2025届昆明市学校际合作学校九年级数学第一学期期末统考模拟试题含解析.doc

2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每题4分，共48分）
1．如图，是等边三角形，点，，分别在，，边上，且若，则与的面积比为（ ）

A． B． C． D．
2．西周时期，丞相周公旦设置过一种通过测定日影长度来确定时间的仪器，称为圭表。如图是一个根据北京的地理位置设计的圭表，其中，立柱的高为。已知，冬至时北京的正午日光入射角约为，则立柱根部与圭表的冬至线的距离（即的长）作为（ ）

A． B． C． D．
3．二次函数y＝x2﹣6x+m的图象与x轴有两个交点，若其中一个交点的坐标为（1，0），则另一个交点的坐标为（　　）
A．（﹣1，0） B．（4，0） C．（5，0） D．（﹣6，0）
4．有人预测2020年东京奥运会上中国女排夺冠的概率是80%，对这个说法正确的理解应该是（ ）.
A．中国女排一定会夺冠 B．中国女排一定不会夺冠
C．中国女排夺冠的可能性比较大 D．中国女排夺冠的可能性比较小
5．下列计算
① ② ③ ④ ⑤，
其中任意抽取一个，运算结果正确的概率是（　　）
A． B． C． D．
6．如图，平行于x轴的直线与函数y1＝（a＞1，x＞1），y2＝（b＞1．x＞1）的图象分别相交于A、B两点，且点A在点B的右侧，在X轴上取一点C，使得△ABC的面积为3，则a﹣b的值为（　　）

A．6 B．﹣6 C．3 D．﹣3
7．已知，若，则它们的周长之比是（ ）
A．4：9 B．16：81
C．9：4 D．2：3
8．下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
9．抛物线y =ax2+bx+c图像如图所示，则一次函数y =-bx-4ac+b2与反比例函数在同一坐标系内的图像大致为（ ）

A． B． C． D．
10．点到轴的距离是（ ）
A． B． C． D．
11．如图，直线y＝x＋3与x、y轴分别交于A、B两点，则cos∠BAO的值是(　　)

A． B． C． D．
12．方程x2﹣2x﹣4=0的根的情况（　　）
A．只有一个实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．没有实数根
二、填空题（每题4分，共24分）
13．点与关于原点对称，则__________．
14．一元二次方程的根是_____．
15．抛物线y=x2–6x+5的顶点坐标为__________．
16．如果将抛物线向上平移，使它经过点那么所得新抛物线的解析式为____________.
17．一个不透明的布袋中装有3个白球和5个红球，它们除了颜色不同外，其余均相同，从中随机摸出一个球，摸到红球的概率是______.
18．一个布袋里放有5个红球，3个黄球和2个黑球它们除颜色外其余都相同，则任意摸出一个球是黑球的概率是____________.
三、解答题（共78分）
19．（8分）某小区为改善生态环境，实行生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分成三类：厨房垃圾、可回收垃圾和其他垃圾，分别记为，并且设置了相应的垃圾箱“厨房垃圾”箱，“可回收垃圾”箱和“其他垃圾”箱，分别记为．
（1）为了了解居民生活垃圾分类投放的情况，现随机抽取了小区三类垃圾箱中总共吨生活垃圾，数据统计如下图(单位：吨)：

请根据以上信息，估计“厨房垃圾”投放正确的概率；
（2）若将三类垃圾随机投入三类垃圾箱，请用画树状图或列表格的方法求出垃圾投放正确的概率．
20．（8分）已知，在平行四边形OABC中，OA＝5，AB＝4，∠OCA＝90°，动点P从O点出发沿射线OA方向以每秒2个单位的速度移动，同时动点Q从A点出发沿射线AB方向以每秒1个单位的速度移动．设移动的时间为t秒．
（1）求直线AC的解析式；
（2）试求出当t为何值时，△OAC与△PAQ相似．

21．（8分）如图，已知均在上，请用无刻度的直尺作图．
如图1，若点是的中点，试画出的平分线；

如图2，若．试画出的平分线．

22．（10分）已知一只纸箱中装有除颜色外完全相同的红色、黄色、蓝色乒乓球共100个．从纸箱中任意摸出一球，摸到红色球、黄色球的概率分别是0.2、0.1．
（1）试求出纸箱中蓝色球的个数；
（2）小明向纸箱中再放进红色球若干个，小丽为了估计放入的红球的个数，她将箱子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回箱子中，多次重复上述过程后，她发现摸到红球的频率在0.5附近波动，请据此估计小明放入的红球的个数．
23．（10分）如图是二次函数y=（x+m）2+k的图象，其顶点坐标为M（1，﹣4）
（1）求出图象与x轴的交点A、B的坐标；
（2）在二次函数的图象上是否存在点P，使S△PAB=S△MAB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

24．（10分）如图，直线y=kx+b（k≠0）与双曲线y=（m≠0）交于点A（﹣，2），B（n，﹣1）．
（1）求直线与双曲线的解析式．
（2）点P在x轴上，如果S△ABP=3，求点P的坐标．

25．（12分）如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝（x＜0）的图象相交于点A、点B，与X轴交于点C，其中点A（﹣1，3）和点B（﹣3，n）．
（1）填空：m＝　 　，n＝　 　．
（2）求一次函数的解析式和△AOB的面积．
（3）根据图象回答：当x为何值时，kx+b≥（请直接写出答案）　 　．

26．如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．

（1）求二次函数的表达式；
（2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P的坐标；
（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积．
参考答案

一、选择题（每题4分，共48分）
1、C
【分析】根据等边三角形的性质先判定是等边三角形，再利用直角三角形中角的性质求得，，进而求得答案.
【详解】是等边三角形
，，
，
，
∴，
，
是等边三角形，
，
，，
，，
，
，
，，
．
故选：C．
本题主要考查相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质及相似三角形的判定与性质．
2、D
【解析】在Rt△ABC中利用正切函数即可得出答案．
【详解】解：在Rt△ABC中，
tan∠ABC=，
∴立柱根部与圭表的冬至线的距离（即BC的长）为=．
故选：D．
本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数解答．
3、C
【解析】根据二次函数解析式求得对称轴是x=3，由抛物线的对称性得到答案．
【详解】解：由二次函数得到对称轴是直线，则抛物线与轴的两个交点坐标关于直线对称，
∵其中一个交点的坐标为，则另一个交点的坐标为，
故选C．
考查抛物线与x轴的交点坐标，解题关键是掌握抛物线的对称性质．
4、C
【分析】概率越接近1，事件发生的可能性越大，概率越接近0，则事件发生的可能性越小，根据概率的意义即可得出答案.
【详解】∵中国女排夺冠的概率是80%，
∴中国女排夺冠的可能性比较大
故选C.
本题考查随机事件发生的可能性，解题的关键是掌握概率的意义.
5、A
【解析】根据计算结果和概率公式求解即可.
【详解】运算结果正确的有⑤，则运算结果正确的概率是，
故选：A．
考核知识点：求概率.熟记公式是关键.
6、A
【分析】△ABC的面积＝•AB•yA，先设A、B两点坐标（其y坐标相同），然后计算相应线段长度，用面积公式即可求解．
【详解】设A（ ，m），B（，m），
则：△ABC的面积＝•AB•yA＝•（﹣）•m＝3，
则a﹣b＝2．
故选A．
此题主要考查了反比例函数系数的几何意义，以及图象上点的特点，求解函数问题的关键是要确定相应点坐标，通过设A、B两点坐标，表示出相应线段长度即可求解问题．
7、A
【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比解答即可．
【详解】∵△ABC∽△DEF，AC：DF=4：9
∴△ABC与△DEF的相似比为4：9，
∴△ABC与△DEF的周长之比为4：9，
故选：A．
此题考查相似三角形性质，掌握相似三角形周长的比等于相似比是解题的关键．
8、B
【解析】根据中心对称图形的定义：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，直接判断即可.
【详解】解：.不是中心对称图形；
.是中心对称图形；
.不是中心对称图形；
.不是中心对称图形．
故选：．
本题考查的知识点是中心对称图形的判定，这里需要注意与轴对称图形的区别，轴对称形是：一定要沿某直线折叠后直线两旁的部分互相重合；中心对称图形是:图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合.
9、D
【详解】解：由二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上可知，a＞0，
因为图象与y轴的交点在y轴的负半轴，所以c＜0，
根据函数图象的对称轴x=﹣＞0，可知b＜0
根据函数图象的顶点在x轴下方，可知∴4ac-b2<0
有图象可知f（1）<0 ∴a+b+c<0
∵a＞0，b＜0，c＜0，ac＜0，4ac-b2<0，a+b+c<0
∴一次函数y =-bx-4ac+b2的图象过一、二、三象限，故可排除B、C；
∴反比例函数的图象在二、四象限，可排除A选项.
故选D
考点:函数图像性质
10、C
【分析】根据点的坐标的性质即可得.
【详解】由点的坐标的性质得，点P到x轴的距离为点P的纵坐标的绝对值
则点到轴的距离是
故选：C.
本题考查了点的坐标的性质，掌握理解点的坐标的性质是解题关键.
11、A
【解析】∵在中，当时，；当时，解得；
∴点A、B的坐标分别为（-4，0）和（0，3），
∴OA=4，OB=3，
又∵∠AOB=90°，
∴AB=，
∴cos∠BAO=.
故选A.
12、B
【详解】Δ=b2－4ac=（－2）2－4×1×（－4）=20＞0，所以方程有两个不相等的实数根.
故选B.
一元二次方程根的情况：
（1）b2－4ac＞0，方程有两个不相等的实数根；

（2）b2－4ac=0，方程有两个相等的实数根；
（3）b2－4ac＜0，方程没有实数根.
注：若方程有实数根，那么b2－4ac≥0.

二、填空题（每题4分，共24分）
13、
【分析】直接利用关于原点对称点的性质分析得出答案．
【详解】解：∵点P（-4，7）与Q（1m，-7）关于原点对称，
∴-4=-1m，
解得：m=1，
故答案为：1．
此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确掌握横纵坐标的符号是解题关键．
14、
【分析】利用因式分解法把方程化为x-3=0或x-2=0，然后解两个一次方程即可．
【详解】解：或，
所以．
故答案为．
本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
15、（3，-4）
【解析】分析：利用配方法得出二次函数顶点式形式，即可得出二次函数顶点坐标．
详解：∵y=x2﹣6x+5=（x﹣3）2﹣4，
∴抛物线顶点坐标为（3，﹣4）．
故答案为（3，﹣4）．
点睛：此题考查了二次函数的性质，求抛物线的顶点坐标可以先配方化为顶点式，也可以利用顶点坐标公式（）来找抛物线的顶点坐标.
16、
【分析】设平移后的抛物线解析式为，把点A的坐标代入进行求值即可得到b的值．
【详解】解：设平移后的抛物线解析式为，
把A（0，3）代入，得
3＝−1＋b，
解得b＝4，
则该函数解析式为．
故答案为：．
主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．会利用方程求抛物线与坐标轴的交点．
17、
【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
【详解】根据题意可得：一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的3个白球和5个红球，共5个，从中随机摸出一个，则摸到红球的概率是
故答案为: ．
本题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．

18、0.2
【分析】利用列举法求解即可.
【详解】将布袋里10个球按颜色分别记为，所有可能结果的总数为10种，并且它们出现的可能性相等
任意摸出一个球是黑球的结果有2种，即
因此其概率为：.
本题考查了用列举法求概率，根据题意列出所有可能的结果是解题关键.

三、解答题（共78分）
19、（1）；（2）．
【分析】（1）利用频率估计概率，通过计算“厨房垃圾”投放正确的百分比估计“厨房垃圾”投放正确的概率．
（2）先画树状图展示所有9种可能的结果数，再找出垃圾投放正确的结果数，然后根据概率公式计算；
【详解】解：（1）∵
∴估计“厨房垃圾”投放正确的概率为；
画树状图如下

∵共有种等可能的结果数，其中垃圾投放正确的结果数为，
∴垃圾投放正确的概率为
故答案是：（1）；（2）
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件的结果数目，求出概率．
20、（1）；（2）当t＝或 时，△OAC与△APQ相似．
【分析】（1）要求直线AC的解析式，需要求出点A、点C的坐标，可以利用等积法求得C点的纵坐标，利用勾股定理求得横坐标，利用待定系数法求得直线的解析式；
（2）对于相似要分情况进行讨论，根据对应线段成比例可求得t的数值．
【详解】解：（1）过点C作CE⊥OA，垂足为E，

在Rt△OCA中，AC＝＝3，
∴5×CE＝3×4，
∴CE＝，
在Rt△OCE中，OE＝＝，
∴C（，），A（5，0），
设AC的解析式为y=kx+b，
则，
解得：，
∴；
（2）当0≤t≤2.5时，P在OA上，
因为∠OAQ≠90°，
故此时△OAC与△PAQ不可能相似．
当t＞2.5时，
①若∠APQ＝90°，则△APQ∽△OCA，
故＝＝，
∴＝，
∴t＝，
∵t＞2.5，
∴t＝符合条件．
②若∠AQP＝90°，则△APQ∽△OAC，
故 ＝＝，
∴＝，
∴t＝，
∵t＞2.5，
∴t＝符合条件．
综上可知，当t＝或 时，△OAC与△APQ相似．
本题考查了求一次函数的解析式、相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质，关于动点的问题要注意对问题进行分类讨论．
21、见解析； 见解析
【分析】（1）根据题意连接OD并延长交圆上一点E，连接BE即可；
（2）根据题意连接AD与BC交与一点，连接此点和O，并延长交圆上一点E，连接BE即可.
【详解】如图: BE即为所求；

如图: BE即为所求；

本题主要考查复杂作图、圆周角定理、垂径定理以及切线的性质的综合应用，解决问题的关键是掌握平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
22、（1）50；（2）2
【解析】（1）蓝色球的个数等于总个数乘以摸到蓝色球的概率即可；
（2）因为摸到红球的频率在0.5附近波动，所以摸出红球的概率为0.5，再设出红球的个数，根据概率公式列方程解答即可．
【详解】（1）由已知得纸箱中蓝色球的个数为：100×（1﹣0.2﹣0.1）=50（个）
（2）设小明放入红球x个．根据题意得：

解得：x=2（个）．
经检验：x=2是所列方程的根．
答：小明放入的红球的个数为2．
本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验时，某事件发生的频率会稳定在某个常数的附近，这个常数就叫做事件概率的估计值．关键是根据黑球的频率得到相应的等量关系．
23、（1）A（﹣1，0），B（3，0）;（2）存在合适的点P，坐标为（4，5）或（﹣2，5）．
【解析】试题分析：
（1）由二次函数y=（x+m）2+k的顶点坐标为M（1，﹣4）可得解析式为：，解方程：可得点A、B的坐标；
（2）设点P的纵坐标为，由△PAB与△MAB同底，且S△PAB=S△MAB，可得：，从而可得=，结合点P在抛物线的图象上，可得=5，由此得到：，解方程即可得到点P的坐标.
试题解析：
（1）∵抛物线解析式为y=（x+m）2+k的顶点为M（1，﹣4）
∴，
当y=0时，（x﹣1）2﹣4=0，解得x1=3，x2=﹣1，
∴A（﹣1，0），B（3，0）；
（2）∵△PAB与△MAB同底，且S△PAB=S△MAB，
∴，即=，
又∵点P在y=（x﹣1）2﹣4的图象上，
∴yP≥﹣4，
∴=5，则，解得：，
∴存在合适的点P，坐标为（4，5）或（﹣2，5）．
24、（1）y=﹣2x+1；（2）点P的坐标为（﹣，0）或（，0）．
【解析】（1）把A的坐标代入可求出m，即可求出反比例函数解析式，把B点的坐标代入反比例函数解析式，即可求出n，把A，B的坐标代入一次函数解析式即可求出一次函数解析式；
（2）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标，设点P的坐标为(x,0)，根据三角形的面积公式结合S△ABP=3，即可得出，解之即可得出结论．
【详解】（1）∵双曲线y=（m≠0）经过点A（﹣，2），
∴m=﹣1．
∴双曲线的表达式为y=﹣．
∵点B（n，﹣1）在双曲线y=﹣上，
∴点B的坐标为（1，﹣1）．
∵直线y=kx+b经过点A（﹣，2），B（1，﹣1），
∴，解得
∴直线的表达式为y=﹣2x+1；
（2）当y=﹣2x+1=0时，x=，
∴点C（，0）．
设点P的坐标为（x，0），
∵S△ABP=3，A（﹣，2），B（1，﹣1），
∴×3|x﹣|=3，即|x﹣|=2，
解得：x1=﹣，x2=．
∴点P的坐标为（﹣，0）或（，0）．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、一次（反比例）函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数、反比例函数的解析式以及三角形的面积，解题的关键是：（1）根据点的坐标利用待定系数法求出函数的解析式；（2）根据三角形的面积公式以及S△ABP=3，得出．
25、 (1) ﹣3，1；(2) y=x+4，4；（3）﹣3≤x≤﹣1.
【分析】（1）已知反比例函数y=过点A（﹣1，3），B（﹣3，n）分别代入求得m、n的值即可；（2）用待定系数法求出一次函数的解析式，再求得一次函数与x轴的交点坐标，根据S△AOB=S△AOC﹣S△BOC即可求得△AOB的面积；（3）观察图象，确定一次函数图象在反比例函数图象上方时对应的x的取值范围即可.
【详解】（1）∵反比例函数y=过点A（﹣1，3），B（﹣3，n）
∴m=3×（﹣1﹣3，m=﹣3n
∴n=1
故答案为﹣3，1
（2）设一次函数解析式y=kx+b，且过（﹣1，3），B（﹣3，1）
∴
解得：
∴解析式y=x+4
∵一次函数图象与x轴交点为C
∴0=x+4
∴x=﹣4
∴C（﹣4，0）
∵S△AOB=S△AOC﹣S△BOC
∴S△AOB=×4×3﹣×4×1=4
（3）∵kx+b≥
∴一次函数图象在反比例函数图象上方
∴﹣3≤x≤﹣1
故答案为﹣3≤x≤﹣1
本题考查了反比例函数与一次函数交点问题、用待定系数法求解析式、用图象法解不等式及用三角形面积的和差求三角形的面积，知识点较为综合但题目难度不大．
26、（1）二次函数的表达式为：y=x2﹣4x+3；（2）点P的坐标为：（0，3+3）或（0，3﹣3）或（0，-3）或（0，0）；（3）当点M出发1秒到达D点时，△MNB面积最大，最大面积是1．此时点N在对称轴上x轴上方2个单位处或点N在对称轴上x轴下方2个单位处．
【分析】（1）把A（1，0）和C（0，3）代入y=x2+bx+c得方程组，解方程组即可得二次函数的表达式；
（2）先求出点B的坐标，再根据勾股定理求得BC的长，当△PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：①CP=CB；②PB=PC；③BP=BC；分别根据这三种情况求出点P的坐标；
（3）设AM=t则DN=2t，由AB=2，得BM=2﹣t，S△MNB=×（2﹣t）×2t=﹣t2+2t，把解析式化为顶点式，根据二次函数的性质即可得△MNB最大面积；此时点M在D点，点N在对称轴上x轴上方2个单位处或点N在对称轴上x轴下方2个单位处．
【详解】解：（1）把A（1，0）和C（0，3）代入y=x2+bx+c，

解得：b=﹣4，c=3，
∴二次函数的表达式为：y=x2﹣4x+3；
（2）令y=0，则x2﹣4x+3=0，
解得：x=1或x=3，
∴B（3，0），
∴BC=3，
点P在y轴上，当△PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图1，
①当CP=CB时，PC=3，∴OP=OC+PC=3+3或OP=PC﹣OC=3﹣3
∴P1（0，3+3），P2（0，3﹣3）；
②当PB=PC时，OP=OB=3，
∴P3（0，-3）；
③当BP=BC时，
∵OC=OB=3
∴此时P与O重合，
∴P4（0，0）；
综上所述，点P的坐标为：（0，3+3）或（0，3﹣3）或（﹣3，0）或（0，0）；

（3）如图2，设AM=t，由AB=2，得BM=2﹣t，则DN=2t，
∴S△MNB=×（2﹣t）×2t=﹣t2+2t=﹣（t﹣1）2+1，
当点M出发1秒到达D点时，△MNB面积最大，最大面积是1．此时点N在对称轴上x轴上方2个单位处或点N在对称轴上x轴下方2个单位处．