广东省顺德区大良镇2025届九年级数学第一学期期末学业水平测试试题含解析.doc

2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴分别于点A（﹣3，0），B（1，0），交y轴正半轴于点D，抛物线顶点为C．下列结论
①2a﹣b＝0；
②a+b+c＝0；
③当m≠﹣1时，a﹣b＞am2+bm；

④当△ABC是等腰直角三角形时，a＝；
⑤若D（0，3），则抛物线的对称轴直线x＝﹣1上的动点P与B、D两点围成的△PBD周长最小值为3，其中，正确的个数为（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．如图,在矩形ABCD中,BC=2,AE⊥BD,垂足为E,∠BAE=30°,那么△ECD的面积是　（ ）

A．2 B． C． D．
3．若函数y＝（3﹣m）﹣x+1是二次函数，则m的值为（ ）
A．3 B．﹣3 C．±3 D．9
4．已知点 P1（a-1,5）和 P2（2，b-1）关于 x 轴对称，则（a+b）2019的值为（ ）
A．0 B．﹣1 C．1 D．（- 3）2019
5．如图，在高2m，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（ ）

A．2m B．（2+ 2）m C．4 m D．（4+ 2）m
6．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E．若AB=8，AE=1，则弦CD的长是（ ）

A． B．2 C．6 D．8
7．图中所示的几个图形是国际通用的交通标志.其中不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
8．点关于轴对称的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
9．如果一个一元二次方程的根是x1＝x2＝1，那么这个方程是
A．（x＋1）2＝0
B．（x－1）2＝0
C．x2＝1
D．x2＋1＝0
10．将二次函数y＝2x2+2的图象先向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度后所得新函数图象的表达式为（　　）
A．y＝2（x﹣1）2+3 B．y＝﹣2（x+3）2+1
C．y＝2（x﹣3）2﹣1 D．y＝2（x+3）2+1
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．已知点E是线段AB的黄金分割点,且，若AB=2则BE=__________.
12．已知△ABC ∽△DEF，其中顶点A、B、C分别对应顶点D、E、F，如果∠A=40°，∠E=60°，那么∠C=_______度.
13．计算：× =______.
14．如图，直线，若，则的值为_________

15．若二次函数y＝x2+x+1的图象，经过A（﹣3，y1），B（2，y2），C（，y3），三点y1，y2，y3大小关系是__（用“＜”连接）
16．已知α，β是方程x2﹣3x﹣4＝0的两个实数根，则α2+αβ﹣3α的值为_____．
17．如图，直线y＝kx与双曲线y＝(x＞0)交于点A(1，a)，则k＝_____．

18．如图，在矩形ABCD中，∠ABC的角平分线BE与AD交于点E，∠BED的角平分线EF与DC交于点F，若AB=8，DF=3FC，则BC=__________.

三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，某大楼的顶部树有一块广告牌CD，小李在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为60°．沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i=1：，AB=10米，AE=15米．（i=1：是指坡面的铅直高度BH与水平宽度AH的比）

（1）求点B距水平面AE的高度BH；
（2）求广告牌CD的高度．
（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米．参考数据：1.414，1.732）
20．（6分）在不透明的袋子中有四张标有数字1，2，3，4的卡片，小明、小华两人按照各自的规则玩抽卡片游戏．
小明画出树形图如下：

小华列出表格如下：
第一次
第二次

1

2

3

4

1

（1，1）

（2，1）

（3，1）

（4，1）

2

（1，2）

（2，2）

①

（4，2）

3

（1，3）

（2，3）

（3，3）

（4，3）

4

（1，4）

（2，4）

（3，4）

（4，4）

回答下列问题：
（1）根据小明画出的树形图分析，他的游戏规则是：随机抽出一张卡片后 （填“放回”或“不放回”），再随机抽出一张卡片；
（2）根据小华的游戏规则，表格中①表示的有序数对为 ；
（3）规定两次抽到的数字之和为奇数的获胜，你认为淮获胜的可能性大？为什么？
21．（6分）已知，如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为（﹣1，0），点C（0，5），另抛物线经过点（1，8），M为它的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求△MCB的面积．

22．（8分）（1）计算：sin230°+cos245°
（2）解方程：x（x+1）＝3
23．（8分） “红灯停，绿灯行”是我们过路口遇见交通信号灯时必须遵守的规则.小明每天从家骑自行车上学要经过三个路口，假如每个路口交通信号灯中红灯和绿灯亮的时间相同，且每个路口的交通信号灯只安装了红灯和绿灯.那么某天小明从家骑车去学校上学，经过三个路口抬头看到交通信号灯.
（1）请画树状图，列举小明看到交通信号灯可能出现的所有情况；
（2）求小明途经三个路口都遇到红灯的概率.
24．（8分）如图，在△ABC中，AB=AC，O在AB上，以O为圆心，OB为半径的圆与AC相切于点F，交BC于点D，交AB于点G，过D作DE⊥AC，垂足为E．

（1）DE与⊙O有什么位置关系，请写出你的结论并证明；
（2）若⊙O的半径长为3，AF=4，求CE的长．
25．（10分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AE⊥BC交CB延长线于E,CF∥AE交AD延长线于点F．
（1）求证：四边形AECF是矩形；
（2）连接OE，若AE=4AD=5，求OE的长．

26．（10分）如图，已知是的直径，弦于点，是的外角的平分线．求证：是的切线．

参考答案

一、选择题(每小题3分,共30分)
1、D
【分析】把A、B两点坐标代入抛物线的解析式并整理即可判断①②；
根据抛物线的顶点和最值即可判断③；
求出当△ABC是等腰直角三角形时点C的坐标，进而可求得此时a的值，于是可判断④；
根据利用对称性求线段和的最小值的方法（将军饮马问题）求解即可判断⑤.
【详解】解：把A（﹣3，0），B（1，0）代入y＝ax2+bx+c得到，消去c得到2a﹣b＝0，故①②正确；
∵抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，开口向下，∴x＝﹣1时，y有最大值，最大值＝a﹣b+c，
∵m≠﹣1，∴a﹣b+c＞am2+bm+c，∴a﹣b＞am2+bm，故③正确；
当△ABC是等腰直角三角形时，C（﹣1，2），
可设抛物线的解析式为y＝a（x+1）2+2，把（1，0）代入解得a＝﹣，故④正确，
如图，连接AD交抛物线的对称轴于P，连接PB，则此时△BDP的周长最小，最小值＝PD+PB+BD＝PD+PA+BD＝AD+BD，
∵AD＝＝3，BD＝＝，
∴△PBD周长最小值为3，故⑤正确．
故选D．

本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数的图象与其系数的关系、待定系数法求二次函数的解析式和求三角形周长最小值的问题，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键.
2、D
【分析】根据已知条件，先求Rt△AED的面积，再证明△ECD的面积与它相等．
【详解】
如图：过点C作CF⊥BD于F.
∵矩形ABCD中，BC=2，AE⊥BD，∠BAE=30°.
∴∠ABE=∠CDF=60°,AB=CD,AD=BC=2,∠AEB=∠CFD=90°，∠AED=30°，
∴△ABE≌△CDF.
∴AE=CF.
∴S△AED=ED×AE,S△ECD=ED×CF.
∴S△AED=S△CDE
∵AE=1,DE=，
∴△ECD的面积是.
故答案选:D.
本题考查了矩形的性质与含30度角的直角三角形相关知识，解题的关键是熟练的掌握矩形的性质与含30度角的直角三角形并能运用其知识解题.
3、B
【分析】根据二次函数的定义来求解，注意二次项的系数与次数.
【详解】根据二次函数的定义，可知 m2-7=2 ，且 3-m≠0 ，解得 m=-3 ，所以选择B.
故答案为B
本题考查了二次函数的定义，注意二次项的系数不能为0.
4、B
【分析】根据关于x轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数的概念，求出P1 P2的坐标，得出a，b的值代入（a+b）2019求值即可.
【详解】因为关于x轴对称横坐标不变，所以，a-1=2，得出a=3，又因为关于x轴对称纵坐标互为相反数，所以b-1=-5，得出b=-4
（a+b）2019=（3-4）2019即.
故答案为：B
本题考查关于x轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数的概念和有理数的幂运算原理，利用-1的偶次幂为1，奇次幂为它本身的原理即可快速得出答案为-1.
5、B
【解析】如图，由平移的性质可知，楼梯表面所铺地毯的长度为：AC+BC，
∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=2m，
∴AB=2BC=4m，
∴AC=，
∴AC+BC=（m）.
故选B.

点睛：本题的解题的要点是：每阶楼梯的水平面向下平移后刚好与AC重合，每阶楼梯的竖直面向右平移后刚好可以与BC重合，由此可得楼梯表面所铺地毯的总长度为AC+BC.
6、B
【分析】连接OC，根据垂径定理和勾股定理，即可得答案．
【详解】连接OC，

∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AB=8，AE=1，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
本题考查了垂径定理和勾股定理，解题关键是学会添加常用辅助线面构造直角三角形解决问题．
7、C
【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形．
【详解】A、B、D都是轴对称图形，而C不是轴对称图形．
故选C．
本题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
8、D
分析】根据特殊锐角的三角函数值，先确定点M的坐标，然后根据关于x轴对称的点的坐标x值不变，y值互为相反数的特点进行选择即可.
【详解】因为，
所以，
所以点
所以关于x轴的对称点为
故选D.
本题考查的是特殊角三角函数值和关于x轴对称的点的坐标特点，熟练掌握三角函数值是解题的关键.
9、B
【分析】分别求出四个选项中每一个方程的根，即可判断求解．
【详解】A、（x+1）2=0的根是：x1=x2=-1，不符合题意；
B、（x-1）2=0的根是：x1=x2=-1，符合题意；
C、x2=1的根是：x1=1，x2=-1，不符合题意；
D、x2+1=0没有实数根，不符合题意；

故选B．
10、D
【分析】根据二次函数图像的平移法则进行推导即可.
【详解】解：将二次函数y＝2x2+2的图象先向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度后所得新函数图象的表达式为y＝2（x+3）2+2﹣1，即y＝2（x+3）2+1．
故选：D．
本题考查了二次函数图像的平移，掌握并灵活运用“上加下减，左加右减”的平移原则是解题的关键.

二、填空题(每小题3分,共24分)
11、
【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比；
【详解】解：∵点E是线段AB的黄金分割点，且BE>AE，
∴BE=AB，
而AB=2，
∴BE=；
故答案为：；
本题主要考查了黄金分割，掌握黄金分割是解题的关键.
12、80
【解析】因为△ABC ∽△DEF,所以∠A=∠D, ∠B=∠E, ∠C=∠F,因为∠A=40°,∠E=60°,
所以∠B=60°,所以∠C=180°―40°―60°=80°,故答案为: 80.
13、7
【分析】利用二次根式的乘法法则计算即可.
【详解】解：原式
故答案为：7
本题考查二次根式的乘法运算，熟练掌握二次根式的乘法运算法则是解题关键.
14、
【解析】先由得出，再根据平行线分线段成比例定理即可得到结论．
【详解】∵，
∴，
∵a∥b∥c，
∴＝．
故答案为：.
本题考查了平行线分线段成比例定理，掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解题的关键．
15、y3＜y1＝y1．
【分析】先将二次函数的一般式化成顶点式，从而求出抛物线的对称轴，然后根据二次函数图象的对称性和增减性判断即可.
【详解】∵y＝x1+x+1＝（x+）1+，
∴图象的开口向上，对称轴是直线x＝﹣，
A（﹣3，y1）关于直线x＝﹣的对称点是（1，y1），
∴y1＝y1，
∵﹣＜＜1，
∴y3＜y1，
故答案为y3＜y1＝y1．
此题考查的是二次函数的增减性，掌握二次函数图象对称轴两侧的对称性和增减性是解决此题的关键.
16、1
【分析】根据根与系数的关系得到得α+β=3，再把原式变形得到a（α+β）-3α，然后利用整体代入的方法计算即可．
【详解】解：∵α，β是方程x2﹣3x﹣4＝1的两个实数根，
∴α+β=3，αβ=-4，
∴α2+αβ﹣3α=α（α+β）-3α
=3α-3α
=1．
故答案为1
本题主要考查了根与系数的关系，解题的关键是利用整体法代值计算，此题难度一般．
17、1
【解析】解：∵直线y=kx与双曲线y=（x＞0）交于点A（1，a），∴a=1，k=1．故答案为1．
18、6+1．
【分析】先延长EF和BC，交于点G，再根据条件可以判断三角形ABE为等腰直角三角形，并求得其斜边BE的长，然后根据条件判断三角形BEG为等腰三角形，最后根据△EFD∽△GFC得出比例式，DF=3FC计算得出CG与DE的倍数关系，并根据BG=BC+CG进行计算即可．
【详解】解：延长EF和BC，交于点G

∵矩形ABCD中，∠B的角平分线BE与AD交于；
∴∠ABE=∠AEB=45°，
∴AB=AE=8，
∴直角三角形ABE中，BE=8，
又∵∠BED的角平分线EF与DC交于点F，
∴∠BEG=∠DEF
∵AD∥BC
∴∠G=∠DEF
∴∠BEG=∠G
∴BG=BE=8，
∵∠G=∠DEF，∠EFD=∠GFC，
∴△EFD∽△GFC
∵DF=3FC，

设CG=x，DE=3x，则AD=8+3x=BC
∵BG=BC+CG
∴8=8+3x+x
解得x=1-1，
∴BC=8+3（1-1）=6+1，
故答案为：6+1．
本题主要考查矩形的性质、相似三角形性质和判定以及等腰三角形的性质，解决问题的关键是得出BG=BE，从而进行计算．

三、解答题(共66分)
19、（1）点B距水平面AE的高度BH为5米.
（2）宣传牌CD高约2.7米.
【分析】（1）过B作DE的垂线，设垂足为G．分别在Rt△ABH中，通过解直角三角形求出BH、AH.
（2）在△ADE解直角三角形求出DE的长，进而可求出EH即BG的长，在Rt△CBG中，∠CBG=45°，则CG=BG，由此可求出CG的长然后根据CD=CG+GE﹣DE即可求出宣传牌的高度.
【详解】解：（1）过B作BG⊥DE于G，

在Rt△ABF中，i=tan∠BAH=，∴∠BAH=30°
∴BH=AB=5（米）.
答：点B距水平面AE的高度BH为5米.
（2）由（1）得：BH=5，AH=5，
∴BG=AH+AE=5+15.
在Rt△BGC中，∠CBG=45°，∴CG=BG=5+15.
在Rt△ADE中，∠DAE=60°，AE=15，
∴DE=AE=15.
∴CD=CG+GE﹣DE=5+15+5﹣15=20﹣10≈2.7（米）.
答：宣传牌CD高约2.7米.
20、（1）放回
（2）（3，2）
（3）小明获胜的可能性大．理由见解析
【分析】（1）根据树形图法的作法可知．
（2）根据排列顺序可知．
（3）游戏公平与否，比较概率即知．
【详解】解：（1）放回．
（2）（3，2）．
（3）理由如下：
∵根据小明的游戏规则，共有12种等可能结果，数字之和为奇数的有8种，
∴概率为：．
∵根据小华的游戏规则，共有16种等可能结果，数字之和为奇数的有8种，
∴概率为：．
∵，∴小明获胜的可能性大．
21、（1）y=﹣x2+4x+5；（2）1．
【分析】（1）由A、C、（1，8）三点在抛物线上，根据待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）由B、C两点的坐标求得直线BC的解析式；过点M作MN∥y轴交BC轴于点N，则△MCB的面积=△MCN的面积+△MNB的面积=
【详解】（1）∵A（﹣1，0），C（0，5），（1，8）三点在抛物线y=ax2+bx+c上，
∴，
解方程组，得，
故抛物线的解析式为y=﹣x2+4x+5；
（2）∵y=﹣x2+4x+5=﹣（x﹣5）（x+1）=﹣（x﹣2）2+9，
∴M（2，9），B（5，0），
设直线BC的解析式为：y=kx+b，

解得,
则直线BC的解析式为：y=﹣x+5.
过点M作MN∥y轴交BC轴于点N，

则△MCB的面积=△MCN的面积△MNB的面积=
当x=2时，y=﹣2+5=3，则N（2，3），
则MN=9﹣3=6，
则
本题考查抛物线与x轴的交点和待定系数法求二次函数解析式，掌握待定系数法是解题的关键.
22、 (1) ；(2) x1＝，x2＝．
【分析】（1）sin30°=，cos45°=，sin230°+cos245°=（）2+（）2=
（2）用公式法：化简得，a=1,b=1,c=-3,b-4ac=13,∴x=.
【详解】解：（1）原式＝（）2+（）2＝；
（2）x（x+1）＝3，
x2+x﹣3＝0，
∵a＝1，b＝1，c＝﹣3，b﹣4ac＝1﹣4×1×（﹣3）＝13，
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝.
本题的考点是三角函数的计算和解一元二次方程.方法是熟记特殊三角形的三角函数及几种常用的解一元二次方程的方法.
23、（1）详见解析；共有8种等可能的结果；（2）
【分析】此题分三步完成，每一个路口需要选择一次，所以把每个路口看做一步，用树状图表示所有情况，再利用概率公式求解．
【详解】（1）列树状图如下：

由树状图可以看出，共有8种等可能的结果，即：红红红、红红绿、红绿红、红绿绿、
绿红红、绿红绿、绿绿红、绿绿绿、
（2）由（1）可知（三次红灯）.
此题考查的是用树状图法求概率．树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
24、（1）DE与⊙O相切，证明见解析；（2）CE长度为1
【分析】（1）连接OD，如图，根据等腰三角形的性质和等量代换可得∠ODB=∠C，进而可得OD∥AC，于是可得OD⊥DE，进一步即可得出结论；
（2）连接OF，由切线的性质和已知条件易得四边形ODEF为矩形，从而可得EF=OD=3，在Rt△AOF中根据勾股定理可求出AO的长，进而可得AB的长，即为AC的长，再利用线段的和差即可求出结果．
【详解】解：（1）DE与⊙O相切；理由如下：连接OD，如图，
∵OB=OD，
∴∠B=∠ODB，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠ODB=∠C，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∴DE与⊙O相切；

（2）如图，连接OF；
∵DE，AF是⊙O的切线，
∴OF⊥AC，OD⊥DE，
又∵DE⊥AC，
∴四边形ODEF为矩形，
∴EF=OD=3，
在Rt△OFA中，∵AO2=OF2+AF2，
∴，
∴AC=AB=AO+BO=8，CE=AC﹣AF﹣EF=8﹣4﹣3=1．
答：CE长度为1．
本题考查了圆的切线的判定和性质、矩形的判定和性质、等腰三角形的性质以及勾股定理等知识，属于常考题型，正确添加辅助线、熟练掌握上述知识是解题的关键．
25、（1）见解析；（2）OE=．
【解析1）根据菱形的性质得到AD∥BC，推出四边形AECF是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；
（2）根据勾股定理得到BE=1，AC=，然后根据直角三角形斜边的中线性质可得到结论．
【详解】（1）证明：∵菱形ABCD，
∴AD∥BC．
∵CF∥AE，
∴四边形AECF是平行四边形．
∵AE⊥BC，
∴平行四边形AECF是矩形．
（2）解：∵AE=4，AD=5，
∴AB=5，BE=1．
∵AB=BC=5，
∴CE=2．
∴AC=．
∵对角线AC，BD交于点O，
∴AO=CO=．
∴OE=．

本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理解直角三角形，正确的识别图形是解题的关键．
26、见解析
【分析】根据垂径定理可证明∠BAD=∠CAD，再结合角平分线的性质可得∠DAM=∠DAF，由此可证明∠OAM=90°，即可证明AM是的切线．
【详解】证明：∵AB⊥CD，AB是⊙O的直径，
∴，
∴∠BAD=∠CAD，
∵AM是∠DAF的角平分线，
∴∠DAM=∠DAF ，
∵，
∴∠OAM=∠BAD＋∠DAM=90°，
∴OA⊥AM，
∴AM是⊙O的切线，
本题考查切线的判定定理，垂径定理，圆周角定理．理解“经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线”是解决此题的关键．