2024-2025学年浙江杭州拱墅锦绣育才数学九上期末检测模拟试题含解析.doc

2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图，在△ABC中，DE∥BC，DE分别交AB，AC于点D，E，若AD：DB＝1：2，则△ADE与△ABC的面积之比是（　　）

A．1：3 B．1：4 C．1：9 D．1：16
2．如图，点A、B、C、D、O都在方格纸的格点上，若△COD是由△AOB绕点O按逆时针方向旋转而得，则旋转的角度为（　　）

A．30° B．45°
C．90° D．135°
3．下列是随机事件的是( )
A．口袋里共有5个球，都是红球，从口袋里摸出1个球是黄球
B．平行于同一条直线的两条直线平行
C．掷一枚图钉，落地后图钉针尖朝上
D．掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是7
4．掷一枚质地均匀的硬币6次，下列说法正确的是( )
A．必有3次正面朝上 B．可能有3次正面朝上
C．至少有1次正面朝上 D．不可能有6次正面朝上
5．如图所示，在边长为1的小正方形网格中，两个三角形是位似图形，则它们的位似中心是（ ）

A．点O B．点P C．点M D．点N
6．有五张背面完全相同的卡片，正面分别写有数字1，2，3，4，5，把这些卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，其正面的数字是偶数的概率为　　
A． B． C． D．
7．一个不透明的袋中有四张完全相同的卡片，把它们分别标上数字1、2、2、1．随机抽取一张卡片，然后放回，再随机抽取一张卡片，则两次抽取的卡片上数字之和为偶数的概率是( )
A． B．
C． D．
8．一艘在南北航线上的测量船，于A点处测得海岛B在点A的南偏东30°方向，继续向南航行30海里到达C点时，测得海岛B在C点的北偏东15°方向，那么海岛B离此航线的最近距离是（结果保留小数点后两位）参考数据：）（  ）
A．4.64海里 B．5.49海里 C．6.12海里 D．6.21海里
9．如图所示，若△ABC∽△DEF，则∠E的度数为（　　）

A．28° B．32° C．42° D．52°
10．下列二次函数的开口方向一定向上的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．已知一元二次方程2x2﹣5x+1=0的两根为m，n，则m2+n2=_____．
12．已知：如图，在中，于点，为的中点，若，，则的长是_______．

13．一个三角形的两边长为2和9,第三边长是方程x2－14x+48=0的一个根，则三角形的周长为．
14．已知A（x1，y1）B（x2，y2）为反比例函数图象上的两点，且x1＜x2＜0，则：y1_____y2（填“＞”或“＜”）．
15．如图，在中，点在边上，连接并延长交的延长线于点，若，则__________.

16．二次函数图象与轴交于点，则与图象轴的另一个交点的坐标为__．
17．已知：∠BAC．

（1）如图，在平面内任取一点O；
（2）以点O为圆心，OA为半径作圆，交射线AB于点D，交射线AC于点E；
（3）连接DE，过点O作线段DE的垂线交⊙O于点P；
（4）连接AP，DP和PE．根据以上作图过程及所作图形，下列四个结论中：
①△ADE是⊙O的内接三角形； ② ；
③ DE=2PE； ④ AP平分∠BAC．
所有正确结论的序号是______________．
18．如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠CDA=90°，AB=1，CD=2，过A，B，D三点的⊙O分别交BC，CD于点E，M，下列结论：
①DM=CM；②弧AB=弧EM；③⊙O的直径为2；④AE=AD．
其中正确的结论有______（填序号）．

三、解答题(共66分)
19．（10分）在如图所示的网格图中，已知和点
（1）在网格图中点M为位似中心，画出，使其与的位似比为1：1．
（1）写出的各顶点的坐标．

20．（6分）解不等式组，并求出它的整数解
21．（6分）如图所示，AD、BC为两路灯，身高相同的小明、小亮站在两路灯杆之间，两人相距6.5m，小明站在P处，小亮站在Q处，小明在路灯C下的影长为2m，已知小明身高1.8m，路灯BC高9m．
①计算小亮在路灯D下的影长；
②计算建筑物AD的高．

22．（8分）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE、BC的延长线相交于点F，且EF·DF=BF·CF．
(1)求证：AD·AB=AE·AC；
(2)当AB=12，AC=9，AE=8时，求BD的长与的值．

23．（8分）已知抛物线与轴交于A，B两点(A在B左边)与轴交于C点，顶点为P，OC=2AO.
(1)求与满足的关系式；
(2)直线AD//BC，与抛物线交于另一点D，△ADP的面积为，求的值；
(3)在(2)的条件下，过(1，-1)的直线与抛物线交于M、N两点，分别过M、N且与抛物线仅有一个公共点的两条直线交于点G，求OG长的最小值.

24．（8分）已知抛物线y=ax2+bx+c经过(﹣1，0)，(0，﹣3)，(2，3)三点．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．
25．（10分）在一个不透明的口袋中装有1个红球，1个绿球和1个白球，这3个球除颜色不同外，其它都相同，从口袋中随机摸出1个球，记录其颜色．然后放回口袋并摇匀，再从口袋中随机摸出1个球，记录其颜色，请利用画树状图或列表的方法，求两次摸到的球都是红球的概率．
26．（10分）如图，在中，平分交于点，于点，交于点，连接．

（1）求证：四边形是菱形；
（2）连接，若，，，求的长．
参考答案

一、选择题(每小题3分,共30分)
1、C
【分析】根据DE∥BC，即可证得△ADE∽△ABC，然后根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方，即可求解．
【详解】解：∵AD：DB＝1：2，
∴AD：AB＝1：3，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝（）2＝．
故选：C．
此题主要考查相似三角形的性质，解题的关键是熟知相似三角形的面积的比等于相似比的平方．
2、C
【分析】根据勾股定理求解.
【详解】设小方格的边长为1，得，
OC=
，AO=
，AC=4，
∵OC2+AO2==16，
AC2=42=16，
∴△AOC是直角三角形，
∴∠AOC=90°．
故选C．
考点：勾股定理逆定理.
3、C
【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可区别各类事件．
【详解】A. 口袋里共有5个球，都是红球，从口袋里摸出1个球是黄球，是不可能事件，故不符合题意；
B. 平行于同一条直线的两条直线平行，是必然事件，故不符合题意；
C. 掷一枚图钉，落地后图钉针尖朝上，是随机事件，故符合题意；
D. 掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是7，是不可能事件，故不符合题意，
故选C.
本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
4、B
【分析】根据随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，可得答案．
【详解】解：掷硬币问题，正、反面朝上的次数属于随机事件，不是确定事件，故A,C,D错误.
故选：B．
本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
5、B
【分析】根据位似变换的定义：对应点的连线交于一点，交点就是位似中心．即位似中心一定在对应点的连线上．
【详解】解：位似图形的位似中心位于对应点连线所在的直线上，点M、N为对应点，所以位似中心(如图)在M、N所在的直线上，点P在直线MN上，所以点P为位似中心．

故选：B．
此题主要考查了位似变换的性质，利用位似图形的位似中心位于对应点连线所在的直线上，点M、N为对应点，得出位似中心在M、N所在的直线上是解题关键．
6、C
【解析】正面的数字是偶数的情况数是2，总的情况数是5，用概率公式进行计算即可得.
【详解】从写有数字1，2，3，4，5这5张纸牌中抽取一张，其中正面数字是偶数的有2、4这2种结果，
正面的数字是偶数的概率为，
故选C．
【点睛】本题主要考查了概率公式的应用，明确概率的意义是解答的关键，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
7、D
【解析】画树状图展示所有16种等可能的结果数，找出两次抽取的卡片上数字之和为偶数的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】画树状图为：

共有16种等可能的结果数，其中两次抽取的卡片上数字之和为偶数的结果数为10，
所以两次抽取的卡片上数字之和为偶数的概率．
故选D．
本题考查了列表法与树状图法．利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
8、B
【解析】根据题意画出图如图所示：作BD⊥AC，取BE=CE，根据三角形内角和和等腰三角形的性质得出BA=BE，AD=DE，设BD=x，Rt△ABD中，根据勾股定理得AD=DE= x，AB=BE=CE=2x，由AC=AD+DE+EC=2 x+2x=30，解之即可得出答案.
【详解】根据题意画出图如图所示：作BD⊥AC，取BE=CE，

∵AC=30，∠CAB=30°∠ACB=15°，
∴∠ABC=135°，
又∵BE=CE，
∴∠ACB=∠EBC=15°，
∴∠ABE=120°，
又∵∠CAB=30°
∴BA=BE，AD=DE，
设BD=x，
在Rt△ABD中，
∴AD=DE= x，AB=BE=CE=2x，
∴AC=AD+DE+EC=2 x+2x=30，
∴x= = ≈5.49，
故答案选：B.
考查了三角形内角和定理与等腰直角三角形的性质，解题的关键是熟练的掌握三角形内角和定理与等腰直角三角形的性质.
9、C
【详解】∵△ABC∽△DEF，
∴∠B=∠E，
在△ABC中，∠A=110°，∠C=28°，
∴∠B=180°-∠A-∠C=42°，
∴∠E=42°，
故选C．
10、C
【分析】利用抛物线开口方向向上，则二次项系数大于0判断即可．
【详解】二次函数的开口方向一定向上，则二次项系数大于0，
故选：C．
此题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数y＝ax2＋bx＋c中，当a＞0，开口向上解题是解题关键．

二、填空题(每小题3分,共24分)
11、
【分析】先由根与系数的关系得：两根和与两根积，再将m2+n2进行变形，化成和或积的形式，代入即可．
【详解】由根与系数的关系得：m+n=，mn=，
∴m2+n2=（m+n）2-2mn=()2-2×=，
故答案为．
本题考查了利用根与系数的关系求代数式的值，先将一元二次方程化为一般形式，写出两根的和与积的值，再将所求式子进行变形；如、x12+x22等等，本题是常考题型，利用完全平方公式进行转化．
12、
【分析】先根据直角三角形的性质求出AC的长，再根据勾股定理即可得出结论．
【详解】解：∵△ABC中，AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°．
∵E是AC的中点，DE＝5，CD＝8，
∴AC＝2DE＝1．
∴AD2＝AC2−CD2＝12−82＝2．
∴AD＝3．
故答案为：3．
本题主要考查了直角三角形的性质，熟知在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解答此题的关键．
13、1
分析】先求得方程的两根，根据三角形的三边关系，得到合题意的边，进而求得三角形周长即可．
【详解】解方程x2-14x+48=0得第三边的边长为6或8，依据三角形三边关系，不难判定边长2，6，9不能构成三角形，2，8，9能构成三角形，∴三角形的周长=2+8+9=1．
本题考查三角形的周长和解一元二次方程，解题的关键是检验三边长能否成三角形．
14、＜
【解析】先根据反比例函数的解析式判断出该函数图象所在的象限及在每一象限内的增减性，再由x1＜x1＜0可判断出A（x1，y1）B（x1，y1）所在的象限，故可得出结论．
【详解】∵反比例函数y＝−中k=-3＜0，
∴其函数图象在二、四象限且在每一象限内y随x的增大而增大，
∵x1＜x1＜0，
∴A、B两点均在第二象限，
∴y1＜y1．
故答案为：＜．
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，根据题意判断出A、B所在的象限是解答此题的关键．
15、
【分析】根据相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质，进而证明，得出线段的比例，即可得出答案
【详解】在中，
∴AD∥BC，∠DAE=∠CFE，∠ADE=∠FCE，
∴△ADE∽△FCE
∵DE=2EC，
∴AD=2CF，
在中，
∵AD=BC，
等量代换得：BC=2CF
∴2：1
本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，数形结合是解题的关键.
16、
【分析】确定函数的对称轴为：，即可求解．
【详解】解：函数的对称轴为：，故另外一个交点的坐标为，
故答案为．
本题考查的是抛物线与轴的交点和函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数与坐标轴的交点、二次函数的对称轴是解题的关键．
17、①④
【分析】①按照圆的内接三角形的定义判断即可，三顶点都在一个圆周上的三角形，叫做这个圆周的内接三角形；
② 利用垂径定理得到弧长之间的关系即可；
③设OP与DE交于点M，利用垂径定理可得DE⊥OP，DE=2ME，再利用直角三角形中斜边长大于直角边，找到PE与与ME的关系，进一步可以得到DE与PE的关系；
④根据 ，即可得到∠DAP=∠PAE，则AP平分∠BAC．
【详解】解：①点A、D、E三点均在⊙O上，所以△ADE是⊙O的内接三角形，此项正确；
② ∵DE⊥DE交⊙O于点P
∴
并不能证明与、关系，
∴不正确；
③设OP与DE交于点M

∵DE⊥DE交⊙O于点P
∴DE⊥OP， ME=DE（垂径定理）
∴△PME是直角三角形
∴ME＜PE
∴＜PE
∴DE＜2PE
故此项错误.
④∵ （已证）
∴∠DAP=∠PAE（同弧所对的圆周角相等）
∴AP平分∠BAC．
故此项正确.
故正确的序号为：①④
本题考查了圆中内接三角形定义、垂径定理与圆周角定理的应用，熟练掌握定理是解决此题的关键.
18、①②④
【分析】连接BD，BM，AM，EM，DE，根据圆周角定理的推论可判定四边形ADMB是矩形，进一步可判断①；在①的基础上可判定四边形AMCB是平行四边形，进而得BE∥AM，即可判断②；易证∠AEM=∠ADM=90º，DM=EM，再利用角的关系可得∠ADE=∠AED，继而可判断④；由题设条件求不出⊙O的直径，故可判断③.
【详解】解：连接BD，BM，AM，EM，DE，
∵∠BAD=90°，∴BD为圆的直径，∴∠BMD=90°，
∴∠BAD=∠CDA=∠BMD=90°，
∴四边形ADMB是矩形，∴AB=DM=1，
又∵CD=2，∴CM=1，∴DM=CM，故①正确；
∵AB∥MC，AB=MC，∴四边形AMCB是平行四边形，
∴BE∥AM，∴，故②正确；
∵，∴AB=EM=1，∴DM=EM，∴∠DEM=∠EDM，
∵∠ADM=90º，∴AM是直径，∴∠AEM=∠ADM=90º，
∴∠ADE=∠AED，∴AD=AE，故④正确；
由题设条件求不出⊙O的直径，所以③错误；
故答案为：①②④.

本题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理及其推论、圆心角、弦及弧之间的关系、等腰三角形的判定、矩形的判定与性质以及平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握有关性质及定理是解本题的关键.

三、解答题(共66分)
19、（1）图见解析1）．
【分析】（1）先根据位似图形的性质和位似比得出点的位置，再顺次连接点即可得；
（1）先根据点的位置得出它们的坐标，再根据点分别为的中点即可得出答案．
【详解】（1）先连接，再根据位似图形的性质和位似比可得点分别为的中点，再顺次连接点即可得到，如图所示：

（1），且点分别为的中点，
，
即．
本题考查了位似图形的性质和位似比、画位似图形，掌握理解位似图形的性质和位似比是解题关键．
20、不等式组的解集为﹣1＜x＜2，不等式组的整数解为0、1．
【分析】先分别求出两个一元一次不等式的解，再根据求不等式组解的方法求出不等式组的解，继而可求出其整数解.
【详解】解：解不等式x+1＞0，得：x＞﹣1，
解不等式x+4＞3x，得：x＜2，
则不等式组的解集为﹣1＜x＜2，
所以不等式组的整数解为0、1．
本题考查的知识点是解不等式组，正确求出每个一元一次不等式的解是求不等式组的解的关键.
21、①；②．
【分析】解此题的关键是找到相似三角形，利用相似三角形的性质，相似三角形的对应边成比例求解．
【详解】①∵，，
∴
∵，
∴
∴
∴
∴
；
②∵，，
∴
∵，
∴
∴
∴
∴．
本题考查了相似三角形，解题的关键是找到相似三角形利用相似三角形的对应边成比例进行求解.
22、（1）答案见解析；（2）BD=6，
【分析】（1）根据相似三角形的判定得出△EFC∽△BFD，得出∠CEF=∠B，进而证明△CAB∽△DAE，再利用相似三角形的性质证明即可；（2）根据相似三角形的性质得出有关图形的面积之比，进而解答即可．
【详解】证明：（1）∵EF•DF= BF•CF，
∵∠EFC=∠BFD，∴△EFC∽△BFD
∴∠CEF=∠B，∴∠B=∠AED
∵∠CAB=∠DAE,
∴△CAB∽△DAE
∴
∴AD·AB=AE·AC.
(2)由（1）知AD·AB=AE·AC
∴AD=6，BD=6，EC=1
∵ ，
∴
∵
∴
∴.
点睛：本题考查相似三角形的判定和性质知识，解题的关键是灵活运用相似三角形的判定解答．
23、（1）；（2）；（3）.
【分析】（1）将抛物线解析式进行因式分解，可求出A点坐标，得到OA长度，再由C点坐标得到OC长度，然后利用OC=2AO建立等量关系即可得到关系式；
（2）利用待定系数法求出直线BC的k，根据平行可知AD直线的斜率k与BC相等，可求出直线AD解析式，与抛物线联立可求D点坐标，过P作PE⊥x轴交AD于点E，求出PE即可表示△ADP的面积，从而建立方程求解；
（3）为方便书写，可设抛物线解析式为：，设，，过点M的切线解析式为，两抛物线与切线联立，由可求k，得到M、N的坐标满足，将（1，-1）代入，推出G为直线上的一点，由垂线段最短，求出OG垂直于直线时的值即为最小值.
【详解】解：（1）
令y=0，，解得，
令x=0，则
∵， A在B左边
∴A点坐标为（-m，0），B点坐标为（4m，0），C点坐标为（0，-4am2）
∴AO=m，OC=4am2
∵OC=2AO
∴4am2=2m
∴
（2）∵
∴C点坐标为（0，-2m）
设BC直线为，代入B（4m，0），C（0，-2m）得
，解得
∵AD∥BC，
∴设直线AD为，代入A（-m，0）得，，
∴
∴直线AD为
直线AD与抛物线联立得，
，解得或
∴D点坐标为（5m，3m）
又∵
∴顶点P坐标为
如图，过P作PE⊥x轴交AD于点E，则E点横坐标为，代入直线AD得

∴PE=
∴S△ADP=
解得
∵m＞0
∴
∴.
（3）在（2）的条件下，可设抛物线解析式为：，
设，，过点M的切线解析式为，
将抛物线与切线解析式联立得：
，整理得，
∵，
∴方程可整理为
∵只有一个交点，
∴
整理得即
解得
∴过M的切线为
同理可得过N的切线为
由此可知M、N的坐标满足
将代入整理得
将（1，-1）代入得
在（2）的条件下，抛物线解析式为，即
∴
整理得
∴G点坐标满足，即G为直线上的一点，
当OG垂直于直线时，OG最小，如图所示，

直线与x轴交点H（5,0），与y轴交点F（0，）
∴OH=5，OF=，FH=
∵
∴
∴OG的最小值为.
本题考查二次函数与一次函数的综合问题，难度很大，需要掌握二次函数与一次函数的图像与性质和较强的数形结合能力.
24、（1）y=2x2﹣x﹣1；（2）抛物线的开口向上，对称轴为x=，顶点坐标为（，﹣）．
【分析】（1）将三点代入y=ax2+bx+c，得到三元一次方程组，解方程组即可得到a，b，c的值，从而得到抛物线的解析式．
（2）把解析式化成顶点式，根据抛物线的性质即可得出结论．
【详解】解：（1）把(-1,0)，(0,-1)，(2,1)代入y=ax2+bx+c，得，解得．
所以，这个抛物线的表达式为y=2x2﹣x﹣1．
（2）y=2x2﹣x﹣1=2(x﹣)2﹣，
所以，抛物线的开口向上，对称轴为x=，顶点坐标为（，﹣）
本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式及二次函数的性质．熟练掌握待定系数法是解题的关键．
25、两次摸到的球都是红球的概率为.
【分析】根据题意画出树状图，再根据概率公式即可求解.
【详解】解：画树状图得：

∵共有9种等可能的结果，摸到的两个球都是红球的有1种情况，
∴两次摸到的球都是红球的概率=．
此题主要考查概率的计算，解题的关键是根据题意画出所有情况，再用公式进行求解.
26、（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）由四边形是平行四边形，得到，证明与平行且相等，可得四边形是平行四边形，再说明，于是得出结论；
（2）过点作于点，由菱形的性质和等边三角形的性质解答即可．
【详解】（1）证明：平分，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
∴平行四边形是菱形．
（2）解：，，
，
，
，
，
．
过点作于点，

，，
是等边三角形，
，
，
四边形是平行四边形，
∴平行四边形是矩形，
，
在中，，，
，
．
本题主要考查了菱形的判定和性质、勾股定理、平行四边形和矩形的性质和判定，熟练掌握菱形的判定是关键．