山西省临汾市名校2024年数学九上期末学业质量监测模拟试题含解析.doc

2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图，正方形的边长为，动点，同时从点出发，在正方形的边上，分别按，的方向，都以的速度运动，到达点运动终止，连接，设运动时间为，的面积为，则下列图象中能大致表示与的函数关系的是（　　）

A． B．
C． D．
2．如图，与正方形ABCD的两边AB，AD相切，且DE与相切于点E．若的半径为5，且，则DE的长度为（ ）

A．5 B．6 C． D．
3．已知的半径为，点到直线的距离为，若直线与公共点的个数为个，则可取（ ）
A． B． C． D．
4．已知抛物线的解析式为y=（x-2）2+1，则这条抛物线的顶点坐标是（ ）.
A．（﹣2，1） B．（2，1） C．（2，﹣1） D．（1，2）
5．如图为二次函数的图象，在下列说法中：①；②方程的根是，；③④当时，随的增大而减小．不正确的说法有( )

A．① B．①② C．①③ D．②④
6．若关于的方程的一个根是，则的值是（ ）
A． B． C． D．
7．下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A．掷一枚硬币，正面朝上． B．抛出的篮球会下落．
C．任意的三条线段可以组成三角形 D．同位角相等
8．若，两点均在函数的图象上，且，则与的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
9．函数y=与y=-kx2+k（k≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（      ）
A． B． C． D．
10．如图所示的是太原市某公园“水上滑梯”的侧面图，其中段可看成是双曲线的一部分，其中，矩形中有一个向上攀爬的梯子，米，入口，且米，出口点距水面的距离为米，则点之间的水平距离的长度为（ ）

A．米 B．米 C．米 D．米
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．扫地机器人能够自主移动并作出反应，是因为它发射红外信号反射回接收器，机器人在打扫房间时，若碰到障碍物则发起警报．若某一房间内A、B两点之间有障碍物，现将A、B两点放置于平面直角坐标系xOy中（如图），已知点A，B的坐标分别为(0，4)，(6，4)，机器人沿抛物线y＝ax2﹣4ax﹣5a运动．若机器人在运动过程中只触发一次报警，则a的取值范围是_____．

12．一定质量的二氧化碳，其体积V（m3）是密度ρ（kg/m3）的反比例函数，请你根据图中的已知条件，写出反比例函数的关系式，当V=1.9m3时，ρ=________．

13．如图所示，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与原点重合，顶点A，C分别在x轴、y轴上，双曲线y＝kx﹣1（k≠0，x＞0）与边AB、BC分别交于点N、F，连接ON、OF、NF．若∠NOF＝45°，NF＝2，则点C的坐标为_____．

14．抛物线y＝（x﹣1）2﹣2与y轴的交点坐标是_____．
15．如图抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是x＝﹣1，与x轴的一个交点为（﹣5，0），则不等式ax2+bx+c＞0的解集为_____．

16．一个反比例函数的图像过点，则这个反比例函数的表达式为__________．
17．如果关于x的一元二次方程（k+2）x2﹣3x+1＝0有实数根，那么k的取值范围是______．
18．一棵参天大树，树干周长为3米，地上有一根常春藤恰好绕了它5圈，藤尖离地面20米高，那么这根常春藤至少有____米．
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，是的直径，弦于点，是上一点，，的延长线交于点．

（1）求证：．
（2）当平分，，，求弦的长．
20．（6分）如图，在中，D、E分别为BC、AC上的点.若，AB＝8cm，求DE的长.

21．（6分）问题发现：
（1）如图1，内接于半径为4的，若，则_______；

问题探究：
（2）如图2，四边形内接于半径为6的，若，求四边形的面积最大值；
解决问题

（3）如图3，一块空地由三条直路（线段、AB、）和一条弧形道路围成，点是道路上的一个地铁站口，已知千米，千米，，的半径为1千米，市政府准备将这块空地规划为一个公园，主入口在点处，另外三个入口分别在点、、处，其中点在上，并在公园中修四条慢跑道，即图中的线段、、、，是否存在一种规划方案，使得四条慢跑道总长度（即四边形的周长）最大？若存在，求其最大值；若不存在，说明理由.
22．（8分）如图所示，在Rt△ABC中，点O在斜边AB上，以O为圆心，OB为半径作圆O，分别与BC、AB相交于点D、E，连接AD，已知∠CAD＝∠B．

（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若∠B＝30°，CD＝，求劣弧BD的长；
（3）若AC＝2，BD＝3，求AE的长．
23．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣2，﹣4）、B（0，﹣4）、C（1，﹣2）．
（1）△ABC关于原点O对称的图形是△A1B1C1，不用画图，请直接写出△A1B1C1的顶点坐标：A1　 　，B1　 　，C1　 　；
（2）在图中画出△ABC关于原点O逆时针旋转90°后的图形△A2B2C2，请直接写出△A2B2C2的顶点坐标：A2　 　，B2　 　，C2　 　．

24．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的边AB＝4，BC＝1．若不改变矩形ABCD的形状和大小，当矩形顶点A在x轴的正半轴上左右移动时，矩形的另一个顶点D始终在y轴的正半轴上随之上下移动．
(1)当∠OAD＝30°时，求点C的坐标；
(2)设AD的中点为M，连接OM、MC，当四边形OMCD的面积为时，求OA的长；
(3)当点A移动到某一位置时，点C到点O的距离有最大值，请直接写出最大值，并求此时cos∠OAD的值．

25．（10分）解方程：
26．（10分） (1)(x－5)2－9＝0 (2)x2＋4x－2＝0
参考答案

一、选择题(每小题3分,共30分)
1、A
【分析】根据题意结合图形，分情况讨论：①时，根据，列出函数关系式，从而得到函数图象；②时，根据列出函数关系式，从而得到函数图象，再结合四个选项即可得解．
【详解】①当时，
∵正方形的边长为，
∴；
②当时，

，
所以，与之间的函数关系可以用两段二次函数图象表示，纵观各选项，只有A选项图象符合，
故选A．

本题考查了动点问题的函数图象，根据题意，分别求出两个时间段的函数关系式是解题的关键．
2、B
【分析】连接OE，OF，OG，根据切线性质证四边形ABCD为正方形，根据正方形性质和切线长性质可得DE=DF.
【详解】连接OE，OF，OG，

∵AB，AD，DE都与圆O相切，
∴DE⊥OE，OG⊥AB，OF⊥AD，DF=DE，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD=11，∠A=90°，
∴∠A=∠AGO=∠AFO=90°，
∵OF=OG=5，
∴四边形AFOG为正方形，
则DE=DF=11-5=6，
故选：B
考核知识点：切线和切线长定理.作辅助线，利用切线长性质求解是关键.
3、A
【分析】根据直线和圆的位置关系判断方法，可得结论．
【详解】∵直线m与⊙O公共点的个数为2个，
∴直线与圆相交，
∴d＜半径，
∴d＜3，
故选：A．
本题考查了直线与圆的位置关系，掌握直线和圆的位置关系判断方法：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d：①直线l和⊙O相交⇔d＜r②直线l和⊙O相切⇔d=r，③直线l和⊙O相离⇔d＞r．
4、B
【解析】根据顶点式y=（x-h）2+k的顶点为（h，k），由y=（x-2）2+1为抛物线的顶点式，顶点坐标为（2，1）．
故选：B．
5、A
【分析】根据二次函数的图象与性质（对称性、增减性）、以及与二次方程的关系逐个判断即可．
【详解】二次函数的图象的开口向下，与y轴正半轴相交

，则①不正确
二次函数的对称轴为，与x轴的一个交点为
与x轴的另一个交点为
方程的根是，则②正确
二次函数的图象上，所对应的点位于第一象限，即
，则③正确
由二次函数的图象可知，当时，随的增大而减小，则④正确
综上不正确的说法只有①
故选：A．
本题考查了二次函数的图象与性质（对称性、增减性）、以及与二次方程的关系，掌握理解并灵活运用函数的性质是解题关键．
6、A
【分析】把代入方程，即可求出的值.
【详解】解：∵方程的一个根是，
∴，
∴，
故选：A.
本题考查了一元二次方程的解，以及解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解方程的步骤.
7、B
【分析】直接利用随机事件以及必然事件的定义分别分析得出答案．
【详解】A、掷一枚硬币，正面朝上，是随机事件，故此选项错误；
B、抛出的篮球会下落是必然事件，故此选项正确；
C、任意三条线段可以组成一个三角形是随机事件，故此选项错误；
D、同位角相等，属于随机事件，故此选项错误；
故选：B．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
8、A
【分析】将点A（a-1，b），B（a-2，c）代入得出方程组，根据方程组中两个方程相减可得出b-c=2a-1，结合可得到b-c的正负情况，本题得以解决．
【详解】解：∵点A（a-1，b），B（a-2，c）在二次函数的图象上，
∴，
∴b-c=2a-1，
又，∴b-c=2a-1＜0，
∴b＜c，
故选：A．
本题考查二次函数图象上的点以及不等式的性质，解答本题的关键是将已知点的坐标代入二次函数解析式，得出b-c=2a-1．
9、B
【分析】先由反比例函数的图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比较看是否一致，由此即可解答．
【详解】由解析式y=-kx2+k可得：抛物线对称轴x=0；
选项A，由双曲线的两支分别位于二、四象限，可得k＜0，则-k＞0，抛物线开口方向向上、抛物线与y轴的交点为y轴的负半轴上；本图象与k的取值相矛盾，选项A错误；
选项B，由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则-k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象符合题意，选项B正确；
选项C，由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则-k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾，选项C错误；
选项D，由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则-k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾，选项D错误．
故选B．
本题主要考查了二次函数及反比例函数和图象，解决此类问题步骤一般为：（1）先根据图象的特点判断k取值是否矛盾；（2）根据二次函数图象判断抛物线与y轴的交点是否符合要求．
10、D
【分析】根据题意B、C所在的双曲线为反比例函数，B点的坐标已知为B（2,5），代入即可求出反比例函数的解析式：y= ，C（x，1）代入y=中，求出C点横坐标为10，可以得出DE=OD-OE即可求出答案.
【详解】解：设B、C所在的反比例函数为y= B（xB,yB）
∴ xB=OE=AB=2 yB=EB=OA=5 代入反比例函数式中
5= 得到 k=10
∴y=
∵ C(xC, yC) yC=CD=1 代入y=中
∴ 1= xC=10
∴ DE=OD-OE= xC- xB=10-2=8
故选D
此题主要考查了反比例函数的定义，根据已知参数求出反比例函数解析式是解题的关键.

二、填空题(每小题3分,共24分)
11、﹣＜a＜
【分析】根据题意可以知道抛物线与线段AB有一个交点，根据抛物线对称轴及其与y轴的交点即可求解．
【详解】解：由题意可知：
∵点A、B坐标分别为（0，1），（6，1），
∴线段AB的解析式为y＝1．
机器人沿抛物线y＝ax2﹣1ax﹣5a运动．
抛物线对称轴方程为：x＝2，
机器人在运动过程中只触发一次报警，
所以抛物线与线段y＝1只有一个交点．
所以抛物线经过点A下方．
∴﹣5a＜1
解得a＞﹣．
1＝ax2﹣1ax﹣5a，
△＝0
即36a2+16a＝0，
解得a1＝0（不符合题意，舍去），a2＝．
当抛物线恰好经过点B时，
即当x＝6，y＝1时，
36a﹣21a﹣5a＝1，
解得a＝
综上：a的取值范围是﹣＜a＜
本题考查二次函数的应用,关键在于熟悉二次函数的性质,结合图形灵活运用.
12、
【解析】由图象可得k=9.5，进而得出V=1.9m1时，ρ的值．
【详解】解：设函数关系式为：V=，由图象可得：V=5，ρ=1.9，代入得：
k=5×1.9=9.5，
故V=，
当V=1.9时，ρ=5kg/m1．
故答案为5kg/m1．
本题考查的是反比例函数的应用，正确得出k的值是解题关键．
13、 (0，+1)
【分析】将△OAN绕点O逆时针旋转90°，点N对应N′，点A对应A′，由旋转和正方形的性质即可得出点A′与点C重合，以及F、C、N′共线，通过角的计算即可得出∠N'OF＝∠NOF＝45°，结合ON′＝ON、OF＝OF即可证出△N'OF≌△NOF（SAS），由此即可得出N′M＝NF＝1，再由△OCF≌△OAN即可得出CF＝N，通过边与边之间的关系即可得出BN＝BF，利用勾股定理即可得出BN＝BF＝，设OC＝a，则N′F＝1CF＝1（a﹣），由此即可得出关于a的一元一次方程，解方程即可得出点C的坐标．
【详解】将△OAN绕点O逆时针旋转90°，点N对应N′，点A对应A′，如图所示．

∵OA＝OC，
∴OA′与OC重合，点A′与点C重合．
∵∠OCN′+∠OCF＝180°，
∴F、C、N′共线．
∵∠COA＝90°，∠FON＝45°，
∴∠COF+∠NOA＝45°．
∵△OAN旋转得到△OCN′，
∴∠NOA＝∠N′OC，
∴∠COF+∠CON'＝45°，
∴∠N'OF＝∠NOF＝45°．
在△N'OF与△NOF中，
，
∴△N′OF≌△NOF（SAS），
∴NF＝N'F＝1．
∵△OCF≌△OAN，
∴CF＝AN．
又∵BC＝BA，
∴BF＝BN．
又∠B＝90°，
∴BF1+BN1＝NF1，
∴BF＝BN＝．
设OC＝a，则CF＝AN＝a﹣．
∵△OAN旋转得到△OCN′，
∴AN＝CN'＝a﹣，
∴N'F＝1（a﹣），
又∵N'F＝1，
∴1（a﹣）＝1，
解得：a＝+1，
∴C（0，+1）．
故答案是：（0，+1）．
本题考查了反比例函数综合题，涉及到了全等三角形的判定与性质、旋转的性质以及勾股定理，解题的关键是找出关于a的一元一次方程．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据全等三角形的性质找出相等的边角关系是关键．
14、（0，﹣1）
【解析】将x＝0代入y＝（x﹣1）2﹣2，计算即可求得抛物线与y轴的交点坐标．
【详解】解：将x＝0代入y＝（x﹣1）2﹣2，得y＝﹣1，
所以抛物线与y轴的交点坐标是（0，﹣1）．
故答案为：（0，﹣1）．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据y轴上点的横坐标为0求出交点的纵坐标是解题的关键．
15、﹣5＜x＜1
【分析】先根据抛物线的对称性得到A点坐标（1，0），由y＝ax2+bx+c＞0得函数值为正数，即抛物线在x轴上方，然后找出对应的自变量的取值范围即可得到不等式ax2+bx+c＞0的解集．
【详解】解：根据图示知，抛物线y＝ax2+bx+c图象的对称轴是x＝﹣1，与x轴的一个交点坐标为（﹣5，0），
根据抛物线的对称性知，抛物线y＝ax2+bx+c图象与x轴的两个交点关于直线x＝﹣1对称，即
抛物线y＝ax2+bx+c图象与x轴的另一个交点与（﹣5，0）关于直线x＝﹣1对称，
∴另一个交点的坐标为（1，0），
∵不等式ax2+bx+c＞0，即y＝ax2+bx+c＞0，
∴抛物线y＝ax2+bx+c的图形在x轴上方，
∴不等式ax2+bx+c＞0的解集是﹣5＜x＜1．
故答案为﹣5＜x＜1．
此题主要考查了二次函数与不等式，解答此题的关键是求出图象与x轴的交点，然后由图象找出当y＞0时，自变量x的范围，本题锻炼了学生数形结合的思想方法．
16、
【分析】设反比例函数的解析式为y=(k≠0)，把A点坐标代入可求出k值，即可得答案．
【详解】设反比例函数的解析式为y=(k≠0)，
∵反比例函数的图像过点，
∴3=，
解得：k=-6，
∴这个反比例函数的表达式为，
故答案为：
本题考查待定系数法求反比例函数解析式，熟练掌握反比例函数图象上的点的坐标特征是解题关键．
17、k≤且k≠﹣1
【解析】因为一元二次方程有实数根，所以△≥2且k+1≠2，得关于k的不等式，求解即可．
【详解】∵关于x的一元二次方程（k+1）x1﹣3x+1=2有实数根，∴△≥2且k+1≠2，即（﹣3）1﹣4（k+1）×1≥2且k+1≠2，整理得：﹣4k≥﹣1且k+1≠2，∴k且k≠﹣1．
故答案为k且k≠﹣1．
本题考查了一元二次方程根的判别式．解决本题的关键是能正确计算根的判别式．本题易忽略二次项系数不为2．
18、25
【分析】如下图，先分析常春藤一圈展开图，求得常春藤一圈的长度后，再求总长度．
【详解】如下图，是常春藤恰好绕树的图形

∵绕5圈，藤尖离地面20米
∴常春藤每绕1圈，对应的高度为20÷5=4米
我们将绕树干1圈的图形展开如下，其中，AB表示树干一圈的长度，AC表示常春藤绕树干1圈的高度，BC表示常春藤绕树干一圈的长度

∴在Rt△ABC中，BC=5
∴常春藤总长度为：5×5=25米
故答案为：25
本题考查侧面展开图的运算，解题关键是将题干中的树干展开为如上图△ABC的形式．

三、解答题(共66分)
19、（1）证明见解析；（2）2
【分析】（1）根据垂径定理可得，即，再根据圆内接四边形的性质即可得证；
（2）连接OG，BGOD，根据等腰直角三角形的性质可得，利用垂径定理和解直角三角形可得，在中应用勾股定理即可求解．
【详解】解：（1）弦，
，
，
四边形是圆内接四边形，
，
；
（2）连接OG，BG，OD，
，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，，
∴，
∵平分，，
∴，
∵AB是直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
即，
解得或（舍），
∴．
本题考查垂径定理、圆内接四边形的性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质、解直角三角形等内容，作出辅助线是解题的关键．
20、
【分析】根据两边成比例且夹角相等证△CDE∽△CAB，由相似性质得对应边成比例求解.
【详解】解：在△CDE和△CAB中，
∵，∠DCE=∠ACB，
∴△CDE∽△CAB，
∴ ,
∴ ,
∴DE= .
本题考查相似三角形的判定及性质，正确找出相似条件是解答此题的关键.
21、（1）；（2）四边形ABCD的面积最大值是；（3）存在，其最大值为.
【分析】（1）连接OA、OB，作OH⊥AB于H，利用求出∠AOH=∠AOB=，根据OA=4，利用余弦公式求出AH，即可得到AB的长；
（2）连接AC，由得出AC=，再根据四边形的面积= ，当DH+BM最大时，四边形ABCD的面积最大，得到BD是直径，再将AC、BD的值代入求出四边形面积的最大值即可；

（3）先证明△ADM≌△BMC,得到△CDM是等边三角形，求得等边三角形的边长CD，再根据完全平方公式的关系得出PD=PC时PD+PC最大，根据CD、∠DPC求出PD，即可得到四边形周长的最大值.
【详解】（1）连接OA、OB，作OH⊥AB于H，
∵，
∴∠AOB=120.
∵OH⊥AB，
∴∠AOH=∠AOB=，AH=BH=AB，
∵OA=4，
∴AH=，
∴AB=2AH=.
故答案为：.

（2）∵∠ABC=120,四边形ABCD内接于，
∴∠ADC=60，
∵的半径为6，
∴由（1）得AC=,
如图，连接AC，作DH⊥AC,BM⊥AC,
∴四边形的面积= ,
当DH+BM最大时，四边形ABCD的面积最大，连接BD，则BD是的直径，

∴BD=2OA=12，BD⊥AC，
∴四边形的面积=.
∴四边形ABCD的面积最大值是
（3）存在；
∵千米，千米，，
∴△ADM≌△BMC,
∴DM=MC,∠AMD=∠BCM,
∵∠BCM+∠BMC=180-∠B=120，
∴∠AMD+∠BMC=120，
∴∠DMC=60，
∴△CDM是等边三角形，
∴C、D、M三点共圆，
∵点P在弧CD上,
∴C、D、M、P四点共圆，
∴∠DPC=180-∠DMC=120，
∵弧的半径为1千米，∠DMC=60，
∴CD=,
∵,
∴,
∴,
∴当PD=PC时，PD+PC最大，此时点P在弧CD的中点，交DC于H ,
在Rt△DPH中，∠DHP=90,∠DPH=60，DH=DC=,
∴，
∴四边形的周长最大值=DM+CM+DP+CP=.
此题是一道综合题，考查圆的性质，垂径定理，三角函数，三角形全等的判定及性质，动点最大值等知识点.（1）中问题发现的结论应用很主要，理解题意在（2）、（3）中应用解题，（3）的PD+PC最大值的确定是难点，注意与所学知识的结合才能更好的解题.
22、（1）见解析；（2）；（3）AE＝
【分析】（1）如图1，连接OD，由等腰三角形的性质可证∠B＝∠ODB＝∠CAD，由直角三角形的性质可求∠ADO＝90°，可得结论；
（2）分别求出OD的长度和∠DOB的度数，再由弧长公式可求解；
（3）通过证明ACD∽BDE，可得，设CD＝2x，DE＝3x，由平行线的性质可求x＝，由勾股定理可求AB的长，即可求解．
【详解】解：（1）如图1，连接OD，

∵∠ACB＝90°，
∴∠CAD+∠ADC＝90°，
∵OB＝OD，
∴∠B＝∠ODB，
∵∠CAD＝∠B，
∴∠CAD＝∠ODB，
∴∠ODB+∠ADC＝90°，
∴∠ADO＝90°，
又∵OD是半径，
∴AD是⊙O的切线；
（2）∵∠B＝30°，∠ACB＝90°，
∴∠CAD＝30°，∠CAB＝60°
∴AD＝2CD＝3，∠DAB＝30°，
∴AD＝OD，
∴OD＝，
∵OD＝OB，∠B＝30°，
∴∠B＝∠ODB＝30°，
∴∠DOB＝120°，
∴劣弧BD的长＝＝；
（3）如图2，连接DE，

∵BE是直径，
∴∠BDE＝90°，
∴∠ACB＝∠EDB＝90°，
∴AC∥DE，
∵∠B＝∠CAD，∠ACD＝∠EDB，
∴ACD∽BDE，
∴，
∴设CD＝2x，DE＝3x，
∵AC∥DE，
∴，
∴，
∴x＝，
∴CD＝1，BC＝BD+CD＝4，
∴AB＝＝2，
∵DE∥AC，
∴，
∴AE＝．
此题考查的是圆的综合大题、勾股定理和相似三角形的判定及性质，掌握切线的判定定理、弧长公式圆周角定理及推论、勾股定理和相似三角形的判定及性质是解决此题的关键．
23、（1）（2，4），（0，4），（﹣1，2）；（2）作图见解析；（4，﹣2），（4，0），（2，1）．
【分析】（1）根据中心对称图形的概念求解可得；
（2）利用旋转变换的定义和性质作出对应点，再首尾顺次连接即可得．
【详解】（1）△A1B1C1的顶点坐标：A1 （2，4），B1（0，4），C1（﹣1，2），
故答案为：（2，4），（0，4），（﹣1，2）．
（2）如图所示，△A2B2C2即为所求，

A2（4，﹣2），B2（4，0），C2（2，1），

故答案为：（4，﹣2），（4，0），（2，1）．
本题考查中心对称图形和旋转变换，作旋转变换时需注意旋转中心和旋转角，分清逆时针和顺时针旋转.
24、 (1)点C的坐标为(2，3+2)；(2)OA＝3；(3)OC的最大值为8，cos∠OAD＝．
【分析】(1)作CE⊥y轴，先证∠CDE＝∠OAD＝30°得CE＝CD＝2，DE＝，再由∠OAD＝30°知OD＝AD＝3，从而得出点C坐标；
(2)先求出S△DCM＝1，结合S四边形OMCD＝知S△ODM＝，S△OAD＝9，设OA＝x、OD＝y，据此知x2+y2＝31，xy＝9，得出x2+y2＝2xy，即x＝y，代入x2+y2＝31求得x的值从而得出答案；
(3)由M为AD的中点，知OM＝3，CM＝5，由OC≤OM+CM＝8知当O、M、C三点在同一直线时，OC有最大值8，连接OC，则此时OC与AD的交点为M，ON⊥AD，证△CMD∽△OMN得，据此求得MN＝，ON＝，AN＝AM﹣MN＝，再由OA＝及cos∠OAD＝可得答案．
【详解】(1)如图1，过点C作CE⊥y轴于点E，

∵矩形ABCD中，CD⊥AD，
∴∠CDE+∠ADO＝90°，
又∵∠OAD+∠ADO＝90°，
∴∠CDE＝∠OAD＝30°，
∴在Rt△CED中，CE＝CD＝2，DE＝＝2，
在Rt△OAD中，∠OAD＝30°，
∴OD＝AD＝3，
∴点C的坐标为(2，3+2)；
(2)∵M为AD的中点，
∴DM＝3，S△DCM＝1，
又S四边形OMCD＝，
∴S△ODM＝，
∴S△OAD＝9，
设OA＝x、OD＝y，则x2+y2＝31，xy＝9，
∴x2+y2＝2xy，即x＝y，
将x＝y代入x2+y2＝31得x2＝18，
解得x＝3(负值舍去)，
∴OA＝3；
(3)OC的最大值为8，
如图2，M为AD的中点，

∴OM＝3，CM＝＝5，
∴OC≤OM+CM＝8，
当O、M、C三点在同一直线时，OC有最大值8，
连接OC，则此时OC与AD的交点为M，过点O作ON⊥AD，垂足为N，
∵∠CDM＝∠ONM＝90°，∠CMD＝∠OMN，
∴△CMD∽△OMN，
∴，即，
解得MN＝，ON＝，
∴AN＝AM﹣MN＝，
在Rt△OAN中，OA＝，
∴cos∠OAD＝．
本题是四边形的综合问题，解题的关键是掌握矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识点．
25、,
【分析】先把移到等号右边，然后再两边直接开平方即可.
【详解】
,
本题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，做题时注意不要漏解.
26、（1）x=8或x=1；（1）x=-1或x=--1
【分析】（1）先移项，利用直接开平方法解方程；
（1）利用配方法解方程即可求解．
【详解】解：（1）(x－5)1－9＝0
（x-5）1=9
∴x-5=3或x-5=-3
∴x=8或x=1；
（1）x1＋4x－1＝0
（x1+4x+4）-6=0
(x+1)1=6
∴x+1=或x+1=-
∴x=-1或x=--1．
本题考查一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．