天津市南开区津英中学2025届九年级数学第一学期期末学业水平测试试题含解析.doc

2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每题4分，共48分）
1．下列说法正确的是(　 　)
A．对应边都成比例的多边形相似 B．对应角都相等的多边形相似
C．边数相同的正多边形相似 D．矩形都相似
2．抛物线的顶点坐标为（ ）
A．(3,1) B．(，1) C．(1,3) D．(1,)
3．已知一扇形的圆心角为，半径为，则以此扇形为侧面的圆锥的底面圆的周长为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，已知DE∥BC，CD和BE相交于点O，S△DOE：S△COB=4：9，则AE：EC为（　　）

A．2：1 B．2：3 C．4：9 D．5：4
5．如图，、、是的切线，、、是切点，分别交、于、两点.如，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
6．某射击运动员在训练中射击了10次，成绩如图所示：

下列结论不正确的是（ ）
A．众数是8 B．中位数是8 C．平均数是8.2 D．方差是1.2
7．下列结论正确的是（　　）
A．三角形的外心是三条角平分线的交点
B．平分弦的直线垂直于弦
C．弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧
D．直径是圆的对称轴
8．两相似三角形的相似比为，它们的面积之差为15，则面积之和是（ ）
A．39 B．75 C．76 D．40
9．如图所示，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，与y轴的一个交点坐标为(0，3)，其部分图象如图所示，下列5个结论中，其中正确的是（ ）
①abc＞0；②4a+c＞0；③方程ax²+bx+c=3两个根是=0，=2；④方程ax²+bx+c=0有一个实数根大于2；⑤当x＜0，y随x增大而增大

A．4 B．3 C．2 D．1
10．已知，，那么ab的值为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，将绕点按逆时针方向旋转后得到，若，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
12．下列函数，当时，随着的增大而减小的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题4分，共24分）
13．如图所示，在中，、相交于点，点是的中点，联结并延长交于点，如果的面积是4，那么的面积是______.

14．若，均为锐角，且满足，则__________．
15．若点，在反比例函数的图象上，则______.（填“>”“<”或“=”）
16．将抛物线y=x2先沿x轴方向向左平移2个单位，再沿y轴方向向下平移3个单位，所得抛物线的解析式是__．
17．计算：＝_____．
18．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b与反比例函数的图象相交于点和点，则关于x的不等式的解集是_____．

三、解答题（共78分）
19．（8分）如图1，在和中，顶点是它们的公共顶点，，．

（特例感悟）（1）当顶点与顶点重合时（如图1），与相交于点，与相交于点，求证：四边形是菱形；
（探索论证）（2）如图2，当时，四边形是什么特殊四边形？试证明你的结论；
（拓展应用）（3）试探究：当等于多少度时，以点为顶点的四边形是矩形？请给予证明．
20．（8分）如图，已知反比例函数y1＝与一次函数y2＝k2x+b的图象交于点A（2，4），B（﹣4，m）两点．
（1）求k1，k2，b的值；
（2）求△AOB的面积；
（3）请直接写出不等式≥k2x+b的解．

21．（8分）为早日实现脱贫奔小康的宏伟目标，我市结合本地丰富的山水资源，大力发展旅游业，王家庄在当地政府的支持下，办起了民宿合作社，专门接待游客，合作社共有80间客房．根据合作社提供的房间单价x（元）和游客居住房间数y（间）的信息，乐乐绘制出y与x的函数图象如图所示：
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）合作社规定每个房间价格不低于60元且不超过150元，对于游客所居住的每个房间，合作社每天需支出20元的各种费用，房价定为多少时，合作社每天获利最大？最大利润是多少？

22．（10分）已知一次函数（为常数，）的图象分别与轴、轴交于、B两点，且与反比例函数的图象交于、D两点（点在第二象限内，过点作轴于点

（1）求的值
（2）记为四边形的面积，为的面积，若，求的值
23．（10分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1．
（1）求抛物线顶点C的坐标（用含m的代数式表示）；
（2）已知点A（0，3），B（2，3），若该抛物线与线段AB有公共点，结合函数图象，求出m的取值范围．

24．（10分）如图内接于，，CD是的直径，点P是CD延长线上一点，且．
求证：PA是的切线；
若，求的直径．

25．（12分）中，∠ACB=90°，AC=BC，D是BC上一点，连接AD，将线段AD绕着点A逆时针旋转，使点D的对应点E在BC的延长线上。过点E作EF⊥AD垂足为点G，

（1）求证：FE=AE；
（2）填空：=_____
（3）若，求的值(用含k的代数式表示)．
26．为了响应政府提出的由中国制造向中国创造转型的号召，某公司自主设计了一款成本为40元的可控温杯，并投放市场进行试销售，经过调查发现该产品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系：y=﹣10x+1．
（1）求出利润S（元）与销售单价x（元）之间的关系式（利润=销售额﹣成本）；
（2）当销售单价定为多少时，该公司每天获取的利润最大？最大利润是多少元？
参考答案

一、选择题（每题4分，共48分）
1、C
【解析】试题分析：根据相似图形的定义，对选项一一分析，排除错误答案．
解：A、对应边都成比例的多边形，属于形状不唯一确定的图形，故错误；
B、对应角都相等的多边形，属于形状不唯一确定的图形，故错误；
C、边数相同的正多边形，形状相同，但大小不一定相同，故正确；
D、矩形属于形状不唯一确定的图形，故错误．
故选C．
考点：相似图形．
点评：本题考查相似变换的定义，即图形的形状相同，但大小不一定相同的是相似形．
2、A
【分析】利用二次函数的顶点式是：y＝a（x−h）2＋k（a≠0，且a，h，k是常数），顶点坐标是（h，k）进行解答．
【详解】∵，
∴抛物线的顶点坐标是（3，1）．
故选：A．
此题考查了二次函数的性质，二次函数y＝a（x−h）2＋k的顶点坐标为（h，k），对称轴为x＝h．熟知二次函数的顶点坐标式是解答本题的关键
3、A
【分析】利用弧长公式计算出扇形的弧长，以此扇形为侧面的圆锥的底面圆的周长即是扇形的弧长.
【详解】解：扇形的弧长＝，
以此扇形为侧面的圆锥的底面圆的周长为．
故选：A．
本题考查了弧长的计算：.
4、A
【解析】试题解析：∵ED∥BC，

故选A.
点睛：相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方.
5、C
【分析】连接OA、OB、OE，由切线的性质可求出∠AOB，再由切线长定理可得出∠COD= ∠AOB，可求得答案．
【详解】解：连接OA、OE、OB，所得图形如下：

由切线性质得，OA⊥PA，OB⊥PB，OE⊥CD，DB=DE，AC=CE，
∵AO=OE=OB，
∴△AOC≌△EOC（SAS），△EOD≌△BOD（SAS），
∴∠AOC=∠EOC，∠EOD=∠BOD，
∴∠COD=∠AOB，
∵∠APB=40°，
∴∠AOB=140°，
∴∠COD=70°．
本题考查了切线的性质及切线长定理，解答本题的关键是熟练掌握：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角．
6、D
【分析】首先根据图形数出各环数出现的次数，在进行计算众数、中位数、平均数、方差.
【详解】根据图表可得10环的2次，9环的2次，8环的3次，7环的2次，6环的1次.所以可得众数是8，中位数是8，平均数是
方差是
故选D
本题主要考查统计的基本知识，关键在于众数、中位数、平均数和方差的概念.特别是方差的公式.
7、C
【分析】根据三角形的外心定义可以对A判断；根据垂径定理的推论即可对B判断；根据垂径定理即可对C判断；根据对称轴是直线即可对D判断．
【详解】A．三角形的外心是三边垂直平分线的交点，所以A选项错误；
B．平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，所以B选项错误；
C．弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧，所以C选项正确；
D．直径所在的直线是圆的对称轴，所以D选项错误．
故选：C．
本题考查了三角形的外接圆与外心、垂径定理、圆的有关概念，解决本题的关键是掌握圆的知识．
8、A
【分析】由两相似三角形的相似比为，得它们的面积比为4：9，设它们的面积分别为4x，9x，列方程，即可求解.
【详解】∵两相似三角形的相似比为，
∴它们的面积比为4：9，
设它们的面积分别为4x，9x，则9x-4x=15，
∴x=3，
∴9x+4x=13x=13×3=39.
故选A.
本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方，是解题的关键.
9、B
【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与x轴的交点坐标等知识，逐个判断即可．
【详解抛物线开口向下，a＜0，对称轴为直线x＝1＞0，a、b异号，因此b＞0，与y轴交点为（0，3），因此c＝3＞0，于是abc＜0，故结论①是不正确的；
由对称轴为直线x＝− ＝1得2a＋b＝0，当x＝−1时，y＝a−b＋c＜0，所以a＋2a＋c＜0，即3a＋c＜0，又a＜0，4a＋c＜0，故结论②不正确；
当y＝3时，x1＝0，即过（0，3），抛物线的对称轴为直线x＝1，由对称性可得，抛物线过（2，3），因此方程ax2＋bx＋c＝3的有两个根是x1＝0，x2＝2；故③正确；
抛物线与x轴的一个交点（x1，0），且−1＜x1＜0，由对称轴为直线x＝1，可得另一个交点（x2，0），2＜x2＜3，因此④是正确的；
根据图象可得当x＜0时，y随x增大而增大，因此⑤是正确的；
正确的结论有3个，
故选：B．
考查二次函数的图象和性质，掌握a、b、c的值决定抛物线的位置以及二次函数与一元二次方程的关系，是正确判断的前提．
10、C
【分析】利用平方差公式进行计算，即可得到答案.
【详解】解：∵，，
∴；
故选择：C.
本题考查了二次根式的乘法运算，解题的关键是熟练运用平方差公式进行计算.
11、A
【分析】根据绕点按逆时针方向旋转后得到，可得，然后根据可以求出的度数．
【详解】∵绕点按逆时针方向旋转后得到
∴
又∵
∴
本题考查的是对于旋转角的理解，能利用定义从图形中准确的找出旋转角是关键．
12、D
【分析】根据各个选项中的函数解析式，可以判断出当x＞0时，y随x的增大如何变化，从而可以解答本题．
【详解】在y＝2x＋1中，当x＞0时，y随x的增大而增大，故选项A不符合题意；
在中，当x＞0时，y随x的增大而增大，故选项B不符合题意；
在中，当x＞0时，y随x的增大而增大，故选项C不符合题意；
在y＝−x2−2x＝−（x＋1）2＋1中，当x＞0时，y随x的增大而减小，故选项D符合题意；
故选：D．
本题考查一次函数的性质、反比例函数的性质、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，可以判断出当x＞0时，y随x的增大如何变化．

二、填空题（每题4分，共24分）
13、36
【分析】首先证明△AFE∽△CBE，然后利用对应边成比例，E为OA的中点，求出AE：EC=1：3，即可得出．
【详解】在平行四边形ABCD中，AD∥BC，
则△AFE∽△CBE，
∴ ，
∵O为对角线的交点，
∴OA=OC，
又∵E为OA的中点，
∴AE=AC，
则AE：EC=1：3，
∴AF：BC=1：3，
∴
即
∴=36
故答案为：36
本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，难度适中，解答本题的关键是根据平行证明△DFE∽△BAE，然后根据对应边成比例求值．
14、15
【分析】利用绝对值和二次根式的非负性求得的值，然后确定两个角的度数，从而求解.
【详解】解：由题意可知：
∴
∴∠α=60°，∠β=45°
∴∠α-∠β=15°
故答案为：15
本题考查绝对值及二次根式的非负性和特殊角的三角函数值，正确计算是本题的解题关键.
15、<
【分析】根据反比例的性质，比较大小
【详解】∵
∴在每一象限内y随x的增大而增大
点，在第二象限内y随x的增大而增大
∴m的规律，
向左平移2个单位，将抛物线y＝x2先变为y＝（x＋2）2，
再沿y轴方向向下平移1个单位抛物线y＝（x＋2）2即变为：y＝（x＋2）2−1，
故答案为：y＝（x＋2）2−1．
本题考查了抛物线的平移，掌握平移规律是解题关键．
17、
【详解】解：原式=．
故答案为．
18、-6＜x＜0或x＞2；
【解析】观察一次函数和反比例函数图象，一次函数比反比例函数高的部分就是所求.
【详解】解：本题初中阶段只能用数形结合，由图知-6＜x＜0或x＞2；
点睛：利用一次函数图象和反比例函数图象性质数形结合解不等式：
形如式不等式，构造函数，=，如果,找出比,高的部分对应的x的值,,找出比,低的部分对应的x的值.

三、解答题（共78分）
19、 (1)见解析； (2) 当∠GBC=30°时，四边形GCFD是正方形．证明见解析；(3)当∠GBC=120°时，以点，，，为顶点的四边形CGFD是矩形. 证明见解析．
【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再通过证明得出，从而证明四边形是菱形；
（2）证法一：如图，连接交于，在上取一点，使得，通过证明，，，从而证明当∠GBC=30°时，四边形GCFD是正方形；
证法二：如图，过点G作GH⊥BC于H，通过证明OD=OC=OG=OF，GF=CD，从而证明当∠GBC=30°时，四边形GCFD是正方形；
（3） 当∠GBC=120°时，点E与点A重合，通过证明，CD=GF，，从而证明四边形是矩形．
【详解】(1) ，，
四边形是平行四边形，
在和中，
，
，
四边形是菱形．
(2)   当∠GBC=30°时，四边形GCFD是正方形．

证法一：如图，连接交于，在上取一点，使得，
，，
，
，
，
，.
，，，
，
，
，
，
，
设，则，，
 在Rt△BGK中，，解得，
 ，，
，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形．
证法二：如图

∵，，
.
又，
，
，.
过点G作GH⊥BC于H，
在Rt△BHG中，
∵，
∴GH=BG＝＋１，BH＝GH＝3＋，
∴HC=BC﹣BH=2+2-（3＋）=-1，
∴GC=，
∴OG=OC===2，
∴OD=OF=4-2=2，
∴OD=OC=OG=OF，
四边形是矩形，
∵GF=CD，
四边形是正方形．

(3) 当∠GBC=120°时，以点，，，为顶点的四边形CGFD是矩形.
 当∠GBC=120°时，点E与点A重合.
，
∴，
.
 ∵四边形ABCD和四边形GBEF是平行四边形，
∴，，AB=CD，AB=GF，
∴，CD=GF，
 四边形是平行四边形.
∵，
四边形是矩形．
本题考查了几何的综合应用题，掌握矩形和正方形的性质以及判定、勾股定理、全等三角形的判定是解题的关键．
20、（1）k1＝8，k1＝1，b＝1；（1）2；（3）x≤﹣4或0＜x≤1．
【解析】（1）由点A的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征，即可得出反比例函数解析式，再结合点B的横坐标即可得出点B的坐标，根据点A、B的坐标利用待定系数法，即可求出一次函数解析式；
（1）根据一次函数图象上点的坐标特征，即可求出一次函数图象与y轴的交点坐标，再利用分割图形法即可求出△AOB的面积；
（3）根据两函数图象的上下位置关系，即可得出不等式的解集．
【详解】（1）∵反比例函数y＝与一次函数y＝k1x+b的图象交于点A（1，4），B（﹣4，m），
∴k1＝1×4＝8，m＝＝﹣1，
∴点B的坐标为（﹣4，﹣1）．
将A（1，4）、B（﹣4，﹣1）代入y1＝k1x+b中，，
解得：，
∴k1＝8，k1＝1，b＝1．
（1）当x＝0时，y1＝x+1＝1，
∴直线AB与y轴的交点坐标为（0，1），
∴S△AOB＝×1×4+×1×1＝2．
（3）观察函数图象可知：
不等式≥k1x+b的解集为x≤﹣4或0＜x≤1．

本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是：（1）根据待定系数法求出函数解析式；（1）利用分割图形法求出△AOB的面积；（3）根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的解集．
21、（1）y=﹣0.5x+110；（2）房价定为120元时，合作社每天获利最大，最大利润是5000元．
【解析】（1）根据题意和函数图象中的数据可以求得相应的函数解析式；
（2）根据题意可以得到利润与x之间的函数解析式，从而可以求得最大利润．
【详解】（1）设y与x之间的函数关系式为y=kx+b，
，解得：，
即y与x之间的函数关系式是y=﹣0.5x+110；
（2）设合作社每天获得的利润为w元，
w=x（﹣0.5x+110）﹣20（﹣0.5x+110）=﹣0.5x2+120x﹣2200=﹣0.5（x﹣120）2+5000，
∵60≤x≤150，
∴当x=120时，w取得最大值，此时w=5000，
答：房价定为120元时，合作社每天获利最大，最大利润是5000元．
【点睛】本题考查了一次函数的应用、二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质解答．
22、（1）；（2）
【分析】（1）先求出A和B的坐标，进而求出，即可得出答案；
（2）根据题意可得△AOB∽△AEC，得出，设出点C的坐标，列出方程，即可得出答案.
【详解】解：（1）一次函数（为常数，）的图象分别与轴、轴交于、两点，
令，则；令，则求得，
∴，，
∴，，
在，，
∵轴于点，
∴轴，
∴，

∴；

（2）根据题意得：，
∴.
设点的坐标为，则，，
∴，
解得：，或（舍去）.
本题考查的是反比例函数的综合，综合性较强，注意面积比等于相似比的平方.
23、（1）C（m，﹣1）；（3）﹣3≤m≤0或3≤m≤3．
【分析】（1）化成顶点式，即可求得顶点C的坐标；
（3）由顶点C的坐标可知，抛物线的顶点C在直线y＝﹣1上移动．分别求出抛物线过点A、点B时，m的值，画出此时函数的图象，结合图象即可求出m的取值范围．
【详解】（1）y＝x3﹣3mx+m3﹣1＝（x﹣m）3﹣1，
∴抛物线顶点为C（m，﹣1）．
（3）把A（0，3）的坐标代入y＝x3﹣3mx+m3﹣1
得3＝m3﹣1，
解得 m＝±3．
把B（3，3）的坐标代入y＝x3﹣3mx+m3﹣1，
得3＝33﹣3m×3+m3﹣1，
即m3﹣3m＝0，
解得m＝0 或m＝3．
结合函数图象可知：﹣3≤m≤0或3≤m≤3．

本题考查了二次函数的图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，提现了转化思想和数形结合思想的应用．
24、（1）详见解析；（2）的直径为．
【解析】连接OA，根据圆周角定理求出，再根据同圆的半径相等从而可得，继而根据等腰三角形的性质可得出，继而由，可得出，从而得出结论；
利用含的直角三角形的性质求出，可得出，再由，可得出的直径．
【详解】连接OA如图，

，
，
又，
，
又，
，
，
，
是的切线．
在中，，
，
又，
，
，
．
的直径为．
本题考查了切线的判定、圆周角定理、含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握切线的判定定理、圆周角定理及含30度角的直角三角形的性质是解题的关键.
25、（1）证明见解析；（2）；（3）．
【分析】（1）由得，由∠AGH=∠ECH=90°可得∠DAC=∠BEF，由轴对称的性质得到∠DAC=∠EAC，从而可得∠BEF=∠EAC，利用三角形外角的性质得到，即可得到结论成立；
（2）过点E作EM⊥BE，交BA延长线于点M，作AN⊥ME于N，先证明，得到BF=AM，再利用等腰直角三角形的性质和矩形的性质得到，DE=2CE=2AN，即可得到答案；
（3）先利用相似三角形的判定证明，得到，从而得到，再证明，即可得到．
【详解】（1）证明：∵，
，
∵垂足为点，
，
∵，
，
∵，
，
∵，
，
在和中，，，，
，
，
∵，，
，
；
（2）如图，过点E作EM⊥BE，交BA延长线于点M，作AN⊥ME于N，
∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠B=45°，
∵EM⊥BE，
∴∠M=∠B=45°，
由（1）已证：，
，即，
在和中，，
∴，
∴BF=AM，
∵AN⊥ME，∠M=45°，
∴是等腰直角三角形，
∴AN=MN，AM=，
易知四边形ACEN是矩形，
∴CE=AN=MN，
∵DE=2CE=2AN，
∴，
故答案为：；

（3）∵，，
，
∵，
由（1）知，
，
由（1）知，
，
，
设，，则，，，，
，
，
∵，，
，
．
本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的外角性质，全等三角形的判定和性质，以及等角对等边等性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质进行解题，注意角度之间的相互转换．
26、y=﹣10x2+1600x﹣48000；80元时，最大利润为16000元．
【解析】试题分析：（1）根据“总利润=单件的利润×销售量”列出二次函数关系式即可；
（2）将得到的二次函数配方后即可确定最大利润
试题解析：（1）S=y（x﹣20）=（x﹣40）（﹣10x+1）=﹣10x2+1600x﹣48000；
（2）S=﹣10x2+1600x﹣48000=﹣10（x﹣80）2+16000，
则当销售单价定为80元时，工厂每天获得的利润最大，最大利润是16000元．
考点：二次函数的应用