 　；
(3)如图所示，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出了图象的一部分，请根据剩余的点补全此函数的图象；

(4)观察图象，写出该函数的一条性质　 　；
(5)若函数y＝的图象上有三个点A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3)，且x1＜3＜x2＜x3，则y1、y2、y3之间的大小关系为　 　；
25．（10分）如图，在□ABCD中，E是AD的中点，延长CB到点F，使BF=BC，连接BE、AF．
（1）求证：四边形AFBE是平行四边形；
（2）若AB=6，AD=8，∠C=60°，求BE的长．

26．（10分）定义：如果函数C：（）的图象经过点（m，n）、（-m，-n），那么我们称函数C为对称点函数，这对点叫做对称点函数的友好点．
例如：函数经过点（1，2）、（-1，-2），则函数是对称点函数，点（1，2）、（-1，-2）叫做对称点函数的友好点．
（1）填空：对称点函数一个友好点是（3，3），则b ，c= ；
（2）对称点函数一个友好点是（2b，n），当2b≤x≤2时，此函数的最大值为，最小值为，且=4，求b的值；
（3）对称点函数（）的友好点是M、N（点M在点N的上方），函数图象与y轴交于点A．把线段AM绕原点O顺时针旋转90°，得到它的对应线段A′M′．若线段A′M′与该函数的图象有且只有一个公共点时，结合函数图象，直接写出a的取值范围．
参考答案

一、选择题(每小题3分,共30分)
1、C
【分析】连接AD，由等边三角形的性质可知AD⊥BC，∠A=∠B=∠C=60°，根据S阴影=S△ABC-3S扇形AEF即可得出结论．
【详解】连接AD，
∵△ABC是正三角形，
∴AB=BC=AC=4，∠BAC=∠B=∠C=60°，
∵BD=CD，
∴AD⊥BC，
∴AD==，
∴S阴影=S△ABC-3S扇形AEF=×4×2﹣=(4﹣2π)cm2，
故选C．

本题考查了有关扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键．
2、A
【分析】将选项展开后与原式对比即可；
【详解】A：，故正确；
B：，故错误；
C：，故错误；
D：，故错误；
故选A.
本题主要考查了二次函数的三种形式，掌握二次函数的三种形式是解题的关键.
3、A
【分析】如图（见解析），作于H，在中，由可以求出AH的长，再在中，由即可求出AE的长.
【详解】如图，作于H
在中，
则
在中，
则
故选：A.

本题考查了锐角三角函数，熟记常见角度的三角函数值是解题关键.
4、B
【分析】利用圆锥的形状特点解答即可.
【详解】解：平行于圆锥的底面的截面是圆，故A可能;
截面不可能是矩形，故B符合题意；
斜截且与底面不相交的截面是椭圆，故C可能;
过圆锥的顶点的截面是三角形，故D可能.
故答案为B.
本题主要考查了截一个几何体所得的截面的形状，解答本题的关键在于明确截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关.
5、C
【解析】试题分析：∵一元二次方程x2+px﹣2=0的一个根为2，
∴22+2p﹣2=0，
解得 p=﹣1．
故选C．
考点：一元二次方程的解
6、A
【解析】从左面看应是一长方形，看不到的应用虚线，由俯视图可知，虚线离边较近，
故选A．
7、C
【解析】分析：根据直角三角形的性质得出AE=CE=1，进而得出DE=3，利用勾股定理解答即可．
详解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CE为AB边上的中线，CE=1，
∴AE=CE=1，
∵AD=2，
∴DE=3，
∵CD为AB边上的高，
∴在Rt△CDE中，CD=，
故选C．
点睛：此题考查直角三角形的性质，关键是根据直角三角形的性质得出AE=CE=1．
8、C
【解析】根据反比例函数的定义“一般的，如果两个变量x，y之间的关系可以表示成，其中为常数，，我们就叫y是x的反比例函数”判定即可.
【详解】A、x的指数是，不符定义
B、x的指数是1，y与x是成正比例的，不符定义
C、可改写成，符合定义
D、当是，函数为，是常数函数，不符定义
故选：C.
本题考查了反比例函数的定义，熟记定义是解题关键.
9、A
【分析】四条线段a，b，c，d成比例，则 = ，代入即可求得b的值．
【详解】解：∵四条线段a，b，c，d成比例，
∴ =，
∴b= = =2（cm）．
故选A．
本题考查成比例线段，解题关键是正确理解四条线段a，b，c，d成比例的定义．
10、A
【分析】根据顶点式的坐标特点直接写出顶点坐标即可解决．
【详解】解：∵y＝（x﹣1）2﹣2是抛物线解析式的顶点式，
根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（1，﹣2）．
故选：A．
本题考查了顶点式，解决本题的关键是正确理解二次函数顶点式中顶点坐标的表示方法.

二、填空题(每小题3分,共24分)
11、24
【分析】根据概率公式，求出白球和黄球总数，再减去白球的个数，即可求解.
【详解】12÷=36（个），
36-12=24（个），
答：黄球个数为24个.
故答案是：24.
本题主要考查概率公式，掌握概率公式及其变形公式，是解题的关键.
12、16cm
【解析】∵△ABC∽△A′B′C′，,
∴C△ABC：C△A′B′C′=3：4，
又∵C△ABC=12cm，
∴C△A′B′C′=16cm.
故答案为16.
13、60°或120 °
【解析】线段AB绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）后与⊙O相切，切点为C′和C″，连接OC′、OC″，根据切线的性质得OC′⊥AB′，OC″⊥AB″，利用直角三角形30度的判定或三角函数求出∠OAC′=30°，从而得到∠BAB′=60°，同理可得∠OAC″=30°，则∠BAB″=120°．
【详解】线段AB绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）后与⊙O相切，切点为C′和C″，连接OC′、OC″，
则OC′⊥AB′，OC″⊥AB″，

在Rt△OAC′中，∵OC′=1，OA=2，
∴∠OAC′=30°，
∴∠BAB′=60°，
同理可得∠OAC″=30°，
∴∠BAB″=120°，
综上所述，α的值为60°或120°．
故答案为60°或120°．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了旋转的性质和直角三角形的性质．
14、5
【分析】根据矩形的性质得出∠DAE=∠AEB，再由AB和∠DAE的正切值可求出BE，利用勾股定理计算出AE的长，再证明△ABE∽△FEA，根据相似三角形的性质可得，代入相应线段的长可得EF的长，再在在Rt△AEF中里利用勾股定理即可算出AF的长，进而得到DF的长．
【详解】解：∵点在矩形的边上，
∴，
∴.
在中，，
∴，
∴.
∵
∴△ABE∽△FEA，
∴，即，解得.
∵.
∴.
此题主要考查了相似三角形的判定与性质，以及勾股定理的应用，关键是掌握相似三角形的判定方法和性质定理．相似三角形对应边的比相等，两个角对应相等的三角形相似．
15、1．
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从摸到白球的频率稳定在0.25左右得到比例关系，列出方程求解即可．
【详解】解：根据题意得：，
解得：a＝1，
经检验a＝1是分式方程的解，
故答案为：1．
本题考查的知识点是事件的概率问题，弄清题意，根据概率公式列方程求解比较简单.
16、x1＝0，x2＝1
【分析】根据x（x-1）=0，推出x=0，x-1=0，求出方程的解即可．
【详解】解：x（x﹣1）＝0，
∴x＝0，x﹣1＝0，
解得：x1＝0，x2＝1，
故答案为x1＝0，x2＝1．
本题考查了解一元一次方程和解一元二次方程，关键是能把解一元二次方程转化成解一元一次方程．
17、
【分析】连接OB、OC，如图，先根据圆周角定理求出∠BOC的度数，再根据弧长公式计算即可.
【详解】解：连接OB、OC，如图，∵∠A=45°，∴∠BOC=90°，∴劣弧的长=.
故答案为：.

本题考查了圆周角定理和弧长公式的计算，属于基础题型，熟练掌握基本知识是解题关键.
18、y＝(x－2)2－1
【解析】试题解析：把函数的图像向右平移个单位长度，再向下平移 个单位长度，得到函数
故答案为
点睛：二次函数图象的平移规律：左加右减，上加下减.

三、解答题(共66分)
19、（1）；（2）①；②
【分析】（1）画出树状图计算即可；
（2）①三张卡片上正面的标记有三种可能，分别为“√，×，√”，然后计算即可；②正面标记为“√”的卡片，其反面标记情况有两种可能，分别为“√”和“×”，计算即可；
【详解】（1）解根据题意，可画出如下树形图：

从树形图可以看出，所有可能结果共9种，且每种结果出现的可能性相等，其中两张卡片上标记都是“√”的结果有2种，
∴（两张都是“√”）
（2）解：①∵三张卡片上正面的标记有三种可能，分别为“√，×，√”，
∴随机揭开其中一个盖子，看到的标记是“√”的概率为．
②∵正面标记为“√”的卡片，其反面标记情况有两种可能，分别为“√”和“×”，
∴猜对反面也是“√”的概率为．
本题主要考查了概率的计算，准确理解题意是解题的关键．
20、这棵树CD的高度为8.7米
【解析】试题分析：首先利用三角形的外角的性质求得∠ACB的度数，得到BC的长度，然后在直角△BDC中，利用三角函数即可求解．
试题解析：∵∠CBD=∠A+∠ACB，
∴∠ACB=∠CBD﹣∠A=60°﹣30°=30°，
∴∠A=∠ACB，
∴BC=AB=10（米）．
在直角△BCD中，CD=BCsin∠CBD=10×=5≈5×1.732=8.7（米）．
答：这棵树CD的高度为8.7米．
考点：解直角三角形的应用
21、（1）；（2）.
【分析】(1)解答时根据条件找出规律解答，先找出奇数，然后求概率．(2)熟悉列表法或画树状图法，求出数字相同的概率．
【详解】（1）∵共有3张纸牌，其中数字是奇数的有2张，
∴甲从中随机抽取一张牌，抽取的数字为奇数的概率为，
故答案为．
（2）列表如下：

由表知，共有9种等可能结果，其中两人抽取的数字相同的有3种结果，
所以两人抽取的数字相同的概率为＝．
此题重点考察学生对概率的实际应用能力，抓住概率的计算公式，理解列表法或画树状图法是解题的关键．
22、（1）y＝﹣x2+x+2；（2）存在，点P坐标为（，4）或（，）或（，﹣）．
【分析】（1）根据点，利用待定系数法求解即可得；
（2）根据等腰三角形的定义，分和，再分别利用两点之间的距离公式求出点P坐标即可．
【详解】（1）将点代入抛物线的解析式得
解得
故二次函数的解析式为；
（2）存在，求解过程如下：

由二次函数的解析式可知，其对称轴为
则点D的坐标为，可设点P坐标为
由勾股定理得，
由等腰三角形的定义，分以下2种情况：
①当时，则
解得或（不符题意，舍去），因此，点P坐标为
②当时，
解得，因此，点P坐标为或
综上，存在满足条件的点P，点P坐标为或或．
本题考查了利用待定系数法求函数的解析式、二次函数的几何应用、等腰三角形的定义等知识点，较难的是（2），依据等腰三角形的定义，正确分两种情况讨论是解题关键．
23、54
【解析】设定价为x元，利用销售量×每千克的利润=2240元列出方程求解即可.
【详解】设定价为x元.根据题意可得，

解之得：，
∵销售量尽可能大
∴x=54
答：每千克特产应定价54元.
本题主要考查了一元二次方程的应用，关键是弄懂题意，找出题目中的等量关系，表示出销售量和每千克的利润，再列出方程．
24、 (1)x≠3；(2)；(3)详见解析；(4)当x>3时y随x的增大而减小等(答案不唯一)；(5)<<
【分析】（1）分式有意义,分母不等于零,
（2）将x=-1代入即可,
（3）图像见详解,
（4）根据增减性即可得出结论,见详解,
（5）在图像中找到满足<3<<的三个点比较纵坐标即可得到结论.
【详解】解：(1)因为分式有意义,分母不等于零，所以x-3≠0，即x≠3；
(2)将x=-1代入，解得 m=；
(3)如图所示；

(4)当x>3时y随x的增大而减小(答案不唯一)；
(5)当x＜3时，y＜1，当x>3时，y＞1且y随x的增大而减小，所以<<
本题考查了反比例函数的简单应用,中等难度,熟悉反比例函数图像和性质是解题关键.
25、（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）根据平行四边形的性质证明，再由一组对边平行而且相等的四边形是平行四边形判定即可判定；
（2）过点A作AG⊥BF于G，构造30读直角三角形，利用平行四边形的性质和勾股定理解答即可．
【详解】证明：（1）∵四边形为平行四边形，
∴，，
又∵是的中点，，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形．
（2）过点作于，

由可知
∴，
∴，
又∵，，
∴，，
∴，
在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：，
∴．
本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理．平行四边形的判定方法共有4种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．
26、（1）b=1，c=9；（2）b=0或b=或b=；（3） 或
【分析】（1）由题可知函数图象过点（3，3），（-3，-3），代入即可求出b，c的值；
（2）代入函数的友好点，求出函数解析式y=x2+2bx-4b2=（x+b）2-5b2，再根据二次函数的图象及性质分三种情况分析讨论；
（3）由 推出 ，再根据“友好点”是M2，2）N（-2，-2）旋转后M′（2，-2） A′（-4a，0），将（-4a，0）代 得出，根据图象即可得出结论．
【详解】解：（1）由题可知函数图象过点（3，3），（-3，-3），代入函数（），得
解得：b=1，c=9；
（2）由题意得另一个友好数为（-2b，-n）
∴-n=4b2-4b2+c
∴c=-n
∴y=x2+2bx-n
把（2b，n）代入y=x2+2bx-n
n=4b2+4b2-n
∴n=4b2
∴y=x2+2bx-4b2=（x+b）2-5b2
当-b<2b即b>0时
∵抛物线开口向上
∴在对称轴右侧，y随x增大而增大
∴当x=2b时，y1=4b2
当x=2时，y2=-4b2+4b+4
∵y1-y2=4
∴-4b2+4b+4-4b2=4
∴-8b2+4b=0
∴b1=0（舍）b2=
当2<-b，即b<-2时
在对称轴左侧，y随x增大而减小
∴当x=2b时，y1=4b2
当x=2时，y2=-4b2+4b+4
∵y1-y2=4
∴4b2+4b2-4b-4=4
∴8b2-4b-8=0
∴2b2-b-2=0
b=（舍）
当2b≤-b≤2，即-2≤b≤0时y2=-5b2
当x=2时，y1=-4b2+4b+4
∵y1-y2=4
∴-4b2+4b+4+5b2=4
∴b2+4b=0
∴b1=0，b2=-4（舍）
当x=2b时，y1=4b2
∵y1-y2=4
∴9b2=4
∴b=（舍）b=
∴b=0或b=或b= ；
（3） 推出
“友好点”是M（2，2）N（-2，-2）旋转后M’（2，-2） A’（-4a，0）
将（-4a，0）代入
当a>0时 当抛物线经过A′后有两个交点 ∴
当a<0时，当抛物线经过A′点以后，开始于抛物线有一个交点 ∴

综上：或．
本题是一道关于二次函数的综合题目，难度很大，理解“友好点”概念，综合利用二次函数的图象及其性质以是解此题的关键．解决此题还需要较强的数形结合的能力以及较强的计算能力．