山东省淄博市周村区2025届数学九上期末达标检测模拟试题含解析.doc

2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图，在△ABC中，DE∥BC，若＝，则的值为（　　）

A． B． C． D．
2．如图，在中， ， 为上一点，，点从点出发，沿方向以的速度匀速运动，同时点由点出发，沿方向以的速度匀速运动，设运动时间为，连接交于点 ，若，则的值为( )

A．1 B．2 C．3 D．4
3．若关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的最大整数是（ ）
A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣2
4．计算＝(　　)
A． B． C． D．
5．把一张矩形的纸片对折后和原矩形相似，那么大矩形与小矩形的相似比是（　　）
A．:1 B．4:1 C．3:1 D．2:1
6．某药品经过两次降价，每瓶零售价由168元降为108元，已知两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x，根据题意列方程得（　　）
A．168（1﹣x）2＝108 B．168（1﹣x2）＝108
C．168（1﹣2x）＝108 D．168（1+x）2＝108
7．二次函数y＝ax2+bx+4（a≠0）中，若b2＝4a，则（　　）
A．y最大＝5 B．y最小＝5 C．y最大＝3 D．y最小＝3
8．已知正六边形的边心距是，则正六边形的边长是（ ）
A． B． C． D．
9．下列物体的光线所形成的投影是平行投影的是（ ）
A．台灯 B．手电筒 C．太阳 D．路灯
10．如图，已知△AOB与△A1OB1是以点O为位似中心的位似图形，且相似比为1：2，点B的坐标为（-1，2）则点B1的坐标为（ ）

A．（2，-4） B．（1，-4） C．（-1，4） D．（-4，2）
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．如图，三个顶点的坐标分别为， 点为的中点．以点为位似中心，把或缩小为原来的，得到，点为的中点，则的长为________．

12．已知二次函数y=2（x-h）2的图象上，当x＞3时，y随x的增大而增大，则h的取值范围是 ______ ．
13．正的边长为，边长为的正的顶点与点重合，点分别在，上，将沿边顺时针连续翻转（如图所示），直至点第一次回到原来的位置，则点运动路径的长为 （结果保留）
14．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是_____.
15．若反比例函数y=的图象在每一个象限中，y随着x的增大而减小，则m的取值范围是_____．
16．如图在平面直角坐标系中，若干个半径为个单位长度、圆心角为的扇形组成一条连续的曲线，点从原点出发，沿这条曲线向右上下起伏运动，点在直线上的速度为每秒2个单位，在弧线上的速度为每秒个单位长度，则秒时，点的坐标是_______；秒时，点的坐标是_______．

17．如图，矩形纸片ABCD中，AD＝5，AB＝1．若M为射线AD上的一个动点，将△ABM沿BM折叠得到△NBM．若△NBC是直角三角形．则所有符合条件的M点所对应的AM长度的和为_____．

18．以原点O为位似中心，将△AOB放大到原来的2倍，若点A的坐标为（2，3），则点A的对应点的坐标为_______．
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，一次函数y＝﹣x+5的图象与坐标轴交于A，B两点，与反比例函数y＝的图象交于M，N两点，过点M作MC⊥y轴于点C，且CM＝1，过点N作ND⊥x轴于点D，且DN＝1．已知点P是x轴（除原点O外）上一点．
（1）直接写出M、N的坐标及k的值；
（2）将线段CP绕点P按顺时针或逆时针旋转90°得到线段PQ，当点P滑动时，点Q能否在反比例函数的图象上？如果能，求出所有的点Q的坐标；如果不能，请说明理由；

（3）当点P滑动时，是否存在反比例函数图象（第一象限的一支）上的点S，使得以P、S、M、N四个点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合题意的点S的坐标；若不存在，请说明理由．

20．（6分）数学兴趣小组想利用所学的知识了解某广告牌的高度，已知CD＝2m．经测量，得到其它数据如图所示．其中∠CAH＝37°，∠DBH＝67°，AB＝10m，请你根据以上数据计算GH的长．（参考数据，，）

21．（6分）如图，一次函数y= -x+b的图象与反比例函数（x>0）的图象交于点A（m , 3）和B（3 , n ）.过A作AC⊥x轴于C，交OB于E，且EB = 2EO
（1）求一次函数和反比例函数解析式
（2）点P是线段AB上异于A，B的一点，过P作PD⊥x轴于D，若四边形APDC面积为S，求S的取值范围.

22．（8分）某钢铁厂计划今年第一季度一月份的总产量为500t，三月份的总产量为720t，若平均每月的增长率相同．
(1)第一季度平均每月的增长率；
(2)如果第二季度平均每月的增长率保持与第一季度平均每月的增长率相同，请你估计该厂今年5月份总产量能否突破1000t？
23．（8分）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围．
24．（8分）某百货商店服装柜在销售中发现，某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元,经市场调查发现在进货不变的情况下，若每件童装每降价1元，日销售量将增加2件.
（1）若想要这种童装销售利润每天达到 1200 元，同时又能让顾客得到更多的实惠，每件童装应降价多少元？
（2）当每件童装降价多少元时，这种童装一天的销售利润最多？最多利润是多少？
25．（10分）在平面直角坐标系中，抛物线与轴的两个交点分别是、，为顶点．

（1）求、的值和顶点的坐标；
（2）在轴上是否存在点，使得是以为斜边的直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
26．（10分）如图，已知点A，B的坐标分别为（4，0），（3，2）．

（1）画出△AOB关于原点O对称的图形△COD；
（2）将△AOB绕点O按逆时针方向旋转90°得到△EOF，画出△EOF；
（3）点D的坐标是　 　，点F的坐标是　 　，此图中线段BF和DF的关系是　 　．
参考答案

一、选择题(每小题3分,共30分)
1、A
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算得到答案．
【详解】解：∵＝，
∴，
∵DE∥BC，
∴，
故选：A．
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
2、B
【分析】过点C作CH∥AB交DE的延长线于点H，则DF=10-2-t=8-t，证明△DFG∽△HCG，可求出CH，再证明△ADE∽△CHE，由比例线段可求出t的值．
【详解】解：过点C作CH∥AB交DE的延长线于点H，则BD=t，AE=2t，DF=10-2-t=8-t，

∵DF∥CH，
∴△DFG∽△HCG，
∴，
∴CH=2DF=16-2t，
同理△ADE∽△CHE，
∴，
∴，
解得t=2，t=（舍去）．
故选：B．
本题主要考查相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
3、B
【分析】根据题意知，，代入数据，即可求解．
【详解】由题意知：一元二次方程x2+2x+k＝1有两个不相等的实数根，
∴

解得
∴．
∴k的最大整数是1．
故选B．
本题主要考查了利用一元二次方程根的情况求参数范围，正确掌握利用一元二次方程根的情况求参数范围的方法是解题的关键．
4、C
【解析】分析：分子根据合并同类项计算，分母根据同底数幂的乘法计算.
详解：原式= .
故选C.
点睛：本题考查了合并同类项和同底数幂的乘法计算，合并同类项的方法是系数相加，字母和字母的指数不变；同底数的幂相乘，底数不变，把指数相加.
5、A
【分析】设原矩形的长为2a，宽为b，对折后所得的矩形与原矩形相似，则
【详解】
设原矩形的长为2a，宽为b，
则对折后的矩形的长为b，宽为a，
∵对折后所得的矩形与原矩形相似，
∴，
∴大矩形与小矩形的相似比是：1；
故选A．
理解好：如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个或多个多边形叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做相似比.
6、A
【分析】设每次降价的百分率为x，根据降价后的价格=降价前的价格（1-降价的百分率），则第一次降价后的价格是168（1-x），第二次后的价格是168（1-x）2，据此即可列方程求解．
【详解】设每次降价的百分率为x，
根据题意得：168（1-x）2=1．
故选A．
此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，这种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系，列出方程即可．
7、D
【分析】根据题意得到y＝ax2+bx+4＝，代入顶点公式即可求得．
【详解】解：∵b2＝4a，
∴，
∴
∵，
∴y最小值＝，
故选：D．
本题考查了二次函数最值问题，解决本题的关键是熟练掌握二次函数的性质，准确表达出二次函数的顶点坐标.
8、A
【分析】如图所示：正六边形ABCDEF中，OM为边心距，OM=，连接OA、OB，然后求出正六边形的中心角，证出△OAB为等边三角形，然后利用等边三角形的性质和锐角三角函数即可求出结论．
【详解】解：如图所示：正六边形ABCDEF中，OM为边心距，OM=，连接OA、OB

正六边形的中心角∠AOB=360°÷6=60°
∴△OAB为等边三角形
∴∠AOM=∠AOB=30°，OA=AB
在Rt△OAM中，OA=
即正六边形的边长是．
故选A．
此题考查的是根据正六边形的边心距求边长，掌握中心角的定义、等边三角形的判定及性质和锐角三角函数是解决此题的关键．
9、C
【解析】太阳相对地球较远且大，其发出的光线可认为是平行光线.
【详解】台灯、手电筒、路灯发出的光线是由点光源发出的光线，所形成的投影是中心投影；太阳相对地球较远且大，其发出的光线可认为是平行光线.
故选C
本题主要考查了中心投影、平行投影的概念.
10、A
【解析】过B作BC⊥y轴于C，过B1作B1D⊥y轴于D，依据△AOB和△A1OB1相似，且相似比为1：2，即可得到，再根据△BOC∽△B1OD，可得OD=2OC=4，B1D=2BC=2，进而得出点B1的坐标为（2，-4）．
【详解】解：如图，过B作BC⊥y轴于C，过B1作B1D⊥y轴于D，
∵点B的坐标为（-1，2），
∴BC=1，OC=2，
∵△AOB和△A1OB1相似，且相似比为1：2，
∴,
∵∠BCO=∠B1DO=90°，∠BOC=∠B1OD，
∴△BOC∽△B1OD，
∴OD=2OC=4，B1D=2BC=2，
∴点B1的坐标为（2，-4），
故选：A．

本题考查的是位似变换的性质，正确理解位似与相似的关系，记忆关于原点位似的两个图形对应点坐标之间的关系是解题的关键．

二、填空题(每小题3分,共24分)
11、或
【分析】分两种情形画出图形，即可解决问题.
【详解】解：如图，在Rt△AOB中，OB==10，

①当△A'OB'在第四象限时，OM=5,OM'=,∴MM'=．
②当△A''OB''在第二象限时，OM=5,OM＂=,∴MM＂=，
故答案为或．
本题考查位似变换，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
12、h≤3
【解析】试题解析：二次函数的对称轴为：
当时,随的增大而增大，
对称轴与直线重合或者位于直线的左侧.
即：
故答案为：
点睛：本题考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键.
当时, 随的增大而增大，可知对称轴与直线重合或者位于直线的左侧.根据对称轴为,即可求出的取值范围.
13、
【解析】从图中可以看出翻转的第一次是一个120度的圆心角，半径是1，所以弧长=，第二次是以点P为圆心，所以没有路程，在BC边上，第一次第二次同样没有路程，AC边上也是如此，点P运动路径的长为
14、
【分析】根据根与系数的关系可得要使有两个不相等的实数根，则必须，进而可以计算出k的取值范围.
【详解】解：根据根与系数的关系可得要使有两个不相等的实数根，则.

故答案为.
本题主要考查二元一次方程的根与系数的关系，根据方程根的个数，列不等式求解.
15、m>1
【解析】∵反比例函数的图象在其每个象限内，y随x的增大而减小，
∴>0，
解得：m>1，
故答案为m>1.
16、
【分析】设第n秒时P的位置为Pn， P5可直接求出，根据点的运动规律找出规律，每4秒回x轴，P4n(4n，0)，由2019=504×4+3，回到在P3的位置上，过P3作P3B⊥x轴于B，则OB=3，P3B=，P3（3，-），当t=2019时，OP2019=OP2016+OB，此时P2019点纵坐标与P3纵坐标相同，即可求．
【详解】设n秒时P的位置为Pn，过P5作P5A⊥x轴于A， OP4=OP2+P2P4=4，P4（4，0），当t=5时，由扇形知P4P5=2，OP4=4，在Rt△P4P5A中，∠P5P4A=60º，则∠P4P5A=90º-∠P5P4A=60º =30º，P4A=P4P5=1，
由勾股定理得PA=，OA=OP4+AP4=5，由点P在第一象限，P（5，），

通过图形中每秒后P的位置发现，每4秒一循环，2019=504×4+3，回到相对在P3的位置上，过P3作P3B⊥x轴于B，则OB=3，P3B=，由P3在第四象限，则P3（3，-），当t=2019时，OP2019=OP2016+OB=4×504+3=2019，P2019点纵坐标与P3纵坐标相同，此时P2019坐标为（2019，- ），秒时，点的坐标是（2019，- ）．
故答案为：（5，），（2019，- ）．
本题考查规律中点P的坐标问题关键读懂题中的含义，利用点运动的速度，考查直线与弧线的时间，发现都用1秒，而每4秒就回到x轴上，由此发现规律便可解决问题．
17、5．
【分析】根据四边形ABCD为矩形以及折叠的性质得到∠A=∠MNB=90°，由M为射线AD上的一个动点可知若△NBC是直角三角形，∠NBC=90°与∠NCB=90°都不符合题意，只有∠BNC=90°．然后分 N在矩形ABCD内部与 N在矩形ABCD外部两种情况进行讨论，利用勾股定理求得结论即可．
【详解】∵四边形ABCD为矩形，
∴∠BAD＝90°，
∵将△ABM沿BM折叠得到△NBM，
∴∠MAB＝∠MNB＝90°．
∵M为射线AD上的一个动点，△NBC是直角三角形，
∴∠NBC＝90°与∠NCB＝90°都不符合题意，
∴只有∠BNC＝90°．
①

当∠BNC＝90°，N在矩形ABCD内部，如图3．
∵∠BNC＝∠MNB＝90°，
∴M、N、C三点共线，
∵AB＝BN＝3，BC＝5，∠BNC＝90°，
∴NC＝4．
设AM＝MN＝x，
∵MD＝5﹣x，MC＝4+x，
∴在Rt△MDC中，CD5+MD5＝MC5，
35+（5﹣x）5＝（4+x）5，
解得x＝3；

当∠BNC＝90°，N在矩形ABCD外部时，如图5．
∵∠BNC＝∠MNB＝90°，
∴M、C、N三点共线，
∵AB＝BN＝3，BC＝5，∠BNC＝90°，
∴NC＝4，
设AM＝MN＝y，
∵MD＝y﹣5，MC＝y﹣4，
∴在Rt△MDC中，CD5+MD5＝MC5，
35+（y﹣5）5＝（y﹣4）5，
解得y＝9，
则所有符合条件的M点所对应的AM和为3+9＝5．
故答案为5．
本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质以及勾股定理，难度适中．利用数形结合与分类讨论的数学思想是解题的关键．
18、（4，6）或（-4，-6）
【分析】由题意根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k，即可求得答案．
【详解】解：∵点A的坐标分别为（2，3），以原点O为位似中心，把△△AOB放大为原来的2倍，
则A′的坐标是：（4，6）或（-4，-6）．
故答案为：（4，6）或（-4，-6）．
本题考查位似图形与坐标的关系，注意在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标比等于k或-k．

三、解答题(共66分)
19、（1）M（1，4），N（4，1），k＝4；（2）（2+2，﹣2+2）或（2﹣2，﹣2﹣2）或（﹣2，﹣2）；（3）（，5）或（，3）．
【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；
（2）分三种情形求解：①如图2，点P在x轴的正半轴上时，绕P顺时针旋转到点Q，根据△COP≌△PHQ，得CO＝PH，OP＝QH，设P（x，0），表示Q（x+4，x），代入反比例函数的关系式中可得Q的两个坐标；②如图3，点P在x轴的负半轴上时；③如图4，点P在x轴的正半轴上时，绕P逆时针旋转到点Q，同理可得结论．
（3）分两种情形分别求解即可；
【详解】解：（1）由题意M（1，4），n（4，1），
∵点M在y＝上，
∴k＝4；
（2）当点P滑动时，点Q能在反比例函数的图象上；
如图1，CP＝PQ，∠CPQ＝90°，
过Q作QH⊥x轴于H，

易得：△COP≌△PHQ，
∴CO＝PH，OP＝QH，
由（2）知：反比例函数的解析式：y＝；
当x＝1时，y＝4，
∴M（1，4），
∴OC＝PH＝4
设P（x，0），
∴Q（x+4，x），
当点Q落在反比例函数的图象上时，
x（x+4）＝4，
x2+4x+4＝8，
x＝﹣2±，
当x＝﹣2±时，x+4＝2+，如图1，Q（2+2，2+2）；
当x＝﹣2﹣2时，x+4＝2﹣2，如图2，Q（2﹣2，2﹣2）；

如图3，CP＝PQ，∠CPQ＝90°，设P（x，0）
过P作GH∥y轴，过C作CG⊥GH，过Q作QH⊥GH，

易得：△CPG≌△PQH，
∴PG＝QH＝4，CG＝PH＝x，
∴Q（x﹣4，﹣x），
同理得：﹣x（x﹣4）＝4，
解得：x1＝x2＝2，
∴Q（﹣2，﹣2），
综上所述，点Q的坐标为（2+2，﹣2+2）或（2﹣2，﹣2﹣2）或（﹣2，﹣2）．

（3）当MN为平行四边形的对角线时，根据MN的中点的纵坐标为，可得点S的纵坐标为5，即S（，5）；
当MN为平行四边形的边时，易知点S的纵坐标为3，即S（，3）；
综上所述，满足条件的点S的坐标为（，5）或（，3）．
本题是一道关于一次函数和反比例函数相结合的综合题目，题目中涉及到了旋转及动点问题，主要是通过作辅助线利用三角形全等来解决，充分考查了学生综合分析问题的能力.
20、GH的长为10m
【分析】首先构造直角三角形，设DE=xm，则CE=（x+2）m，由三角函数得出AE和BE，由AE=BE=AB得出方程，解方程求出DE，即可得出GH的长
【详解】解：延长CD交AH于点E，则CE⊥AH，如图所示．

设DE＝xm，则CE＝（x+2）m，
在Rt△AEC和Rt△BED中，tan37°＝ ，tan67°＝，
∴AE＝ ，BE＝．
∵AE﹣BE＝AB，
∴﹣＝10，即＝10，
解得：x＝8，
∴DE＝8m，
∴GH＝CE＝CD+DE＝2m+8m＝10m．
答：GH的长为10m．
本题考查解直角三角形的应用，解题关键在于作出点E
21、（1）y=-x+4，，（2）0比例函数的解析式，学会设参数解决问题．
22、（1）20%（2）能
【解析】（1）设第一季度平均每月的增长率为x，根据该厂一月份及三月份的总产量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）根据五月份的总产量=三月份的总产量×（1+增长率）2，即可求出今年五月份的总产量，再与1000进行比较即可得出结论．
【详解】（1）设第一季度平均每月的增长率为x，根据题意得：
500（1+x）2=720
解得：x1=0.2=20%，x2=﹣2.2（舍去）．
答：第一季度平均每月的增长率为20%．
（2）720×（1+20%）2=1036.8（t）．
∵1036.8＞1000，∴该厂今年5月份总产量能突破1000t．
本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，求出今年五月份的总产量．
23、m＞﹣1且m≠1．
【分析】由关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，由一元二次方程的定义和根的判别式的意义可得m≠1且△＞1，即4﹣4m•（﹣1）＞1，两个不等式的公共解即为m的取值范围．
【详解】∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴m≠1且△＞1，即4﹣4m•（﹣1）＞1，解得m＞﹣1，
∴m的取值范围为m＞﹣1且m≠1，
∴当m＞﹣1且m≠1时，关于x的一元二次方程mx2+2x﹣1=1有两个不相等的实数根．
24、（1）每件童装应降价20元,（2）当x=15时,函数有最大值,即童装一天的销售利润最多为1250元.
【分析】（1）表示出销售数量,找到等量关系即可解题,（2）求出二次函数的表达式,化成顶点式即可解题.
【详解】解：（1）设降了x元,则日销售量增加2x件,依题意得：
（40-x）（20+2x）=1200,
化简整理得：（x-10）(x-20)=0,
解得：x=10或x=20,
∵让顾客得到更多的实惠，
∴每件童装应降价20元,
（2）设销售利润为y,
y=（40-x）（20+2x）,
y=-2（x-15）2+1250,
∴当x=15时,函数有最大值,即童装一天的销售利润最多为1250元.
本题考查了二次函数的实际应用,中等难度,建立等量关系是解题关键.
25、（1），，(-1，4)；（2）在y轴上存在点D (0，3)或D (0，1)，使△ACD是以AC为斜边的直角三角形
【分析】(1)把A(-3，0)，B(1，0)代入解方程组即可得到结论；
(2)过C作CE⊥y轴于E，根据函数的解析式求得C(-1，4)，得到CE=1，OE=4，设，得到，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】(1)把A(−3,0)、B(1,0)分别代入，
，
解得：，，
则该抛物线的解析式为：，
∵，
所以顶点的坐标为(，)；
故答案为：，，顶点的坐标为(，)；
(2)如图1，过点作⊥轴于点，

假设在轴上存在满足条件的点，
设(0，)，则，
∵，
∴，，,，
由∠90得∠1∠290，
又∵∠2∠390，
∴∠3∠1，
又∵∠CED∠DOA90，
∴△∽△，
∴，
则，
变形得，
解得，．
综合上述：在y轴上存在点(0，3)或(0，1)，使△ACD是以AC为斜边的直角三角形．
本题考查了二次函数综合题，待定系数法求函数的解析式，相似三角形的判定和性质，正确的理解题意是解题的关键．
26、（1）见解析；（2）见解析；（3）D（﹣3，﹣2），F（﹣2，3），垂直且相等
【分析】（1）分别延长BO，AO到占D,C，使DO=BO，CO=AO，再顺次连接成△COD即可；
（2）将A，B绕点O按逆时针方向旋转90°得到对应点E，F，再顺次连接即可得出△EOF；
（3）利用图象即可得出点的坐标，以及线段BF和DF的关系．
【详解】（1）如图所示：
（2）如图所示：
（3）结合图象即可得出：D（﹣3，﹣2），F（﹣2，3），
线段BF和DF的关系是：垂直且相等．

此题考查了图形的旋转变换以及图形旋转的性质，难度不大，注意掌握解答此类题目的关键步骤．