湖南省长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校2024-2025学年九年级数学第一学期期末达标检测模拟试题含解析.doc

2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每题4分，共48分）
1．△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，已知：cos∠A= ，则sin∠DCB的值为（ ）

A． B． C． D．
2．设有12只型号相同的杯子，其中一等品7只，二等品2只，三等品3只。则从中任意取一只，是二等品的概率等于 （ ）
A． B． C． D．
3．下列函数关系式中，是的反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
4．下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
5．如图,已知双曲线上有一点,过作垂直轴于点,连接,则的面积为( )

A． B． C． D．
6．如图，△ABC中∠A=60°，AB=4，AC=6，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的三角形与△ABC不相似的是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，点在线段上，在的同侧作角的直角三角形和角的直角三角形，与，分别交于点连接.对于下列结论：
①；②；③图中有5对相似三角形；④．其中结论正确的个数是(　　)

A．1个 B．2个 C．4个 D．3个
8．如图，菱形ABCD中，EF⊥AC，垂足为点H，分别交AD、AB及CB的延长线交于点E、M、F，且AE：FB＝1：2，则AH：AC的值为（　　）

A． B． C． D．
9．如图,线段,点是线段的黄金分割点(),点是线段的黄金分割点(),点是线段的黄金分割点(),..,依此类推,则线段的长度是（ ）

A． B． C． D．
10．如图是一个正八边形，向其内部投一枚飞镖，投中阴影部分的概率是（ ）

A． B． C． D．
11．阅读理解：已知两点，则线段的中点的坐标公式为：，．如图，已知点为坐标原点，点，经过点，点为弦的中点．若点，则有满足等式：．设，则满足的等式是（　　）

A． B．
C． D．
12．二次函数y=ax2+bx+c的图象在平面直角坐标系中的位置如图所示，则一次函数y=ax+b与反比例函数y=在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）

A． B． C． D．
二、填空题（每题4分，共24分）
13．小明发现相机快门打开过程中，光圈大小变化如图1所示，于是他绘制了如图2所示的图形．图2中留个形状大小都相同的四边形围成一个圆的内接六边形和一个小正六边形，若PQ所在的直线经过点M，PB=5cm，小正六边形的面积为cm2，则该圆的半径为________cm．

14．如图，是一个半径为，面积为的扇形纸片，现需要一个半径为的圆形纸片，使两张纸片刚好能组合成圆锥体，则_____．

15．)已知反比例函数y＝－，下列结论：①图象必经过点(－1,2)；②y随x的增大而增大；③图象在第二、四象限内；④若x＞1，则y＞－2.其中正确的有__________．(填序号)
16．一个三角形的两边长为2和9,第三边长是方程x2－14x+48=0的一个根，则三角形的周长为____．
17．计算的结果是_____________．
18．如图，△ABC中，AB＞AC，D，E两点分别在边AC，AB上，且DE与BC不平行．请填上一个你认为合适的条件：_____，使△ADE∽△ABC．（不再添加其他的字母和线段；只填一个条件，多填不给分！）

三、解答题（共78分）
19．（8分）阅读材料
材料1：若一个自然数，从左到右各位数上的数字与从右到左各位数上的数字对应相同，则称为“对称数”.
材料2：对于一个三位自然数，将它各个数位上的数字分别2倍后取个位数字，得到三个新的数字，，，我们对自然数规定一个运算：.
例如：是一个三位的“对称数”，其各个数位上的数字分别2倍后取个位数字分别是：2、8、2.
则.
请解答：
（1）一个三位的“对称数”，若，请直接写出的所有值， ；
（2）已知两个三位“对称数”，若能被11整数，求的所有值.
20．（8分）解方程
（1）（x+1）2﹣25＝0
（2）x2﹣4x﹣2＝0
21．（8分）用适当的方法解方程
（1）4（x-1）2=9
（2）
22．（10分）解方程：
（1）2x（x﹣1）＝3（x﹣1）；
（2）x2﹣3x+1＝1．
23．（10分）在平面直角坐标系中的两个图形与，给出如下定义：为图形上任意一点，为图形上任意一点，如果两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形间的“和睦距离”，记作，若图形有公共点，则．

(1)如图（1），，，⊙的半径为2，则　　　　 ，　　　　 ；
(2)如图（2），已知的一边在轴上，在上，且，，．
①是内一点，若、分别且⊙于E、F，且，判断与⊙的位置关系，并求出点的坐标；
②若以为半径，①中的为圆心的⊙，有，，直接写出的取值范围　　　　．
24．（10分）如图1，在矩形中，为边上一点，．将沿翻折得到，的延长线交边于点，过点作交于点．

（1）求证：；
（2）如图2，连接分别交、于点、．若，探究与之间的数量关系．
25．（12分）同圆的内接正三角形与外切正三角形的周长比是_____．
26．如图，射线交一圆于点，，射线交该圆于点，，且 .

（1）判断与的数量关系.（不必证明）
（2）利用尺规作图，分别作线段的垂直平分线与的平分线，两线交于点（保留作图痕迹，不写作法），求证：平分.
参考答案

一、选择题（每题4分，共48分）
1、C
【分析】设，根据三角函数的定义结合已知条件可以求出AC、CD，利用∠BCD=∠A，即可求得答案．
【详解】∵，
∴，
∵，
∴设，则，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴．
故选：C．
本题考查直角三角形的性质、三角函数的定义、勾股定理、同角的余角相等等知识，熟记性质是解题的关键．
2、B
【分析】让二等品数除以总产品数即为所求的概率．
【详解】解：∵现有12只型号相同的杯子，其中一等品7只，二等品2只，三等品3只，从中任意取1只，可能出现12种结果，是二等品的有2种可能，
∴二等品的概率．
故选：B．
本题主要考查了概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率．
3、C
【分析】根据反比例函数的定义即可得出答案.
【详解】A为正比例函数，B为一次函数，C为反比例函数，D为二次函数，故答案选择C.
本题考查的是反比例函数的定义：形如的式子，其中k≠0.
4、D
【解析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．
【详解】A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项正确．
故选：D．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
5、B
【分析】根据已知双曲线上有一点,点纵和横坐标的积是4，的面积是它的二分之一，即为所求.
【详解】解：∵双曲线上有一点，设A的坐标为(a,b),
∴b=
∴ab=4
∴的面积==2
故选：B.
本题考查了反比例函数的性质和三角形的面积，熟练掌握相关知识是解题的关键.
6、A
【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．
【详解】A、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项符合题意，
B、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意，
C、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意，
D、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意，
故选：A.
本题考查的是相似三角形的判定，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似；如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；
熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．
7、D
【分析】如图，设AC与PB的交点为N，根据直角三角形的性质得到，根据相似三角形的判定定理得到△BAE∽△CAD，故①正确；根据相似三角形的性质得到∠BEA＝∠CDA，推出△PME∽△AMD，根据相似三角形的性质得到MP•MD＝MA•ME，故②正确；由相似三角形的性质得到∠APM＝∠DEM＝90，根据垂直的定义得到AP⊥CD，故④正确；同理：△APN∽△BCN，△PNC∽△ANB，于是得到图中相似三角形有6对，故③不正确．
【详解】如图，设AC与PB的交点为N，

∵∠ABC＝∠AED＝90，∠BAC＝∠DAE＝30，
∴，∠BAE＝30＋∠CAE，∠CAD＝30＋∠CAE，
∴∠BAE＝∠CAD，
∴△BAE∽△CAD，故①正确；
∵△BAE∽△CAD，
∴∠BEA＝∠CDA，
∵∠PME＝∠AMD，
∴△PME∽△AMD，
∴，
∴MP•MD＝MA•ME，故②正确；
∴，
∵∠PMA＝∠EMD，
∴△APM∽△DEM，
∴∠APM＝∠DEM＝90，
∴AP⊥CD，故④正确；
同理：△APN∽△BCN，△PNC∽△ANB，
∵△ABC∽△AED，
∴图中相似三角形有6对，故③不正确；
故选：D．
本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
8、B
【分析】连接BD，如图，利用菱形的性质得AC⊥BD，AD＝BC，AD∥BC，再证明EF∥BD，接着判断四边形BDEF为平行四边形得到DE＝BF，设AE＝x，FB＝DE＝2x，BC＝3x，所以AE：CF＝1：5，然后证明△AEH∽△CFH得到AH：HC＝AE：CF＝1：5，最后利用比例的性质得到AH：AC的值．
【详解】解：连接BD，如图，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，AD＝BC，AD∥BC，
∵EF⊥AC，
∴EF∥BD，
而DE∥BF，
∴四边形BDEF为平行四边形，
∴DE＝BF，
由AEFB＝1：2，设AE＝x，FB＝DE＝2x，BC＝3x，
∴AE：CF＝x：5x＝1：5，
∵AE∥CF，
∴△AEH∽△CFH，
∴AH：HC＝AE：CF＝1：5，
∴AH：AC＝1：1．
故选：B．

此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知菱形的性质及相似三角形的性质.
9、A
【解析】根据黄金分割的定义得到，则，同理得到，，根据此规律得到．据此可得答案．
【详解】解：线段，点是线段的黄金分割点，
，
，
点是线段的黄金分割点，
，
，
．
所以线段的长度是，
故选：．
本题考查了黄金分割：把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项（即叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点；其中，并且线段的黄金分割点有两个．
10、B
【分析】根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．根据正八边形性质求出阴影部分面积占总面积之比，进而可得到答案
【详解】解：由正八边形性质可知∠EFB=∠FED=135°，故可作出正方形．

则是等腰直角三角形，设，则，，正八边形的边长是．
则正方形的边长是．
则正八边形的面积是：，
阴影部分的面积是：．
飞镖落在阴影部分的概率是，
故选：．
本题考查了几何概率的求法：一般用阴影区域表示所求事件（A）；首先根据题意将代数关系用面积表示出来；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．同时也考查了正多边形的计算，根据正八边形性质构造正方形求面积比是关键．
11、D
【解析】根据中点坐标公式求得点的坐标，然后代入满足的等式进行求解即可.
【详解】∵点，点，点为弦的中点，
∴，，
∴，
又满足等式：，
∴，
故选D．
本题考查了坐标与图形性质，解题的关键是理解中点坐标公式．
12、C
【解析】试题分析：∵二次函数图象开口方向向下，∴a＜0，∵对称轴为直线＞0，∴b＞0，∵与y轴的正半轴相交，∴c＞0，∴的图象经过第一、二、四象限，反比例函数图象在第一三象限，只有C选项图象符合．故选C．
考点：1．二次函数的图象；2．一次函数的图象；3．反比例函数的图象．

二、填空题（每题4分，共24分）
13、1
【分析】设两个正六边形的中心为O，连接OP,OB,过点O作OG⊥PM于点G，OH⊥AB于点H，如图所示：很容易证出三角形PMN是一个等边三角形，边长PM的长，，而且面积等于小正六边形的面积的， 故三角形PMN的面积很容易被求出，根据正六边形的性质及等腰三角形的三线和一可以得出PG的长，进而得出OG的长，,在Rt△OPG中，根据勾股定理得 OP的长，设OB为x，，根据正六边形的性质及等腰三角形的三线和一可以得出BH，OH的长，进而得出PH的长，在Rt△PHO中，根据勾股定理得关于x的方程，求解得出x的值，从而得出答案．
【详解】解: 设两个正六边形的中心为O，连接OP,OB,过点O作OG⊥PM于点G，OH⊥AB于点H，如图所示：

很容易证出三角形PMN是一个等边三角形，边长PM=,而且面积等于小正六边形的面积的，
故三角形PMN的面积为cm2，
∵OG⊥PM，且O是正六边形的中心，
∴PG=PM=
∴OG=
在Rt△OPG中，根据勾股定理得 ：OP2=OG2+PG2,即=OP2
∴OP=7cm，
设OB为x，
∵OH⊥AB，且O是正六边形的中心，
∴BH=X,OH=，
∴PH=5-x，
在Rt△PHO中，根据勾股定理得OP2=PH2+OH2,即
解得：x1=1,x2=-3（舍）
故该圆的半径为1cm．
故答案为1．
本题以相机快门为背景，从中抽象出数学模型，综合考查了多边形、圆、三角形及解三角形等相关知识，突出考查数学的应用意识和解决问题的能力．试题通过将快门的光圈变化这个动态的实际问题化为静态的数学问题，让每个学生都能参与到实际问题数学化的过程中，鼓励学生用数学的眼光观察世界；在运用数学知识解决问题的过程中，关注思想方法，侧重对问题的分析，将复杂的图形转化为三角形或四边形解决，引导学生用数学的语言表达世界，用数学的思维解决问题．
14、
【分析】先根据扇形的面积和半径求出扇形的弧长，即圆锥底面圆的周长，再利用圆的周长公式即可求出R．
【详解】解：设扇形的弧长为l，半径为r，
∵扇形面积，
∴，
∴ ，
∴．
故答案为：．
本题主要考查圆锥的有关计算，掌握扇形的面积公式是解题的关键．
15、①③④
【解析】①当x=﹣1时，y=2，即图象必经过点（﹣1，2）；
②k=﹣2＜0，每一象限内，y随x的增大而增大；
③k=﹣2＜0，图象在第二、四象限内；
④k=﹣2＜0，每一象限内，y随x的增大而增大，若x＞1，则y＞﹣2，
故答案为①③④．
16、1
【分析】先求得方程的两根，根据三角形的三边关系，得到合题意的边，进而求得三角形周长即可．
【详解】解方程x2-14x+48=0得第三边的边长为6或8，依据三角形三边关系，不难判定边长2，6，9不能构成三角形，2，8，9能构成三角形，∴三角形的周长=2+8+9=1．
本题考查三角形的周长和解一元二次方程，解题的关键是检验三边长能否成三角形．
17、1
【分析】先分母有理化，然后把二次根式化为最简二次根式后合并即可．
【详解】解：原式＝2-2＝1．
故答案为1．
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
18、∠B=∠1或
【解析】此题答案不唯一，注意此题的已知条件是：∠A=∠A，可以根据有两角对应相等的三角形相似或有两边对应成比例且夹角相等三角形相似，添加条件即可.
【详解】此题答案不唯一，如∠B=∠1或．
∵∠B=∠1，∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABC；
∵，∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABC；
故答案为∠B=∠1或
此题考查了相似三角形的判定：有两角对应相等的三角形相似；有两边对应成比例且夹角相等三角形相似，要注意正确找出两三角形的对应边、对应角，根据判定定理解题.

三、解答题（共78分）
19、（1）515或565；（2）的值为4，8，96，108，144.
【分析】（1）根据“对称数”的定义和可知，这个三位数首尾数字只能是5，然后中间的数字2倍后个位数为2，由此可得B的值.
（2）首先表示出这两个三位数，，，根据能被11整数，分情况讨论、的值即可得出答案.
【详解】解：（1）∵
由运算法则可知，这个三位数首尾数字只能是5，中间数字2倍后各位数字为2，
∴中间数字为1或6，
则这个三位数为515或565
故答案为：515或565；
（2）由题意得：，
，
能被11整除，
是11的倍数.
、在1～9中取值，
.
当，时，，；
当，时，，；
当，时，，；
当，时，，；
当，时，，；
当，时，，；
当，时，，；
当，时，，；
的值为4，8，96108，144.
本题考查新型定义运算问题，理解的运算法则是解决本题的关键.
20、（1）x1＝4，x2＝﹣6；（2）x1＝2+，x2＝2﹣
【分析】（1）利用直接开平方法解出方程；
（2）先求出一元二次方程的判别式，再解出方程．
【详解】解：（1）（x+1）2﹣25＝0，
（x+1）2＝25，
x+1＝±5，
x＝±5﹣1，
x1＝4，x2＝﹣6；
（2）x2﹣4x﹣2＝0，
∵a＝1，b＝﹣4，c＝﹣2，
∴△＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣2）＝24＞0，
∴x＝＝2±，
即x1＝2+，x2＝2﹣．
本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握求根公式是解题关键．
21、（1），；（2），
【分析】（1）先在方程的两边同时除以4，再直接开方即可；
（2）将常数项移到等式的右边，再两边配上一次项系数的一半可得．
【详解】（1）解：
∴，，
（2）解：

∴，．
本题主要考查配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的基本步骤是解题的关键．
22、（1）x1＝1,x2＝1.2；（2）或．
【分析】(1)利用因式分解法求解可得；
(2)利用公式法求解可得．
【详解】解：(1)∵2x(x﹣1)＝3(x﹣1)，
∴2x(x﹣1)﹣3(x﹣1)＝1，
则(x﹣1)(2x﹣3)＝1，
∴x﹣1＝1或2x﹣3＝1，
解得x＝1或x＝1.2；
故答案为x＝1或x＝1.2．
(2)∵a＝1，b＝﹣3，c＝1，
∴△＝(-3)2﹣4×1×1＝2＞1，
则x，
或．
本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握其常见的解法是解决本类题的关键．
23、（1）2，；（2）①是⊙的切线，；②或．
【分析】（1）根据图形M，N间的“和睦距离”的定义结合已知条件求解即可．
（2）①连接DF，DE，作DH⊥AB于H．设OC＝x．首先证明∠CBO＝30，再证明DH＝DE即可证明是⊙的切线，再求出OE,DE的长即可求出点D的坐标．
②根据，得到不等式组解决问题即可．
【详解】（1）∵A（0，1），C（3，4），⊙C的半径为2，
∴d（C，⊙C）＝2，
d（O，⊙C）＝AC−2＝，
故答案为2；；
（2）①连接，作于.设．

∵，
∴，
解得，
∴，
∴，，
∵是⊙的切线，
∴平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是⊙的切线．
∵，
设，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
②∵
∴B（0，）
∴BD=
由，，得
解得或
故答案为：或．
本题属于圆综合题，考查了图形M，N间的“和睦距离”，解直角三角形的应用，切线的判定和性质，不等式组等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．
24、（1）详见解析；（2）．
【分析】（1）过点作于点，根据矩形的判定可得四边形和四边形是矩形，从而得出，，，然后证出，列出比例式，再利用等量代换即可得出结论；
（2）设，则，先证出，可得，然后证出，可得，即可求出EF和AC的关系，从而求出与之间的数量关系．
【详解】（1）证明：过点作于点，如图1所示：

则四边形和四边形是矩形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
即；
（2）解：∵，
∴设，则，

由（1）可知：，，
∵，
∴，
∴，
，
∵，
∴，
∴，
∴，
根据翻折的性质可得
∵DC∥AB，∠APB=90°
∴＋∠BPM=90°，∠PAM＋∠PBM=90°
∴∠BPM=∠PBM
∴MP=MA，MP=MB
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
此题考查的是矩形的性质、相似三角形的判定及性质和折叠的性质，掌握矩形的性质、相似三角形的判定及性质和折叠的性质是解决此题的关键．
25、1:1
【分析】作出正三角形的边心距，连接正三角形的一个顶点和中心可得到一直角三角形，解直角三角形即可．
【详解】解：如图所示：
∵圆的内接正三角形的内心到每个顶点的距离是等边三角形高的，设内接正三角形的边长为a，
∴等边三角形的高为a，
∴该等边三角形的外接圆的半径为a
∴同圆外切正三角形的边长＝1×a×tan30°＝1a.
∴周长之比为：3a：6a＝1：1，
故答案为：1：1．

此题主要考查正多边形与圆，解题的关键是熟知正三角形的性质．
26、（1）AC=AE；（2）图见解析，证明见解析
【解析】（1）作OP⊥AM，OQ⊥AN于Q，连接AO，BO，DO．证△APO≌△AQO，由BC=DE，得CP=EQ后得证；
（2）同AC=AE得∠ECM=∠CEN，由CE=EF得∠FCE=∠FEC=∠MCE=∠CEN得证．
【详解】证明：(1)作OP⊥AM于P，OQ⊥AN于Q，连接AO，BO，DO.

∵，
∴BC=DE，
∴BP=DQ，
又∵OB=OD，
∴△OBP≌△ODQ，
∴OP=OQ.
∴BP=DQ=CP=EQ.
直角三角形APO和AQO中，
AO=AO，OP=OQ，
∴△APO≌△AQO.
∴AP=AQ.
∵CP=EQ，
∴AC=AE.
（2）作图如图所示

证明：∵AC=AE，∴，
∴， 由于AF是CE的垂直平分线，且CF平分，
∴CF=EF.
∴
因此EF平分
本题考查了圆心角、弧、弦的关系, 全等三角形的判定与性质, 线段垂直平分线的性质, 等腰三角形的性质，综合性比较强，熟练掌握性质定理是解题的关键.