江苏省南京市六合区部分学校2025届九年级数学第一学期期末调研试题含解析.doc

2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每题4分，共48分）
1．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，则在下列五个条件中：①∠AED＝∠B；②DE∥BC；③＝；④AD·BC＝DE·AC；⑤∠ADE＝∠C，能满足△ADE∽△ACB的条件有( )

A．1个 B．2 C．3个 D．4个
2．用配方法解方程时，原方程可变形为（ ）
A． B． C． D．
3．已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①，②，③，④，其中正确结论的个数为（ ）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
4．在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和4个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球实验发现，摸到黄球的概率是0.2，则估计盒子中大约有红球（　　）
A．12个 B．16个 C．20个 D．25个
5．下列等式中从左到右的变形正确的是（ ）．
A． B． C． D．
6．不等式组的解集是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，正方形ABCD的边长为4，点P、Q分别是CD、AD的中点，动点E从点A向点B运动，到点B时停止运动；同时，动点F从点P出发，沿P→D→Q运动，点E、F的运动速度相同．设点E的运动路程为x，△AEF的面积为y，能大致刻画y与x的函数关系的图象是（ ）

A． B． C． D．
8．如图，△ABC的顶点在网格的格点上，则tanA的值为（　　）

A． B． C． D．
9．正五边形的每个内角度数为（ ）
A．36° B．72° C．108° D．120°
10．定义：在等腰三角形中，底边与腰的比叫做顶角的正对，顶角的正对记作，即底边:腰.如图，在中，，.则（ ）

A． B． C． D．
11．如图，A为反比例函数y=的图象上一点，AB垂直x轴于B，若S△AOB=2，则k的值为（　　）

A．4 B．2 C．﹣2 D．1
12．下列事件是必然事件的是(　　)
A．地球绕着太阳转 B．抛一枚硬币，正面朝上
C．明天会下雨 D．打开电视，正在播放新闻
二、填空题（每题4分，共24分）
13．如图所示，四边形ABCD是边长为3的正方形，点E在BC上，BE＝1，△ABE绕点A逆时针旋转后得到△ADF，则FE的长等于____________.

14．从0，1，2，3，4中任取两个不同的数，其乘积为0的概率是___________.
15．如图，点A的坐标为（4，2）．将点A绕坐标原点O旋转90°后，再向左平移1个单位长度得到点A′，则过点A′的正比例函数的解析式为_____．

16．计算：sin30°＋tan45°＝_____．
17．如图，是的内接三角形，，的长是，则的半径是__________．

18．如图，点A，B，C在⊙O上，∠A=40度，∠C=20度，则∠B=_____度．

三、解答题（共78分）
19．（8分）计算
（1）
（2）
20．（8分）一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯D的高度．如图，当李明走到点A处时，张龙测得李明直立身高AM与其影子长AE正好相等，接着李明沿AC方向继续向前走，走到点B处时，李明直立时身高BN的影子恰好是线段AB，并测得AB＝1.25 m，已知李明直立时的身高为1.75 m，求路灯的高CD的长．(结果精确到0.1 m)

21．（8分）如图，已知点在反比例函数的图像上．
（1）求a的值；
（2）如果直线y=x+b也经过点A，且与x轴交于点C，连接AO，求的面积．

22．（10分）如图，在中，，，以为原点所在直线为轴建立平面直角坐标系，的顶点在反比例函数的图象上.
（1）求反比例函数的解析式：
（2）将向右平移个单位长度，对应得到，当函数的图象经过一边的中点时，求的值.

23．（10分）如图，在的直角三角形中，，是直角边所在直线上的一个动点，连接，将绕点逆时针旋转到，连接，．

（1）如图①，当点恰好在线段上时，请判断线段和的数量关系，并结合图①证明你的结论；
（2）当点不在直线上时，如图②、图③，其他条件不变，（1）中结论是否成立？若成立，请结合图②、图③选择一个给予证明；若不成立，请直接写出新的结论．
24．（10分）某商贸公司以每千克元的价格购进一种干果，计划以每千克元的价格销售,为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量(千克)与每千克降价(元)之间满足一次函数关系，其图象如图所示 .
（1）求与之间的函数关系式;
（2）函数图象中点表示的实际意义是 ;
（3）该商贸公司要想获利元，则这种干果每千克应降价多少元?

25．（12分）如图，在中，，正方形的顶点分别在边、上，在边上.

（1）点到的距离为_________.
（2）求的长.
26．垃圾分类是必须要落实的国家政策，环卫部门要求垃圾要按可回收物，有害垃圾，餐厨垃圾，其它垃圾四类分别装袋，投放.甲投放了一袋垃圾，乙投放了两袋垃圾（两袋垃圾不同类）.
（1）直接写出甲投放的垃圾恰好是类垃圾的概率；
（2）用树状图求乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾是同类的概率．
参考答案

一、选择题（每题4分，共48分）
1、D
【分析】根据相似三角形的判定定理判断即可．
【详解】解：①由∠AED=∠B，∠A=∠A，则可判断△ADE∽△ACB；
②DE∥BC，则有∠AED=∠C，∠ADE=∠B，则可判断△ADE∽△ACB；
③＝，∠A=∠A，则可判断△ADE∽△ACB；
④AD·BC＝DE·AC，可化为，此时不确定∠ADE=∠ACB，故不能确定△ADE∽△ACB；
⑤由∠ADE=∠C，∠A=∠A，则可判断△ADE∽△ACB；
所以能满足△ADE∽△ACB的条件是：①②③⑤，共4个，
故选：D．
此题考查了相似三角形的判定，关键是掌握相似三角形的三种判定定理．
2、B
【分析】先将二次项系数化为1，将常数项移动到方程的右边，方程两边同时加上一次项系数的一半的平方，结合完全平方公式进行化简即可解题．
【详解】

故选：B．
本题考查配方法解一元二次方程，其中涉及完全平方公式，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
3、B
【分析】由抛物线的开口方向、对称轴、与y轴的交点位置，可判断a、b、c的符号，可判断①，利用对称轴可判断②，由当x=-2时的函数值可判断③，当x=1时的函数值可判断④，从而得出答案．
【详解】解：∵抛物线开口向下，与y轴的交点在x轴上方，∴a＜0，c＞0，
∵0＜-＜1，∴b＞0，且b＜-2a，∴abc＜0，2a+b＜0，故①不正确，②正确；
∵当x=-2时，y＜0，∴4a-2b+c＜0，故③正确；
∵当x=1时，y＞0，∴a+b+c＞0，又c＞0，∴a+b+2c＞0，故④正确；
综上可知正确的有②③④，
故选：B．
本题主要考查二次函数图象与系数之间的关系，解题关键是注意掌握数形结合思想的应用．
4、B
【解析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．
【详解】解：设盒子中有红球x个，由题意可得：=0.2，
解得：x=16，
故选：B．
．
此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据黄球的概率得到相应的等量关系
5、A
【分析】根据同底数幂乘除法和二次根式性质进行分析即可．
【详解】A.,正确；
B.，错误；
C.，c必须不等于0才成立，错误；
D.，错误
故选：A．
考核知识点：同底数幂除法，二次根式的化简，掌握运算法则是关键．
6、D
【分析】根据不等式的性质解不等式组即可.
【详解】解：
化简可得：
因此可得
故选D.
本题主要考查不等式组的解，这是中考的必考点，应当熟练掌握.
7、A
【详解】当F在PD上运动时，△AEF的面积为y=AE•AD=2x（0≤x≤2），
当F在DQ上运动时，△AEF的面积为y=AE•AF==（2＜x≤4），
图象为：

故选A．
8、A
【分析】根据勾股定理，可得BD、AD的长，根据正切为对边比邻边，可得答案．
【详解】解：如图作CD⊥AB于D,
CD=,AD=2,
tanA=,
故选A.

本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
9、C
【解析】根据多边形内角和公式：，得出正五边形的内角和，再根据正五边形的性质：五个角的角度都相等，即可得出每个内角的度数.
【详解】解：
故选：C
本题考查的是多边形的内角和公式以及正五边形的性质，掌握这两个知识点是解题的关键.
10、C
【分析】证明△ABC是等腰直角三角形即可解决问题．
【详解】解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠A=2∠B，
∴∠B=∠C=45°，∠A=90°，
∴在Rt△ABC中，BC==AC，
∴sin∠B•sadA=,
故选：C．
本题考查解直角三角形，等腰直角三角形的判定和性质三角函数等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
11、A
【分析】过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S=|k|．
【详解】由于点A是反比例函数图象上一点,则S△AOB=|k|=2；
又由于函数图象位于一、三象限，则k=4.
故选A.
本题考查反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是掌握反比例函数系数k的几何意义．
12、A
【解析】试题分析：根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可区别各类事件．
解：A、地球绕着太阳转是必然事件，故A符合题意；
B、抛一枚硬币，正面朝上是随机事件，故B不符合题意；
C、明天会下雨是随机事件，故C不符合题意；
D、打开电视，正在播放新闻是随机事件，故D不符合题意；
故选A．
点评：本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．

二、填空题（每题4分，共24分）
13、2
【分析】由题意可得EC=2，CF=4，根据勾股定理可求EF的长．
【详解】∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=1．
∵△ABE绕点A逆时针旋转后得到△ADF，∴DF=BE=1，∴CF=CD+DF=1+1=4，CE=BC﹣BE=1﹣1=2．
在Rt△EFC中，EF．
本题考查旋转的性质，正方形的性质，勾股定理，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键．
14、
【分析】首先根据题意画出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与其乘积等于0的情况，再利用概率公式即可求得答案；
【详解】解：画表格得：

共由20种等可能性结果，其中乘积为0有8种，故乘积为0的概率为，
故答案为：.
本题主要考查了列表法与树状图法，掌握列表法与树状图法是解题的关键.
15、y=﹣x或y=-4x
【解析】分析：直接利用旋转的性质结合平移的性质得出对应点位置，再利用待定系数法求出正比例函数解析式．
详解：当点A绕坐标原点O逆时针旋转90°后，再向左平移1个单位长度得到点A′，
则A′（-3，4），
设过点A′的正比例函数的解析式为：y=kx，
则4=-3k，
解得：k=-，
则过点A′的正比例函数的解析式为：y=-x，
同理可得：点A绕坐标原点O顺时针旋转90°后，再向左平移1个单位长度得到点A′，此时A′（1，-4），
设过点A′的正比例函数的解析式为：y=k′x，
则-4=k′，
则过点A′的正比例函数的解析式为：y=-4x.

故答案为y=﹣x或y=-4x.
点睛：此题主要考查了旋转的性质、平移的性质、待定系数法求出正比例函数解析式，正确得出对应点坐标是解题关键．
16、
【详解】解：sin30°＋tan45°＝
此题主要考察学生对特殊角的三角函数值的记忆30°、45°、60°角的各个三角函数值,必须正确、熟练地进行记忆．
17、
【分析】连接OB、OC，如图，由圆周角定理可得∠BOC的度数，然后根据弧长公式即可求出半径.
【详解】解：连接OB、OC，如图，
∵，
∴∠BOC=90°，
∵的长是，
∴，
解得：.
故答案为：.

本题考查了圆周角定理和弧长公式，属于基本题型，熟练掌握上述基本知识是解答的关键.
18、1
【分析】如图，连接OA，根据等腰三角形的性质得到∠OAC=∠C=20°，根据等腰三角形的性质解答即可．
【详解】如图，连接OA，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠C=20°，
∴∠OAB=∠OAC+∠BAC=20°+40°=1°，
∵OA=OB，
∴∠B=∠OAB=1°，
故答案为1．

本题考查了圆的性质的应用，熟练掌握圆的半径相等、等腰三角形的性质是解题的关键．

三、解答题（共78分）
19、（1）2；（2），
【分析】（1）按照开立方，零指数幂，正整数指数幂的法则计算即可；
（2）用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：原式=
（2）解：
或

本题主要考查实数的混合运算和解一元二次方程，掌握实数混合运算的法则和因式分解法是解题的关键．
20、路灯的高CD的长约为6.1 m.
【解析】设路灯的高CD为xm，
∵CD⊥EC，BN⊥EC，
∴CD∥BN，
∴△ABN∽△ACD，∴，
同理，△EAM∽△ECD，
又∵EA＝MA，∵EC＝DC＝xm，
∴，解得x＝6.125≈6.1．
∴路灯的高CD约为6.1m．
21、（1）2；（2）1
【分析】（1）将A坐标代入反比例函数解析式中，即可求出a的值；
（2）由（1）求出的a值，确定出A坐标，代入直线解析式中求出b的值，令直线解析式中y=0求出x的值，确定出OC的长，△AOC以OC为底，A纵坐标为高，利用三角形面积公式求出即可．
【详解】（1）将A(1，a)代入反比例解析式得：；
（2）由a=2，得到A(1，2)，代入直线解析式得：1+b=2，
解得：b=1，即直线解析式为y=x+1，
令y=0，解得：x=-1，
即C(-1，0)，OC=1，
则S△AOC=×1×2=1．
此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，涉及的知识有：坐标与图形性质，待定系数法确定函数解析式，三角形的面积求法，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
22、（1）；（2）值有或
【分析】（1）过点作于点，根据，可求出△AOB的面积8，由等腰三角形的三线合一可知△AOD的面积为4，根据反比例函数k的几何意义几何求出k；
（2）分两种情况讨论：①当边的中点在的图象上，由条件可知，即可得到C点坐标为，从而可求得m；②当边的中点在的图象上，过点作于点，由条件可知，，因此中点，从而可求得m．
【详解】解：（1）过点作于点，如图1
∵，

∴，
∴，，即
（2）①当边的中点在的图象上，如图2
∵，
∴，，点，即
∴
②当边的中点在的图象上，过点作于点，如图3
∵，，
∴中点
即
∴
综上所述，符合条件的值有或

本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，掌握直角三角形、等边三角形的性质以及分类讨论思想是解题的关键．
23、（1），证明见解析；（2）图②、图③结论成立，证明见解析．
【分析】（1）利用等边三角形的性质以及等腰三角形的判定解答即可；
（2）过点E作EF⊥AB，垂足为F，证得△ADC≌△AEF，结合直角三角形中30度的角所对的直角边是斜边的一半解决问题；
【详解】（1）．
证明如下：
∵，，
∴为等边三角形，
∴，．
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）图②、图③结论成立．
图②证明如下：
如图②，过点作，垂足为．

在中，，
∴，
∴，
∴，
∴．
又，，
∴，
∴
在中，，
∴，
∴，
∴．
∵为等边三角形，，
∴．
图③证明如下：
如图③，过点作，垂足为．
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴．
又，，
∴，
∴
在中，，
∴，
∴，
∴．
∵为等边三角形，，
∴．

本题考查等边三角形的性质，三角形全等的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等知识点，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
24、（1）y=10x+100；（2）当x为0，y=100，即这种干果没有降价，以每千克60元的价格销售时，销售量是100千克；（3）商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价9元．
【分析】（1）首先设一次函数解析式为：y=kx+b，然后根据函数图象，将两组对应值代入解析式即可得解；
（2）结合点和函数图象即可得出其表示的实际意义；
（3）根据题意列出一元二次方程，求解即可
【详解】（1）设一次函数解析式为：y=kx+b
当x=2，y=120；当x=4，y=140；
∴，解得：，
∴y与x之间的函数关系式为y=10x+100；
（2）函数图象中点A表示的实际意义是当x为0，y=100，即这种干果没有降价，以每千克60元的价格销售时，销售量是100千克.
（3）由题意得：（60﹣40﹣x）（10 x+100）=2090，
整理得：x2﹣10x+9=0，解得：x1=1．x2=9，
∵让顾客得到更大的实惠，
∴x=9，
答：商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价9元．.

此题主要考查一次函数图象的实际应用以及一元二次方程的实际应用，解题关键是根据题意，列出关系式.
25、（1）；（2）
【分析】（1）根据勾股定理即可得出BC=8，再运用等面积法，即可得出答案.
（2）根据正方形的性质，即可得出，再根据相似三角形的判定可得出，进而得出，设x得出方程进行求解即可.
【详解】解：（1）∵
∴BC=8
∴ = =24
∴
∴点C到AB的距离是.
（2）如图，过点作于点，交于点，

∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴.
设，则，
解得
∴的长为.
本题主要考察了勾股定理和相似三角形，正确找出三角形的线段关系和灵活运用等面积法是解题的关键.
26、 (1) ； (2)乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾是同类的概率是.
【分析】（1）甲投放的垃圾可能出现的情况为4种，以此得出甲投放的垃圾恰好是类垃圾的概率；
（2）根据题意作出树状图，依据树状图找出所有符合的情况，求乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾是同类的概率．
【详解】(1) 甲投放的垃圾共有A、B、C、D四种可能，所以甲投放的垃圾恰好是类垃圾的概率为；
 (2)

∴ 乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾是同类的概率是.
本题考查了概率事件以及树状图，掌握概率的公式以及树状图的作法是解题的关键.