2024年湖南省长沙市湖南师大附中教育集团数学九年级第一学期期末质量检测试题含解析.doc

2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图是一个几何体的三视图，这个几何体是（ ）．

A．三棱锥 B．三棱柱 C．长方体 D．圆柱体
2．在平面直角坐标系中，以点（3，2）为圆心、2为半径的圆，一定（　　）
A．与x轴相切，与y轴相切 B．与x轴相切，与y轴相离
C．与x轴相离，与y轴相切 D．与x轴相离，与y轴相离
3．图中所示的几个图形是国际通用的交通标志.其中不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，的外切正六边形的边长为2，则图中阴影部分的面积为（ ）

A． B． C． D．
5．时钟上的分针匀速旋转一周需要60分钟，则经过10分钟，分针旋转了（　　）.
A．10° B．20° C．30° D．60°
6．将抛物线y=2(x－7)2+3平移，使平移后的函数图象顶点落在y轴上，则下列平移中正确的是( )
A．向上平移3个单位 B．向下平移3个单位
C．向左平移7个单位 D．向右平移7个单位
7．在大量重复试验中，关于随机事件发生的频率与概率，下列说法正确的是( )
A．频率就是概率
B．频率与试验次数无关
C．概率是随机的，与频率无关
D．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率
8．一元二次方程的根是（ ）
A．1 B．3 C．1或3 D．-1或3
9．以下给出的几何体中，主视图是矩形，俯视图是圆的是（　　）
A． B． C． D．
10．全等图形是相似比为1的相似图形，因此全等是特殊的相似，我们可以由研究全等三角形的思路，提出相似三角形的问题和研究方法．这种其中主要利用的数学方法是（ ）
A．代入法 B．列举法 C．从特殊到一般 D．反证法
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．某农科所在相同条件下做玉米种子发芽实验，结果如下：

某位顾客购进这种玉米种子10千克，那么大约有_____千克种子能发芽．
12．已知点E是线段AB的黄金分割点,且，若AB=2则BE=__________.
13．如图，在中，，，延长至点，使，则________.

14．将抛物线y=x2先沿x轴方向向左平移2个单位，再沿y轴方向向下平移3个单位，所得抛物线的解析式是__．
15．将二次函数y＝－2(x－1)2 ＋3的图象关于原点作对称变换，则对称后得到的二次函数的解析式为____________．
16．一个反比例函数的图像过点，则这个反比例函数的表达式为__________．
17．抛物线y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，则当y＜0时，x的取值范围是_____．

18．若代数式是完全平方式，则的值为______．
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，tanB＝cos∠DAC．
（1）求证：AC＝BD；
（2）若sin C＝，BC＝12，求△ABC的面积．

20．（6分）在2019年国庆期间，王叔叔的服装店进回一种女装，进价为400元，他首先在进价的基础上增加100元，由于销量非常好，他又连续两次涨价，结果标价比进价的2倍还多45元，求王叔叔这两次涨价的平均增长率是百分之多少？
21．（6分）用适当的方法解下列一元二次方程：
（1）2x2＋4x－1＝0；（2）(y＋2)2－(3y－1)2＝0.
22．（8分）孝感商场计划在春节前50天里销售某品牌麻糖，其进价为18元/盒.设第天的销售价格为（元/盒），销售量为（盒）.该商场根据以往的销售经验得出以下的销售规律：①当时，；当时，与满足一次函数关系，且当时，；时，.②与的关系为．
（1）当时，与的关系式为 ；
（2）为多少时，当天的销售利润（元）最大？最大利润为多少？
23．（8分）如图，AB是⊙O的直径，D是弦AC的延长线上一点，且CD＝AC，DB的延长线交⊙O于点E．
（1）求证：CD＝CE；
（2）连结AE，若∠D＝25°，求∠BAE的度数．

24．（8分）国内猪肉价格不断上涨，已知今年10月的猪肉价格比今年年初上涨了80%，李奶奶10月在某超市购买1千克猪肉花了72元钱．
（1）今年年初猪肉的价格为每千克多少元？
（2）某超市将进货价为每千克55元的猪肉按10月价格出售，平均一天能销售出100千克，随着国家对猪肉价格的调控，超市发现猪肉的售价每千克下降1元，其日销售量就增加10千克，超市为了实现销售猪肉每天有1800元的利润，并且尽可能让顾客得到实惠，猪肉的售价应该下降多少元？
25．（10分）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线与直线交于，两点，点是抛物线的顶点．

（1）求抛物线的解析式；
（2）点是直线上方抛物线上的一个动点，其横坐标为，过点作轴的垂线，交直线于点，当线段的长度最大时，求的值及的最大值．
（3）在抛物线上是否存在异于、的点，使中边上的高为，若存在求出点的坐标；若不存在请说明理由．
26．（10分）如图，⊙O的直径AB为10cm，弦BC为5cm，D、E分别是∠ACB的平分线与⊙O，AB的交点，P为AB延长线上一点，且PC＝PE．
（1）求AC、AD的长；
（2）试判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由．

参考答案

一、选择题(每小题3分,共30分)
1、B

【解析】试题解析：根据三视图的知识，主视图为三角形，左视图为一个矩形，俯视图为两个矩形，故这个几何体为三棱柱．故选B.
2、B
【分析】本题应将该点的横纵坐标分别与半径对比，大于半径时，则坐标轴与该圆相离；若等于半径时，则坐标轴与该圆相切．
【详解】∵是以点（2，3）为圆心，2为半径的圆，
则有2＝2，3＞2，
∴这个圆与x轴相切，与y轴相离．
故选B．
本题考查了直线与圆的位置关系、坐标与图形性质．直线与圆相切，直线到圆的距离等于半径；与圆相离，直线到圆的距离大于半径．
3、C
【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形．
【详解】A、B、D都是轴对称图形，而C不是轴对称图形．
故选C．
本题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
4、A
【分析】由于六边形ABCDEF是正六边形，所以∠AOB=60°，故△OAB是等边三角形，OA=OB=AB=2，设点G为AB与⊙O的切点，连接OG，则OG⊥AB，OG=OA•sin60°，再根据S阴影=S△OAB-S扇形OMN，进而可得出结论．
【详解】∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠AOB=60°，
∴△OAB是等边三角形，OA=OB=AB=2，
设点G为AB与⊙O的切点，连接OG，则OG⊥AB，
∴OG=OA∙sin60°=2×  =   ，
∴S 阴影 =S △OAB -S 扇形OMN = ×2× - ．
故选A．

考核知识点：正多边形与圆.熟记扇形面积公式是关键.
5、D
【分析】先求出时钟上的分针匀速旋转一分钟时的度数为6°，再求10分钟分针旋转的度数就简单了．
【详解】解：∵时钟上的分针匀速旋转一周的度数为360°，时钟上的分针匀速旋转一周需要60分钟，
则时钟上的分针匀速旋转一分钟时的度数为：360÷60＝6°，
那么10分钟，分针旋转了10×6°＝60°，
故选：D．
本题考查了生活中的旋转现象，明确分针旋转一周，分针旋转了360°，所以时钟上的分针匀速旋转一分钟时的度数，是解答本题的关键．
6、C
【解析】按“左加右减括号内，上加下减括号外”的规律平移即可得出所求函数的解析式.
【详解】依题意可知,原抛物线顶点坐标为（7,3）,平移后抛物线顶点坐标为（0，t）(t为常数),则原抛物线向左平移7个单位即可.
故选C.
本题考查了二次函数图象的平移，其规律是是：将二次函数解析式转化成顶点式y=a(x-h)2+k （a，b，c为常数，a≠0），确定其顶点坐标(h，k)，在原有函数的基础上“h值正右移，负左移； k值正上移，负下移”．
7、D
【详解】因为大量重复试验事件发生的频率逐渐稳定到某个常数附近，可以用这个常数估计这个事件发生的概率,所以D选项说法正确,
故选D.
8、D
【解析】利用因式分解法求解即可得．
【详解】

故选：D．
本题考查了利用因式分解法求解一元二次方程，主要解法包括：直接开方法、配方法、公式法、因式分解法、换元法等，熟记各解法是解题关键．
9、D
【分析】根据几何体的正面看得到的图形，可得答案．
【详解】A、主视图是圆，俯视图是圆，故A不符合题意；
B、主视图是矩形，俯视图是矩形，故B不符合题意；
C、主视图是三角形，俯视图是圆，故C不符合题意；
D、主视图是个矩形，俯视图是圆，故D符合题意；
故选D．
本题考查了简单几何体的三视图，熟记简单几何的三视图是解题关键．
10、C
【分析】根据全等是特殊的相似，即可得到“提出相似三角形的问题和研究方法”是从特殊到一般．
【详解】∵全等图形是相似比为1的相似图形，全等是特殊的相似，
∴由研究全等三角形的思路，提出相似三角形的问题和研究方法，是从特殊到一般的数学方法．
故选C．
本题主要考查研究相似三角形的数学方法，理解相似三角形和全等三角形的联系，是解题的关键．

二、填空题(每小题3分,共24分)
11、1.1
【分析】观察图中的频率稳定在哪个数值附近，由此即可求出作物种子的概率.
【详解】解：∵大量重复试验发芽率逐渐稳定在0.11左右，
∴10kg种子中能发芽的种子的质量是：
10×0.11=1.1（kg）
故答案为：1.1．
本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
12、
【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比；
【详解】解：∵点E是线段AB的黄金分割点，且BE>AE，
∴BE=AB，
而AB=2，
∴BE=；
故答案为：；
本题主要考查了黄金分割，掌握黄金分割是解题的关键.
13、
【分析】过点A 作AF⊥BC于点，过点D 作DE⊥AC交AC的延长线于点E，目的得到直角三角形利用三角函数得△AFC三边的关系，再证明 △ACF∽△DCE，利用相似三角形性质得出△DCE各边比值，从而得解.
【详解】解:过点A 作AF⊥BC于点，过点D 作DE⊥AC交AC的延长线于点E，

∵，
∴∠B=∠ACF，sin∠ACF==，
设AF=4k，则AC=5k，CD=，由勾股定理得：FC=3k，
∵∠ACF=∠DCE，∠AFC=∠DEC=90°，
∴△ACF∽△DCE，
∴AC：CD=CF：CE=AF：DE，即5k： =3k：CE=4k：DE，
解得：CE=，DE=2k，即AE=AC+CE=5k+=，
∴在Rt△AED中， DE：AE=2k：=.
故答案为：.
本题考查三角函数定义、相似三角形的判定与性质，解题关键是构造直角三角形.
14、y=（x+2）2-1
【分析】根据左加右减，上加下减的变化规律运算即可．
【详解】解：按照“左加右减，上加下减”的规律，
向左平移2个单位，将抛物线y＝x2先变为y＝（x＋2）2，
再沿y轴方向向下平移1个单位抛物线y＝（x＋2）2即变为：y＝（x＋2）2−1，
故答案为：y＝（x＋2）2−1．
本题考查了抛物线的平移，掌握平移规律是解题关键．
15、y＝2(x＋1)2 －3
【分析】根据关于原点对称点的特点，可得答案．
【详解】解：y=−2(x−1)2+3的顶点坐标为(1，3)，
故变换后的抛物线为y=2(x+1)2−3，
故答案为y=2(x+1)2−3
本题考查了二次函数图象与几何变换，抛物线关于原点对称变换后只是开口方向改变，顶点关于原点对称，而开口大小并没有改变．
16、
【分析】设反比例函数的解析式为y=(k≠0)，把A点坐标代入可求出k值，即可得答案．
【详解】设反比例函数的解析式为y=(k≠0)，
∵反比例函数的图像过点，
∴3=，
解得：k=-6，
∴这个反比例函数的表达式为，
故答案为：
本题考查待定系数法求反比例函数解析式，熟练掌握反比例函数图象上的点的坐标特征是解题关键．
17、x＜﹣1或x＞1．
【分析】利用二次函数的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为（1，0），然后写出抛物线在x轴下方所对应的自变量的范围即可．
【详解】∵抛物线的对称轴为直线，
而抛物线与轴的一个交点坐标为（-1，0），
∴抛物线与轴的另一个交点坐标为（1，0），
∴当时，的取值范围为或．
故答案为：或．
本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
18、
【分析】利用完全平方式的结构特征判断即可确定出m的值．
【详解】解：∵代数式x2+mx+1是一个完全平方式，
∴m=±2，
故答案为：±2
此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．

三、解答题(共66分)
19、（1）证明见解析；（2）△ABC的面积为42.
【分析】（1）在直角三角形中，表示，根据它们相等，即可得出结论
（2）利用和勾股定理表示出线段长，根据，求出长
【详解】(1)∵AD是BC上的高
∴AD⊥BC．
∴∠ADB=90°，∠ADC=90°．
在Rt△ABD和Rt△ADC中，
∵=，=
又已知
∴=．
∴AC=BD．
(2)在Rt△ADC中，，故可设AD=1k，AC=13k．
∴CD==5k．
∵BC=BD+CD，又AC=BD，
∴BC=13k+5k=12k
由已知BC=1， ∴12k=1．
∴k=．
∴AD=1k=1=2．
20、
【分析】设甲卖家这两次涨价的平均增长率为x，则首次标价为500（1+x），二次标价为500（1+x）（1+x）即500（1+x）2，据此即可列出方程．
【详解】解：设王叔叔这两次涨价的平均增长率为x，根据题意得，

解之得，，（不符合题意，故舍去）
∴王叔叔这两次涨价的平均增长率为
本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
21、（1）x1＝－1＋，x2＝－1－；（2）y1＝－，y2＝.
【解析】试题分析：（1）根据方程的特点，利用公式法解一元二次方程即可；
（2）根据因式分解法，利用平方差公式因式分解，然后再根据乘积为0的方程的解法求解即可.
试题解析：（1）∵a=2，b=4，c=-1
∴△=b2-4ac=16+8=24＞0
∴x==
∴x1＝－1＋，x2＝－1－
（2）(y＋2)2－(3y－1)2＝0
[(y+2)+(3y-1)][ (y+2)-(3y-1)]=0
即4y+1=0或-2y+3=0
解得y1＝－，y2＝.
22、（1）;（2）32， 2646元.
【分析】（1）设一次函数关系式为，将“当时，时，”代入计算即可；
（2）根据利润等于单件利润乘以销售量分段列出函数关系式，再根据一次函数及二次函数的性质得出最大利润即可.
【详解】解：（1）设一次函数关系式为
∵当时，；时，，
即，解得：
∴
（2）
∴当时，

∵60＞0
∴当x=30时，W最大=2400（元）
当时

∴当x=32时，当天的销售利润W最大，为2646元.
2646＞2400
∴故当x=32时，当天的销售利润W最大，为2646元.
本题考查了二次函数的实际应用，根据题意列出函数关系式并熟知函数的基本性质是解题关键.
23、（1）证明见解析；（2）40°.
【分析】(1) 连接BC，利用直径所对的圆周角是直角、线段垂直平分线性质、同弧所对的圆周角相等、等角对等边即可证明.
（2）利用三角形外角等于不相邻的两个内角和、利用直径所对的圆周角是直角、直角三角形两锐角互余即可解答.
【详解】（1）证明：连接BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，即BC⊥AD，
∵CD＝AC，
∴AB＝BD，
∴∠A＝∠D，
∴∠CEB＝∠A，
∴∠CEB＝∠D，
∴CE＝CD．
（2）解：连接AE．
∵∠A BE＝∠A+∠D＝50°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴∠BAE＝90°﹣50°＝40°．

本题考查圆周角定理等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
24、（1）每千克40元（2）猪肉的售价应该下降5元
【分析】（1）设今年年初猪肉的价格为每千克x元，根据今年10月的猪肉价格=今年年初猪肉的价格×（1+上涨率），即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）设猪肉的售价应该下降y元，则每日可售出（100+10y）千克，根据总利润=每千克的利润×销售数量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论．
【详解】解：（1）设今年年初猪肉的价格为每千克元，
依题意，得，
解得.
答：今年年初猪肉的价格为每千克40元.
（2）设猪肉的售价应该下降元，则每日可售出千克，
依题意，得，
整理，得，
解得.
∵让顾客得到实惠，
∴.
答：猪肉的售价应该下降5元.
本题考查了一元一次方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
25、（1）；（2）当时，PM有最大值；（3）存在，理由见解析；，，，
【分析】（1）先求得点、的坐标，再代入二次函数表达式即可求得答案；
（2）设点横坐标为，则，，求得PM关于的表达式，即可求解；
（3）设，则，求得，根据等腰直角三角形的性质，求得，即可求得答案.
【详解】（1），令则，令，则，
故点、的坐标分别为、，
将、代入二次函数表达式为，
解得：，
故抛物线的表达式为：.
（2）设点横坐标为，则，，
，
当时，PM有最大值；
（3）如图，过作轴交于点，交轴于点，作于，
设，则，
，
是等腰直角三角形，
，
，
当中边上的高为时，即，
，
，
当时，解得或，或，
当时，解得或，或，
综上可知存在满足条件的点，其坐标为，，，．

本题主要考查的知识点有：利用待定系数法确定函数解析式、等腰直角三角形的判定和性质以及平行四边形的判定和性质；第（2）问中，利用二次函数求最值是解题的关键；最后一问利用两点之间的距离公式和等腰直角三角形的性质构建等式是解题的关键．
26、（1）AC=5，AD=5；（2）直线PC与⊙O相切
【分析】(1)、连接BD，根据AB为直径，则∠ACB=∠ADB=90°，根据Rt△ABC的勾股定理求出AC的长度，根据CD平分∠ACB得出Rt△ABD是等腰直角三角形，从而得出AD的长度；(2)、连接OC，根据OA=OC得出∠CAO=∠OCA，根据PC=PE得出∠PCE=∠PEC，然后结合CD平分∠ACB得出∠ACE=∠ECB，从而得出∠PCB=∠ACO，根据∠ACB=90°得出∠OCP=90°，从而说明切线.
【详解】解：(1)、①如图，连接BD， ∵AB是直径
∴∠ACB=∠ADB=90°，
在RT△ABC中，AC=
②∵CD平分∠ACB， ∴AD=BD，∴Rt△ABD是直角等腰三角形
∴AD=AB=×10=5cm；
(2)、直线PC与⊙O相切，
理由：连接OC， ∵OC=OA
∴∠CAO=∠OCA
∵PC=PE
∴∠PCE=∠PEC，
∵∠PEC=∠CAE+∠ACE
∵CD平分∠ACB
∴∠ACE=∠ECB
∴∠PCB=∠ACO
∵∠ACB=90°，
∴∠OCP=∠OCB+∠PCB=∠ACO+∠OCB=∠ACB=90°， OC⊥PC，
∴直线PC与⊙O相切．

考点：(1)、勾股定理；(2)、直线与圆的位置关系.