2024年湖南长沙青竹湖八上数学期末考试模拟试题含解析.doc

2022-2023学年八下数学期末模拟试卷
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（每题4分，共48分）
1．计算22+(－1)°的结果是( ).
A．5 B．4 C．3 D．2
2．如图所示：数轴上点A所表示的数为a，则a的值是　　）

A．+1 B．-1 C．-+1 D．--1
3．已知M＝m﹣4，N＝m2﹣3m，则M与N的大小关系为（　　）
A．M＞N B．M＝N C．M≤N D．M＜N
4．如图，△ABC中，∠A=40°，AB=AC，D、E、F分别是AB、BC、AC边上的点，且BD=CE，BE=CF，则∠DEF的度数是（　　）

A．75° B．70° C．65° D．60°
5．在实数，，，，中，无理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．等腰三角形的两边长为3，7，则其腰长为（　　　）
A．6 B．3或7 C．3 D．7
7．（2016四川省成都市）平面直角坐标系中，点P（﹣2，3）关于x轴对称的点的坐标为（　　）
A．（﹣2，﹣3） B．（2，﹣3） C．（﹣3，﹣2） D．（3，﹣2）
8．我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式．例如图①可以用来解释(a＋b)2－(a－b)2＝4ab.那么通过图②中阴影部分面积的计算验证了一个恒等式，此等式是(　　)

A．a2－b2＝(a＋b)(a－b) B．(a－b)2＝a2－2ab＋b2
C．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 D．(a－b)(a＋2b)＝a2＋ab－b2
9．如图，在△ABC中．∠ACB＝90°，AC＝4，，点D在AB上，将△ACD沿CD折叠，点A落在点A1处，A1C与AB相交于点E，若A1D∥BC，则A1E的长为（　　）

A． B． C． D．
10．在平面直角坐标系中，等腰△ABC的顶点A、B的坐标分别为（0，0）、（2，2），若顶点C落在坐标轴上，则符合条件的点C有（　　）个．
A．5 B．6 C．7 D．8
11．如图，△ABC中∠ACB＝90°,CD是AB边上的高，∠BAC的角平分线AF交CD于E，则△CEF必为（ ）

A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
12．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系，在其方程章中有一道题：今有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把其钱的一半给甲，则甲的钱数为50；若甲把其钱的给乙，则乙的钱数也能为50，问甲、乙各有多少钱？若设甲持钱为x，乙持钱为y，则可列方程组　　

A． B． C． D．
二、填空题（每题4分，共24分）
13．已知，m+2的算术平方根是2，2m+n的立方根是3，则m+n＝_____．
14．如图，，，.给出下列结论：①；②；③；④.其中正确结论的序号是__________.

15．如图，把一张三角形纸片（△ABC）进行折叠，使点A落在BC上的点F处，折痕为DE，点D，点E分别在AB和AC上，DE∥BC，若∠B＝75°，则∠BDF的度数为_____．

16．如图，在△ABC中，AC=4cm，线段AB的垂直平分线交AC于点N，△BCN的周长是7cm，则BC的长为______cm．

17．分解因式：=______．
18．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC≤BC，将△ABC沿EF折叠，使点A落在直角边BC上的D点处，设EF与AB、AC边分别交于点E、点F，如果折叠后△CDF与△BDE均为等腰三角形，那么∠B＝_____．

三、解答题（共78分）
19．（8分）先将 化简，然后请自选一个你喜欢的x值代入求值．
20．（8分）如图①，△ABC是等边三角形，点P是BC上一动点（点P与点B、C不重合）过点P作PM∥AC交AB于M，PN∥AB交AC于N，连接BN、CM．

（1）求证：PM+PN＝BC；
（2）在点P的位置变化过程中，BN＝CM是否成立？试证明你的结论；
（3）如图②，作ND∥BC交AB于D，则图②成轴对称图形，类似地，请你在图③中添加一条或几条线段，使图③成轴对称图形（画出一种情形即可）．
21．（8分）阅读下列解题过程：
（1）；
（2）；
请回答下列问题：
（1）观察上面解题过程,请直接写出的结果为__________________．
（2）利用上面所提供的解法，请化简：

22．（10分）如图，相交于点，．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．

23．（10分）如图，在Rt△ABC中，（M2，N2），∠BAC=30°，E为AB边的中点，以BE为边作等边△BDE，连接AD，CD．
（1）求证：△ADE≌△CDB；
（2）若BC=，在AC边上找一点H，使得BH+EH最小，并求出这个最小值．

24．（10分）甲、乙两地相距120千米，一辆大巴车从甲地出发，行驶1小时后，一辆小汽车从甲地出发，小汽车和大巴车同时到达到乙地，已知小汽车的速度是大巴车的2倍，求大巴车和小汽车的速度．
25．（12分）如图，，交于点，. 请你添加一个条件 ，使得，并加以证明.

26．如图某船在海上航行，在A处观测到灯塔B在北偏东60°方向上，该船以每小时15海里的速度向东航行到达C处，观测到灯塔B在北偏东30°方向上，继续向东航行到D处，观测到灯塔B在北偏西30°方向上，当该船到达D处时恰与灯塔B相距60海里．
（1）判断BCD的形状；
（2)求该船从A处航行至D处所用的时间．

参考答案

一、选择题（每题4分，共48分）
1、A
【解析】分别计算平方、零指数幂，然后再进行实数的运算即可．
【详解】解：原式＝4＋1＝5
故选：A．
此题考查了实数的运算，解答本题关键是掌握零指数幂的运算法则，难度一般．
2、B
【解析】试题解析：由勾股定理得：
∴数轴上点A所表示的数是

故选B.
3、C
【分析】利用完全平方公式把N﹣M变形，根据偶次方的非负性解答．
【详解】解：N﹣M＝（m2﹣3m）﹣（m﹣4）＝m2﹣3m﹣m+4＝m2﹣4m+4＝（m﹣2）2≥0，
∴N﹣M≥0，即M≤N，
故选：C．
本题考查的是因式分解的应用，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关键．
4、B
【分析】由等腰三角形的性质得出∠B=∠C=70°，再证明△BDE≌△CEF，得出∠BDE=∠CEF，运用三角形的外角性质得出∠CEF+∠DEF=∠B+∠BDE，即可得出∠DEF=∠B=70°．
【详解】解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C=（180°∠A）=70°，
在△BDE和△CEF中，，
∴△BDE≌△CEF（SAS），
∴∠BDE=∠CEF，
∵∠CED=∠B+∠BDE，
即∠CEF+∠DEF=∠B+∠BDE，
∴∠DEF=∠B=70°；
故选：B．
本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及三角形的外角性质；熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等得出对应角相等是解决问题的关键．
5、B
【详解】
解：在实数，，，，中，
其中，，是无理数．
故选：B．
6、D
【分析】根据等腰三角形的定义、三角形的三边关系定理即可得．
【详解】由等腰三角形的定义得：其腰长为3或7，
（1）当腰长为3时，
这个等腰三角形的三边长为，
此时，不满足三角形的三边关系定理，
即其腰长不能为3；
（2）当腰长为7时，
这个等腰三角形的三边长为，
此时，满足三角形的三边关系定理；
综上，这个等腰三角形的腰长为7，
故选：D．
本题考查了等腰三角形的定义、三角形的三边关系定理，熟练掌握等腰三角形的定义是解题关键．
7、A
【解析】解：点P（﹣2，3）关于x轴对称的点的坐标为（﹣2，﹣3）．故选A．
8、B
【解析】图（4）中，
∵S正方形=a1-1b（a-b）-b1=a1-1ab+b1=（a-b）1，
∴（a-b）1=a1-1ab+b1．
故选B
9、B
【解析】利用平行线的性质以及折叠的性质，即可得到∠A1+∠A1DB=90°，即AB⊥CE，再根据勾股定理可得最后利用面积法得出可得进而依据A1C=AC=4，即可得到
【详解】∵A1D∥BC，
∴∠B=∠A1DB，
由折叠可得，∠A1=∠A，
又∵∠A+∠B=90°，
∴∠A1+∠A1DB=90°，
∴AB⊥CE，
∵∠ACB=90°，AC=4，
∴
∵
∴
又∵A1C=AC=4，
∴
故选B．

本题主要考查了折叠问题以及勾股定理的运用，折叠是一种对称变换，它属于轴对
称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．解决问题的关键是
得到CE⊥AB以及面积法的运用．
10、D
【分析】要使△ABC是等腰三角形，可分三种情况（①若AC=AB，②若BC=BA，③若CA=CB）讨论，通过画图就可解决问题．
【详解】①若AC=AB，则以点A为圆心，AB为半径画圆，与坐标轴有4个交点；

②若BC=BA，则以点B为圆心，BA为半径画圆，与坐标轴有2个交点（A点除外）；
③若CA=CB，则点C在AB的垂直平分线上．
∵A（0，0），B（2，2），∴AB的垂直平分线与坐标轴有2个交点．
综上所述：符合条件的点C的个数有8个．
故选D．
本题考查了等腰三角形的判定、垂直平分线的性质的逆定理等知识，还考查了动手操作的能力，运用分类讨论的思想是解决本题的关键．
11、A
【解析】首先根据条件∠ACB=90°，CD是AB边上的高，可证出∠BCD+∠ACD=90°，∠B+∠BCD=90°，再根据同角的补角相等可得到∠B=∠DCA，再利用三角形的外角与内角的关系可得到∠CFE=∠FEC，最后利用等角对等边可证出结论．
【详解】∵∠ACB=90°，

∴∠BCD+∠ACD=90°，
∵CD是AB边上的高，
∴∠B+∠BCD=90°，
∴∠B=∠DCA，
∵AF是∠BAC的平分线，
∴∠1=∠2，
∵∠1+∠B=∠CFE，
∠2+∠DCA=∠FEC，
∴∠CFE=∠FEC，
∴CF=CE，
∴△CEF是等腰三角形.
故选A
此题考查等腰三角形的判定，解题关键在于掌握判定定理.
12、B
【分析】由乙把其钱的一半给甲，则甲的钱数为50；若甲把其钱的给乙，则乙的钱数也能为50，列出方程组求解即可.
【详解】解：由题意得： ，
故选B.
本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是理解题意列出方程组.

二、填空题（每题4分，共24分）
13、1
【分析】根据算术平方根、立方根的意义求出m和n的值，然后代入m+n即可求解．
【详解】解：∵m+2的算术平方根是2，
∴m+2＝4，
∴m＝2，
∵2m+n的立方根是3，
∴4+n＝27，
∴n＝23，
∴m+n＝1，
故答案为1．
本题考查立方根、平方根；熟练掌握立方根、平方根的性质是解题的关键．
14、①②③
【分析】根据三角形的内角和定理求出∠EAB=∠FAC，即可判断①；根据AAS证△EAB≌△FAC，即可判断②；推出AC=AB，根据ASA即可证出③；不能推出CD和DN所在的三角形全等，也不能用其它方法证出CD=DN．
【详解】∵∠E=∠F=90∘，∠B=∠C，
∵∠E+∠B+∠EAB=180∘，∠F+∠C+∠FAC=180∘，
∴∠EAB=∠FAC，
∴∠EAB−CAB=∠FAC−∠CAB，
即∠1=∠2，∴①正确；
在△EAB和△FAC中

∴△EAB≌△FAC，

∴BE=CF，AC=AB，∴②正确；
在△ACN和△ABM中

∴△ACN≌△ABM，∴③正确；
∵根据已知不能推出CD=DN，
∴④错误；
本题考查全等三角形的判定和性质，解题关键在于根据全等的性质对选项进行判断.
15、30°
【分析】利用平行线的性质求出∠ADE＝75°，再由折叠的性质推出∠ADE＝∠EDF＝75°即可解决问题．
【详解】解：∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B＝75°，
又∵∠ADE＝∠EDF＝75°，
∴∠BDF＝180°﹣75°﹣75°＝30°，
故答案为30°．
本题综合考查了平行线以及折叠的性质，熟练掌握两性质定理是解答关键.
16、1
【解析】试题分析：根据线段的垂直平分线的性质得到NB=NA，根据三角形的周长公式计算即可．
解：∵线段AB的垂直平分线交AC于点N，
∴NB=NA，
△BCN的周长=BC+CN+BN=7cm，
∴BC+AC=7cm，又AC=4cm，
∴BC=1cm，
故答案为1．
考点：线段垂直平分线的性质．
17、x（x+2）（x﹣2）．
【解析】试题分析：==x（x+2）（x﹣2）．故答案为x（x+2）（x﹣2）．
考点：提公因式法与公式法的综合运用；因式分解．
18、45°或30°
【分析】先确定△CDF是等腰三角形，得出∠CFD=∠CDF=45°，因为不确定△BDE是以那两条边为腰的等腰三角形，故需讨论，①DE=DB，②BD=BE，③DE=BE，然后分别利用角的关系得出答案即可．
【详解】∵△CDF中，∠C＝90°，且△CDF是等腰三角形，
∴CF＝CD，
∴∠CFD＝∠CDF＝45°，
设∠DAE＝x°，由对称性可知，AF＝FD，AE＝DE，
∴∠FDA＝∠CFD＝22.5°，∠DEB＝2x°，
分类如下：
①当DE＝DB时，∠B＝∠DEB＝2x°，
由∠CDE＝∠DEB+∠B，得45°+22.5°+x＝4x，
解得：x＝22.5°．
此时∠B＝2x＝45°；
见图形（1），说明：图中AD应平分∠CAB．
②当BD＝BE时，则∠B＝（180°﹣4x）°，
由∠CDE＝∠DEB+∠B得：45°+22.5°+x＝2x+180°﹣4x，
解得x＝37.5°，
此时∠B＝（180﹣4x）°＝30°．
图形（2）说明：∠CAB＝60°，∠CAD＝22.5°．
③DE＝BE时，则∠B＝（180﹣2x）°，
由∠CDE＝∠DEB+∠B得，45°+22.5°+x＝2x+（180﹣2x）°，
此方程无解．
∴DE＝BE不成立．
综上所述，∠B＝45°或30°．
故答案为：45°或30°．

本题考查了翻折变换及等腰三角形的知识，在不确定等腰三角形的腰时要注意分类讨论，不要漏解，另外要注意方程思想在求解几何问题中的应用．

三、解答题（共78分）
19、，当时，原式=1
【分析】将括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，化除法为乘法运算，约分得到最简结果，取一个使分式分母和除式不为0的数，如代入计算即可得到结果．
【详解】

，
取，原式=10+2=1．
本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20、（1）见解析；（2）结论成立，理由见解析；（3）见解析
【分析】（1）先证明△BMP，△CNP是等边三角形，再证明△BPN≌△MPC，从而PM=PB，PN=PC，可得PM+PN＝BC；
（2）BN＝CM总成立，由（1）知△BPN≌△MPC，根据全等三角形的性质可得结论；
（3）作ND∥BC交AB于N，作ME∥BC交AC于M，作EF∥AB交BC于F，连接DF即可．
【详解】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵PM∥AC，PN∥AB，
∴∠BPM＝∠ACB＝60°，∠CPN＝∠ABC＝60°，
∴△BMP，△CNP是等边三角形，
∴∠BPM＝∠CPN＝60°，PN=PC，PN=PC，
∴∠BPN＝∠MPC，
∴△BPN≌△MPC，
∴PM=PB，PN=PC，
∵BP+PC＝BC，
∴PM+PN＝BC;
（2）BN＝CM总成立，理由：
由（1）知△BPN≌△MPC，
∴BN＝CM
（3）解：如图③即为所求．

作ND∥BC交AB于N，作ME∥BC交AC于M，作EF∥AB交BC于F，连接DF，作直线AH⊥BC交BC于H，
同（1）可证△AND，△AME，△BPM，△CEF都是等边三角形，
∴D与N，M与E，B与C关于AH对称.
∴BM=CE，
∴BM=CF，
∴P与F关于AH对称，
∴所做图形是轴对称图形.
本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的判定和性质，轴对称图形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
21、（1）；（2）9
【分析】（1）利用已知数据变化规律直接得出答案；
（2利用分母有理化的规律将原式化简进而求出即可.
【详解】解：（1）=．
（2）
=-1+-+-+…+-+-
=-1+
=-1+10
=9
此题主要考查了分母有理化，正确化简二次根式是解题关键.
22、（1）见解析；（2）34°
【分析】（1）根据HL证明Rt△ABC≌Rt△BAD；
（2）利用全等三角形的性质证明即可．
【详解】解：（1）证明：∵，
∴和都是直角三角形，
在和中，
，
∴；
（2）解：在中，∵，
∴，
由（1）可知，
∴，
∴，

本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”AAS”，“HL”；全等三角形的对应边相等．
23、（1）证明见解析；（2）BH+EH的最小值为1．
【解析】（1）只要证明△DEB是等边三角形，再根据SAS即可证明；
（2）如图，作点E关于直线AC点E'，连接BE'交AC于点H．则点H即为符合条件的点．
【详解】（1）在Rt△ABC中，∠BAC=10°，E为AB边的中点，
∴BC=EA，∠ABC=60°，
∵△DEB为等边三角形，
∴DB=DE，∠DEB=∠DBE=60°，
∴∠DEA=120°，∠DBC=120°，
∴∠DEA=∠DBC，
∴△ADE≌△CDB；
（2）如图，作点E关于直线AC点E'，连接BE'交AC于点H，则点H即为符合条件的点，
由作图可知：EH=HE'，AE'=AE，∠E'AC=∠BAC=10°，
∴∠EAE'=60°，
∴△EAE'为等边三角形，
∴E E'=EA=AB，
∴∠AE'B=90°，
在Rt△ABC中，∠BAC=10°，BC=，
∴AB=2，A E'=AE=，
∴B E'= =1，
∴BH+EH的最小值为1．

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，轴对称中的最短路径问题、勾股定理等，熟练掌握相关的性质与判定定理、利用轴对称添加辅助线确定最短路径问题是解题的关键.
24、大巴车的速度为60千米/小时，则小汽车的速度为120千米/小时
【分析】设大巴车的速度为x千米/小时，则小汽车的速度为2x千米/小时，然后根据题意，列出分式方程，即可求出结论．
【详解】解：设大巴车的速度为x千米/小时，则小汽车的速度为2x千米/小时
由题意可知：
解得：x=60
经检验：x=60是原方程的解．
∴小汽车的速度为2×60=120（千米/小时）
答：大巴车的速度为60千米/小时，则小汽车的速度为120千米/小时．
此题考查的是分式方程的应用，掌握实际问题中的等量关系是解决此题的关键．
25、添加条件（或）,理由见解析
【解析】根据全等三角形的判定方法即可判断．
【详解】添加条件（或）.
证明：∵，∴
在和中，
∴.
添加OD=OC或AD=BC同法可证．
故答案为OA=OB或OD=OC或AD=BC．
本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.
26、（1）等边三角形；（2）8小时
【分析】（1）根据题意可得∠BCD=∠BDC=60°，即可知△BCD是等边三角形；
（2）由（1）可求得BC，CD的长，然后易证得△ABC是等腰三角形，继而求得AD的长，则可求得该船从A处航行至D处所用的时间；
【详解】解：（1）根据题意得：∠BCD=90°-30°=60°，∠BDC=90°-30°=60°，
∴∠BCD=∠BDC=60°，
∴BC=BD，
∴△BCD是等边三角形；
（2）∵△BCD是等边三角形，
∴CD=BD=BC=60海里，
∵∠BAC=90°-60°=30°，
∴∠ABC=∠BCD-∠BAC=30°，
∴∠BAC=∠ABC，
∴AC=BC=60海里，
∴AD=AC+CD=120海里，
∴该船从A处航行至D处所用的时间为：120÷15=8（小时）；
此题考查了方向角问题．注意准确构造直角三角形是解此题的关键．