上海市青浦区名校2024-2025学年九年级数学第一学期期末检测试题含解析.doc

2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题（每题4分，共48分
1．如图，AB∥CD，点E在CA的延长线上.若∠BAE=40°，则∠ACD的大小为（ ）

A．150° B．140° C．130° D．120°
2．为执行“均衡教育”政策，某区2018年投入教育经费7000万元，预计到2020年投入2.317亿元，若每年投入教育经费的年平均增长百分率为x，则下列方程正确的是（　　）
A．7000（1+x2）＝23170 B．7000+7000（1+x）+7000（1+x）2＝23170
C．7000（1+x）2＝23170 D．7000+7000（1+x）+7000（1+x）2＝2317
3．若，则的值为( )
A． B． C． D．
4．关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（ ）
A． B．
C．且 D．且
5．如图，抛物线的对称轴为直线，则下列结论中，错误的是（ ）

A． B． C． D．
6．已知三点在抛物线上，则的大小关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．二次函数y=-2（x+1）2+3的图象的顶点坐标是（　　）
A．（1，3） B．（-1，3） C．（1，-3） D．（-1，-3）
8．抛物线y＝﹣（x﹣）2﹣2的顶点坐标是（　　）
A．（，2） B．（﹣，2） C．（﹣，﹣2） D．（，﹣2）
9．在平面直角坐标系内，将抛物线先向右平移个单位，再向下平移个单位，得到一条新的抛物线，这条新抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
10．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度(单位：)与小球运动时间(单位：)之间的函数关系如图所示．下列结论：①小球在空中经过的路程是；②小球抛出3秒后，速度越来越快；③小球抛出3秒时速度为0；④小球的高度时，．其中正确的是( )

A．①④ B．①② C．②③④ D．②③
11．小明沿着坡度为的山坡向上走了，则他升高了（ ）
A． B． C． D．
12．已知，则为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（每题4分，共24分）
13．已知抛物线y＝ax2＋bx＋3在坐标系中的位置如图所示，它与x轴、y轴的交点分别为A，B，点P是其对称轴x＝1上的动点，根据图中提供的信息，给出以下结论：①2a＋b＝0；②x＝3是ax2＋bx＋3＝0的一个根；③△PAB周长的最小值是＋3.其中正确的是________.

14．一元二次方程的两个实数根为，则＝_____．
15．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则两枚硬币全部正面向上的概率是 ．
16．计算：_____________．
17．如图，直线与双曲线（k≠0）相交于A（﹣1，）、B两点，在y轴上找一点P，当PA+PB的值最小时，点P的坐标为_________.

18．如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且∠AOC=105°，则∠C= __．

三、解答题（共78分）
19．（8分）如图，抛物线的图象过点.

（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得△PAC的周长最小，若存在，请求出点P的坐标及△PAC的周长；若不存在，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，在x轴上方的抛物线上是否存在点M（不与C点重合），使得？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
20．（8分）如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个码头，A在B的正东方向，一艘小船从A码头沿它的北偏西60°的方向行驶了20海里到达点P处，此时从B码头测得小船在它的北偏东45°的方向．求此时小船到B码头的距离（即BP的长）和A、B两个码头间的距离（结果都保留根号）．

21．（8分）盒中有若干枚黑棋和白棋，这些棋除颜色外无其他差别，现让学生进行摸棋试验：每次摸出一枚棋，记录颜色后放回摇匀．重复进行这样的试验得到以下数据：
摸棋的次数n
100
200
300
500
800
1000
摸到黑棋的次数m
24
51
76
124
201
250
摸到黑棋的频率（精确到0.001）
0.240
0.255
0.253
0.248
0.251
0.250
（1）根据表中数据估计从盒中摸出一枚棋是黑棋的概率是　 　；（精确到0.01）
（2）若盒中黑棋与白棋共有4枚，某同学一次摸出两枚棋，请计算这两枚棋颜色不同的概率，并说明理由
22．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x﹣2与反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象在第一象限内交于点A，点A的横坐标为1．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）设直线y＝x﹣2与y轴交于点C，过点A作AE⊥x轴于点E，连接OA，CE．求四边形OCEA的面积．

23．（10分）如图，直线y＝ax+b与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，﹣2），与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点C（6，m）．
（1）求直线和反比例函数的表达式；
（2）连接OC，在x轴上找一点P，使△OPC是以OC为腰的等腰三角形，请求出点P的坐标；
（3）结合图象，请直接写出不等式≥ax+b的解集．

24．（10分）已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．
（1）画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是　 ；
（2）以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，点C2的坐标是　 　；
（3）△A2B2C2的面积是　 　平方单位．

25．（12分）解方程：．
26．解下列方程：
（1）（y﹣1）2﹣4＝1；
（2）3x2﹣x﹣1＝1．
参考答案

一、选择题（每题4分，共48分）
1、B
【解析】试题分析：如图，延长DC到F，则
∵AB∥CD，∠BAE=40°，∴∠ECF=∠BAE=40°.
∴∠ACD=180°-∠ECF=140°.
故选B．

考点：1.平行线的性质；2.平角性质.
2、C
【分析】本题为增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1＋增长率），如果设每年投入教育经费的年平均增长百分率为x，再根据“2018年投入7000万元”可得出方程．
【详解】设每年投入教育经费的年平均增长百分率为x，则2020年的投入为7000（1+x）2＝23170
由题意，得7000（1+x）2＝23170.
故选：C．
此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，平均增长率问题，一般形式为a（1＋x）2＝b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．
3、A
【分析】根据比例的性质，可用b表示a，根据分式的性质，可得答案．
【详解】由，得
4b＝a−b．，解得a＝5b，

故选：A．
本题考查了比例的性质，利用比例的性质得出b表示a是解题关键．
4、D
【解析】试题分析：∵关于x的一元二次方程有实数根，∴且△≥0，即，解得，∴m的取值范围是且．故选D．
考点：1．根的判别式；2．一元二次方程的定义．
5、C
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】A、由抛物线的开口向下知，与轴的交点在轴的正半轴上，可得，因此，故本选项正确，不符合题意；
B、由抛物线与轴有两个交点，可得，故本选项正确，不符合题意；
C、由对称轴为，得，即，故本选项错误，符合题意；
D、由对称轴为及抛物线过，可得抛物线与轴的另外一个交点是，所以，故本选项正确，不符合题意．
故选C．
本题考查了二次函数图象与系数的关系．会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
6、B
【分析】先确定抛物线的对称轴，然后根据抛物线的对称性求出点关于对称轴对称的点的坐标，再利用二次函数的增减性判断即可.
【详解】解：∵抛物线的对称轴是直线x=2，∴点关于对称轴对称的点的坐标是，
∵当x<2时，y随x的增大而增大，且0<1<1.5，∴.
故选：B.
本题考查了二次函数的性质，属于基本题型，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键.
7、B
【解析】分析：据二次函数的顶点式，可直接得出其顶点坐标；
解：∵二次函数的解析式为：y=-（x-1）2+3，
∴其图象的顶点坐标是：（1，3）；
故选A．
8、D
【分析】根据二次函数的顶点式的特征写出顶点坐标即可.
【详解】因为y＝﹣（x﹣）2﹣2是抛物线的顶点式，
根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（，﹣2）．
故选：D．
此题考查的是求二次函数的顶点坐标,掌握二次函数的顶点式中的顶点坐标是解决此题的关键.
9、B
【分析】先求出抛物线的顶点坐标，再根据向右平移横坐标加，向上平移纵坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标即可．
【详解】抛物线的顶点坐标为（0，−1），
∵向右平移个单位，再向下平移个单位，
∴平移后的抛物线的顶点坐标为（2，−4）．
故选B．
本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
10、D
【分析】根据函数的图象中的信息判断即可．
【详解】①由图象知小球在空中达到的最大高度是；故①错误；
②小球抛出3秒后，速度越来越快；故②正确；
③小球抛出3秒时达到最高点即速度为0；故③正确；
④设函数解析式为：，
把代入得，解得，
∴函数解析式为，
把代入解析式得，，
解得：或，
∴小球的高度时，或，故④错误；
故选D．
本题考查了二次函数的应用，解此题的关键是正确的理解题意
11、A
【分析】根据题意作出图形，然后根据坡度为1：2，设BC=x，AC=2x，根据AB=1000m，利用勾股定理求解．
【详解】解：根据题意作出图形，
∵坡度为1：2，
∴设BC=x，AC=2x，
∴，
∵AB=1000m，
∴，
解得：，
故选A.

本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据坡度构造直角三角形然后求解．
12、D
【分析】由题意先根据已知条件得出a＝b，再代入要求的式子进行计算即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴a＝b，
∴＝＝．
故选：D．
本题考查比例的性质和代数式求值，熟练掌握比例的性质是解题的关键．

二、填空题（每题4分，共24分）
13、①②③
【分析】①根据对称轴方程求得的数量关系；
②根据抛物线的对称性知抛物线与x轴的另一个交点的横坐标是3；
③利用两点间线段最短来求△PAB周长的最小值．
【详解】①根据图象知，对称轴是直线，则，即，故①正确；
②根据图象知，点A的坐标是，对称轴是，则根据抛物线关于对称轴对称的性质知，抛物线与轴的另一个交点的坐标是，所以是的一个根，故②正确；
③如图所示，点关于对称的点是，即抛物线与轴的另一个交点．

连接与直线x=1的交点即为点，此时的周长最小，
则周长的最小值是的长度．
∵，
∴，
，
∴周长的最小值是，故③正确．
综上所述，正确的结论是：①②③．
故答案为：①②③．
本题考查的是二次函数综合题，涉及到二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的性质以及两点之间直线最短．解答该题时，充分利用了抛物线的对称性．
14、1
【分析】直接根据一元二次方程根与系数的关系进行求解即可．
【详解】的两个实数根为，，
．
故答案为1．
本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟记根与系数的关系是解题的关键．
15、．
【解析】试题分析：画树状图为：

共有4种等可能的结果数，其中两枚硬币全部正面向上的结果数为1，所以两枚硬币全部正面向上的概率=．故答案为．
考点：列表法与树状图法．
16、1
【分析】由题意首先计算乘方、开方和特殊三角函数，然后从左向右依次进行加减计算，即可求出算式的值．
【详解】解：
=
=
=1
故答案为1.
本题主要考查实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行；另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
17、（0，）．
【解析】试题分析：把点A坐标代入y=x+4得a=3，即A（﹣1，3），把点A坐标代入双曲线的解析式得3=﹣k，即k=﹣3，联立两函数解析式得：，解得：，，即点B坐标为：（﹣3，1），作出点A关于y轴的对称点C，连接BC，与y轴的交点即为点P，使得PA+PB的值最小，则点C坐标为：（13），设直线BC的解析式为：y=ax+b，把B、C的坐标代入得：，解得：，所以函数解析式为：y=x+，则与y轴的交点为：（0，）．
考点：反比例函数与一次函数的交点问题；轴对称-最短路线问题．
18、
【分析】先根据∠AOC的度数和∠BOC的度数，可得∠AOB的度数，再根据△AOD中，AO=DO，可得∠A的度数，进而得出△ABO中∠B的度数，可得∠C的度数．
【详解】解：∵∠AOC的度数为105°，
由旋转可得∠AOD=∠BOC=40°，
∴∠AOB=105°-40°=65°，
∵△AOD中，AO=DO，
∴∠A=（180°-40°）=70°，
∴△ABO中，∠B=180°70°-65°=45°，
由旋转可得，∠C=∠B=45°，
故答案为：45°．
本题考查旋转的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用旋转的性质解答．

三、解答题（共78分）
19、（1）；（2）存在，点，周长为：；（3）存在，点M坐标为
【分析】（1）由于条件给出抛物线与x轴的交点，故可设交点式，把点C代入即求得a的值，减小计算量．
（2）由于点A、B关于对称轴：直线对称，故有，则，所以当C、P、B在同一直线上时，最小．利用点A、B、C的坐标求AC、CB的长，求直线BC解析式，把代入即求得点P纵坐标．
（3）由可得，当两三角形以PA为底时，高相等，即点C和点M到直线PA距离相等．又因为M在x轴上方，故有．由点A、P坐标求直线AP解析式，即得到直线CM解析式．把直线CM解析式与抛物线解析式联立方程组即求得点M坐标．
【详解】解：（1）∵抛物线与x轴交于点
∴可设交点式
把点代入得：

∴抛物线解析式为
（2）在抛物线的对称轴上存在一点P，使得的周长最小．
如图1，连接PB、BC
∵点P在抛物线对称轴直线上，点A、B关于对称轴对称

∵当C、P、B在同一直线上时，最小

最小
设直线BC解析式为
把点B代入得：，解得：
∴直线BC：

∴点使的周长最小，最小值为．
（3）存在满足条件的点M，使得．
∵
∴当以PA为底时，两三角形等高
∴点C和点M到直线PA距离相等
∵M在x轴上方

，设直线AP解析式为
解得：
∴直线
∴直线CM解析式为：

解得：（即点C），
∴点M坐标为

考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式，轴对称的最短路径问题，勾股定理，平行线间距离处处相等，一元二次方程的解法．其中第（3）题条件给出点M在x轴上方，无需分类讨论，解法较常规而简单．
20、小船到B码头的距离是10海里，A、B两个码头间的距离是（10+10）海里
【解析】试题分析：过P作PM⊥AB于M，求出∠PBM=45°，∠PAM=30°，求出PM，即可求出BM、AM、BP．
试题解析：如图：过P作PM⊥AB于M，则∠PMB=∠PMA=90°，∵∠PBM=90°﹣45°=45°，∠PAM=90°﹣60°=30°，AP=20，∴PM=AP=10，AM=PM=，∴∠BPM=∠PBM=45°，∴PM=BM=10，AB=AM+MB=，∴BP==，即小船到B码头的距离是海里，A、B两个码头间的距离是（）海里．

考点：解直角三角形的应用-方向角问题．
21、（1）0.25；（2）.
【分析】大量重复试验下摸球的频率可以估计摸球的概率;
画树状图列出所有等可能结果，再找到符合条件的结果数，根据概率公式求解.
【详解】（1）根据表中数据估计从盒中摸出一枚棋是黑棋的概率是0.25，
故答案为0.25；
（2）由（1）可知，黑棋的个数为4×0.25=1，则白棋子的个数为3，
画树状图如下：

由表可知，所有等可能结果共有12种情况，
其中这两枚棋颜色不同的有6种结果，
所以这两枚棋颜色不同的概率为．
本题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是了解大量重复试验中某个事件发生的频率能估计概率．
22、（1）y＝；（2）2．
【分析】（1）先求出点A的坐标，然后利用待定系数法即可求出结论；
（2）先求出点C的坐标，然后求出点E的坐标，最后利用四边形OCEA的面积＝+即可得出结论．
【详解】解：（1）当x＝1时，y＝x﹣2＝1﹣2＝2，
则A（1，2），
把A（1，2）代入y＝得
k＝1×2＝2，
∴反比例函数解析式为y＝；
（2）当x＝0时，y＝x﹣2＝﹣2，
则C（0，﹣2），
∵AE⊥x轴于点E，
∴E（1，0），
∴四边形OCEA的面积＝+＝×1×2+×1×2＝2．
此题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，掌握利用待定系数法求反比例函数解析式和三角形的面积公式是解决此题的关键．
23、（1）y＝x﹣1；y＝；（1）点P1的坐标为（，0），点P1的坐标为（﹣，0），（11，0）；（3）0＜x≤2
【解析】（1）根据点A，B的坐标，利用待定系数法即可求出直线AB的函数表达式，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点C的坐标，由点C的坐标，利用待定系数法即可求出反比例函数的表达式；
（1）过点C作CD⊥x轴，垂足为D点，利用勾股定理看求出OC的长，分OC＝OP和CO＝CP两种情况考虑：①当OP＝OC时，由OC的长可得出OP的长，进而可求出点P的坐标；②当CO＝CP时，利用等腰三角形的性质可得出OD＝PD，结合OD的长可得出OP的长，进而可得出点P的坐标；
（3）观察图形，由两函数图象的上下位置关系，即可求出不等式≥ax+b的解集．
【详解】解：（1）将A（4，0），B（0，﹣1）代入y＝ax+b，得：
，解得：，
∴直线AB的函数表达式为y＝x﹣1．
当x＝2时，y＝x﹣1＝1，
∴点C的坐标为（2，1）．
将C（2，1）代入y＝，得：1＝，
解得：k＝2，
∴反比例函数的表达式为y＝．
（1）过点C作CD⊥x轴，垂足为D点，则OD＝2，CD＝1，
∴OC＝．
∵OC为腰，
∴分两种情况考虑，如图1所示：
①当OP＝OC时，∵OC＝，
∴OP＝，
∴点P1的坐标为（，0），点P1的坐标为（﹣，0）；
②当CO＝CP时，DP＝DO＝2，
∴OP＝1OD＝11，
∴点P3的坐标为（11，0）．
（3）观察函数图象，可知：当0＜x＜2时，反比例函数y＝的图象在直线y＝x﹣1的上方，
∴不等式≥ax+b的解集为0＜x≤2．

本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求反比例函数解析式、等腰三角形的性质、勾股定理以及反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出一次（反比例）函数的关系式；（1）分OC=OP和CO=CP两种情况求出点P的坐标；（3）根据两函数图象的上下位置关系，找出不等式的解集．
24、（1）（2，﹣2）；
（2）（1，0）；
（3）1．

【解析】试题分析：（1）根据平移的性质得出平移后的图从而得到点的坐标；
（2）根据位似图形的性质得出对应点位置，从而得到点的坐标；
（3）利用等腰直角三角形的性质得出△A2B2C2的面积．
试题解析：（1）如图所示：C1（2，﹣2）；
故答案为（2，﹣2）；
（2）如图所示：C2（1，0）；
故答案为（1，0）；
（3）∵=20，=20，=40，
∴△A2B2C2是等腰直角三角形，
∴△A2B2C2的面积是：××=1平方单位．
故答案为1．

考点：1、平移变换；2、位似变换；3、勾股定理的逆定理
25、，
【分析】通过观察方程形式，利用二次三项式的因式分解法解方程比较简单．
【详解】解：原方程变形为
∴，．
此题考查因式分解法解一元二次方程，解题关键在于掌握运算法则．
26、（1）y1＝3，y2＝﹣1；（2）x1＝，x2＝．
【分析】（1）先移项，然后利用直接开方法解一元二次方程即可；
（2）利用公式法解一元二次方程即可．
【详解】解：（1）（y﹣1）2﹣4＝1，
（y﹣1）2＝4，
y﹣1＝±2，
y＝±2+1，
y1＝3，y2＝﹣1；
（2）3x2﹣x﹣1＝1，
a＝3，b＝﹣1，c＝﹣1，
△＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×3×（﹣1）＝13＞1，
x＝，
x1＝，x2＝．
此题考查的是解一元二次方程，掌握利用直接开方法和公式法解一元二次方程是解决此题的关键．