江苏省盐城市东台实验2025届数学九上期末学业质量监测模拟试题含解析.doc

2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（每题4分，共48分）
1．如图，AE是四边形ABCD外接圆⊙O的直径，AD＝CD，∠B＝50°，则∠DAE的度数为（　　）

A．70° B．65° C．60° D．55°
2．已知一个几何体从三个不同方向看到的图形如图所示，则这个几何体是（ ）

A．三棱柱 B．三棱锥 C．圆柱 D．圆锥
3．如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的一个交点为A(1，0)，对称轴是直线x＝－1，则ax2＋bx＋c＝0的解是( )

A．x1＝－3，x2＝1 B．x1＝3，x2＝1 C．x＝－3 D．x＝－2
4．如图，反比例函数第一象限内的图象经过的顶点，，，且轴，点，，的横坐标分别为1，3，若，则的值为（ ）

A．1 B． C． D．2
5．如图，已知抛物线与轴分别交于、两点，将抛物线向上平移得到，过点作轴交抛物线于点，如果由抛物线、、直线及轴所围成的阴影部分的面积为，则抛物线的函数表达式为（ ）

A． B．
C． D．
6．两三角形的相似比是2：3，则其面积之比是（　　）
A．： B．2：3 C．4：9 D．8：27
7．抛物线y=﹣2（x﹣1）2﹣3与y轴交点的横坐标为（ ）
A．﹣3 B．﹣4 C．﹣5 D．0
8．边长为2的正六边形的面积为（　　）
A．6 B．6 C．6 D．
9．已知线段，，如果线段是线段和的比例中项，那么线段的长度是（ ）．
A．8； B．； C．； D．1．
10．若一组数据为3，5，4，5，6则这组数据的众数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
11．要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5，6，9，另一个三角形的最长边长为4.5，则它的最短边长是（ ）
A． B． C． D．
12．四条线段成比例,其中＝3，，，则等于(   )
A．2㎝ B．㎝ C． D．8㎝
二、填空题（每题4分，共24分）
13．如图，用圆心角为120°，半径为6cm的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽，则这个纸帽的高是_____cm．

14．将“定理”的英文单词theorem中的7个字母分别写在7张相同的卡片上，字面朝下随意放在桌子上，任取一张，那么取到字母e的概率为 ．
15．如图是二次函数y＝ax2﹣bx＋c的图象，由图象可知，不等式ax2﹣bx＋c＜0的解集是_______．

16．一个不透明的袋子中装有除颜色外其他都相同的2个红球和1个黄球，随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸岀一个，则两次都摸到黄球的概率为__________．
17．当_____时，在实数范围内有意义．
18．如图，在中，，，，用含和的代数式表示的值为：_________．

三、解答题（共78分）
19．（8分）如图，直线y＝ax+b与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，﹣2），与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点C（6，m）．
（1）求直线和反比例函数的表达式；
（2）连接OC，在x轴上找一点P，使△OPC是以OC为腰的等腰三角形，请求出点P的坐标；
（3）结合图象，请直接写出不等式≥ax+b的解集．

20．（8分）根据要求完成下列题目：

（1）图中有 块小正方体；
（2）请在下面方格纸中分别画出它的主视图，左视图和俯视图.
21．（8分）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC＝30°，将△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度得到△AED，点B、C的对应点分别是E、D.
(1)如图1，当点E恰好在AC上时，求∠CDE的度数；
(2)如图2，若=60°时，点F是边AC中点，求证：四边形BFDE是平行四边形.

22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC顶点的坐标分别为A（﹣3，3），B（﹣5，2），C（﹣1，1）．
（1）以点C为位似中心，作出△ABC的位似图形△A1B1C，使其位似比为1：2，且A₁B₁C位于点C的异侧，并表示出点A1的坐标．
（2）作出△ABC绕点C顺时针旋转90°后的图形△A2B2C．
（3）在（2）的条件下求出点B经过的路径长（结果保留π）．

23．（10分）甲、乙两名同学玩一个游戏：在一个不透明的口袋中装有标号分别为1，2，3，4的四个小球(除标号外无其它差异).从口袋中随机摸出一个小球，记下标号后放回口袋中，充分摇匀后，再从口袋中随机摸出一个小球，记下该小球的标号，两次记下的标号分别用x、y表示.若x＋y为奇数，则甲获胜；若x＋y为偶数，则乙获胜.
(1)用列表法或树状图法(树状图也称树形图)中的一种方法，求(x，y)所有可能出现的结果总数；
(2)你认为这个游戏对双方公平吗？请说明理由.
24．（10分）某市“艺术节”期间，小明、小亮都想去观看茶艺表演，但是只有一张茶艺表演门票，他们决定采用抽卡片的办法确定谁去．规则如下：
将正面分别标有数字1、2、3、4的四张卡片（除数字外其余都相同）洗匀后，背面朝上放置在桌面上，随机抽出一张记下数字后放回；重新洗匀后背面朝上放置在桌面上，再随机抽出一张记下数字．如果两个数字之和为奇数，则小明去；如果两个数字之和为偶数，则小亮去．
（1）请用列表或画树状图的方法表示抽出的两张卡片上的数字之和的所有可能出现的结果；
（2）你认为这个规则公平吗？请说明理由．
25．（12分）女本柔弱，为母则刚，说的是母亲对子女无私的爱，母爱伟大，值此母亲节来临之际，某花店推出一款康乃馨花束，经过近几年的市场调研发现，该花束在母亲节的销售量（束）与销售单价（元）之间满足如图所示的一次函数关系，已知该花束的成本是每束100元．
（1）求出关于的函数关系式（不要求写的取值范围）；
（2）设该花束在母亲节盈利为元，写出关于的函数关系式：并求出当售价定为多少元时，利润最大？最大值是多少？
（3）花店开拓新的进货渠道，以降低成本．预计在今后的销售中，母亲节期间该花束的销售量与销售单价仍存在（1）中的关系．若想实现销售单价为200元，且销售利润不低于9900元的销售目标，该花束每束的成本应不超过多少元．

26．如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝（x＜0）的图象经过点A（﹣1，6）．
（1）求k的值；
（2）已知点P（a，﹣2a）（a＜0），过点P作平行于x轴的直线，交直线y＝﹣2x﹣2于点M，交函数y＝（x＜0）的图象于点N．
①当a＝﹣1时，求线段PM和PN的长；
②若PN≥2PM，结合函数的图象，直接写出a的取值范围．

参考答案

一、选择题（每题4分，共48分）
1、B
【分析】连接OC、OD，利用圆心角、弧、弦的关系以及圆周角定理求得∠AOD＝50°，然后根据的等腰三角形的性质以及三角形内角和定理即可求得∠DAE＝65°．
【详解】解：连接OC、OD，
∵AD＝CD，
∴，
∴∠AOD＝∠COD，
∵∠AOC＝2∠B＝2×50°＝100°，
∴AOD＝50°，
∵OA＝OD，
∴∠DAO＝∠ADO＝，即∠DAE＝65°，
故选：B．
本题考查了圆中弦，弧，圆心角之间的关系，圆周角定理和三角形内角和，解决本题的关键是正确理解题意，能够熟练掌握圆心角，弧，弦之间的关系.
2、D
【分析】由主视图和左视图可得此几何体为锥体，根据俯视图是圆及圆心可判断出此几何体为圆锥．
【详解】解：主视图和左视图都是三角形，
此几何体为椎体，
俯视图是一个圆，
此几何体为圆锥．
故选：D．
本题主要考查了由三视图判断几何体，由主视图和左视图可得几何体是柱体，锥体还是球体，由俯视图可确定几何体的具体形状．
3、A
【解析】已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的一个交点为A(1，0)，对称轴是直线x＝－1，由此可得抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-3,0），所以方程ax2＋bx＋c＝0的解是x1＝－3，x2＝1，故选A.
4、C
【分析】先表示出CD，AD的长，然后在Rt△ACD中利用∠ACD的正切列方程求解即可．
【详解】过点作，
∵点、点的横坐标分别为1，3，
且，均在反比例函数第一象限内的图象上，
∴，，
∴CD=2，AD=k-，
∵，，，
∴，，
∵tan∠ACD=，
∴，即，∴．
故选：C．

本题考查了等腰三角形的性质，解直角三角形，以及反比例函数图像上点的坐标特征，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．
5、A
【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征求出抛物线与x轴交点的横坐标，由阴影部分的面积等于矩形OABC的面积可求出AB的长度，再利用平移的性质“左加右减，上加下减”，即可求出抛物线的函数表达式．
【详解】当y＝0时，有（x−2）2−2＝0，
解得：x1＝0，x2＝1，
∴OA＝1．
∵S阴影＝OA×AB＝16，
∴AB＝1，
∴抛物线的函数表达式为y＝（x−2）2−2＋1＝
故选A．

本题考查了抛物线与x轴的交点、矩形的面积以及二次函数图形与几何变换，观察图形，找出阴影部分的面积等于矩形OABC的面积是解题的关键．
6、C
【解析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．
【详解】∵两三角形的相似比是2：3，
∴其面积之比是4：9，
故选C．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键.
7、D
【分析】把x=0代入抛物线y=﹣2（x﹣1）2﹣3，即得抛物线y=﹣2（x﹣1）2﹣3与y轴的交点．
【详解】当x=0时，抛物线y=﹣2（x﹣1）2﹣3与y轴相交，把x=0代入y=﹣2（x﹣1）2﹣3，求得y=-5，
∴抛物线y=﹣2（x﹣1）2﹣3与y轴的交点坐标为（0，-5）．
故选：D．
此题考查了二次函数的性质，二次函数与y轴的交点坐标，解题关键在于掌握当x=0时，即可求得二次函数与y轴的交点．
8、A
【解析】首先根据题意作出图形，然后可得△OBC是等边三角形，然后由三角函数的性质，求得OH的长，继而求得正六边形的面积．
【详解】解：如图，连接OB，OC，过点O作OH⊥BC于H，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BOC＝×360°＝60°，
∵OB＝0C，
∴△OBC是等边三角形，
∴BC＝OB＝OC＝2，
∴它的半径为2，边长为2；
∵在Rt△OBH中，OH＝OB•sin60°＝2×，
∴边心距是：；
∴S正六边形ABCDEF＝6S△OBC＝6××2×＝6．
故选：A．

本题考查圆的内接正六边形的性质、正多边形的内角和、等边三角形的判定与性质以及三角函数等知识．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
9、A
【解析】根据线段比例中项的概念，可得，可得，解方程可求．
【详解】解：若是、的比例中项，即，
∴,
∴，
故选：．
本题考查了比例中项的概念，注意：求两条线段的比例中项的时候，负数应舍去．
10、C
【分析】根据众数的定义即可求解．
【详解】一组数据为3，5，4，5，6中，
5出现的次数最多，
∴这组数据的众数为5；
故选：C．
本题考查了众数的概念，众数是一组数据中出现次数最多的数，注意一组数据的众数可能不只一个．
11、B
【分析】根据题意可得出两个三角形相似，利用最长边数值可求出相似比，再用三角形的最短边乘以相似比即可．
【详解】解：由题意可得出：两个三角形的相似比为：，
所以另一个三角形最短边长为：．
故选：B．
本题考查的知识点是相似三角形的相似比，根据题目求出两个三角形的相似比是解此题的关键．
12、A
【分析】四条线段a，b，c，d成比例，则 = ，代入即可求得b的值．
【详解】解：∵四条线段a，b，c，d成比例，
∴ =，
∴b= = =2（cm）．
故选A．
本题考查成比例线段，解题关键是正确理解四条线段a，b，c，d成比例的定义．

二、填空题（每题4分，共24分）
13、
【分析】先求出扇形弧长，再求出圆锥的底面半径，再根据勾股定理 即可出圆锥的高.
【详解】圆心角为120°，半径为6cm的扇形的弧长为4cm
∴圆锥的底面半径为2，
故圆锥的高为=4cm
此题主要考查圆的弧长及圆锥的底面半径，解题的关键是熟知圆的相关公式.
14、
【解析】试题分析：根据概率的求法，找准两点：①全部等可能情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．因此，
∵theorem中的7个字母中有2个字母e，∴任取一张，那么取到字母e的概率为．
15、x＜－1或x＞1
【分析】根据二次函数的对称性求出与x轴的另一个交点坐标，然后根据函数图象写出x轴上方部分的x的取值范围即可．
【详解】解：由对称性得：抛物线与x轴的另一个交点为（-1，0），
∴不等式ax2﹣bx＋c＜0的解集是：x＜－1或x＞1，
故答案为：x＜－1或x＞1．
本题考查了二次函数与不等式组，二次函数的性质，此类题目，利用数形结合的思想求解是解题的关键．
16、
【分析】首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与两次都摸到黄球的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】画树状图如下：

由树状图可知，共有9种等可能结果，其中两次都摸到黄球的有1种结果，
∴两次都摸到黄球的概率为；
故答案为：．
此题考查列表法或树状图法求概率．解题关键在于掌握注意画树状图与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．
17、x≥1且x≠1
【分析】二次根式及分式有意义的条件：被开方数为非负数，分母不为1，据此解答即可．
【详解】∵有意义，
∴x≥1且﹣1≠1，
∴x≥1且x≠1时，在实数范围内有意义，
故答案为：x≥1且x≠1
本题考查二次根式和分式有意义的条件，要使二次根式有意义，被开方数为非负数；要使分式有意义分母不为1．
18、
【分析】分别在Rt△ABC和Rt△ADC中用AC和的三角函数表示出AB和AD，进一步即可求出结果．
【详解】解：在Rt△ABC中，∵，∴，
在Rt△ADC中，∵，∴，
∴．
故答案为：．
本题考查了三角函数的知识，属于常考题型，熟练掌握正弦的定义是解题的关键．

三、解答题（共78分
19、（1）y＝x﹣1；y＝；（1）点P1的坐标为（，0），点P1的坐标为（﹣，0），（11，0）；（3）0＜x≤2
【解析】（1）根据点A，B的坐标，利用待定系数法即可求出直线AB的函数表达式，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点C的坐标，由点C的坐标，利用待定系数法即可求出反比例函数的表达式；
（1）过点C作CD⊥x轴，垂足为D点，利用勾股定理看求出OC的长，分OC＝OP和CO＝CP两种情况考虑：①当OP＝OC时，由OC的长可得出OP的长，进而可求出点P的坐标；②当CO＝CP时，利用等腰三角形的性质可得出OD＝PD，结合OD的长可得出OP的长，进而可得出点P的坐标；
（3）观察图形，由两函数图象的上下位置关系，即可求出不等式≥ax+b的解集．
【详解】解：（1）将A（4，0），B（0，﹣1）代入y＝ax+b，得：
，解得：，
∴直线AB的函数表达式为y＝x﹣1．
当x＝2时，y＝x﹣1＝1，
∴点C的坐标为（2，1）．
将C（2，1）代入y＝，得：1＝，
解得：k＝2，
∴反比例函数的表达式为y＝．
（1）过点C作CD⊥x轴，垂足为D点，则OD＝2，CD＝1，
∴OC＝．
∵OC为腰，
∴分两种情况考虑，如图1所示：
①当OP＝OC时，∵OC＝，
∴OP＝，
∴点P1的坐标为（，0），点P1的坐标为（﹣，0）；
②当CO＝CP时，DP＝DO＝2，
∴OP＝1OD＝11，
∴点P3的坐标为（11，0）．
（3）观察函数图象，可知：当0＜x＜2时，反比例函数y＝的图象在直线y＝x﹣1的上方，
∴不等式≥ax+b的解集为0＜x≤2．

本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求反比例函数解析式、等腰三角形的性质、勾股定理以及反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出一次（反比例）函数的关系式；（1）分OC=OP和CO=CP两种情况求出点P的坐标；（3）根据两函数图象的上下位置关系，找出不等式的解集．
20、6，根据三视图的基本画法，画出其基本三视图
【分析】试题分析：
小正方形的数=3+2+1=6

考点：简单图形三视图的画法
点评：三视图的图形画法是常考知识点，需要考生在熟练把握的基础上画出各种图形的三视图
【详解】
21、（1）15°；（2）证明见解析.
【分析】（1）如图1，利用旋转的性质得CA＝DA，∠CAD＝∠BAC＝30°，∠DEA＝∠ABC＝90°，再根据等腰三角形的性质求出∠ADC，从而计算出∠CDE的度数；
（2）如图2，利用直角三角形斜边上的中线性质得到BF＝AC，利用含30度的直角三角形三边的关系得到BC＝AC，则BF＝BC，再根据旋转的性质得到∠BAE＝∠CAD＝60°，AB＝AE，AC＝AD ，DE＝BC，从而得到DE＝BF，△ACD和△BAE为等边三角形，接着由△AFD≌△CBA得到DF＝BA，然后根据平行四边形的判定方法得到结论．
【详解】解：（1）如图1，∵△ABC绕点A顺时针旋转α得到△AED，点E恰好在AC上，
∴∠CAD＝∠BAC＝30°，∠DEA＝∠ABC＝90°，
∵CA＝DA，
∴∠ACD＝∠ADC＝（180°−30°）＝75°，∠ADE=90°-30°=60°，
∴∠CDE＝75°−60°＝15°；
（2）证明：如图2，
∵点F是边AC中点，
∴BF＝AC，
∵∠BAC＝30°，
∴BC＝AC，
∴BF＝BC，
∵△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，
∴∠BAE＝∠CAD＝60°，AB＝AE，AC＝AD，DE＝BC，
∴DE＝BF，△ACD和△BAE为等边三角形，
∴BE＝AB，
∵点F为△ACD的边AC的中点，
∴DF⊥AC，
易证得△AFD≌△CBA，
∴DF＝BA，
∴DF＝BE，
而BF＝DE，
∴四边形BEDF是平行四边形．

本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了平行四边形的判定．
22、（1）见解析，A1(3，﹣3)；（2）见解析；（3）
【分析】（1）延长BC到B1，使B1C=2BC，延长AC到A1，使A1C=2AC，再顺次连接即可得△A1B1C，再写出A1坐标即可；
（2）分别作出A，B绕C点顺时针旋转90°后的对应点A2，B2，再顺次连接即可得△A2B2C．
（3）点B的运动路径为以C为圆心，圆心角为90°的弧长，利用弧长公式即可求解．
【详解】解：（1）如图，△A1B1C为所作，点A1的坐标为（3，﹣3）；

（2）如图，△A2B2C为所作；
（3）CB=，
所以点B经过的路径长=π．
本题考查网格作图与弧长计算，熟练掌握位似与旋转作图，以及弧长公式是解题的关键．
23、 (1)见解析；(2)这个游戏对双方公平，理由见解析.
分析】(1)通过列表法即可得(x,y)所有可能出现的结果数；
(2)根据(1)的结果，分别找出x+y为奇数、x+y为偶数的结果数，利用概率公式分别求解后进行比较即可.
【详解】(1)列表如下：

1
2
3
4
1
(1，1)
(1，2)
(1，3)
(1，4)
2
(2，1)
(2，2)
(2，3)
(2，4)
3
(3，1)
(3，2)
(3，3)
(3，4)
4
(4，1)
(4，2)
(4，3)
(4，4)
由表格可知(x，y)所有可能出现的结果共有16种；
(2)这个游戏对双方公平，理由如下：
由列表法可知，在16种可能出现的结果中，它们出现的可能性相等，
∵x＋y为奇数的有8种情况，∴P(甲获胜)＝，
∵x＋y为偶数的有8种情况，∴P(乙获胜)＝ ，
∴P(甲获胜)＝P(乙获胜)，
∴这个游戏对双方公平.
本题考查了列表法或树状图法求概率，判断游戏的公平性，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
24、（1）见解析
（2）公平，理由见解析
【分析】（1）用列表法将所有等可能的结果一一列举出来即可；
（2）求得两人获胜的概率，若相等则公平，否则不公平．
【详解】解：（1）根据题意列表得：

（2）由列表得：共16种情况，其中奇数有8种，偶数有8种，
∴和为偶数和和为奇数的概率均为 ，
∴这个游戏公平．
点评：本题考查了游戏公平性及列表与列树形图的知识，难度不大，是经常出现的一个知识点．
25、（1）；（2），240，9800；（3）1．
【分析】（1）根据题目中所给的图象，确定一次函数图象经过点，，再利用待定系数法求出关于的函数关系式即可；
（2）根据“总利润=单件的利润×销售量”列出W与x的二次函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可；
(3)根据题意可以列出相应的不等式，从而可以解得该花束每束的成本．
【详解】解：（1）设一次函数关系式为，
由题图知该函数图象过点，，
则，
解得，
∴关于的函数关系式为
（2）由题知，
∴当时，有最大值，最大值为9800元；
（3）设该花束每束的成本为元，
由题意知，
解得．
答：该花束每束的成本应不超过1元．
本题考查二次函数的应用、不等式的应用，解答本题的关键是明确题意,找出所求问题 需要的条件,利用函数和数形结合的思想解答．
26、（1）k=-3；（3）①PM＝1，PN＝3；②a≤﹣3或﹣1≤a＜1．
【分析】（1）把点A（﹣1，3）代入解析式即可求解；
（3）①当a＝﹣1时，点P的坐标为（﹣1，3），把y＝3分别代入y＝﹣3x﹣3与y＝﹣即可求得M、N的坐标，进一步即可求得PM、PN；
②先求出PN＝3PM时a的值，再根据函数的图象即可求解．
【详解】（1）∵函数y＝（x＜1）的图象经过点A（﹣1，3）．
∴k＝﹣1×3＝﹣3．
（3）①当a＝﹣1时，点P的坐标为（﹣1，3）．
∵直线y＝﹣3x﹣3，反比例函数的解析式为y＝﹣，PN∥x轴，
∴把y＝3代入y＝﹣3x﹣3，求得x＝﹣3，代入y＝﹣求得x＝﹣3，
∴M（﹣3，3），N（﹣3，3），
∴PM＝1，PN＝3．
②把y＝-3a代入y＝﹣3x﹣3，求得x＝a-1；代入y＝﹣求得x＝，
∴M点的坐标为(a-1，-3a)，N点的坐标为(，-3a)
当PN＝3PM时， ，解得：a=±1或±3（负值舍去）
∴当a＝﹣1或a＝﹣3时，PN＝3PM，
∴根据图象PN≥3PM，a的取值范围为a≤﹣3或﹣1≤a＜1．

本题考查了反比例函数与一次函数的图象，反比例函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，利用数形结合是解题的关键．