2025届广东省廉江市实验学校九年级数学第一学期期末学业质量监测试题含解析.doc

2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题(每小题3分,共30分)
1．下列运算正确的是( )
A．＝﹣2 B．(2)2＝6 C． D．
2．方程x2＝3x的解为（　　）
A．x＝3 B．x＝0 C．x1＝0，x2＝﹣3 D．x1＝0，x2＝3
3．如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点，若∠BAD＝105°，则∠DCE的大小是( )

A．115° B．105° C．100° D．95°
4．若关于x的一元二次方程kx2+2x–1=0有实数根，则实数k的取值范围是
A．k≥–1 B．k>–1
C．k≥–1且k≠0 D．k>–1且k≠0
5．如图，在□ABCD中，E、F分别是边BC、CD的中点，AE、AF分别交BD于点G、H，则图中阴影部分图形的面积与□ABCD的面积之比为（ ）

A．7 : 12 B．7 : 24 C．13 : 36 D．13 : 72
6．如图，二次函数的图象与轴交于点（4，0），若关于的方程 在的范围内有实根，则的取值范围是（ ）

A． B．
C． D．
7．如图，A、B、C三点在⊙O上，且∠AOB=80°，则∠ACB等于

A．100° B．80° C．50° D．40°
8．如图所示，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：，堤高BC=5m，则坡面AB的长度是（ ）

A．10m B．10m C．15m D．5m
9．图2是图1中长方体的三视图，若用表示面积，则（　　）

A． B． C． D．
10．由四个相同的小正方体搭建了一个积木，它的三视图如图所示，则这个积木可能是（ ）

A． B． C． D．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．若，则x＝__．
12．找出如下图形变化的规律则第100个图形中黑色正方形的数量是_____．

13．如图，在矩形中，是边的中点，连接交对角线于点，若，，则的长为________．

14．Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，，则BC的长为____________．
15．若，则锐角α＝_____．
16．点（5，﹣）关于原点对称的点的坐标为__________．
17．某种传染病，若有一人感染，经过两轮传染后将共有49人感染．设这种传染病每轮传染中平均一个人传染了x个人，列出方程为______．
18．在Rt△ABC中，两直角边的长分别为6和8，则这个三角形的外接圆半径长为_____．
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，边长为3正方形的顶点与原点重合，点在轴，轴上。反比例函数的图象交于点，连接，.
（1）求反比例函数的解析式；
（2）过点作轴的平行线，点在直线上运动，点在轴上运动.
①若是以为直角顶点的等腰直角三角形，求的面积；
②将“①”中的“以为直角顶点的”去掉，将问题改为“若是等腰直角三角形”，的面积除了“①”中求得的结果外，还可以是______.（直接写答案，不用写步骤）

20．（6分）已知如图所示，A，B，C是⊙O上三点，∠AOB=120°，C是 的中点，试判断四边形OACB形状，并说明理由．

21．（6分）如图，在□中， 是上一点，且，与的延长线交点．
（1）求证：△∽△；
（2）若△的面积为1，求□ 的面积．

22．（8分）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，O 点在 BC 边上，∠BAC 的平分线交⊙O 于点 D，连接 BD、CD，过点 D 作 BC 的平行线，与 AB 的延长线相交于点 P．

（1）求证：PD 是⊙O 的切线；
（2）求证：△PBD∽△DCA．
23．（8分）2019年4月23日是第二十四个“世界读书日“．某校组织读书征文比赛活动，评选出一、二、三等奖若干名，并绘成如图所示的条形统计图和扇形统计图（不完整），请你根据图中信息解答下列问题：

（1）求本次比赛获奖的总人数，并补全条形统计图；

（2）求扇形统计图中“二等奖”所对应扇形的圆心角度数；
（3）学校从甲、乙、丙、丁4位一等奖获得者中随机抽取2人参加“世界读书日”宣传活动，请用列表法或画树状图的方法，求出恰好抽到甲和乙的概率．
24．（8分）已知：如图，在正方形ABCD中，F是AB上一点，延长CB到E，使BE=BF，连接CF并延长交AE于G．
（1）求证：△ABE≌△CBF；
（2）将△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ADH，请判断四边形AFCH是什么特殊四边形，并说明理由．

25．（10分）如图，要在木里县某林场东西方向的两地之间修一条公路MN，已知C点周围200米范围内为原始森林保护区，在MN上的点A处测得C在A的北偏东45°方向上，从A向东走600米到达B处，测得C在点B的北偏西60°方向上．
（1）MN是否穿过原始森林保护区，为什么？（参考数据：≈1.732）
（2）若修路工程顺利进行，要使修路工程比原计划提前5天完成，需将原定的工作效率提高25%，则原计划完成这项工程需要多少天？

26．（10分）我市有2000名学生参加了2018年全省八年级数学学业水平测试．其中有这样一题：如图，分别以线段BD的端点B、D为圆心，相同的长为半径画弧，两弧相交于A、C两点，连接AB、AD、CB、CD．若AB=2，BD=2，求四边形ABCD的面积．

统计我市学生解答和得分情况，并制作如下图表：

（1）求学业水平测试中四边形ABCD的面积；
（2）请你补全条形统计图；
（3）我市该题的平均得分为多少？
（4）我市得3分以上的人数为多少？
参考答案

一、选择题(每小题3分,共30分)
1、D
【解析】根据二次根式的性质以及二次根式加法，乘法及乘方运算法则计算即可．
【详解】A：＝2，故本选项错误；
B：(2)2＝12，故本选项错误；
C：与不是同类二次根式，不能合并，故本选项错误；
D：根据二次根式乘法运算的法则知本选项正确，
故选D．
本题考查的是二次根式的性质及二次根式的相关运算法则，熟练掌握是解题的关键.
2、D
【分析】根据因式分解法解一元二次方程，即可求解．
【详解】∵x2﹣1x＝0，
∴x(x﹣1)＝0，
∴x＝0或x﹣1＝0，
解得：x1＝0，x2＝1．
故选：D．
本题主要考查一元二次方程的解法，掌握因式分解法解方程，是解题的关键．
3、B
【分析】根据圆内接四边形的对角互补得到∠BAD+∠BCD=180°，而∠BCD与∠DEC为邻补角，得到∠DCE=∠BAD=105°．
【详解】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠BAD+∠BCD=180°，
而∠BCD+∠DCE=180°，
∴∠DCE=∠BAD，
而∠BAD=105°，
∴∠DCE=105°．
故选B．
4、C
【解析解：∵一元二次方程kx2﹣2x﹣1=1有两个实数根，∴△=b2﹣4ac=4+4k≥1，且k≠1，解得：k≥﹣1且k≠1．故选C．
点睛：此题考查了一元二次方程根的判别式，根的判别式的值大于1，方程有两个不相等的实数根；根的判别式的值等于1，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于1，方程没有实数根．
5、B
【分析】根据已知条件想办法证明BG=GH=DH，即可解决问题；
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，AB=CD，AD=BC，
∵DF=CF，BE=CE，
∴，，
∴，
∴BG=GH=DH，
∴S△ABG=S△AGH=S△ADH，
∴S平行四边形ABCD=6 S△AGH，
∴S△AGH：=1：6，
∵E、F分别是边BC、CD的中点,
∴,
∴,
∴,
∴=7∶24,
故选B.
本题考查了平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理、等底同高的三角形面积性质，题目的综合性很强，难度中等．
6、B
【分析】将点 (1，0)代入函数解析式求出b=1，即要使在的范围内有实根，即要使在的范围内有实根，即要使二次函数与一次函数y=t在的范围内有交点，求出时，二次函数值的范围，写出t的范围即可．
【详解】将x=1代入函数解析式可得：0=－16+1b，
解得b=1，
二次函数解析式为：，
要使在的范围内有实根，

即要使二次函数与一次函数y=t在的范围内有交点，
二次函数对称轴为x=2，且当x=2时，函数最大值y=1，
x=1或x=3时，y=3，
3三角形
9、A
【分析】由主视图和左视图的宽为x，结合两者的面积得出俯视图的长和宽，从而得出答案．
【详解】∵S主=x1+1x=x（x+1），S左=x1+x=x（x+1），∴俯视图的长为x+1，宽为x+1，则俯视图的面积S俯=（x+1）（x+1）=x1+3x+1．
故选A．
本题考查了由三视图判断几何体，解题的关键是根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，以及几何体的长、宽、高．
10、A
【解析】分析：从主视图上可以看出上下层数，从俯视图上可以看出底层有多少小正方体，从左视图上可以看出前后层数，综合三视图可得到答案．
解答：解：从主视图上可以看出左面有两层，右面有一层；
从左视图上看分前后两层，后面一层上下两层，前面只有一层，
从俯视图上看，底面有3个小正方体，因此共有4个小正方体组成，
故选A．

二、填空题(每小题3分,共24分)
11、
【分析】用直接开平方法解方程即可.
【详解】,
,
,
故答案为：.
此题考查一元二次方程的解法，依据方程的特点选择恰当的方法.
12、150个
【分析】根据图形的变化寻找规律即可求解．
【详解】观察图形的变化可知：
当n为偶数时，第n个图形中黑色正方形的数量为（n+）个；
当n为奇数时，第n个图形中黑色正方形的数量为（n+）个．
所以第100个图形中黑色正方形的数量是150个．
故答案为150个．
本题难度系数较大，需要根据观察得出奇偶数是不同情况，找出规律.
13、
【解析】分析：根据勾股定理求出，根据∥，得到，即可求出的长.
详解：∵四边形是矩形，∴，∥，，
在中，，∴，
∵是中点，∴，
∵∥，∴，∴．
故答案为.
点睛：考查矩形的性质，勾股定理，相似三角形的性质及判定，熟练掌握相似三角形的判定方法和性质是解题的关键.
14、1
【分析】由cosB==可设BC=3x，则AB=5x，根据AB=10，求得x的值,进而得出BC的值即可．
【详解】解：如图，

∵Rt△ABC中，cosB==，
∴设BC=3x，则AB=5x10，
∴x=2,BC=1,
故答案为：1．
本题考查了解直角三角形，熟练掌握三角函数的定义及勾股定理是解题的关键．
15、45°
【分析】首先求得cosα的值，即可求得锐角α的度数．
【详解】解：∵，
∴cosα＝，
∴α＝45°．
故答案是：45°．
本题考查了特殊的三角函数值,属于简单题,熟悉三角函数的概念是解题关键.
16、（-5，）
【分析】让两点的横纵坐标均互为相反数可得所求的坐标．
【详解】∵两点关于原点对称，
∴横坐标为-5，纵坐标为，
故点P（5，−）关于原点对称的点的坐标是：（-5，）．
故答案为：（-5，）．
此题主要考查了关于原点对称的坐标的特点：两点的横坐标互为相反数；纵坐标互为相反数．
17、x(x+1)+x+1=1．
【分析】设每轮传染中平均一人传染x人，那么经过第一轮传染后有x人被感染，那么经过两轮传染后有x（x+1）+x+1人感染，列出方程即可．
【详解】解：设每轮传染中平均一人传染x人，则第一轮后有x+1人感染，第二轮后有x(x+1)+x+1人感染，
由题意得：x(x+1)+x+1=1．
故答案为：x(x+1)+x+1=1．
本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，掌握一元二次方程是解题的关键.
18、1
【分析】根据直角三角形外接圆的直径是斜边的长进行求解即可．
【详解】由勾股定理得：AB＝＝10，
∵∠ACB＝90°，
∴AB是⊙O的直径，
∴这个三角形的外接圆直径是10；
∴这个三角形的外接圆半径长为1，
故答案为1．

本题考查了90度的圆周角所对的弦是直径，熟练掌握是解题的关键.

三、解答题(共66分)
19、（1）；（2）①或.②1或2.
【解析】（1）设的坐标分别为，根据三角形的面积，构建方程即可解决问题．
（2）①分两种情形画出图形：当点P在线段BM上，当点P在线段BM的延长线上时，分别利用全等三角形的性质求解即可．
②当点Q是等腰三角形的直角顶点时，分两种情形分别求解即可．
【详解】解：（1））∵四边形OACD是正方形，边长为3，
∴点B的纵坐标为3，点E的横坐标为3，
∵反比例函数的图象交AC，CD于点B，E，
设的坐标分别为.
∵S△OBE=4，
可得，.
解得，，（舍）.
所以，反比例函数的解析式为.
（2））①如图1中，设直线m交OD于M．

由（1）可知B（1，3），AB=1，BC=2，
当PC=PQ，∠CPQ=90°时，
∵∠CBP=∠PMQ=∠CPQ=90°，
∴∠CPB+∠BCP=90°，∠CPB+∠PQM=90°，
∴∠PCB=∠MPQ，∵PC=PQ，
∴△CBP≌△PMQ（AAS），
∴BC=PM=2，PB=MQ=1，
∴PC=PQ=
∴S△PCQ=
如图2中，当PQ=PC，∠CPQ=90°，

同法可得△CBP≌△PMQ（AAS），
∴PM=BC=2，OM=PB=1，
∴PC=PQ=，
∴S△PCQ=.
所以，的面积为或.
②当点Q是等腰三角形的直角顶点时，同法可得CQ=PQ=，此时S△PCQ=1．
或CQ′=PQ′=，可得S△P′CQ′=2，
不存在点C为等腰三角形的直角顶点，
综上所述，△CPQ的面积除了“①”中求得的结果外，还可以是1或2．
故答案为1或2．

本题属于反比例函数综合题，考查了正方形的性质，反比例函数的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
20、AOBC是菱形，理由见解析.
【分析】连接OC，根据等边三角形的判定及圆周角定理进行分析即可．
【详解】AOBC是菱形，理由如下：
连接OC，
∵C是 的中点
∴∠AOC=∠BOC=×120°=60°，
∵CO=BO（⊙O的半径），
∴△OBC是等边三角形，
∴OB=BC，
同理△OCA是等边三角形，
∴OA=AC，
又∵OA=OB，
∴OA=AC=BC=BO，
∴AOBC是菱形．

本题利用了等边三角形的判定和性质，圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
21、（1）证明见解析；（2）24
【分析】（1）利用平行线的性质得到∠ABF=∠E，即可证得结论；
（2）根据平行线的性质证明△ABF∽△DEF，即可求出S△ABF=9 ，再根据AD=BC=4DF，求出S△CBE =16，即可求出答案.
【详解】证明：（1）在□ABCD中，∠A=∠C，AB∥CD，
∴∠ABF=∠E，
∴△ABF∽△CEB；
（2）在□ABCD中，AD∥BC，
∴△DEF∽△CEB，
又∵△ABF∽△CEB
∴ △ABF∽△DEF，
∵AF=3DF，△DEF的面积为1，
∴S△ABF=9 ，
∵AD=BC=4DF，
∴S△CBE =16，
∴□ABCD的面积=9+15=24.

此题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定及性质.
22、（1）见解析；（2）见解析
【解析】（1）由直径所对的圆周角为直角得到∠BAC为直角，再由AD为角平分线，得到一对角相等，根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍及等量代换确定出∠DOC为直角，与平行线中的一条垂直，与另一条也垂直得到OD与PD垂直，即可得证；
（2）由PD与BC平行，得到一对同位角相等，再由同弧所对的圆周角相等及等量代换得到∠P=∠ACD，根据同角的补角相等得到一对角相等，利用两对角相等的三角形相似即可得证；
【详解】证明：（1）∵圆心O在BC上，
∴BC是圆O的直径，
∴∠BAC=90°，
连接OD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAC=2∠DAC，
∵∠DOC=2∠DAC，
∴∠DOC=∠BAC=90°，即OD⊥BC，
∵PD∥BC，
∴OD⊥PD，
∵OD为圆O的半径，
∴PD是圆O的切线；
（2）∵PD∥BC，
∴∠P=∠ABC，
∵∠ABC=∠ADC，
∴∠P=∠ADC，
∵∠PBD+∠ABD=180°，∠ACD+∠ABD=180°，
∴∠PBD=∠ACD，
∴△PBD∽△DCA．
本题考查了相似三角形的判定与性质，切线的判定与性质，熟练掌握判定性质是解题关键
23、（1）40，补图详见解析；（2）108°；（3）．
【分析】（1）由一等奖人数及其所占百分比可得总人数，总人数减去一等奖、三等奖人数求出二等奖人数即可补全图形；
（2）用360°乘以二等奖人数所占百分比可得答案；
（3）画出树状图，由概率公式即可解决问题．
【详解】解：（1）本次比赛获奖的总人数为4÷10%＝40（人），
二等奖人数为40﹣（4+24）＝12（人），
补全条形图如下：

（2）扇形统计图中“二等奖”所对应扇形的圆心角度数为360°×＝108°；
（3）树状图如图所示，

∵从四人中随机抽取两人有12种可能，恰好是甲和乙的有2种可能，
∴抽取两人恰好是甲和乙的概率是＝．
此题主要考查统计图的运用及概率的求解，解题的关键是根据题意列出树状图，再利用概率告诉求解.
24、 (1) 证明见解析;(2) 证明见解析.
【解析】试题分析：（1）由于四边形ABCD是正方形，所以AB=CB=DC，因为AB∥CD，∠CBA=∠ABE，从而得证．
（2）根据旋转的性质可知△ABE≌△ADH，从而可证AF=CH，然后利用AB∥CD 即可知四边形AFCH是平行四边形.
试题解析：
（1）证明：
∴ ，AB//CD

∴
∴
在△ABE和△CBF中

∴△ABE≌△CBF（SAS）
（2）答：四边形AFCH是平行四边形

理由：∵△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ADH
∴△ABE≌△ADH
∴BE=DH
又∵BE=BF（已知）
∴BF=DH(等量代换)
又∵AB=CD（由（1）已证）
∴AB-BF=CD-DH
即AF=CH
又∵AB//CD 即AF//CH
∴四边形AFCH是平行四边形
25、（1）不会穿过森林保护区.理由见解析；（2）原计划完成这项工程需要25天.
【解析】试题分析：（1）要求MN是否穿过原始森林保护区，也就是求C到MN的距离．要构造直角三角形，再解直角三角形；
（2）根据题意列方程求解．
试题解析：（1）如图，过C作CH⊥AB于H，
设CH=x，由已知有∠EAC=45°, ∠FBC=60°
则∠CAH=45°, ∠CBA=30°，在RT△ACH中，AH=CH=x，在RT△HBC中， tan∠HBC=
∴HB===x，
∵AH+HB=AB
∴x+x=600解得x≈220（米）>200（米）．∴MN不会穿过森林保护区．

（2）设原计划完成这项工程需要y天，则实际完成工程需要y-5
根据题意得：=(1+25％)×，解得：y=25知：y=25的根．
答：原计划完成这项工程需要25天．
26、（1）；（2）见解析；（3）3.025分；（4）1578人．
【分析】（1）根据作图得到AC是BD的垂直平分线，利用勾股定理可求得的长，从而求得答案；
（2）根据条形统计图中的数据可以补全条形统计图；
（3）根据平均数计算公式计算即可.
（4）计算得３分与得4分的人数和即可.
【详解】（1）如图，连接AC交BD于E，
根据作图：分别以线段BD的端点B、D为圆心，相同的长为半径画弧，两弧相交于A、C两点，
∴AC是BD的垂直平分线，且AB＝CB、AD＝CD，
∴AB＝CB＝AD＝CD．
在中，AB=2，，
∴，
∴；

（2）由条形统计图：,
如图：

（3）由条形统计图：
得2分的人数有：(人)，
得３分的人数有：(人)，
得4分的人数有：(人)，
∴平均得分为：(分).
（4）由(3)的计算得：＝1578(人).
本题考查的是条形统计图的综合运用，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．