2024年辽宁省沈阳市一三四中学数学九年级第一学期期末学业水平测试模拟试题含解析.doc

2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题（每题4分，共48分）
1．如图，比例规是一种画图工具，它由长度相等的两脚AC和BD交叉构成，利用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短．如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方（即同时使OA=3OC，OB=3OD），然后张开两脚，使A，B两个尖端分别在线段a的两个端点上，当CD=1.8cm时，则AB的长为（　　）

A．7.2 cm B．5.4 cm C．3.6 cm D．0.6 cm
2．单靠“死”记还不行,还得“活”用,姑且称之为“先死后活”吧。让学生把一周看到或听到的新鲜事记下来,摒弃那些假话套话空话,写出自己的真情实感,篇幅可长可短,并要求运用积累的成语、名言警句等,定期检查点评,选择优秀篇目在班里朗读或展出。这样,即巩固了所学的材料,又锻炼了学生的写作能力,同时还培养了学生的观察能力、思维能力等等,达到“一石多鸟”的效果。 如图，由两个相同的正方体和一个圆锥体组成一个立体图形，其左视图是（   ）

A． B． C． D．
3．如图，将n个边长都为2的正方形按如图所示摆放，点A1、A2、A3，…，An分别是正方形的中心，则这n个正方形重叠的面积之和是（ ）

A．n B．n-1
C．4n D．4（n-1）
4．如图，若绕点按逆时针方向旋转后能与重合，则（ ）．

A． B． C． D．
5．估计 ，的值应在( )
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
6．抛掷一个质地均匀且六个面上依次刻有1－6的点数的正方体型骰子，如图．观察向上的一面的点数，下列情况属必然事件的是（ ）．

A．出现的点数是7 B．出现的点数不会是0
C．出现的点数是2 D．出现的点数为奇数
7．二次函数y=+2的顶点是( )
A．(1，2) B．(1，−2) C．(−1，2) D．(−1，−2)
8．如图是二次函数y=ax1+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴是直线x=﹣1．关于下列结论：①ab<0；②b1﹣4ac>0；③9a﹣3b+c>0；④b﹣4a=0；⑤ 方程ax1+bx=0的两个根为 x1=0，x1=﹣4，其中正确的结论有（ ）

A．②③ B．②③④ C．②③⑤ D．②③④⑤
9．在△ABC中，若|sinA﹣|+（﹣cosB）2=0，则∠C的度数是（　　）
A．45° B．75° C．105° D．120°
10．如图，在△ABC中，D，E，F分别为BC，AB，AC上的点，且EF∥BC，FD∥AB，则下列各式正确的是(　　)

A． B． C． D．
11．如图，是的直径，是的弦，若，则（ ）．

A． B． C． D．
12．如图，△ABC是等腰直角三角形，BC是斜边，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP′重合，如果AP=3cm，那么PP′的长为（ ）

A． B． C． D．
二、填空题（每题4分，共24分）
13．一只不透明的袋子中装有红球和白球共个，这些球除了颜色外都相同，校课外学习小组做摸球试验，将球搅匀后任意摸出一个球，记下颜色后放回、搅匀，通过多次重复试验，算得摸到红球的频率是，则袋中有__________．
14．如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同．若某人向游戏板投掷飞镖一次（假设飞镖落在游戏板上），则飞镖落在阴影部分的概率是_________.

15．如图，△ABC中，AB＞AC，D，E两点分别在边AC，AB上，且DE与BC不平行．请填上一个你认为合适的条件：_____，使△ADE∽△ABC．（不再添加其他的字母和线段；只填一个条件，多填不给分！）

16．如图，矩形纸片ABCD中，AB=8cm，AD=6cm，按下列步骤进行裁剪和拼图：
第一步：如图①，在线段AD上任意取一点E，沿EB，EC剪下一个三角形纸片EBC（余下部分不再使用）；
第二步：如图②，沿三角形EBC的中位线GH将纸片剪成两部分，并在线段GH上任意取一点M，线段BC上任意取一点N，沿MN将梯形纸片GBCH剪成两部分；
第三步：如图③，将MN左侧纸片绕G点按顺时针旋转180º，使线段GB与GE重合，将MN右侧纸片绕H点按逆时针方向旋转180º，使线段HC与HE重合，拼成一个与三角形纸片EBC面积相等的四边形纸片（裁剪和拼图过程均无缝且不重叠）则拼成的这个四边形纸片的周长的最大值为___cm．

17．如图，在以O为原点的直角坐标系中，矩形OABC的两边OC、OA分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数y＝（x＞0）的图象与AB相交于点D．与BC相交于点E，且BD＝3，AD＝6，△ODE的面积为15，若动点P在x轴上，则PD+PE的最小值是_____．

18．已知抛物线的对称轴是y轴，且经过点（1，3）、（2，6），则该抛物线的解析式为_____．
三、解答题（共78分）
19．（8分）计算：=_________。
20．（8分）某旅馆一共有客房30间，在国庆期间，老板通过观察记录发现，当所有房间都有旅客入住时，每间客房净赚600元，客房价格每提高50元，则会少租出去1个房间．同时没有旅客入住的房间，需要花费50元来进行卫生打理．
（1）求出每天利润w的最大值并求出利润最大时，有多少间客房入住了旅客．
（2）若老板希望每天的利润不低于19500元，且租出去的客房数量最少，求出此时每间客房的利润．
21．（8分）如图，已知一个，其中，点分别是边上的点，连结，且．

（1）求证：；
（2）若求的面积．
22．（10分）已知抛物线经过A（0，2）、B（4，0）、C（5，-3）三点，当时，其图象如图所示．
（1）求该抛物线的解析式，并写出该抛物线的顶点坐标；
（2）求该抛物线与轴的另一个交点的坐标．

23．（10分）数学实践小组的同学利用太阳光下形成的影子测量大树的高度．在同一时刻下，他们测得身高为1．5米的同学立正站立时的影长为2米，大树的影子分别落在水平地面和台阶上．已知大树在地面的影长为2．4米，台阶的高度均为3．3米，宽度均为3．5米．求大树的高度．

24．（10分）已知：二次函数y=x2+bx+c经过原点，且当x=2时函数有最小值；直线AC解析式为y=kx-4，且与抛物线相交于B、C．

（1）求二次函数解析式；
（2）若S△AOB∶S△BOC=1：3，求直线AC的解析式；
（3）在（2）的条件下，点E为线段BC上一动点（不与B、C重合），过E作x轴的垂线交抛物线于F、交x轴于G，是否存在点E，使△BEF和△CGE相似？若存在，请求出所有点E的坐标；若不存在，请说明理由．
25．（12分）为满足市场需求，某超市在五月初五“端午节”来临前夕，购进一种品牌粽子，每盒进价是40元．超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现；当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒．
（1）试求出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式；
（2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P（元）最大？最大利润是多少？
（3）为稳定物价，有关管理部门限定：这种粽子的每盒售价不得高于58元．如果超市想要每天获得不低于6000元的利润，那么超市每天至少销售粽子多少盒？
26．抛物线经过点O（0，0）与点A（4，0），顶点为点P，且最小值为-1．

（1）求抛物线的表达式；
（1）过点O作PA的平行线交抛物线对称轴于点M，交抛物线于另一点N，求ON的长；
（3）抛物线上是否存在一个点E，过点E作x轴的垂线，垂足为点F，使得△EFO∽△AMN，若存在，试求出点E的坐标；若不存在请说明理由．
参考答案

一、选择题（每题4分，共48分）
1、B
【解析】由已知可证△ABO∽CDO,故 ,即.
【详解】由已知可得，△ABO∽CDO,
所以， ,
所以，，
所以，AB=5.4
故选B
【点睛】本题考核知识点：相似三角形. 解题关键点：熟记相似三角形的判定和性质.
2、B
【解析】根据左视图的定义“在侧面内，从左往右观察物体得到的视图”判断即可.
【详解】根据左视图的定义，从左往右观察，两个正方体得到的视图是一个正方形，圆锥得到的视图是一个三角形，由此只有B符合
故选：B.
本题考查了三视图中的左视图的定义，熟记定义是解题关键.另外，主视图和俯视图的定义也是常考点.
3、B
【分析】根据题意可得，阴影部分的面积是正方形的面积的，已知两个正方形可得到一个阴影部分，则n个这样的正方形重叠部分即为（n-1）个阴影部分的和．
【详解】解：

如图示，由分别过点A1、A2、A3，垂直于两边的垂线，由图形的割补可知：一个阴影部分面积等于正方形面积的，即阴影部分的面积是，
n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为：．
故选：B．
此题考查了正方形的性质，解决本题的关键是得到n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和的计算方法，难点是求得一个阴影部分的面积．
4、D
【分析】根据旋转的性质知，，然后利用三角形内角和定理进行求解．
【详解】∵绕点按逆时针方向旋转后与重合，
∴，，
∴，
故选D．
本题考查了旋转的性质，三角形内角和定理，熟知旋转角的定义与旋转后对应边相等是解题的关键．
5、B
【解析】先根据二次根式的乘法法则化简，再估算出的大小即可判断.
【详解】解：

，

，

故的值应在2和3之间.
故选：B.

本题主要考查了无理数的估算，正确估算出的范围是解答本题的关键．
6、B
【解析】分析：必然事件就是一定发生的事件，根据定义即可作出判断．
解答：解：A、不可能发生，是不可能事件，故本选项错误，
B、是必然事件，故正确，
C、不一定发生，是随机事件，故本选项错误，
D、不一定发生，是随机事件，故本选项错误．
故选B．
7、C
【分析】因为顶点式y=a（x-h）2+k，其顶点坐标是（h，k），即可求出y=+2的顶点坐标．
【详解】解：∵二次函数y=+2是顶点式，
∴顶点坐标为：(−1，2)；
故选：C.
此题主要考查了利用二次函数顶点式求顶点坐标，此题型是中考中考查重点同学们应熟练掌握．
8、D
【分析】根据二次函数的图像与性质即可得出答案.
【详解】由图像可知，a＜0，b＜0，故①错误；
∵图像与x轴有两个交点
∴，故②正确；
当x=-3时，y=9a﹣3b+c，在x轴的上方
∴y=9a﹣3b+c>0，故③正确；
∵对称轴
∴b-4a=0，故④正确；
由图像可知，方程ax1+bx=0的两个根为 x1=0，x1=﹣4，故⑤正确；
故答案选择D.
本题考查的是二次函数的图像与性质，难度系数中等，解题关键是根据图像判断出a，b和c的值或者取值范围.
9、C
【解析】根据非负数的性质列出关系式，根据特殊角的三角函数值求出∠A、∠B的度数根据三角形内角和定理计算即可．
【详解】由题意得，sinA-=0，-cosB=0，
即sinA=，=cosB，
解得，∠A=30°，∠B=45°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=105°，
故选C．
本题考查的是非负数的性质的应用、特殊角的三角函数值的计算和三角形内角和定理的应用，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
10、D
【分析】根据EF∥BC，FD∥AB，可证得四边形EBDF是平行四边形，利用平行线分线段成比例逐一验证选项即可．
【详解】解：∵EF∥BC，FD∥AB，
∴四边形EBDF是平行四边形，
∴BE=DF，EF=BD，
∵EF∥BC，
∴，，
∴，故B错误，D正确；
∵DF∥AB，
∴，,
∴，故A错误；
∵，，故C错误；
故选：D．

本题考查了平行四边形的的判定，平行线分线段成比例的定理，掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．
11、B
【分析】根据AB是⊙O的直径得出∠ADB＝90°，再求出∠A的度数，由圆周角定理即可推出∠BCD的度数．
【详解】∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴在Rt△ABD中，∠A＝90°﹣∠ABD＝34°，
∵弧BD＝弧BD，
∴∠BCD＝∠A＝34°，
故选B ．
本题考查圆周角定理及其推论，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
12、D
【分析】由题意易证，则有，进而可得，最后根据勾股定理可求解．
【详解】解：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC=90°，AB=AC，
∵将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP′重合，
∴，
∵AP=3cm，
∴，
∵，
∴，即，
∴是等腰直角三角形，
∴；
故选D．
本题主要考查旋转的性质及等腰直角三角形的性质与判定，熟练掌握旋转的性质及等腰直角三角形的性质与判定是解题的关键．

二、填空题（每题4分，共24分）
13、1
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．
【详解】设袋中有x个红球．
由题意可得：，
解得：，
故答案为：1．
本题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．
14、
【分析】根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．
【详解】∵总面积为3×3=9，其中阴影部分面积为4××1×2=4，
∴飞镖落在阴影部分的概率是，
故答案为．
此题考查几何概率，解题关键在于掌握运算法则.
15、∠B=∠1或
【解析】此题答案不唯一，注意此题的已知条件是：∠A=∠A，可以根据有两角对应相等的三角形相似或有两边对应成比例且夹角相等三角形相似，添加条件即可.

【详解】此题答案不唯一，如∠B=∠1或．
∵∠B=∠1，∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABC；
∵，∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABC；
故答案为∠B=∠1或
此题考查了相似三角形的判定：有两角对应相等的三角形相似；有两边对应成比例且夹角相等三角形相似，要注意正确找出两三角形的对应边、对应角，根据判定定理解题.
16、
【分析】首先确定剪拼之后的四边形是个平行四边形，其周长大小取决于MN的大小．然后在矩形中探究MN的不同位置关系，得到其长度的最大值与最大值，从而问题解决．
【详解】解：画出第三步剪拼之后的四边形M1N1N2M2的示意图，如答图1所示．

图中，N1N2=EN1+EN2=NB+NC=BC，
M1M2=M1G+GM+MH+M2H=2（GM+MH）=2GH=BC（三角形中位线定理），
又∵M1M2∥N1N2，
∴四边形M1N1N2M2是一个平行四边形，
其周长为2N1N2+2M1N1=2BC+2MN．
∵BC=6为定值，
∴四边形的周长取决于MN的大小．
如答图2所示，是剪拼之前的完整示意图，

过G、H点作BC边的平行线，分别交AB、CD于P点、Q点，则四边形PBCQ是一个矩形，这个矩形是矩形ABCD的一半，
∵M是线段PQ上的任意一点，N是线段BC上的任意一点，
根据垂线段最短，得到MN的最小值为PQ与BC平行线之间的距离，即MN最小值为4；
而MN的最大值等于矩形对角线的长度，即
，
四边形M1N1N2M2的周长=2BC+2MN=12+2MN，
∴最大值为12+2×=12+．
故答案为：12+．
此题通过图形的剪拼，考查了动手操作能力和空间想象能力，确定剪拼之后的图形，并且探究MN的不同位置关系得出四边形周长的最值是解题关键．
17、．
【分析】根据所给的三角形面积等于长方形面积减去三个直角三角形的面积，求得B和E的坐标，然后E点关于x的对称得E′，则E′（9，﹣4），连接DE′，交x轴于P，此时，PD+PE＝PD+PE′＝DE′最小，利用勾股定理即可求得E点关于x的对称得E′，则E′（9，﹣4连接DE′，交x轴于P，此时，PD+PE＝PD+PE′＝DE′最小．
【详解】解：∵四边形OCBA是矩形，
∴AB＝OC，OA＝BC，
∵BD＝3，AD＝6，
∴AB＝9，
设B点的坐标为（9，b），
∴D（6，b），
∵D、E在反比例函数的图象上，
∴6b＝k，
∴E（9，b），
∵S△ODE＝S矩形OCBA﹣S△AOD﹣S△OCE﹣S△BDE＝9b﹣k﹣k﹣•3•（b﹣b）＝15，
∴9b﹣6b﹣b＝15，
解得：b＝6，
∴D（6，6），E（9，4），
作E点关于x的对称得E′，则E′（9，﹣4），连接DE′，交x轴于P，此时，PD+PE＝PD+PE′＝DE′最小，
∵AB＝9，BE′＝6+4＝10，
∴DE′＝＝，
故答案为．
本题考查反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是利用过某个点，这个点的坐标应适合这个函数解析式；所给的面积应整理为和反比例函数上的点的坐标有关的形式，本题属于中等题型．
18、y＝x1+1
【分析】根据抛物线的对称轴是y轴，得到b＝0，设出适当的表达式，把点（1，3）、（1，6）代入设出的表达式中，求出a、c的值，即可确定出抛物线的表达式．
【详解】∵抛物线的对称轴是y轴，∴设此抛物线的表达式是y＝ax1+c，
把点（1，3）、（1，6）代入得：，解得：a＝1，c＝1，
则此抛物线的表达式是y＝x1+1，故答案为：y＝x1+1．
本题考查代定系数法求函数的解析式，根据抛物线的对称轴是y轴，得到b＝0，再设抛物线的表达式是y＝ax1+c是解题的关键.

三、解答题（共78分）
19、4
【解析】根据二次根式除法法则计算即可求解.
【详解】解：原式= ==4.
故答案为：4.
本题考查二次根式的除法运算，注意二次根式的运算结果要化为最简二次根式．在二次根式的混合运算中，解题关键是能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径．
20、（1）21600元，8或9间；（2）15间，1元
【分析】（1）设每个房间价格提高50x元，可列利润w＝（30﹣x）（600+50x）﹣50x，将此函数配方为顶点式，即可得到答案；
（2）将（1）中关系式﹣50x2+850x+18000＝19500，求出x的值，由租出去的客房数量最少即（30﹣x）最小，得到x取最大值15，再代入利润关系式求得每间客房的利润即可.
【详解】解：（1）设每个房间价格提高50x元，则租出去的房间数量为（30﹣x）间，
由题意得，利润w＝（30﹣x）（600+50x）﹣50x
＝﹣50x2+850x+18000
＝﹣50（x﹣8.5）2+21612.5
因为x为正整数
所以当x＝8或9时，利润w有最大值，wmax＝21600；
（2）当w＝19500时，﹣50x2+850x+18000＝19500
解得x1＝2，x2＝15，
∵要租出去的房间最少
∴x＝15，
此时每个房间的利润为600+50×15＝1．
此题考查二次函数的实际应用，正确理解题意列得函数关系式是解题的关键，注意（1）x应为正整数，故而x应为对称轴x=8.5两侧的整数8或9.
21、（1）见解析；（2）
【分析】（1）根据AA即可证明；
（2）根据解直角三角形的方法求出AF,EF，利用三角形的面积公式即可求解．
【详解】解:，
，
，
，
.
由得:.

在中，，
.
，
.
．
此题主要考查相似三角形的判定与解直角三角形，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理与是三角函数的应用．
22、（1），顶点坐标为；（2）图象与的另一个交点的坐标为（-1，0）．
【分析】(1)把A、B、C三点的坐标代入抛物线，解方程组即可;将抛物线化成顶点式即可得出顶点坐标;
(2)令y=0,得到方程，解方程即可．
【详解】解：（1）依题意，得，
解得，
抛物线的解析式为，
顶点坐标为．
（2）令，
解得：，
图象与的另一个交点的坐标为(-1,0)．
本题考查了抛物线的解析式、与x轴的交点：掌握待定系数法求函数解析式，和把求二次函数（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程是解题的关键．
23、米
【分析】根据平行投影性质可得：；.
【详解】解：延长交于点，延长交于．

可求，．
由，可得．
∴．
由，可得．
所以，大树的高度为4．45米．
考核知识点：平行投影.弄清平行投影的特点是关键.
24、（1）y=x2-4x；（2）直线AC的解析式为y=x-4；（1）存在，E点坐标为E(1．-1)或E(2，-2 ) ．
【分析】（1）根据二次函数y=x2+bx+c经过原点可知c=0，当x=2时函数有最小值可知对称轴是x=2，故可求出b，即可求解；
（2）连接OB，OC，过点C作CD⊥y轴于D，过点B作BE⊥y轴于E，根据得到，，由EB∥DC，对应线段成比例得到，再联立y=kx-4与y=x24x得到方程 kx-4=x2-4x，即x2-（k+4）x+4=0，求出x1,x2，根据x1,x2之间的关系得到关于k的方程即可求解；
（1）根据（1）（2）求出A,B,C的坐标，设E（m，m-4）（1＜m＜4）则G（m，0）、F（m，m2-4m），根据题意分∠EFB=90°和∠EBF=90°，分别找到图形特点进行列式求解．
【详解】解：（1）∵二次函数y=x2+bx+c经过原点，
∴c=0
∵当x=2时函数有最小值
∴，
∴b=-4，c=0，
∴y=x2-4x；
（2）如图，连接OB，OC，过点C作CD⊥y轴于D，过点B作BE⊥y轴于E，

∵
∴
∴
∵EB∥DC
∴
∵y=kx-4交y=x2-4x于B、C
∴kx-4=x2-4x，即x2-（k+4）x+4=0
∴，或
∵xB＜xC
∴EB=xB=，DC=xC=
∴4•=
解得 k=-9（不符题意，舍去）或k=1
∴k=1
∴直线AC的解析式为y=x-4；
（1）存在．理由如下：
由题意得∠EGC=90°，
∵直线AC的解析式为y=x-4
∴A(0，-4 ) ，C（4，0）
联立两函数得，解得或
∴B（1，-1）
设E（m，m-4）（1＜m＜4）
则G（m，0）、F（m，m2-4m）
①如图，当∠EFB=90°，即CG//BF时，△BFE∽△CGE．
此时F点纵坐标与B点纵坐标相等．
∴F（m，-1）
即m2-4m=-1
解得m=1（舍去）或m=1
∴F（1，-1）
故此时E（1，-1）

②如图当∠EBF=90°，△FBE∽△CGE
∵C（4，0），A(0 ，4 )
∴OA=OC
∴∠GCE=45°=∠BEF=∠BFE
过B点做BH⊥EF，
则H（m,-1）∴BH=m-1
又∵∠GCE=45°=∠BEF=∠BFE
∴△BEF是等腰直角三角形，又BH⊥EF
∴EH=HF，EF=2BH
∴(m-4)- (m2-4m) =2(m-1)
解得m1=1（舍去）m2=2
∴E(2,-2)
综上，E点坐标为E(1.-1)或E(2,-2)．

此题主要考查二次函数的图像及几何综合，解题的关键是熟知二次函数的图像与性质、平行线分线段成比例、相似三角形及等腰三角形的性质．
25、（1）y=﹣20x+1600；
（2）当每盒售价定为60元时，每天销售的利润P（元）最大，最大利润是8000元；
（3）超市每天至少销售粽子440盒．
【解析】试题分析：（1）根据“当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒”即可得出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式；
（2）根据利润=1盒粽子所获得的利润×销售量列式整理，再根据二次函数的最值问题解答；
（3）先由（2）中所求得的P与x的函数关系式，根据这种粽子的每盒售价不得高于58元，且每天销售粽子的利润不低于6000元，求出x的取值范围，再根据（1）中所求得的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式即可求解．
试题解析：（1）由题意得，==；
（2）P===，∵x≥45，a=﹣20＜0，∴当x=60时，P最大值=8000元，即当每盒售价定为60元时，每天销售的利润P（元）最大，最大利润是8000元；
（3）由题意，得=6000，解得，，∵抛物线P=的开口向下，∴当50≤x≤70时，每天销售粽子的利润不低于6000元的利润，又∵x≤58，∴50≤x≤58，∵在中，＜0，∴y随x的增大而减小，∴当x=58时，y最小值=﹣20×58+1600=440，即超市每天至少销售粽子440盒．
考点：二次函数的应用．
26、（1）抛物线的表达式为，（或）；（1）；（3）抛物线上存在点E，使得△EFO∽△AMN，这样的点共有1个，分别是（，）和（，）．
【分析】（1）由点O（0，0）与点A（4，0）的纵坐标相等，可知点O、A是抛物线上的一对对称点，所以对称轴为直线x=1，又因为最小值是-1，所以顶点为（1，-1），利用顶点式即可用待定系数法求解；
（1）设抛物线对称轴交轴于点D、N（,），先求出=45°，由ON∥PA，依据平行线的性质得到=45°，依据等腰直角三角形两直角边的关系可得到=，解出即可得到点N的坐标，再运用勾股定理求出ON的长度；
（3）先运用勾股定理求出AM和OM，再用ON-OM得MN，运用相似三角形的性质得到EF：FO的值，设E（，），分点E在第一象限、第二或四象限讨论，依据EF：FO=1
:1列出关于m的方程解出即可.
【详解】解：（1）∵抛物线经过点O（0，0）与点A（4，0），
∴对称轴为直线x=1，
又∵顶点为点P，且最小值为-1,，
∴顶点P（1，-1）,
∴设抛物线的表达式为
将O（0，0）坐标代入，解得
∴抛物线的表达式为，即；
（1）设抛物线对称轴交轴于点D，
∵顶点P坐标为（1，-1），
∴点D坐标为（1，0）
又∵A（4，0），
∴△ADP是以为直角的等腰直角三角形，=45°
又∵ON∥PA ，
∴=45°
∴若设点N的坐标为（,）则=
解得，
∴点N的坐标为（，）
∴
（3）抛物线上存在一个点E，使得△EFO∽△AMN，理由如下：
连接PO、AM，

∵=45°，=90°,
∴，
又∵由点D坐标为（1，0），得OD=1，
∴，
又∵=90°,由A（4，0），D（1，0）得AD=1，
∴,
同理可得,
∴,
∴AM：MN=： =1：1
∵△EFO∽△AMN
∴EF：FO=AM：MN=1：1
设点E的坐标为（，）（其中），
①当点E在第一象限时，，
解得，此时点E的坐标为（，），
②当点E在第二象限或第四象限时，，
解得，此时点E的坐标为（，）
综上所述，抛物线上存在一个点E，使得△EFO∽△AMN，这样的点共有1个，分别是（，）和（，）．
本题是二次函数综合题，考查了运用待定系数法求解析式，运用勾股定理求线段长度，二次函数中相似的存在性问题，解题的关键是用点的坐标求出线段长度，并根据线段之间的关系，建立方程解出得到点的坐标.