2025届浙江省衢州市教联盟体数学九上期末统考试题含解析.doc

2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图，P（x，y）是反比例函数的图象在第一象限分支上的一个动点，PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，随着自变量x的逐渐增大，矩形OAPB的面积（ ）

A．保持不变 B．逐渐增大 C．逐渐减小 D．无法确定
2．如图，已知梯形ABCO的底边AO在轴上，BC∥AO，AB⊥AO，过点C的双曲线交OB于D，且OD：DB=1:2，若△OBC的面积等于3，则k的值（）

A．等于2 B．等于 C．等于 D．无法确定
3．圆锥的底面直径为30cm，母线长为50cm，那么这个圆锥的侧面展开图的圆心角为( )
A．108° B．120° C．135° D．216°
4．在一个不透明的盒子中装有a个除颜色外完全相同的球，这a个球中只有4个红球.若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子.通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在20%左右，则a的值大约为( )
A．16 B．20 C．24 D．28
5．如图，PA是⊙O的切线，切点为A，PO的延长线交⊙O于点B，连接AB，若∠B＝25°，则∠P的度数为（　　）

A．25° B．40° C．45° D．50°
6．如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是

A． B． C． D．
7．如图是某货站传送货物的机器的侧面示意图.，原传送带与地面的夹角为，为了缩短货物传送距离，工人师傅欲增大传送带与地面的夹角，使其由改为，原传送带长为.则新传送带的长度为（ ）

A． B． C． D．无法计算
8．若△ABC∽△DEF，相似比为2：3，则对应面积的比为（　　）
A．3：2 B．3：5 C．9：4 D．4：9
9．在下列四个图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在中，点分别在边上，且，则下列结论不一定成立的是（ ）

A． B． C． D．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．若一元二次方程ax2﹣bx﹣2020＝0有一根为x＝﹣1，则a+b＝_____．
12．△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，以A为圆心的圆切BC于点D，若BC＝12cm，则⊙A的半径为_____cm．
13．已知点A（4，y1），B（，y2），C（-2，y3）都在二次函数y=（x-2）2-1的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是 .
14．已知两个数的差等于2，积等于15，则这两个数中较大的是 ．
15．如图，坐标系中正方形网格的单位长度为1，抛物线y1=-x2+3向下平移2个单位后得抛物线y2，则阴影部分的面积S=_____________．

16．如图，点A的坐标为（4，2）．将点A绕坐标原点O旋转90°后，再向左平移1个单位长度得到点A′，则过点A′的正比例函数的解析式为_____．

17．若二次函数的图象开口向下，则_____0（填“＝”或“>”或“<”）．
18．已知扇形的圆心角为120°，弧长为4π，则扇形的面积是．
三、解答题(共66分)
19．（10分）每年九月开学前后是文具盒的销售旺季，商场专门设置了文具盒专柜李经理记录了天的销售数量和销售单价，其中销售单价(元/个)与时间第天(为整数)的数量关系如图所示，日销量(个)与时间第天(为整数)的函数关系式为:
直接写出与的函数关系式，并注明自变量的取值范围；
设日销售额为(元) ，求(元)关于(天)的函数解析式;在这天中，哪一天销售额(元)达到最大，最大销售额是多少元；
由于需要进货成本和人员工资等各种开支，如果每天的营业额低于元，文具盒专柜将亏损，直接写出哪几天文具盒专柜处于亏损状态

20．（6分）已知在△ABC中，AB=AC∠BAC=α，直线l经过点A（不经过点B或点C），点C关于直线l的对称点为点D，连接BD，CD．

（1）如图1，
①求证：点B，C，D在以点A为圆心，AB为半径的圆上；
②直接写出∠BDC的度数（用含α的式子表示）为 ；
（2）如图2，当α=60°时，过点D作BD的垂线与直线l交于点E，求证：AE=BD；
（3）如图3，当α=90°时，记直线l与CD的交点为F，连接BF．将直线l绕点A旋转的过程中，在什么情况下线段BF的长取得最大值？若AC=2a，试写出此时BF的值．
21．（6分）某校为响应全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆，据统计，第一个月进馆200人次，此后进馆人次逐月增加，到第三个月进馆达到288人次，若进馆人次的月平均增长率相同．
（1）求进馆人次的月平均增长率；
（2）因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不得超过400人次，若进馆人次的月平均增长率不变，到第几个月时，进馆人数将超过学校图书馆的接纳能力，并说明理由．
22．（8分）如图，内接于，直径交于点，延长至点，使，且，连接并延长交过点的切线于点，且满足，连接．
(1)求证：；
(2)求证：是的切线．

23．（8分）小王去年开了一家微店，今年1月份开始盈利，2月份盈利2400元，4月份盈利达到3456元，且从2月份到4月份，每月盈利的平均增长率相同，试求每月盈利的平均增长率．
24．（8分）如图1，若二次函数的图像与轴交于点（-1，0）、，与轴交于点（0，4），连接、，且抛物线的对称轴为直线．

（1）求二次函数的解析式；
（2）若点是抛物线在一象限内上方一动点，且点在对称轴的右侧，连接、，是否存在点，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由；
（3）如图2，若点是抛物线上一动点，且满足，请直接写出点坐标．
25．（10分）如图，在中，，点是边上的动点（不与重合），点在边上，并且满足.

（1）求证：；
（2）若的长为，请用含的代数式表示的长；
（3）当（2）中的最短时，求的面积.
26．（10分）矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，O为边AD上一点，以O为圆心，OA为半径r作⊙O，过点B作⊙O的切线BF，F为切点．

（1）如图1，当⊙O经过点C时，求⊙O截边BC所得弦MC的长度；
（2）如图2，切线BF与边AD相交于点E，当FE＝FO时，求r的值；
（3）如图3，当⊙O与边CD相切时，切线BF与边CD相交于点H，设△BCH、四边形HFOD、四边形FOAB的面积分别为S1、S2、S3，求的值．
参考答案

一、选择题(每小题3分,共30分)
1、A
【分析】因为过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S=|k|，所以随着x的逐渐增大，矩形OAPB的面积将不变．
【详解】解：依题意有矩形OAPB的面积=2×|k|=3，所以随着x的逐渐增大，矩形OAPB的面积将不变．
故选：A．
本题考查了反比例函数 y＝中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，解题的关键是掌握图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S=|k|．
2、B
【解析】如图分别过D作DE⊥Y轴于E,过C作CF⊥Y轴于F,则△ODE∽△OBF,∵OD：DB=1:2∴相似比= 1:3∴面积比= OD：DB=1:9即又∴∴解得K=故选B
3、A
【分析】先根据圆的周长公式求得底面圆周长，再根据弧长公式即可求得结果．
【详解】解：由题意得底面圆周长=π×30=30πcm
，解得：n=108
故选A．
本题考查圆的周长公式，弧长公式，方程思想是初中数学学习中非常重要的思想方法，是中考的热点，在各种题型中均有出现，一般难度不大，需特别注意．
4、B
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．
【详解】根据题意知=20%，
解得a=20，
经检验：a=20是原分式方程的解，
故选B．
本题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．
5、B
分析】连接OA，由圆周角定理得，∠AOP＝2∠B＝50°，根据切线定理可得∠OAP＝90°，继而推出∠P＝90°﹣50°＝40°．
【详解】连接OA，
由圆周角定理得，∠AOP＝2∠B＝50°，
∵PA是⊙O的切线，
∴∠OAP＝90°，
∴∠P＝90°﹣50°＝40°，
故选：B．

本题考查圆周角定理、切线的性质、三角形内角和定理，解题的关键是求出∠AOP的度数．
6、B
【分析】根据网格的特点求出三角形的三边，再根据相似三角形的判定定理即可求解.
【详解】已知给出的三角形的各边AB、CB、AC分别为、2、、
只有选项B的各边为1、、与它的各边对应成比例．故选B．
【点晴】
此题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理.
7、B
【分析】根据已知条件，在中，求出AD的长，再在中求出AC的值.
【详解】，，=8

即

即

故选B.
本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键.
8、D
【解析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方解答．
【详解】解：∵△ABC∽△DEF，相似比为2：3，
∴对应面积的比为（）2＝，
故选：D．
本题考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质定理是解题的关键.
9、A
【解析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
详解】A、是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意．
故选A．
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
10、B
【分析】根据相似三角形平行线分线段成比例的性质，分别判定即可.
【详解】∵
∴∠A=∠CEF，∠ADE=∠ABC，∠CFE=∠ABC，，
∴∠ADE=∠CFE，，C选项正确；
∴△ADE∽△EFC
∴，A选项正确；
又∵
∴，D选项正确；
∵
∴不成立
故答案为B.
此题主要考查相似三角形平行线分线段成比例的运用，熟练掌握，即可解题.

二、填空题(每小题3分,共24分)
11、1
【分析】由方程有一根为﹣1，将x＝﹣1代入方程，整理后即可得到a+b的值．
【详解】解：把x＝﹣1代入一元二次方程ax2﹣bx﹣1＝0得：a+b﹣1＝0，
即a+b＝1．
故答案为：1．
此题考查了一元二次方程的解的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，关键是把方程的解代入方程．
12、1．
【分析】由切线性质知AD⊥BC，根据AB＝AC可得BD＝CD＝AD＝BC＝1．
【详解】解：如图，连接AD，
则AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BD＝CD＝AD＝BC＝1，
故答案为：1．

本题考查了圆的切线性质，解题的关键在于掌握圆的切线性质.
13、y3>y1>y2.
【解析】试题分析：将A,B,C三点坐标分别代入解析式，得：y1=3,y2=5-4,y3=15,∴y3>y1>y2.
考点：二次函数的函数值比较大小.
14、5
【分析】设这两个数中的大数为x，则小数为x﹣2，由题意建立方程求其解即可．
【详解】解：设这两个数中的大数为x，则小数为x﹣2，由题意，得
x（x﹣2）=15，
解得：x1=5，x2=﹣3，
∴这两个数中较大的数是5，
故答案为5；
考点：一元二次方程的应用．
15、1
【解析】根据已知得出阴影部分即为平行四边形的面积．
【详解】解：根据题意知，图中阴影部分的面积即为平行四边形的面积：2×2=1．
故答案是：1．
本题考查了二次函数图象与几何变换．解题关键是把阴影部分的面积整理为规则图形的面积．
16、y=﹣x或y=-4x
【解析】分析：直接利用旋转的性质结合平移的性质得出对应点位置，再利用待定系数法求出正比例函数解析式．
详解：当点A绕坐标原点O逆时针旋转90°后，再向左平移1个单位长度得到点A′，
则A′（-3，4），
设过点A′的正比例函数的解析式为：y=kx，
则4=-3k，
解得：k=-，
则过点A′的正比例函数的解析式为：y=-x，
同理可得：点A绕坐标原点O顺时针旋转90°后，再向左平移1个单位长度得到点A′，此时A′（1，-4），
设过点A′的正比例函数的解析式为：y=k′x，
则-4=k′，
则过点A′的正比例函数的解析式为：y=-4x.

故答案为y=﹣x或y=-4x.
点睛：此题主要考查了旋转的性质、平移的性质、待定系数法求出正比例函数解析式，正确得出对应点坐标是解题关键．
17、<
【解析】由二次函数图象的开口向下，可得．
【详解】解：∵二次函数的图象开口向下，
∴．
故答案是：<．

考查了二次函数图象与系数的关系．二次项系数决定抛物线的开口方向和大小．当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；还可以决定开口大小，越大开口就越小．
18、12π．
【分析】利用弧长公式即可求扇形的半径，进而利用扇形的面积公式即可求得扇形的面积．
【详解】设扇形的半径为r．
则＝4π，
解得r＝6，
∴扇形的面积＝＝12π，
故答案为12π．
本题考查了扇形面积求法，用到的知识点为：扇形的弧长公式l＝，扇形的面积公式S＝，解题的关键是熟记这两个公式．

三、解答题(共66分)
19、（1）y＝，（2）w＝，在这15天中，第9天销售额达到最大，最大销售额是1元，（3）第13天、第14天、第15天这3天，专柜处于亏损状态．
【分析】（1）用待定系数法可求与的函数关系式；
（2）利用总销售额=销售单价×销售量，分三种情况，找到(元)关于(天)的函数解析式，然后根据函数的性质即可找到最大值．
（3）先根据第（2）问的结论判断出在这三段内哪一段内会出现亏损，然后列出不等式求出x的范围，即可找到答案．
【详解】解：（1）当 时，设直线的表达式为
将 代入到表达式中得
解得
∴当时，直线的表达式为
∴ y＝，
（2）由已知得：w＝py．
当1≤x≤5时，w＝py＝（－x＋15）（20x＋180）＝－20x2＋120x＋2700
＝－20（x－3）2＋2880，当x＝3时，w取最大值2880，
当5＜x≤9时，w＝10（20x＋180）＝200x＋1800，
∵x是整数，200＞0，
∴当5＜x≤9时，w随x的增大而增大，
∴当x＝9时，w有最大值为200×9＋1800＝1，
当9＜x≤15时，w＝10（－60x＋900）＝－600x＋9000，
∵－600＜0，∴w随x的增大而减小，
又∵x＝9时，w＝－600×9＋9000＝1．
∴当9＜x≤15时，W的最大值小于1
综合得：w＝，
在这15天中，第9天销售额达到最大，最大销售额是1元．
（3）当时，
当 时，y有最小值，最小值为
∴不会有亏损
当时
当 时，y有最小值，最小值为
∴不会有亏损
当时，

解得
∵x为正整数
∴
∴第13天、第14天、第15天这3天，专柜处于亏损状态．
本题主要考查二次函数和一次函数的实际应用，掌握二次函数和一次函数的性质是解题的关键．
20、（1）①详见解析；②α；（2）详见解析；（3）当B、O、F三点共线时BF最长，(+)a
【分析】（1）①由线段垂直平分线的性质可得AD=AC=AB，即可证点B，C，D在以点A为圆心，AB为半径的圆上；
②由等腰三角形的性质可得∠BAC=2∠BDC，可求∠BDC的度数；
（2）连接CE，由题意可证△ABC，△DCE是等边三角形，可得AC=BC，∠DCE=60°=∠ACB，CD=CE，根据“SAS”可证△BCD≌△ACE，可得AE=BD；
（3）取AC的中点O，连接OB，OF，BF，由三角形的三边关系可得，当点O，点B，点F三点共线时，BF最长，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理可求，，即可求得BF
【详解】（1）①连接AD，如图1．

∵点C与点D关于直线l对称，
∴AC = AD．
∵AB= AC，
∴AB= AC = AD．
∴点B，C，D在以A为圆心，AB为半径的圆上．
②∵AD=AB=AC，
∴∠ADB=∠ABD，∠ADC=∠ACD，
∵∠BAM=∠ADB+∠ABD，∠MAC=∠ADC+∠ACD，
∴∠BAM=2∠ADB，∠MAC=2∠ADC，
∴∠BAC=∠BAM+∠MAC=2∠ADB+2∠ADC=2∠BDC=α
∴∠BDC=α
故答案为：α．
（2连接CE，如图2．

∵∠BAC=60°，AB=AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴BC=AC，∠ACB=60°，
∵∠BDC=α，
∴∠BDC=30°，
∵BD⊥DE，
∴∠CDE=60°，
∵点C关于直线l的对称点为点D，
∴DE=CE，且∠CDE=60°
∴△CDE是等边三角形，
∴CD=CE=DE，∠DCE=60°=∠ACB，
∴∠BCD=∠ACE，且AC=BC，CD=CE，
∴△BCD≌△ACE（SAS）
∴BD=AE，
（3）如图3，取AC的中点O，连接OB，OF，BF，
，
F是以AC为直径的圆上一点，设AC中点为O，
∵在△BOF中，BO+OF≥BF，
当B、O、F三点共线时BF最长；
如图，过点O作OH⊥BC，

∵∠BAC=90°，AB=AC=2a，
∴，∠ACB=45°，且OH⊥BC，
∴∠COH=∠HCO=45°，
∴OH=HC，
∴，
∵点O是AC中点，AC=2a，
∴，
∴，
∴BH=3a，
∴，
∵点C关于直线l的对称点为点D，
∴∠AFC=90°，
∵点O是AC中点，
∴，
∴，
∴当B、OF三点共线时BF最长；最大值为(+)a．
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的三边关系，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键．
21、（1）进馆人次的月平均增长率为20%；（2）到第五个月时，进馆人数将超过学校图书馆的接纳能力，见解析
【分析】（1）设进馆人次的月平均增长率为x，根据第三个月进馆达到288次，列方程求解；
（2）根据（1）所计算出的月平均增长率，计算出第五个月的进馆人次，再与400比较大小即可．
【详解】（1）设进馆人次的月平均增长率为x，根据题意，得：
200 (1+x)2=288
解得：x1=0.2，x2=﹣2.2(舍去)．
答：进馆人次的月平均增长率为20%．
（2）第四个月进馆人数为288(1+0.2)=345.6(人次)，第五个月进馆人数为288(1+0.2)2=414.1(人次)，
由于400＜414.1．
答：到第五个月时，进馆人数将超过学校图书馆的接纳能力．
本题考查了一元二次方程的应用-增长率问题，列出方程是解答本题的关键．本题难度适中，属于中档题．
22、（1）详见解析；（2）详见解析．
【分析】（1）根据切线的性质得到∠GAF=90°，根据平行线的性质得到AE⊥BC，根据圆周角定理即可得到结论；
（2）由DF=2OD，得到OF=3OD=3OC，由得到OC=OD=3OE，推出△COE∽△FOC，根据相似三角形的性质得到∠OCF=∠OEC=90°，于是得到CF是⊙O的切线．
【详解】解：(1) 是的切线，是的直径，
，
，
，
，
，
，
；
(2) ，
，
，
，
，
，
是的切线．
本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，根据切线的判定和性质去分析所缺条件是解题的关键．
23、
【分析】设该商店的每月盈利的平均增长率为x，根据“2月份盈利2400元，4月份盈利达到3456元，且从2月份到4月份，每月盈利的平均增长率相同”，列出关于x的一元二次方程，解之即可．
【详解】设该商店的每月盈利的平均增长率为x，
根据题意得：2400（1＋x）2＝3456，
解得：x1＝0.2，x2＝−2.2（舍去），
答：每月盈利的平均增长率为20%．
本题考查了一元二次方程的应用，正确找出等量关系，列出一元二次方程是解题的关键．
24、（1） （2）存在， （3）Q点的坐标为或
【分析】（1）根据抛物线的对称性求出，再利用待定系数法求解即可；
（2）连接OP，设，根据三角形面积的关系可得，即可求出P点的坐标；
（3）分两种情况：①当Q在BC的上方时，过C作交AB于D；②当Q在BC的下方时，连接BQ交y轴于点E，根据全等三角形的性质联立方程求解即可．
【详解】（1）∵抛物线的对称轴为直线

解得
；
（2）连接OP

设

∵P在对称轴的右侧

；
（3）①当Q在BC的上方时，过C作交AB于D

设CD的解析式为

∴设BQ的解析式为

解得

②当Q在BC的下方时，连接BQ交y轴于点E

设BE的解析式为

解得

综上所述，Q点的坐标为或．
本题考查了二次函数的综合问题，掌握二次函数的性质、待定系数法、三角形面积公式、一次函数的性质、全等三角形的性质、平行线的性质、解方程组的方法是解题的关键．
25、（1）见解析；（2）；（3）
【分析】（1）由等腰三角形的性质可得，然后根据三角形的外角性质可得，进而可证得结论；
（2）根据相似三角形的对应边成比例可得CE与x的关系，进一步即可得出结果；
（3）根据（2）题的结果，利用二次函数的性质可得AE最短时x的值，即BD的长，进而可得AD的长和△ADC的面积，进一步利用所求三角形的面积与△ADC的面积之比等于AE与AC之比即得答案.
【详解】解：（1）∵，∴，∵，∴，
∵，∴，
∴；

（2）∵，∴，∴，
∴，
∴；
（3）∵，∴时，的值最小为6.4，此时，
∵，∴，∴，
∴，

∵，即，
∴.
本题考查了相似三角形的判定和性质、二次函数的性质、勾股定理、等腰三角形的性质和三角形的面积等知识，属于中档题型，熟练掌握相似三角形的判定和性质与二次函数的性质是解题的关键.
26、（1）CM＝；（2）r＝2﹣2；（3）1．
【分析】（1）如图1中，连接OM，OC，作OH⊥BC于H．首先证明CM＝2OD，设AO＝CO＝r，在Rt△CDO中，根据OC2＝CD2+OD2，构建方程求出r即可解决问题．
（2）证明△OEF，△ABE都是等腰直角三角形，设OA＝OF＝EF＝r，则OE＝r，根据AE＝2，构建方程即可解决问题．
（3）分别求出S1、S2、S3的值即可解决问题．

【详解】解：（1）如图1中，连接OM，OC，作OH⊥BC于H．

∵OH⊥CM，
∴MH＝CH，∠OHC＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠HCD＝90°，
∴四边形CDOH是矩形，
∴CH＝OD，CM＝2OD，
设AO＝CO＝r，
在Rt△CDO中，∵OC2＝CD2+OD2，
∴r2＝22+（3﹣r）2，
∴r＝，
∴OD＝3﹣r＝，
∴CM＝2OD＝．
（2）如图2中，

∵BE是⊙O的切线，
∴OF⊥BE，
∵EF＝FO，
∴∠FEO＝45°，
∵∠BAE＝90°，
∴∠ABE＝∠AEB＝45°，
∴AB＝BE＝2，
设OA＝OF＝EF＝r，则OE＝r，
∴r+r＝2，
∴r＝2﹣2．
（3）如图3中，

由题意：直线AB，直线BH，直线CD都是⊙O的切线，
∴BA＝BF＝2，FH＝HD，设FH＝HD＝x，
在Rt△BCH中，∵BH2＝BC2+CH2，
∴（2+x）2＝32+（2﹣x）2，
∴x＝，
∴CH＝，
∴S1＝
S2＝，
S3＝＝3，
∴．
本题属于圆综合题，考查了切线的判定和性质，勾股定理，垂径定理，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．