新疆自治区北京大附属中学2024年数学九上期末综合测试模拟试题含解析.doc

2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题（每题4分，共48分
1．如图，若二次函数的图象的对称轴是直线，则下列四个结论中，错误的是（ ）．

A． B． C． D．
2．若，则下列等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知有理数a，b在数轴上表示的点如图所示，则下列式子中正确的是（　　）

A．a+b＜0 B．a+b＞0 C．a﹣b＜0 D．ab＞0
4．如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，点C的坐标为（﹣1，0），AC=1．将Rt△ABC先绕点C顺时针旋转90°，再向右平移3个单位长度，则变换后点A的对应点坐标是（　　）

A．（1，1） B．（1，1） C．（﹣1，1） D．（1，﹣1）
5．二位同学在研究函数(为实数，且)时，甲发现当 0<<1时，函数图像的顶点在第四象限；乙发现方程必有两个不相等的实数根，则( )
A．甲、乙的结论都错误 B．甲的结论正确，乙的结论错误
C．甲、乙的结论都正确 D．甲的结论错误，乙的结论正确
6．如果点A（﹣5，y1），B（﹣，y2），C（，y3），在双曲线y＝上（k＜0），则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y3＜y1＜y2 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y2＜y3 D．y1＜y3＜y2
7．矩形的长为4，宽为3，它绕矩形长所在直线旋转一周形成几何体的全面积是（ ）
A．24 B．33 C．56 D．42
8．若将抛物线y=- x2先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到新的抛物线，则新抛物线的表达式是(    )
A． B．
C． D．
9．﹣2019的倒数的相反数是（ ）
A．﹣2019 B． C． D．2019
10．若点，在反比例函数上，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
11．等腰三角形一边长为2，它的另外两条边的长度是关于x的一元二次方程x2﹣6x+k＝0的两个实数根，则k的值是（　　）
A．8 B．9 C．8或9 D．12
12．如图，数轴上的点可近似表示的值是（ ）

A．点A B．点B C．点C D．点D
二、填空题（每题4分，共24分）
13．如图所示是由若干个完全相同的小正方体搭成的几何体的主视图和俯视图，则这个几何体最少是由________个正方体搭成的。

14．二次函数y=x2+bx+c的图象上有两点（3，4）和（﹣5，4），则此抛物线的对称轴是直线x=________
15．如图，抛物线和抛物线的顶点分别为点M和点N，线段MN经过平移得到线段PQ，若点Q的横坐标是3，则点P的坐标是__________，MN平移到PQ扫过的阴影部分的面积是__________．

16．在中，，则的面积是__________．
17．如图，正方形ABCD的边长为5，E、F分别是BC、CD上的两个动点，AE⊥EF．则AF的最小值是_____．

18．关于x的方程的解是，（a，m，b均为常数，），则关于x的方程的解是________．
三、解答题（共78分）
19．（8分）如图，∠A=∠B=50°，P为AB中点，点M为射线AC上（不与点A重合）的任意点，连接MP，并使MP的延长线交射线BD于点N，设∠BPN=α．
（1）求证：△APM≌△BPN；
（2）当MN=2BN时，求α的度数；
（3）若△BPN的外心在该三角形的内部，直接写出α的取值范围．

20．（8分）如图，BC是半圆O的直径，D是弧AC的中点，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点E．
（1）求证：△DCE∽△DBC；
（2）若CE=，CD=2，求直径BC的长．

21．（8分）如图，抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C．点D是直线AC上方抛物线上一点，过点D作y轴的平行线，与直线AC相交于点E．

（1）求直线AC的解析式；
（2）当线段DE的长度最大时，求点D的坐标．
22．（10分）如图，已知△ABC，∠B=90゜，AB=3，BC=6，动点P、Q同时从点B出发，动点P沿BA以1个单位长度/秒的速度向点A移动，动点Q沿BC以2个单位长度/秒的速度向点C移动，运动时间为t秒．连接PQ，将△QBP绕点Q顺时针旋转90°得到△，设△与△ABC重合部分面积是S．

（1）求证：PQ∥AC；
（2）求S与t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围．
23．（10分）解方程：x2+4x﹣3＝1．
24．（10分）随着传统的石油、煤等自然资源逐渐消耗殆尽，风力、核能、水电等一批新能源被广泛使用．现在山顶的一块平地上建有一座风车，山的斜坡的坡度，长是100米，在山坡的坡底处测得风车顶端的仰角为，在山坡的坡顶处测得风车顶端的仰角为，请你计算风车的高度．(结果保留根号)

25．（12分）如图，直线AB和抛物线的交点是A（0，﹣3），B（5，9），已知抛物线的顶点D的横坐标是1．
（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；
（1）在x轴上是否存在一点C，与A，B组成等腰三角形？若存在，求出点C的坐标，若不在，请说明理由；
（3）在直线AB的下方抛物线上找一点P，连接PA，PB使得△PAB的面积最大，并求出这个最大值．

26．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC=CB，延长DA
与⊙O的另一个交点为E，连结AC，CE．

（1）求证：∠B=∠D；
（2）若AB=4，BC-AC=2，求CE的长．
参考答案

一、选择题（每题4分，共48分）
1、C
【分析】根据对称轴是直线得出，观察图象得出，，进而可判断选项A，根据时，y值的大小与可判断选项C、D，根据时，y值的大小可判断选项B．
【详解】由题意知，，即，
由图象可知，，，
∴，
∴，选项A正确；
当时，，选项D正确；
∵，
∴，选项C错误；
当时，，选项B正确；
故选C．
本题考查二次函数的图象与系数a，b，c的关系，学会取特殊点的方法是解本题的关键．
2、D
【分析】根据比例的性质，则ad=bc，逐个判断可得答案．
【详解】解：由可得：2x=3y
A. ，此选项不符合题意
B. ，此选项不符合题意
C. ，则3x=2y，此选项不符合题意
D. ，则2x=3y，正确
故选：D
本题考查比例的性质，解题关键在于掌握，则ad=bc.
3、A
【分析】根据数轴判断出a、b的符号和取值范围，逐项判断即可．
【详解】解：从图上可以看出，b＜﹣1＜0，0＜a＜1，
∴a+b＜0，故选项A符合题意，选项B不合题意；
a﹣b＞0，故选项C不合题意；
ab＜0，故选项D不合题意．
故选：A．
【知识点】
本题考查了数轴、有理数的加法、减法、乘法，根据数轴判断出a、b的符号，熟知有理数的运算法则是解题关键．
4、A
【分析】根据旋转变换的性质得到旋转变换后点A的对应点坐标，根据平移的性质解答即可．
【详解】∵点C的坐标为（﹣1，0），AC=1，
∴点A的坐标为（﹣3，0），
如图所示，

将Rt△ABC先绕点C顺时针旋转90°，
则点A′的坐标为（﹣1，1），

再向右平移3个单位长度，则变换后点A′的对应点坐标为（1，1），
故选A．
本题考查的是坐标与图形变化旋转和平移，掌握旋转变换、平移变换的性质是解题的关键．
5、D
【分析】先根据函数的解析式可得顶点的横坐标，结合判断出横坐标可能取负值，从而判断甲不正确；再通过方程的根的判别式判断其根的情况，从而判断乙的说法.
【详解】，原函数定为二次函数
甲：顶点横坐标为
，，所以甲不正确
乙：原方程为，化简得：

必有两个不相等的实数根，所以乙正确
故选：D.
本题考查二次函数图象的性质、顶点坐标、一元二次方程的根的判别式，对于一般形式有：（1）当，方程有两个不相等的实数根；（2当，方程有两个相等的实数根；（3）当，方程没有实数根.
6、A
【分析】先根据k＜0可判断出函数图象所在的象限及其增减性，再由各点横坐标的值即可得出结论．
【详解】∵双曲线y＝上（k＜0），
∴函数图象的两个分支分别位于二四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大．
∵−5＜−＜0，0＜，
∴点A（−5，y1），B（−，y1）在第二象限，点C（，y3）在第四象限，
∴y3＜y1＜y1．
故选：A．
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
7、D
【分析】旋转后的几何体是圆柱体，先确定出圆柱的底面半径和高，再根据圆柱的表面积公式计算即可求解．
【详解】解：π×3×2×4＋π×32×2
＝24π＋18π
＝42π（cm2）；
故选：D．
本题主要考查的是点、线、面、体，根据图形确定出圆柱的底面半径和高的长是解题的关键．
8、A
【分析】按“左加右减括号内，上加下减括号外”的规律平移即可得出所求函数的解析式.
【详解】∵ 将抛物线先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，
∴y=-（x+3）2-2.
故答案为A.
本题考查了二次函数图象的平移，其规律是是：将二次函数解析式转化成顶点式y=a(x-h)2+k （a，b，c为常数，a≠0），确定其顶点坐标(h，k)，在原有函数的基础上“h值正右移，负左移； k值正上移，负下移”．
9、C
【分析】先求-2019的倒数，再求倒数的相反数即可；
【详解】解：﹣2019的倒数是，的相反数为，
故答案为：C．
本题考查倒数和相反数．熟练掌握倒数和相反数的求法是解题的关键．
10、A
【分析】由k＜0可得反比例函数的图象在二、四象限，y随x的增大而增大，可知y3＜0，y1＞0，y2＞0，根据反比例函数的增减性即可得答案．
【详解】∵k＜0，
∴反比例函数的图象在二、四象限，y随x的增大而增大，
∴y3＜0，y1＞0，y2＞0，
∵-3＜-1，
∴y1＜y2，
∴，
故选：A．
本题考查反比例函数的性质，对于反比例函数y=（k≠0），当k＞0时，图象在一、三象限，在各象限，y随x的增大而减小；当k＜0时，图象在二、四象限，在各象限内，y随x的增大而增大；熟练掌握反比例函数的性质是解题关键．
11、B
【分析】根据一元二次方程的解法以及等腰三角形的性质即可求出答案．
【详解】解：①当等腰三角形的底边为2时，
此时关于x的一元二次方程x2−6x＋k＝0的有两个相等实数根，
∴△＝36−4k＝0，
∴k＝9，
此时两腰长为3，
∵2＋3＞3，
∴k＝9满足题意，
②当等腰三角形的腰长为2时，
此时x＝2是方程x2−6x＋k＝0的其中一根，
代入得4−12＋k＝0，
∴k＝8，
∴x2−6x＋8＝0
求出另外一根为：x＝4，
∵2＋2＝4，
∴不能组成三角形，
综上所述，k＝9，
故选B．
本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及等腰三角形的性质．
12、C
【分析】先把代数式进行化简，然后进行无理数的估算，即可得到答案．
【详解】解：，
∵，
∴，
∴点C符合题意；
故选：C．
本题考查了二次根式的化简，无理数的估算，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行化简．

二、填空题（每题4分，共24分）
13、
【分析】易得这个几何体共有3层，由俯视图可得第一层立方体的个数，由主视图可得第二层、第三层立方体最少的个数，相加即可．
【详解】结合主视图和俯视图可知，第一层、第二层最少各层最少1个，第三层一定有3个，
∴组成这个几何体的小正方体的个数最少是1个，
故答案为： 1．
考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．
14、-1
【解析】根据两已知点的坐标特征得到它们是抛物线的对称点，而这两个点关于直线x=-1对称，由此可得到抛物线的对称轴．
【详解】∵点（3，4）和（-5，4）的纵坐标相同，
∴点（3，4）和（-5，4）是抛物线的对称点，
而这两个点关于直线x=-1对称，
∴抛物线的对称轴为直线x=-1．
故答案为-1．
本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（-，），对称轴直线x=-．
15、 (1，5) 16
【分析】先将M、N两点坐标分别求出，然后根据N点的移动规律得出M点的横坐标向右移动2个单位长度，进一步即可求出M点坐标；根据二次函数图像性质我们可以推断出MN平移到PQ扫过的阴影部分的面积等同于菱形MNQP，之后进一步求出相关面积即可.
【详解】由题意得：M点坐标为(-1，1)，N点坐标为(1，-3)，
∵点Q横坐标为3，
∴N点横坐标向右平移了2个单位长度，
∴P点横坐标为-1+2=1，
∴P点纵坐标为：1+2+2=5，
∴P点坐标为1，5)，
由题意得：Q点坐标为：(3，1)，
∴MQ平行于x轴，PN平行于Y轴，
∴MQ⊥PN，
∴四边形MNQP为菱形，
∴菱形MNQP面积=×MQ×PN=16，
∴MN平移到PQ扫过的阴影部分的面积等于16，
故答案为：(1，5) ，16.
本题主要考查了二次函数图像的性质及运用，熟练掌握相关概念是解题关键.
16、24
【分析】如图，由三角函数的定义可得，可得AB=，利用勾股定理可求出AC的长，根据三角形面积公式求出△ABC的面积即可．
【详解】∵，
∴AB=，
∴()2=AC2+BC2，
∵BC=8，
∴25AC2=9AC2+9×64，
解得：AC6（负值舍去），
∴△ABC的面积是×8×6=24，

故答案为：24
本题考查三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦是角的对边与斜边的比值；余弦是角的邻边与斜边的比值；正切是角的对边与邻边的比值；熟练掌握三角函数的定义是解题关键．
17、
【分析】设BE＝x，CF＝y，则EC＝5﹣x，构建二次函数了，利用二次函数的性质求出CF的最大值，求出DF的最小值即可解决问题．
【详解】解：设BE＝x，CF＝y，则EC＝5﹣x，
∵AE⊥EF，
∴∠AEF＝90°，
∴∠AEB+∠FEC＝90°，
而∠AEB+∠BAE＝90°，
∴∠BAE＝∠FEC，
∴Rt△ABE∽Rt△ECF，
∴＝，
∴＝，
∴y＝﹣x2+x＝﹣（x﹣）2+，
∵﹣＜0，
∴x＝时，y有最大值，
∴CF的最大值为，
∴DF的最小值为5﹣＝，
∴AF的最小值＝＝＝，
故答案为．

本题考查了几何动点问题与二次函数、相似三角形的综合问题，综合性较强，解题的关键是找出相似三角形，列出比例关系，转化为二次函数，从而求出AF的最小值．
18、x1＝－12，x2＝1
【分析】把后面一个方程中的x＋3看作一个整体，相当于前面方程中的x来求解．
【详解】解：∵关于x的方程的解是，（a，m，b均为常数，a≠0），
∴方程变形为，即此方程中x＋3＝－9或x＋3＝11，
解得x1＝－12，x2＝1，
故方程的解为x1＝－12，x2＝1．
故答案为x1＝－12，x2＝1．
此题主要考查了方程解的含义．注意观察两个方程的特点，运用整体思想进行简便计算．

三、解答题（共78分）
19、（1）证明见解析；（2）α=50°；（3）40°＜α＜90°．
【解析】（1）根据AAS即可证明△APM≌△BPN；
（2）由（1）中的全等得：MN=2PN，所以PN=BN，由等边对等角可得结论；
（3）三角形的外心是外接圆的圆心，三边垂直平分线的交点，直角三角形的外心在直角顶点上，钝角三角形的外心在三角形的外部，只有锐角三角形的外心在三角形的内部，所以根据题中的要求可知：△BPN是锐角三角形，由三角形的内角和可得结论．
【详解】（1）∵P是AB的中点，
∴PA=PB，
在△APM和△BPN中，
，
∴△APM≌△BPN；
（2）由（1）得：△APM≌△BPN，
∴PM=PN，
∴MN=2PN，
∵MN=2BN，
∴BN=PN，
∴α=∠B=50°；
（3）∵△BPN的外心在该三角形的内部，
∴△BPN是锐角三角形，
∵∠B=50°，
∴40°＜∠BPN＜90°，即40°＜α＜90°．
本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外接圆圆心的位置等，综合性较强，难度适中，解题的关键是熟练掌握三角形外心的位置
20、（1）见解析；（2）2
【分析】（1）由等弧所对的圆周角相等可得∠ACD=∠DBC，且∠BDC=∠EDC，可证△DCE∽△DBC；
（2）由勾股定理可求DE=1，由相似三角形的性质可求BC的长．
【详解】（1）∵D是弧AC的中点，
∴，
∴∠ACD=∠DBC，且∠BDC=∠EDC，
∴△DCE∽△DBC；
（2）∵BC是直径，
∴∠BDC=90°，
∴DE1．
∵△DCE∽△DBC，
∴，
∴，
∴BC=2．
本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，证明△DCE∽△DBC是解答本题的关键．
21、（1）直线的解析式为；（2）当的长度最大时，点的坐标为．
【分析】（1）根据题意，先求出点A和点C的坐标，然后利用待定系数法，即可求出答案；
（2）根据题意，利用m表示DE的长度，然后根据二次函数的性质，即可求出点D的坐标.
【详解】解（1）当时，．
，．
点的坐标是．
当时，．
点的坐标是．
设直线的解析式为,
，解得：．
直线的解析式为：．
（2）如图：

设点的横坐标为．
则点的坐标为，点的坐标为．
所以．
∵，
∴当时，线段长度最大．
将代入，
得．
∴当的长度最大时，点的坐标为．
本题考查的是抛物线与x轴的交点，一次函数的性质，掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键，解答时，注意待定系数法的灵活运用．
22、（1）见解析；（2）
【分析】（1）由题意可得出，继而可证明△BPQ∽△BAC，从而证明结论；
（2）由题意得出QP`⊥AC，分三种情况利用相似三角形的判定及性质讨论计算．
【详解】解：（1）∵BP=t，BQ=2t，AB=3，BC=6
∴
∵∠B=∠B
∴△BPQ∽△BAC
∴∠BPQ=∠A
∴PQ∥AC
（2）∵BP=t

BQ=2t
∴P`Q=
∵AB=3 BC=6
∴AC=3
∵PQ∥AC
∴QP`⊥AC
当0C=∠B=90°
∴△QMC∽△ABC
∴
∴
∴QM=
∵P`Q=t
∴P`M=
又∵∠P`=∠BPQ=∠A
∴△P`NM∽△ACB
∴
∴MN=2P`M
∴S△P`MN=P`M·MN=P`M2=
∴
当11）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方；解方程即可．
【详解】解：原式可化为x2+4x+4﹣7＝1
即（x+2）2＝7，
开方得，x+2＝±，
x1＝﹣2+；
x2＝﹣2﹣．
此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
24、
【分析】由斜坡BD的坡度可求∠DBC=30°，从而得到∠DBA=∠DAB=15°，所以AD=BD，然后在Rt△ADE中，利用∠ADE的正弦求解即可．
【详解】∵斜坡BD的坡度，∴∠DBC=30°，
又∵∠ABC=45°，∠ADE=60°，
∴∠DBA=∠DAB=15°，
∴AD=BD=100米．
在Rt△ADE中，
sin∠ADE=，
∴AE=ADsin∠ADE=100sin60°= 50（米）．
本题考查了解直角三角形的应用，解决此问题的关键在于正确理解题意得基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．
25、（1），顶点D（1，）；（1）C（，0）或（，0）或（，0）；（2）
【解析】（1）抛物线的顶点D的横坐标是1，则x1，抛物线过A（0，﹣2），则：函数的表达式为：y=ax1+bx﹣2，把B点坐标代入函数表达式，即可求解；
（1）分AB=AC、AB=BC、AC=BC，三种情况求解即可；
（2）由S△PAB•PH•xB，即可求解．
【详解】（1）抛物线的顶点D的横坐标是1，则x1①，抛物线过A（0，﹣2），则：函数的表达式为：y=ax1+bx﹣2，把B点坐标代入上式得：9=15a+5b﹣2②，联立①、②解得：a，b，c=﹣2，∴抛物线的解析式为：yx1x﹣2．
当x=1时，y，即顶点D的坐标为（1，）；
（1）A（0，﹣2），B（5，9），则AB=12，设点C坐标（m，0），分三种情况讨论：
①当AB=AC时，则：（m）1+（﹣2）1=121，解得：m=±4，即点C坐标为：（4，0）或（﹣4，0）；
②当AB=BC时，则：5﹣m）1+91=121，解得：m=5，即：点C坐标为（5，0）或（5﹣1，0）；
③当AC=BC时，则：5﹣m）1+91=（m）1+（﹣2）1，解得：m=，则点C坐标为（，0）．
综上所述：存在，点C的坐标为：（±4，0）或（5，0）或（，0）；
（2）过点P作y轴的平行线交AB于点H．设直线AB的表达式为y=kx﹣2，把点B坐标代入上式，9=5k﹣2，则k，故函数的表达式为：yx﹣2，设点P坐标为（m，m1m﹣2），则点H坐标为（m，m﹣2），S△PAB•PH•xB（m1+11m）=－6m1+20m=，当m=时，S△PAB取得最大值为：．
答：△PAB的面积最大值为．

本题是二次函数综合题．主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
26、（1）见解析（2）
【分析】（1）由AB为⊙O的直径，易证得AC⊥BD，又由DC=CB，根据线段垂直平分线的性质，可证得AD=AB，即可得：∠B=∠D;
（2）首先设BC=x，则AC=x-2，由在Rt△ABC中，，可得方程：，解此方程即可求得CB的长，继而求得CE的长.
【详解】解：（1）证明：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°
∴AC⊥BC
∵DC=CB
∴AD=AB
∴∠B=∠D
（2）设BC=x，则AC=x－2，
在Rt△ABC中，，
∴，解得：（舍去）.
∵∠B=∠E，∠B=∠D，
∴∠D=∠E
∴CD=CE
∵CD=CB，
∴CE=CB=.